羅立成，李恒毅，柯滿竹，劉正猷

（武漢大學物理科學與技術學院，武漢430072）

0 引言

物理學中，渦旋光束及其所攜帶的軌道角動量（Orbital Angular Momentum，OAM）是聲光等領域的重要研究課題。1989年，COULLET P 等受到流體動力學渦旋束的啟發(fā)，發(fā)現(xiàn)了麥克斯韋-布洛赫方程的一個解，并提出了渦旋光束的概念［1］。1992年，ALLEN L 等提出了近軸傳播渦旋光束中的軌道角動量概念，揭示了宏觀光學和微觀量子效應之間的關系［2］。正是OAM 所具有的高保密性、高信息密度的特性，使得其越來越受到人們的關注并被研究，例如利用攜帶OAM 的渦旋光束實現(xiàn)的顯微觀察［3］、超衍射極限成像［4］、信息的編解碼［5-7］以及光通信［8-9］等。在聲學領域中渦旋束也受到了廣泛關注［10］，例如進行粒子操控［11-12］以及進行信息傳遞。盡管現(xiàn)在利用電磁波、光等手段進行信息傳輸更為常見，但是在海洋通訊等水下領域，電磁波和光等通訊手段由于傳播過程中衰減較快，很難進行遠距離的信息傳輸。由于在水中聲波衰減相對較慢，聲通訊在水下得到了廣泛的應用。而聲波作為壓力波，不存在電磁波中的自旋、偏振等物理特性，因而無法基于這些特性拓展信道容量。角動量作為獨立于時域和頻域的新自由度，攜帶角動量的渦旋束有望在聲通訊中使聲波在同一頻率下傳遞更多信息，提高信息傳遞速率，因此對角動量的調(diào)節(jié)在利用其進行信息編解碼的過程中有應用價值。2017年，張翔教授課題組便演示了使用具有8 個不同拓撲荷的聲渦旋場對英文字符進行編碼與解碼的過程［6］；2018年，程建春教授團隊則進一步利用聲波的角動量實現(xiàn)了多路復用的實時信號傳輸［13］。貝塞爾束具有能量高局域、非衍射的特點，在任意截面上，貝塞爾束可以用Jl(μr)eilθeiκz來描述，l代表貝塞爾束的階數(shù)，對于l階貝塞爾束，繞其光軸一周的相位變化為2πl(wèi)，θ為方位角，非零階的貝塞爾束攜帶有OAM。由于加工工藝的限制，單個點源的尺寸無法做到太小，因而得到的渦旋束也有最小尺寸限制。第二種產(chǎn)生渦旋束的方法是利用亥姆霍茲共振腔［15］，這種方法的不足在于，共振腔的截面積與長度都必須達到半波長，例如在空氣中使用1 kHz 的聲波來激發(fā)渦旋束時，裝置的長度需達到17.15 cm。第三種方法是通過聲人工結(jié)構(gòu)產(chǎn)生對應波束［16-20］，這種方法便于根據(jù)目標調(diào)節(jié)結(jié)構(gòu)參數(shù)，同時對激發(fā)源的要求也相對較低，因而得到了越來越多的關注。

本文基于第三種方法，設計了一個具有鏤空阿基米德螺旋柵的金屬板，理論推導了平面波與非零階貝塞爾束入射到該人工結(jié)構(gòu)板后出射場的聲場分布，以及將入射波頻率提升至人工結(jié)構(gòu)板對應基頻倍數(shù)后的效果。

1 理論模型

1.1 平面波入射理論的推導

當平面波入射到鏤空螺旋柵的時候，螺旋柵上每一點都可以看作是次級點源，如圖1 中螺旋柵上的一點r(r，φ)。由平面波的表達式p=p0exp(ikz z)可以得到，點r對觀測點R(R，θ)的聲場貢獻為［21］

圖1 阿基米德螺旋柵示意圖Fig.1 Scheme of Archimedean spiral grating

式中，exp(ikz z)是沿z方向的傳播因子，基頻下波長等于a，同一螺旋線上相鄰兩環(huán)在徑向?qū)獌牲c的距離為la；l是螺旋柵的階數(shù)，基頻下l=1；φ表示方位角，點r處由入射波激發(fā)出沿徑向的一級衍射波，對應波數(shù)為，r與φ的關系為，其中，r0為常數(shù)，表示螺旋柵的初始半徑。

根據(jù)惠更斯原理，中心區(qū)域所獲得的聲場，可以看作是所有次級點源貢獻的疊加。當滿足R?r條件時有|ReR?rer| ≈r，且eR·er=cos(θ?φ)，由此在觀測點R(R，θ)的聲場分布為

根據(jù)以上推導，用平面波入射，得到的聲場具有l(wèi)階貝塞爾束的形式，因此螺旋柵上相鄰兩環(huán)在徑向?qū)獌牲c間的距離與入射波波長的比值，即為所得貝塞爾束的階數(shù)。這提供了兩種進一步提高出射波階數(shù)的辦法，一種是升高頻率至基頻的倍數(shù)；另一種方法是加大螺旋柵相鄰兩環(huán)間距至原波長的倍數(shù)，這種方法需要改變原有結(jié)構(gòu)。

1.2 貝塞爾束入射

將入射波由平面波改為階數(shù)為n的貝塞爾束，其徑向波數(shù)為μ，z方向波數(shù)為κ，這兩個方向的波數(shù)滿足k2=μ2+κ2。入射波具有p=p0Jn(μr) exp(inφ)exp(iκz)的形式，且鏤空阿基米德螺旋柵平行于x-y平面。因此，入射波在r點產(chǎn)生的場強為p0Jn(μr) exp(inφ)exp(iκz)。點r對觀測點R的聲場貢獻為

類似地，在觀測點R(R，θ)的聲場分布為

由分部積分法和貝塞爾束積分公式

在上述的推導過程中，使用了兩次近似：第一次是R?r，即觀察的場點的徑向距離遠小于源點，對應到結(jié)構(gòu)參數(shù)上表現(xiàn)為，在獲得的貝塞爾束階數(shù)足夠高的情況下，r0也要足夠大；另一次是μ?kr，即入射貝塞爾束的徑向波數(shù)要足夠小，才能在表面產(chǎn)生線性疊加。

2 數(shù)值模擬

本文中，利用有限元仿真軟件Comsol Multiphysics 中的壓力聲學、固體力學模塊進行模擬計算。模型如圖2所示，上下藍色部分為水，使用壓力聲學模型計算，中間黃色的部分為刻有順時針阿基米德螺旋柵的金屬板，使用固體力學中的線彈性材料計算，水層外側(cè)以輻射邊界包裹，結(jié)構(gòu)板邊緣為低反射邊界，網(wǎng)格最大單元大小為對應頻率下波長的三分之一。從順時針螺旋柵一側(cè)入射稱為正向入射。板厚度為0.5 mm，半徑r=12 mm，螺旋柵起始半徑r0=4.5 mm，鏤空部分w=0.5 mm，相鄰格柵間距a=1.5 mm，水的密度ρ=1 000 kg/m3，聲速c=1 500 m/s，當入射波的頻率f=1 MHz 時，波長λ=a=1.5 mm，此時在板表面生成1 階貝塞爾束。

圖2 數(shù)值模擬中的模型Fig.2 Scheme of the model in numerical simulation

圖3（a），（d）是工作頻率對應結(jié)構(gòu)的基頻頻率f=1 MHz 下，平面波從正（順時針，（a））反（逆時針，（d））兩向入射到阿基米德螺旋柵的出射波聲壓及相位分布，結(jié)果如預期一樣，正向入射到螺旋柵后得到了+1 階貝塞爾束，反向入射到螺旋柵后則得到?1 階貝塞爾束。這驗證了在1.1 中的理論推導。同時，利用+1 階貝塞爾束從正反兩向入射（如圖3（b），（e）），分別得到了+2 階（1+1）、0 階貝塞爾束（1?1）；?1 階貝塞爾束入射（如圖3（c），（f）），則分別得到0 階（?1+1）、?2 階貝塞爾束（?1?1）。這驗證了1.2 中貝塞爾束入射情況的理論推導：在滿足相應的近似條件的情況下，出射波是入射波與板結(jié)構(gòu)導致的聲場的線性疊加。

圖3 頻率f=1 MHz 下，不同入射波的出射波聲場分布Fig.3 Numerical pressure and phase distribution of output wave for different incident wave at the frequency f=1 MHz

同時，為了顯示對高階入射聲束的調(diào)控，數(shù)值模擬了不同階數(shù)貝塞爾束從正（順時針）向入射至螺旋柵結(jié)構(gòu)板后的出射波聲場分布（上排為聲壓分布，下排為相位分布）。如圖4（a）～（c）是?8、?6、?4 階貝塞爾束入射后被結(jié)構(gòu)板調(diào)控的出射波為?7、?5 和?3 階貝塞爾束；圖4（d）～（f）展示的是+3、+5、+7 階貝塞爾束入射后被調(diào)控的出射波為+4、+6 和+8 階貝塞爾束，這說明1.2 中的理論也適用于高階貝塞爾束。另外，從出射聲場的聲壓分布可看出，除了零階貝塞爾束不存在中央場強為零的區(qū)域，貝塞爾束階數(shù)越高，中心區(qū)域場強為零的區(qū)域?qū)挾仍酱?；這為利用聲場進一步操控粒子等提供了參考。需要說明的是，由于模擬過程中螺旋柵尺寸有限，不同手性的出射波內(nèi)環(huán)聲壓能量會聚集在不同位置，提高螺旋柵的環(huán)數(shù)或初始半徑可提高內(nèi)環(huán)聲壓分布的均勻性。

上述提到，改變結(jié)構(gòu)參數(shù)或工作頻率可靈活調(diào)控入射波的階數(shù)，比如兩倍甚至高倍的改變相位。首先改變?nèi)肷洳ǖ墓ぷ黝l率來展示其調(diào)控效果。如圖5（a）和圖5（d）所示，將入射波頻率提升至基頻的兩倍，即f=2 MHz，此時用平面波從正（反）向入射到螺旋柵，如期得到了+（?）2 階貝塞爾束，即出射聲束階數(shù)兩倍的增加或降低。圖5（b）和圖5（c）也展示了兩個非零階貝塞爾束入射后的調(diào)控效果：+1 階貝塞爾束從正向入射到螺旋柵會得到+3 階貝塞爾束，反向入射會得到?1 階貝塞爾束；?1 階貝塞爾束從正向入射到螺旋柵會得到+1 階貝塞爾束，反向入射則會得到?3 階貝塞爾束。然后，將螺旋柵柵格間距調(diào)整為原來的兩倍，即a=3 mm，并用平面波從正（反）向入射，如圖6（a）與圖6（b）所示，也同樣得到了+（?）2 階貝塞爾束。上述結(jié)果表明，在不改變?nèi)肷湄惾麪柺A數(shù)的情況下，可以通過提高入射波頻率至人工結(jié)構(gòu)板基頻的倍數(shù)或?qū)⒏駯砰g距增加至基頻下波長倍數(shù)來得到高倍數(shù)的相位階數(shù)調(diào)控效果，進而實現(xiàn)對貝塞爾束階數(shù)更靈活的調(diào)控。

圖5 頻率f=2 MHz 下，不同入射波的出射波聲場分布Fig.5 Numerical pressure and phase distribution of output wave for different incident wave at the frequency f=2 MHz

圖6 頻率f=1 MHz 下，平面波波入射到格柵間距為a=3 mm 的鏤空螺旋柵后的出射波聲場分布Fig.6 Numerical pressure and phase distribution of output wave for incident plane wave which travel through the hollow spiral grating with a=3 mm at the frequency f=1 MHz

3 結(jié)論

基于惠更斯原理推導了平面聲波及聲貝塞爾束入射到具有鏤空阿基米德螺旋柵的金屬板后的聲場分布。結(jié)果表明，從正反兩向入射到具有合適參數(shù)的鏤空螺旋柵，平面波的出射波分別為具有相反拓撲階數(shù)的貝塞爾束；貝塞爾束入射后調(diào)制的出射波分別為升階或降階的貝塞爾束。進一步，通過提高入射波頻率至基頻的倍數(shù)或?qū)⒏駯砰g距增高至基頻波長的倍數(shù)，可獲得對入射波更高倍數(shù)相位的調(diào)控能力。這些結(jié)果通過數(shù)值模擬得到了驗證。鏤空螺旋柵結(jié)構(gòu)板所具有的這些特性使得它可以調(diào)節(jié)聲波的拓撲階數(shù)，在利用角動量進行信息傳輸以及編解碼上具有應用前景。