張 蕾 黃美發(fā) 陳 琳 楊瑞兆

(①玉林師范學(xué)院物理與電子信息學(xué)院,廣西 玉林 537000；②桂林電子科技大學(xué)機電工程學(xué)院,廣西 桂林 541004；③廣西大學(xué)機械工程學(xué)院,廣西 南寧 530004)

在加工過程中，數(shù)控機床的總誤差主要由幾何誤差、力誤差和熱誤差等組成，而因發(fā)熱造成的機床加工熱誤差可高達70%左右[1]。經(jīng)過專家學(xué)者多年的研究，先后建立了多種機床熱誤差模型，比如支持向量機(SVM)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、有限元模型、最小二乘支持向量機等[2-5]。其中最小二乘支持向量機模型在預(yù)測非線性小樣本的回歸問題上有較高的精度，如林偉青、傅建中等建立的最小二乘支持向量機熱變形補償模型[6]，可實時反饋新數(shù)據(jù)以調(diào)整模型，有效減小了熱誤差對精度的影響。張宏韜、楊建國等[7]將模糊邏輯算法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合，構(gòu)建模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)熱變形補償模型，經(jīng)實驗對比，具有較高的預(yù)測精度，但對模型的泛化性研究較少。

而高斯過程回歸(GPR)是近幾年研究出來的一種機器學(xué)習(xí)回歸方法[8-9]，其主要基于貝葉斯框架下的統(tǒng)計學(xué)理論基礎(chǔ)，在求解非線性、小樣本和高維度等回歸問題中有較強的泛化能力，且適應(yīng)性良好。為研究高斯過程回歸在數(shù)控機床熱誤差建模中的應(yīng)用，結(jié)合粒子群算法(PSO)，建立PSO-GPR熱誤差模型，即在GPR模型的迭代訓(xùn)練時，利用粒子群算法在全局范圍內(nèi)對其搜索最優(yōu)超參數(shù)。與未經(jīng)優(yōu)化的GPR模型比較，PSO-GPR模型對熱誤差的預(yù)測精度更高。

1 基于PSO優(yōu)化參數(shù)的GPR算法

1.1 高斯過程回歸

GPR是一種基于貝葉斯理論和統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論相結(jié)合的非參數(shù)模型，其定義主要由輸入X處的均值函數(shù)m和協(xié)方差函數(shù)k[10]。假定機床溫度輸入與主軸產(chǎn)生的熱誤差作為輸出之間的關(guān)系f為高斯過程，則f～GP(m,k)。

對于訓(xùn)練集D={(Xi,yi)|i=1,2,...,n}，其中Xi和yi分別表示第i個輸入向量和目標輸出。構(gòu)建回歸模型：

y=f(X)+ε

(1)

對于輸入向量X={X1,X2,...,Xn}，假設(shè)f(Xi)服從高斯分布，則f(X)服從多元高斯分布：

f(X)～N(m(X),K)

(2)

式中：m(X)為均值向量，K為協(xié)方差矩陣。

(3)

通常通過數(shù)據(jù)預(yù)處理使均值函數(shù)m(X)=0：

(4)

f*～N(0,K*)

(5)

訓(xùn)練集D的輸出值y與預(yù)測集P的輸出f*服從多元聯(lián)合高斯分布，則聯(lián)合先驗分布為：

(6)

式中：K*=[k(x*,x1),…,k(x*,xn)]，K**=k(x*,x*)。

根據(jù)多元高斯分布的條件分布形式，可得f*的后驗證分布為：

f*|X,y,X*～N(m(f*),cov(f*))

(7)

(8)

(9)

經(jīng)過多個核函數(shù)對比尋優(yōu)，這里選擇平方指數(shù)協(xié)方差函數(shù)即：

(10)

高斯過程回歸使用了貝葉斯技巧，得到的模型屬于非參數(shù)概率模型。在數(shù)控機床熱誤差補償問題中，GPR可理解為在每個測量的熱變形的點上進行收束，在點與點的間隔中進行一定概率的擴散，這使得GPR可以在熱誤差回歸問題中具有較好的適應(yīng)性和泛化性。

1.2 PSO-GPR模型

在高斯過程回歸訓(xùn)練過程中，通過粒子群優(yōu)化算法，對GPR的超參數(shù)在訓(xùn)練數(shù)據(jù)的全局范圍內(nèi)進行尋找最優(yōu)解，從而使PSO-GPR熱誤差模型的均方誤差MSE達到最低，PSO優(yōu)化超參數(shù)步驟如圖1所示。在此需要隨機生成包括粒子群規(guī)模、慣性權(quán)重、超參數(shù)搜索區(qū)間、最大迭代步數(shù)和超參數(shù)等的GPR模型初始化粒子群初始參數(shù)值。其中訓(xùn)練樣本為數(shù)控機床熱誤差測量實驗中所測得的溫度變化量和熱誤差變化量。

2 機床主軸熱誤差測量與建模

2.1 機床主軸熱誤差測量實驗

以某型號數(shù)控車床為研究對象，首先通過對數(shù)控車床進行熱分析，并將10各關(guān)鍵測溫點分別布置在車床主軸、電機和變速箱等位置，具體測溫點布置如表1所示。將測量的溫度數(shù)據(jù)，利用聚類的方法[12]優(yōu)化測溫點，并以測溫點4、7、10的溫度變化量θ4、θ7、θ10作為熱誤差建模的3個輸入量。

表1 溫度傳感器布置

實驗采用電渦流位移傳感器對主軸Z方向和X方向進行熱變形采集，其分辨率為0.01 μm。因車床主軸徑向和軸向的熱變形補償原理相同，在此只取主軸軸向Z方向的熱變形進行研究。設(shè)置電渦流位移傳感器如圖2所示。

表2 數(shù)控車床的工況

測量采集表2所示的5種工況溫度與熱誤差變形量數(shù)據(jù)，其中工況一、二、三均以不同的主軸轉(zhuǎn)速由車床冷態(tài)空載恒速運行2 h達到車床熱平衡；工況四為車床冷態(tài)以主軸500 r/min運轉(zhuǎn)1 h后，切換1 000 r/min運轉(zhuǎn)1 h到車床熱平衡；同樣，工況五則是從800 r/min轉(zhuǎn)速運行1 h再以1 500 r/min轉(zhuǎn)速運行1 h達到熱平衡。系統(tǒng)采集熱誤差和溫度值的時間間隔為2 min，經(jīng)數(shù)據(jù)處理得，5種工況的溫度及熱變形量如圖3、圖4所示。

2.2 PSO-GPR熱誤差建模結(jié)果的分析與比較

為研究PSO-GPR熱誤差模型的預(yù)測精度，以工況三測量值作為模型訓(xùn)練數(shù)據(jù)，其中測量的溫度變化量為模型的輸入，軸向熱變形量為模型的輸出，通過粒子群優(yōu)化算法對高斯過程回歸的超參數(shù)迭代搜索最優(yōu)值。訓(xùn)練數(shù)據(jù)均分為5個集合，并相互進行交叉驗證，以防止模型發(fā)生過擬合。

以未經(jīng)優(yōu)化的GPR模型作對比，兩個模型的熱誤差預(yù)測結(jié)果及其殘差如圖5、6所示，PSO-GPR熱誤差模型與實際測得的熱誤差值十分貼合，其最大殘差為0.49 μm，均方根誤差RMSE為0.11 μm。而未經(jīng)優(yōu)化的GPR熱誤差模型預(yù)測最大殘差為8.08 μm，均方根誤差RMSE為3.68 μm?？梢奝SO-GPR熱誤差模型預(yù)測精度更高。

2.3 數(shù)據(jù)增強的PSO-GPR熱誤差模型泛化性研究

在實際加工中，數(shù)控機床要在多種不同的工況下進行切換作業(yè)，所以熱誤差補償模型就需要保證能在多種工況和條件下進行有效地?zé)嵴`差補償，而這與模型的泛化性能息息相關(guān)。在機器學(xué)習(xí)領(lǐng)域，回歸模型泛化性能的提高，除了對回歸模型自身進行參數(shù)和結(jié)構(gòu)的優(yōu)化外，訓(xùn)練數(shù)據(jù)增強即數(shù)據(jù)特征的擴展和補充也是其提高泛化性的重要途徑。

針對GPR自身計算量較大而要求訓(xùn)練樣本量不能過多的特點，為了能使訓(xùn)練后的PSO-GPR模型不僅可以充分反映溫升與熱變形的關(guān)系，又要對機床其他工況下的數(shù)據(jù)特征進行學(xué)習(xí)，所以建模時的訓(xùn)練數(shù)據(jù)需對其他部分工況的數(shù)據(jù)進行一定的補充增強，以提高模型泛化性能。

將工況四、工況五作為驗證數(shù)據(jù)，分別對以工況一、工況二和工況三為訓(xùn)練數(shù)據(jù)的PSO-GPR和僅以工況三為訓(xùn)練數(shù)據(jù)的PSO-GPR熱誤差模型進行預(yù)測。測試結(jié)果如圖7～10所示。需要說明的是，若僅以工況一或工況二作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，訓(xùn)練的熱誤差模型會出現(xiàn)過擬合的情況，即無法對工況四、工況五進行預(yù)測，導(dǎo)致此結(jié)果的原因是工況一和工況二的最大熱平衡誤差值并不是全局的最大熱平衡誤差值，訓(xùn)練出來的模型并不能預(yù)測更高溫度工況的熱誤差數(shù)據(jù)。

從驗證結(jié)果可知，以工況一、工況二和工況三為訓(xùn)練數(shù)據(jù)的PSO-GPR熱誤差補償模型預(yù)測結(jié)果更貼合工況四、工況五的真實數(shù)據(jù)，比以單一工況作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)PSO-GPR模型具有更好的泛化能力，最大殘差分別下降了35%和33.7%。具體模型泛化性對比如表3所示。

表3 兩種模型的泛化性對比

3 結(jié)語

以某種通用的數(shù)控車床進行熱誤差補償研究，通過實驗采集5種工況下的溫度與熱變形量，并以粒子群算法優(yōu)化的高斯過程回歸熱誤差模型進行熱變形量補償，經(jīng)實驗對比，得到如下結(jié)論：

(1)基于統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論的高斯過程回歸以其高維數(shù)、小樣本、模型參數(shù)少等特點可以對數(shù)控機床熱誤差補償問題進行有效地預(yù)測，且經(jīng)過粒子群優(yōu)化參數(shù)的GPR熱誤差模型預(yù)測精度更高，訓(xùn)練數(shù)據(jù)預(yù)測最大殘差從8.08 μm下降到0.49 μm。

(2)單樣本的模型還未能充分反映其他條件下(環(huán)境溫度、工況等)的熱誤差變化，此時可通過模型自身參數(shù)尋優(yōu)和更多數(shù)據(jù)樣本的特征學(xué)習(xí)來增強熱誤差模型的泛化能力。經(jīng)過數(shù)據(jù)增強的PSO-GPR模型學(xué)習(xí)了3個工況的數(shù)據(jù)特征后，在以工況四、工況五的數(shù)據(jù)驗證下，比工況三的PSO-GPR模型的預(yù)測精度更高，泛化能力更好，最大殘差分別下降了35%和33.7%。