鐘佩思， 劉金銘， 呂文浩， 張振宇， 宋慶軍

(山東科技大學(xué)機(jī)電學(xué)院， 青島 266590)

隨著工業(yè)自動(dòng)化的發(fā)展，要求機(jī)器人完成的任務(wù)越來越復(fù)雜，對機(jī)器人與環(huán)境交互能力的要求越來越高。要想提高機(jī)器人的控制精度，提高機(jī)器人與環(huán)境的交互能力，需要得到機(jī)器人準(zhǔn)確的動(dòng)力學(xué)模型，設(shè)計(jì)基于機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型的控制系統(tǒng)[1]。參數(shù)辨識將理論建模和實(shí)驗(yàn)建模的優(yōu)點(diǎn)結(jié)合起來，利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到準(zhǔn)確的機(jī)器人動(dòng)力學(xué)參數(shù)，修正機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型[2-4]。

工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識流程包括動(dòng)力學(xué)模型建立及其線性化、激勵(lì)軌跡選取及其優(yōu)化、辨識算法設(shè)計(jì)、參數(shù)采集與處理、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證[5-6]等。其中，激勵(lì)軌跡的選取和優(yōu)化是決定機(jī)器人動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識是否精準(zhǔn)的重要基礎(chǔ)[7]。為了避免激發(fā)機(jī)器人的高頻特性[8-9]，減少噪聲干擾對參數(shù)辨識的影響，提高機(jī)器人動(dòng)力學(xué)參數(shù)的辨識精度，需要選取合適的激勵(lì)軌跡并對其進(jìn)行優(yōu)化。

常用的激勵(lì)軌跡有三次、五次多項(xiàng)式、傅里葉級數(shù)及其改進(jìn)等。劉磊等[10]引進(jìn)S型函數(shù)優(yōu)化收斂因子，提出了一種改進(jìn)的基于S型函數(shù)的灰狼算法，擴(kuò)大了算法的搜索范圍，避免了算法的“早熟”。嚴(yán)浩等[11]采用基于排擠機(jī)制的小生境遺傳算法對SCARA機(jī)器人前兩關(guān)節(jié)的激勵(lì)軌跡進(jìn)行優(yōu)化，沒有考慮SCARA機(jī)器人其他關(guān)節(jié)的激勵(lì)軌跡。張師源等[12]采用遺傳算法優(yōu)化了激勵(lì)軌跡，沒有考慮遺傳算法易陷入局部最優(yōu)解的缺點(diǎn)。Liu[13]等提出了一種基于改進(jìn)的人工魚群算法的辨識方法，證明了辨識方法的有效性。張鐵等[14]使用lagrange法建立機(jī)器人的線性辨識模型，對六階傅里葉級數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，得到了六自由度機(jī)器人的激勵(lì)軌跡，沒有考慮優(yōu)化算法。李家錚等[15]。通過遞推最小二乘法獲得辨識參數(shù)，提高了辨識的準(zhǔn)確性。

針對上述問題，以SCARA機(jī)器人為研究對象，使用Newton-Euler迭代法建立機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型并進(jìn)行線性化，以觀測矩陣條件數(shù)最小作為優(yōu)化目標(biāo)，選擇5階傅里葉級數(shù)的作為激勵(lì)軌跡，使用改進(jìn)的雙層自適應(yīng)遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化，利用遞推最小二乘法計(jì)算機(jī)器人的最小慣性參數(shù)集。

1 機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型及其線性化

1.1 SCARA機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型建立

SCARA機(jī)器人的空間定位精度由連桿1、連桿2和連桿3決定，將連桿4示為連桿3的負(fù)載，僅對前三個(gè)工作臂進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模。

利用Newton-Euler法求機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程的具體過程分為兩部分，第一部分從連桿0到連桿n向外迭代計(jì)算連桿的速度和加速度。第一部分根據(jù)關(guān)節(jié)類型又可分為兩種遞推方式。對于轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，外推公式為

(1)

對于移動(dòng)關(guān)節(jié)，外推公式為

(2)

第二部分從連桿n到連桿1向內(nèi)計(jì)算連桿間的相互作用力和力矩以及關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩，計(jì)算公式為

(3)

式(3)中：F表示驅(qū)動(dòng)力；N表示驅(qū)動(dòng)力矩；m表示連桿質(zhì)量；I表示連桿坐標(biāo)系的慣性張量矩陣。

根據(jù)Newton-Euler迭代法的計(jì)算步驟，利用MATLAB編寫迭代計(jì)算程序，計(jì)算得到自由運(yùn)動(dòng)SCARA機(jī)器人各關(guān)節(jié)力矩[f1;n1][f2;n2][f3;n3]。

因?yàn)殛P(guān)節(jié)1、2為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，關(guān)節(jié)3為移動(dòng)關(guān)節(jié)，且各關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)軸均為Z軸，得到各關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力矩為

(4)

1.2 模型線性化

因?yàn)闄C(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型是其慣性參數(shù)的線形函數(shù)，故可將機(jī)器人動(dòng)方程線性化為關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩與慣性參數(shù)的表達(dá)式，即

(5)

式(5)中：Y是大小為n×10的觀測矩陣；n為連桿數(shù)量；P為待辨識慣性參數(shù)集，P={xx1xy1xz1yy1yz1zz1mx1my1mz1mi}。

由于SCARA機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型較為簡單，采用數(shù)學(xué)推導(dǎo)的方法，依次確定連桿3至連桿1的最小慣性參數(shù)和觀測矩陣為

(6)

2 激勵(lì)軌跡及其優(yōu)化目標(biāo)

機(jī)器人在激勵(lì)軌跡中達(dá)到的位姿越多，測得的動(dòng)力學(xué)參數(shù)信息就越全面，動(dòng)力學(xué)參數(shù)的辨識精度就會越高；同時(shí)，為了減少噪聲干擾對參數(shù)精度的影響，需要在進(jìn)行激勵(lì)軌跡優(yōu)化之前需要選擇合適的激勵(lì)軌跡模型，避免激發(fā)機(jī)器人的高頻特性。

2.1 改進(jìn)的傅里葉級數(shù)

關(guān)節(jié)i角度的改進(jìn)傅里葉級數(shù)公式為

(7)

根據(jù)式(7)可得關(guān)節(jié)i角速度和角加速度表達(dá)式為

(8)

改進(jìn)的傅里葉級數(shù)可以滿足連續(xù)性、周期性和運(yùn)行的平穩(wěn)性，在軌跡起始和停止的位置，關(guān)節(jié)i的角速度和角加速度為零，滿足上述要求的約束條件為

(9)

式(9)中：ts和tf分別為軌跡起始時(shí)刻和終止時(shí)刻，θs-f為起始和終止時(shí)刻關(guān)節(jié)角。

利用式(9)中的4個(gè)約束條件，可得改進(jìn)傅里葉級數(shù)中五次多項(xiàng)式的系數(shù)為

(10)

2.2 軌跡優(yōu)化目標(biāo)

在進(jìn)行動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識的過程中，N階動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識方程τN=YNp由N組觀測數(shù)據(jù)組成回歸矩陣YN和關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩矩陣τN組成。當(dāng)YN和τN存在擾動(dòng)δYN和δτN時(shí)，N階動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識方程為

(τN+δτN)=(YN+δYN)(p+δp)

(11)

聯(lián)立式(5)，兩式相減可得

δτN=YNδp+δYNδp+δYNp

(12)

由式(12)推導(dǎo)可得

(13)

對式(13)兩邊取范數(shù)可得

(14)

進(jìn)一步化簡可得

(15)

(16)

最終可得待辨識參數(shù)集p的相對誤差為

(17)

根據(jù)定義可知，回歸矩陣的條件數(shù)為

(18)

將式(18)代入式(17)可得

(19)

3 雙層自適應(yīng)遺傳算法

在遺傳算法中，直接影響算法的收斂性。傳統(tǒng)的遺傳算法，遵循選擇、交叉和變異的順尋，但在種群相對集中的情況下，交叉的意義不大，種群依然有可能陷入局部最優(yōu)解[16-18]。因此，提出順序自適應(yīng)機(jī)制，通過判斷種群的集散程度，確定交叉和變異的順尋。當(dāng)種群較為集中時(shí)，先進(jìn)行變異操作，跳出局部最優(yōu)；當(dāng)種群較為發(fā)散時(shí)，則先執(zhí)行交叉，再進(jìn)行變異。

此外，交叉概率大，容易使優(yōu)良基因被破壞；交叉概率小，舊的基因不容易被破壞，容易導(dǎo)致算法早熟。變異概率過小，不易形成新的個(gè)體，降低了全局搜索能力；變異概率過大，則增強(qiáng)了隨機(jī)性，增大了全局搜索時(shí)間。并且引入概率自適應(yīng)調(diào)整函數(shù)，使交叉概率和變異概率跟隨個(gè)體適應(yīng)度大小和群體的分散程度進(jìn)行自動(dòng)調(diào)整。如圖1所示為改進(jìn)的自適應(yīng)遺傳算法的流程。

圖1 改進(jìn)自適應(yīng)遺傳算法流程

利用當(dāng)代種群適應(yīng)度的最大值和平均值作為評判標(biāo)準(zhǔn)，完成對群體集散度的判斷和對交叉概率Pc和變異概率Pm的調(diào)整。概率自適應(yīng)調(diào)整函數(shù)為

(20)

(21)

當(dāng)個(gè)體最大適應(yīng)度大于當(dāng)代種群中的平均適應(yīng)度時(shí)，認(rèn)為個(gè)體性能較好，則降低交叉概率Pc和變異概率Pm以盡可能保存其優(yōu)良特性；當(dāng)個(gè)體最大適應(yīng)度小于當(dāng)代種群中的平均適應(yīng)度時(shí)，認(rèn)為個(gè)體性能不佳，則增大交叉概率Pc和變異概率Pm以加快個(gè)體更新速度。群體集散度判斷函數(shù)為

(22)

式(22)中：fmax是當(dāng)代種群中的最大適應(yīng)度值；favg是當(dāng)代種群中的平均適應(yīng)度值。

如果群體適應(yīng)度滿足該公式，則先認(rèn)為群體足夠離散，執(zhí)行交叉變異；否則，先執(zhí)行變異再進(jìn)行交叉。

4 激勵(lì)軌跡優(yōu)化與參數(shù)辨識實(shí)驗(yàn)

4.1 激勵(lì)軌跡優(yōu)化

經(jīng)過上述分析，最終可以確定改進(jìn)的傅里葉級數(shù)的軌跡優(yōu)化目標(biāo)為觀測矩陣條件數(shù)，利用改進(jìn)的自適應(yīng)遺傳算法獲得全局最優(yōu)化的系數(shù)ai,k、bi,k、b0，具體的約束條件為

(23)

式(23)中：SCARA機(jī)器人各關(guān)節(jié)角度、角速度、角加速度的限制范圍如表1所示。

表1 關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)限制范圍

在簡化后SCARA機(jī)器人中，連桿1、2的轉(zhuǎn)動(dòng)和連桿3的移動(dòng)是解耦的。因此，分別求取前兩關(guān)節(jié)和關(guān)節(jié)3的激勵(lì)軌跡。

根據(jù)式(6)可知，前兩關(guān)節(jié)和第三關(guān)節(jié)的觀測矩陣為

(24)

選擇改進(jìn)的5階傅里葉級數(shù)作為激勵(lì)軌跡，分別以式(23)中①、②條件數(shù)的表達(dá)式cond(Yr)作為目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)，共有30個(gè)待優(yōu)化參數(shù)。設(shè)置基頻ω=0.2π，迭代次數(shù)設(shè)置為400代，種群大小設(shè)置為60，交叉概率Pc設(shè)置為0.5，變異概率Pm設(shè)置為0.5。優(yōu)化結(jié)果如表2所示，改進(jìn)自適應(yīng)遺傳算法得到的前兩關(guān)節(jié)和第三關(guān)節(jié)的觀測矩陣條件數(shù)分別為1.041 4和1.000 0。

表2 最優(yōu)化傅里葉級數(shù)系數(shù)

4.2 參數(shù)辨識實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文提出的激勵(lì)軌跡優(yōu)化算法的可行性與可靠性，利用MATLAB和ADAMS進(jìn)行聯(lián)合仿真。因?yàn)镾CARA機(jī)器人第三關(guān)節(jié)與前兩關(guān)節(jié)解耦，所以分別對前兩關(guān)節(jié)和第三關(guān)節(jié)進(jìn)行參數(shù)辨識仿真實(shí)驗(yàn)。

表3 參數(shù)辨識結(jié)果

圖2 動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識仿真與驗(yàn)證流程圖

圖3 待辨識參數(shù)誤差收斂過程

將辨識結(jié)果代入機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型中，得到參數(shù)辨識模型。將軌跡作為輸入，對比辨識模型和ADAMS物理模型輸出的關(guān)節(jié)力矩。圖4所示為各關(guān)節(jié)的辨識模型和ADAMS物理模型輸出的力矩對比曲線。

根據(jù)圖4所示的仿真結(jié)果可知，辨識模型與ADAMS物理模型得到的3個(gè)關(guān)節(jié)的力矩曲線整體趨勢大致相同，數(shù)據(jù)也基本吻合。為了更好地表征理論計(jì)算值與實(shí)測值之間的偏離程度即誤差，分別利用平均絕對誤差和均方根誤差來分別對其進(jìn)行描述。平均絕對誤差與均方根誤差的表達(dá)式為

(25)

根據(jù)式(25)計(jì)算得到的各關(guān)節(jié)平均絕對誤差與均方根誤差如表4所示。

表4 各關(guān)節(jié)誤差評價(jià)指標(biāo)

根據(jù)圖4中的信息可知，使用理論模型得到的理論力矩與使用辨識模型得到的辨識力矩在數(shù)值上和變化趨勢上均大致相同。根據(jù)表4的數(shù)據(jù)可知，使用雙層自適應(yīng)遺傳算法得到的激勵(lì)軌跡，提升了機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識精度[15]。

第一關(guān)節(jié)的均方根誤差和平均絕對誤差最大，這是由于第一關(guān)節(jié)的電機(jī)力矩最大?？偟膩碚f，實(shí)驗(yàn)結(jié)果較為理想，證明了辨識結(jié)果的準(zhǔn)確性和改進(jìn)遺傳算法優(yōu)化方案的可行性。

5 結(jié)論

(1)采用Newton-Euler法建立了SCARA機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型，并采用數(shù)學(xué)推導(dǎo)的方法對模型進(jìn)行線性化和參數(shù)分離，得到了SCARA機(jī)器人前三關(guān)節(jié)的觀測矩陣和最小待辨識參數(shù)集。

(2)選擇改進(jìn)的傅里葉級數(shù)作為激勵(lì)軌跡，分析辨識參數(shù)辨識方程，確定了觀測矩陣條件數(shù)最小的優(yōu)化目標(biāo)。對遺傳算法進(jìn)行改進(jìn)，提出了雙層自適應(yīng)機(jī)制，確定了基于雙層自適應(yīng)機(jī)制的激勵(lì)軌跡優(yōu)化方案。

(3)使用MATLAB和ADAMS進(jìn)行聯(lián)合仿真實(shí)驗(yàn)，基于遞推最小二乘法得到了機(jī)器人的最小慣性參數(shù)集。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，使用雙層自適應(yīng)遺傳算法得到的激勵(lì)軌跡可以保證機(jī)器人動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識的精度。