劉天奇，馮一辰，張蒙玥，李 安

(1. 北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875； 2. 北京師范大學(xué) 天文系，北京 100875)

眾所周知，光在兩種介質(zhì)的表面會發(fā)生透射和反射.如果把空氣視為一種介質(zhì)，并把一種液體視為另一種介質(zhì)，那么光就會在液體和空氣間的表面發(fā)生透射和反射.我們知道，液體相對于一般制作光學(xué)元件所用的玻璃等材料而言具有更好的可塑性，因此，利用液體制作理想的光學(xué)元件、光學(xué)表面以用于成像也是一種可行的方案.

國際上也有利用旋轉(zhuǎn)的液體表面作為天文望遠(yuǎn)鏡主反射鏡的先例，例如加拿大的大型天頂望遠(yuǎn)鏡(Large Zenith Telescope)就是一款口徑達(dá)到6 m的以旋轉(zhuǎn)的液態(tài)汞作為反射介質(zhì)的天文望遠(yuǎn)鏡[1].當(dāng)然，正如其名稱所言，由于旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的拋物面是由重力和離心力綜合作用而成，因此該望遠(yuǎn)鏡的主光軸與重力加速度方向重合，也就導(dǎo)致了它只能觀測天頂附近的區(qū)域.

本文主要介紹了利用簡單的實驗儀器測量旋轉(zhuǎn)液面的焦距與其轉(zhuǎn)速的關(guān)系，隨后利用液態(tài)金屬鎵作為反射介質(zhì)制成了一個簡易的望遠(yuǎn)鏡，同時我們利用在望遠(yuǎn)鏡前加裝折光反射鏡的方式大幅擴(kuò)大了望遠(yuǎn)鏡可以觀測的方向.

1 理論分析

考慮到液體容器口徑較大，我們忽略液體與容器邊緣接觸所產(chǎn)生的邊緣效應(yīng).一個理想的圓柱形容器繞自身軸旋轉(zhuǎn)，這個旋轉(zhuǎn)軸沿豎直方向.考慮對稱性，穩(wěn)定后液體各處也均繞這個軸旋轉(zhuǎn).

如圖1所示,設(shè)圓柱形容器半徑為R，穩(wěn)定狀態(tài)下液體轉(zhuǎn)動角速度為ω，當(dāng)?shù)刂亓铀俣葹間，那么，旋轉(zhuǎn)的液體表面是一個沿軸線旋轉(zhuǎn)對稱的曲面.我們不妨作一個過軸線的平面，軸線為z軸，豎直向上為正方向；水平方向設(shè)為r軸，r表示該點到圓柱軸線的距離.取旋轉(zhuǎn)曲面上一個小質(zhì)元dm進(jìn)行分析.

圖1 旋轉(zhuǎn)液面的受力分析

穩(wěn)定狀態(tài)下，質(zhì)元dm受到重力和垂直于表面該點的支持力dN.這個支持力與豎直方向的夾角設(shè)為θ，有

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考慮到我們建立的坐標(biāo)架，有

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從而

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從實際的物理情況可以知道，曲面最低點在z軸上，不妨設(shè)該點為原點(z=0,r=0)，從而有

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得到曲面的方程為

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這是一個旋轉(zhuǎn)拋物面.從拋物線的性質(zhì)以及費馬原理可以知道，焦點所在位置是

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平行光平行于這個旋轉(zhuǎn)拋物面的軸線入射，則反射光在該處匯聚.考慮到拋物面的頂點為其光學(xué)面的主點，而根據(jù)拋物面的解析式不難看出其頂點與零點重合，因此可以得出該光學(xué)系統(tǒng)的焦距為

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基于上述推導(dǎo)過程，我們就可以通過控制盛有液體的容器繞軸轉(zhuǎn)速來調(diào)整其焦距，并利用這一焦距可調(diào)的拋物面系統(tǒng)來進(jìn)行各種光學(xué)實驗探究.

2 實驗裝置及方法

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圖2 探究焦距與轉(zhuǎn)速關(guān)系的實驗裝置

采用轉(zhuǎn)臺帶動盛水容器轉(zhuǎn)動，將豎直入射的激光擴(kuò)束后照到盛水容器中，用一個豎直高度可調(diào)節(jié)的小光屏承接激光經(jīng)匯聚后所成的像，測量像距，由于從激光器出射的光可被視為平行光，因此經(jīng)過擴(kuò)束裝置后可被視為一個點源.所以該系統(tǒng)中的物距始終為擴(kuò)束裝置主點到拋物面頂點的距離，通過改變?nèi)萜鞯霓D(zhuǎn)速測量出不同轉(zhuǎn)速下的像距，根據(jù)高斯公式即可計算得到在不同轉(zhuǎn)速下拋物面的焦距.

利用相同的原理也可以制成一個反射式望遠(yuǎn)鏡，在這里我們采用的是牛頓焦點系統(tǒng)反射式望遠(yuǎn)鏡，傳統(tǒng)的牛頓焦點系統(tǒng)構(gòu)型[3]如圖3所示.

圖3 傳統(tǒng)牛頓焦點系統(tǒng)示意圖

我們將主反射鏡替換為轉(zhuǎn)軸與豎直方向重合的旋轉(zhuǎn)液面，此外，在鏡筒外我們添加了一個用來偏折光線的平面鏡將不同方向的入射光改變?yōu)樨Q直向下(沿系統(tǒng)主光軸方向)的光線.在實際操作上相對于探究焦距與轉(zhuǎn)速關(guān)系的裝置保持構(gòu)型基本不變，將光源和擴(kuò)束裝置改為偏折鏡，同時在光路中加裝一個牛頓式望遠(yuǎn)鏡的鏡筒(即去掉主鏡的支架)，入射光線經(jīng)過偏折鏡、主鏡和副鏡三次反射至成像鏡筒之外的牛頓焦點處，在實驗中，我們既可以利用肉眼直接通過望遠(yuǎn)鏡觀察遠(yuǎn)距離物體，也可通過手機(jī)等拍攝設(shè)備在牛頓焦點處得到物體的像.

在主反射鏡方面，考慮到需要遠(yuǎn)處物體的光強(qiáng)較弱，我們采用了液態(tài)金屬鎵這一反射率遠(yuǎn)高于水的液體.鎵的熔點約為30 ℃，在水浴熔化后將之導(dǎo)入旋轉(zhuǎn)容器，此外在表面鋪上一層透明的液體甘油防止鎵氧化，并利用電機(jī)驅(qū)動整個容器旋轉(zhuǎn)，同時利用轉(zhuǎn)速計實時顯示當(dāng)前容器的旋轉(zhuǎn)速度，簡單調(diào)節(jié)光路后即可觀察各種遠(yuǎn)處物體.

3 實驗結(jié)果及分析

在探究液面焦距與轉(zhuǎn)速關(guān)系的實驗中，我們將測得的焦距f與轉(zhuǎn)速平方的倒數(shù)ω-2進(jìn)行線性擬合，結(jié)果如圖4所示.

圖4 焦距f與轉(zhuǎn)速平方的倒數(shù)ω-2圖像

根據(jù)線性擬合的結(jié)果可以計算出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹?.818 m/s2,而北京地區(qū)的重力加速度約定值為9.802 m/s2,相對偏差不到千分之二，由此可見該方法的測量準(zhǔn)確度是很高的，這也從側(cè)面體現(xiàn)了前述理論的適用性.

在利用旋轉(zhuǎn)液面制作反射式望遠(yuǎn)鏡的實驗中，我們將通過望遠(yuǎn)鏡觀察的景象與通過手機(jī)直接放大拍攝的景象放在同一張圖中進(jìn)行對比，如圖5所示(左為利用望遠(yuǎn)鏡拍攝，右為利用手機(jī)直接放大拍攝).

圖5 望遠(yuǎn)鏡成像與手機(jī)直接拍攝的對比

由于系統(tǒng)仍存在抖動，且在轉(zhuǎn)速控制上受到現(xiàn)有裝置的限制，成像質(zhì)量與手機(jī)直接拍攝仍有一定差距，但我們?nèi)匀荒軌蛎鞔_地分辨出圖中的物體.

為了進(jìn)一步定量探究其放大效果與轉(zhuǎn)速的關(guān)系，我們保持望遠(yuǎn)鏡指向的物體不變，固定拍攝用的手機(jī)位置不動，通過調(diào)整容器的轉(zhuǎn)速，在每個轉(zhuǎn)速下重復(fù)拍攝三張照片，測量在不同轉(zhuǎn)速下相同景物上相同兩點間的像素距離并對三張照片取平均值，以此可以反推出當(dāng)前轉(zhuǎn)速下望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)的像放大率.

我們假設(shè)被攝物距為|s1|，望遠(yuǎn)鏡的主點到手機(jī)鏡頭光程為L，鏡頭到CMOS距離為d，每次拍攝時均為對焦清晰的狀態(tài)，那么利用成像公式和被攝物到主鏡的光程遠(yuǎn)大于L這一條件和式(7)，可以推導(dǎo)出橫向放大率為

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比例系數(shù)是一個無量綱常數(shù).改變ω并測出對應(yīng)的α,取x=ω2從而可以對有理函數(shù)：

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經(jīng)實驗測量出望遠(yuǎn)鏡的(相對)橫向放大率與轉(zhuǎn)速的關(guān)系，在不同轉(zhuǎn)速下拍攝的圖像如圖6所示.

圖6 不同轉(zhuǎn)速下同一目標(biāo)的像(從左至右轉(zhuǎn)速逐漸減小)

從上圖不難看出隨著轉(zhuǎn)速減小，主鏡焦距[4]增加，放大率增加的趨勢.

圖7 (相對)橫向放大率與ω2有理函數(shù)擬合

與此同時，我們粗略測量了望遠(yuǎn)鏡主點到手機(jī)拍攝點的距離[由于手機(jī)很薄，因此該距離可被看作式(9)中的L]約為1 m.擬合結(jié)果中有q2=-4.957,取g=9.801 m/s2，計算得L=0.98 m，與測量值接近.

4 對于像質(zhì)的討論

在本實驗中，最終成像的像質(zhì)受到諸多因素的影響，其不完美性體現(xiàn)在兩部分：一部分是理想拋物面(也就是鏡面誤差在波長量級的理想狀態(tài)，可以忽略鏡面本身的誤差)帶來的像差，另一部分是產(chǎn)生的反射面本身與理想拋物面之間還存在一定差距，這也就是鏡面誤差，拋物面誤差和鏡面誤差共同組成了該系統(tǒng)的像差.考慮到旋轉(zhuǎn)液面的形成機(jī)理，鏡面誤差的成因可以歸因到某類外界的力的擾動.

由于系統(tǒng)采用反射式拋物面，因此原理上不存在球差和色差.同時，觀察圖5中左右兩張圖不難看出，左圖相對右圖而言中心部分更加清晰而周邊的部分沒有那么清晰，這是很明顯的場曲.當(dāng)然，如此嚴(yán)重的場曲不完全是因為拋物面引起的，鏡面誤差在其中也扮演著很重要的角色.至于彗差、像散、畸變這三種像差，在當(dāng)前的實驗條件下其它的干擾因素已經(jīng)將它們掩蓋，無法直接從拍攝樣張中看出，在未來提升了硬件水平后會有更直觀的體現(xiàn)以及更詳細(xì)的分析.

而鏡面誤差是本系統(tǒng)中影響成像質(zhì)量的主要因素，在干擾來源方面，它主要是由系統(tǒng)中的高頻振動導(dǎo)致的液面抖動以及轉(zhuǎn)速的不穩(wěn)定性構(gòu)成.電機(jī)的轉(zhuǎn)動、外界風(fēng)的擾動等都會導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生頻率較高但振幅不大的振動，這體現(xiàn)在反射面上就是表面會以拋物面為基準(zhǔn)進(jìn)行小幅的漲落.在圖5的下半部分，由于圖像較亮，因此很容易看出這并不是一個非常清晰的像，而是有一定波紋擾動的效果，這正是這種抖動的體現(xiàn).同時，該抖動不但會影響成像結(jié)果，而且會影響整體的對焦，對焦質(zhì)量則直接影響著最終的成像水平；除此之外，轉(zhuǎn)速的不穩(wěn)定(這里的“不穩(wěn)定”指的是容器轉(zhuǎn)速存在幅度比抖動更大，但頻率很低的緩慢變化)也會使得焦點位置上下飄動，從而對最終成像的結(jié)果造成干擾.

5 小結(jié)與展望

1) 利用旋轉(zhuǎn)的容器創(chuàng)造了一個可以用來聚光的液體拋物面，探究了焦距與轉(zhuǎn)速的關(guān)系，并利用此原理較準(zhǔn)確地測量了當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?

2) 采用旋轉(zhuǎn)的液態(tài)金屬鎵作為牛頓焦點系統(tǒng)的主反射鏡制成了一臺簡易望遠(yuǎn)鏡，同時利用偏折平面鏡擴(kuò)大了望遠(yuǎn)鏡可觀察的角度范圍，解決了旋轉(zhuǎn)液面望遠(yuǎn)鏡只能觀察天頂?shù)膯栴}.

3) 測量了旋轉(zhuǎn)液面望遠(yuǎn)鏡的像放大率與轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系，并與理論的推導(dǎo)進(jìn)行了對照，在數(shù)據(jù)走勢上與理論推導(dǎo)高度一致，分析了數(shù)值上與理論的偏差.

4) 分析了旋轉(zhuǎn)液面望遠(yuǎn)鏡成像像質(zhì)的影響因素，分析了該望遠(yuǎn)鏡存在的像差，明確了未來的改進(jìn)方向.

從對像質(zhì)的討論中不難看出，外界的高頻振動以及電機(jī)轉(zhuǎn)速不穩(wěn)定是該系統(tǒng)現(xiàn)階段的主要問題，經(jīng)過調(diào)研后，未來我們將采用空氣軸承作為轉(zhuǎn)臺與外部的連接裝置，它能夠有效地減弱外界抖動向容器的傳遞，同時將改用轉(zhuǎn)速更為穩(wěn)定的電機(jī)如步進(jìn)電機(jī)等，相信一系列改進(jìn)后，整個裝置的成像質(zhì)量將有更大的提升.

致謝：感謝北京師范大學(xué)物理實驗教學(xué)中心提供的器材支持、物理學(xué)系的白在橋老師與王愛記老師對本實驗的支持，以及天文系張文昭老師提供的實驗場地和部分實驗設(shè)備.