岳睿媛，蘇彬，朱新平，曹哲

（1.中國(guó)民用航空飛行學(xué)院 計(jì)算機(jī)學(xué)院，廣漢 618307）

（2.中國(guó)民用航空飛行學(xué)院 科研處，廣漢 618307）

（3.中國(guó)民用航空飛行學(xué)院空中交通管理學(xué)院，廣漢 618307）

0 引 言

關(guān)于航路碰撞風(fēng)險(xiǎn)模型的研究，國(guó)外研究者提出了經(jīng)典的Reich 模型針對(duì)平行航路的側(cè)向、縱向和垂直方向的碰撞風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估。2003 年，英國(guó)Grandfield 大 學(xué) 的P. Brooker提 出 了 建 立 在 事 件基礎(chǔ)上的“Post-Reich”模型即Event 模型，用此模型評(píng)估了Event 側(cè)向碰撞風(fēng)險(xiǎn)模型；2006 年，P.Brooker對(duì)縱向的碰撞風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行了研究；2016 年，T. Brewer-Dougherty 等在Reich 模 型 的 基 礎(chǔ) 上建立了一種基于導(dǎo)航性能提高的航路碰撞風(fēng)險(xiǎn)模型；2018 年，K.Kim 等對(duì)Event 模型進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)相比于Reich 模型，在實(shí)際應(yīng)用方面，Event 模型的包容性相對(duì)更強(qiáng)，在疊加復(fù)雜影響因素的航路中應(yīng)用優(yōu)勢(shì)也較為顯著，而且數(shù)據(jù)具有較強(qiáng)的客觀性。在國(guó)內(nèi)的研究中，2008 年，徐肖豪等提出了利用圓柱體碰撞模板代替?zhèn)鹘y(tǒng)的長(zhǎng)方體碰撞模板對(duì)航路的側(cè)向碰撞風(fēng)險(xiǎn)概率進(jìn)行評(píng)估與計(jì)算；2010 年，俞文軍等利用球形碰撞模板代替了長(zhǎng)方體碰撞模板在交叉航路飛行間隔安全中進(jìn)行了評(píng)估與研究；2012 年，曲玉玲借助于概率論理論，建立了基于給定到達(dá)時(shí)間間隔的同航路同高度同向飛行的碰撞風(fēng)險(xiǎn)模型；2013 年，呂宗平等基于事故樹(shù)分析的方法對(duì)配對(duì)航空器的進(jìn)近風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行了分析，并通過(guò)Matlab 軟件對(duì)模型進(jìn)行計(jì)算，得到了航空器的縱向碰撞風(fēng)險(xiǎn)隨相關(guān)參數(shù)的變化曲線；2015 年，曹興武等利用橢球體碰撞盒對(duì)交叉航路的碰撞風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行了評(píng)估；2017 年，王健等綜合考慮兩架航空器在配對(duì)過(guò)程中的時(shí)間與導(dǎo)航誤差等因素，建立了兩架航空器的縱向碰撞風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估模型與運(yùn)動(dòng)方程，并利用Matlab 計(jì)算模型得到了隨相關(guān)參數(shù)變化的縱向碰撞風(fēng)險(xiǎn)變化曲線；2019年，楊碩利用圓柱體與長(zhǎng)方體的組合碰撞模板對(duì)大型無(wú)人機(jī)碰撞模型建模方法進(jìn)行了研究；2021 年，謝春生等綜合考慮了航空器偏航與尾流的影響，對(duì)各階段航空器的縱向間隔進(jìn)行計(jì)算，建立了配對(duì)進(jìn)近縱向的碰撞風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估模型。但原Event 模型所利用的碰撞盒都不能形象地體現(xiàn)航空器在空間分布上的速度矢量變化，當(dāng)相鄰高度層上的2 架航空器有接近的趨勢(shì)時(shí)，考慮到航空器在高度層上飛行時(shí)，速度矢量變化在空間分布上主要體現(xiàn)在縱向，在垂直方向上的變化較小。

為了模擬航空器在空間分布上的速度矢量變化，從而計(jì)算航空器的碰撞風(fēng)險(xiǎn)，本文提出改進(jìn)Event 模型的航路飛行過(guò)程垂直碰撞風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估方法。用兩個(gè)拼接的橢圓錐體碰撞盒代替原Event模型中的長(zhǎng)方體碰撞盒，并計(jì)算改進(jìn)前后碰撞盒的面積大小比例，從而推導(dǎo)出改進(jìn)后的模型的碰撞風(fēng)險(xiǎn)；將相鄰高度層的客機(jī)A220 與客機(jī)A310作為算例，利用設(shè)計(jì)的軟件對(duì)兩架航空器在垂直方向的碰撞風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行計(jì)算，驗(yàn)證使用兩個(gè)拼接的橢圓錐體碰撞盒代替原Event 模型中的碰撞盒的方法的可行性。

1 改進(jìn)的Event 模型碰撞風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估方法

針對(duì)相鄰的兩個(gè)航路點(diǎn)之間航段飛行過(guò)程，研究航段上相鄰的兩個(gè)高度層上的航空器垂直碰撞風(fēng)險(xiǎn)。具體場(chǎng)景如圖1 所示，重點(diǎn)考慮航段12、航段23、航段13 上相鄰高度層的兩架航空器。例如航段12 上的航空器A 與航空器B。

圖1 交錯(cuò)的航路Fig.1 Staggered airways

考慮到航空器在高度層上飛行時(shí)，速度矢量變化在空間分布上主要體現(xiàn)在縱向，在垂直方向上的變化較小。因此，建立以航空器A 為中心的兩個(gè)拼接的橢圓錐體碰撞盒，如圖2 所示，其中為單個(gè)橢圓錐體的高（即航空器的機(jī)身長(zhǎng)），為單個(gè)橢圓錐體的長(zhǎng)半徑（即航空器的翼展長(zhǎng)），為橢圓錐體的短半徑（即大于航空器機(jī)身中心到垂尾頂部的高度，且在垂尾處取值為航空器機(jī)身中心到垂尾頂部距離）。

圖2 橢圓錐體碰撞模板Fig.2 Elliptical cone collision template

改進(jìn)模型假設(shè)：

（1）假設(shè)只研究交錯(cuò)航路中的12 航段中的兩架航空器A 與航空器B；

（2）在航段12 中各個(gè)方向上兩架航空器的誤差是相互獨(dú)立的；

（3）兩架航空器是以反向的同標(biāo)稱速度飛行的；

（4）兩架航空器的飛行航跡是直線。

為了能夠?qū)⒑娇掌髟谌我鈺r(shí)刻的距離表示出來(lái)，并且更加直觀地呈現(xiàn)出推導(dǎo)過(guò)程，本文建立直角坐標(biāo)系。在同航路的相鄰高度層上有航空器A與航空器B，以航空器B 作為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，軸為縱向，側(cè)向?yàn)檩S，軸是垂直于平面建立的坐標(biāo)軸，將軸和軸確定的平面確定為高度層。當(dāng)存在誤差因素導(dǎo)致航空器A 穿越航空器B 的高度層時(shí)，碰撞盒A 就有可能脫離自身高度層而到航空器B 所在的高度層，從而發(fā)生垂直和側(cè)向的位置偏移。同時(shí)如果航空器B 正好在碰撞盒A穿越要經(jīng)過(guò)的位置，兩航空器即發(fā)生碰撞。改進(jìn)的Event 模型如圖3 所示。

圖3 碰撞盒穿越高度層Fig.3 Crash box traversal level

2 碰撞風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算

由于碰撞盒的尺寸和大小與航空器B 位于碰撞盒內(nèi)的概率必然存在著直接的聯(lián)系，且此概率與兩個(gè)拼接的橢圓錐體碰撞盒的面積呈正比關(guān)系。因此在計(jì)算改進(jìn)后兩個(gè)拼接的橢圓錐體Event 模型的碰撞概率時(shí)只需將改進(jìn)前后的碰撞盒投影在高度層上的面積大小比例關(guān)系與原長(zhǎng)方體Event 模型的碰撞風(fēng)險(xiǎn)值相乘即可。

建立兩個(gè)拼接橢圓錐體的擴(kuò)展碰撞盒如下圖4 所示，其中為距離線段最近但不相交線段，同樣為距離線段最近但不相交的線段。則兩個(gè)拼接橢圓錐體碰撞盒的穿越面積為圖4 中的面積，而原長(zhǎng)方體模型的碰撞盒則為圖4 中的面積。

圖4 航路的擴(kuò)展碰撞盒Fig.4 Extended collision box

假定碰撞盒A 在穿越高度層時(shí)在圖4 中的點(diǎn)，穿出高度層則在圖4 中的點(diǎn)。根據(jù)文獻(xiàn)［2］，若碰撞盒垂直穿越航空器B 的高度層的時(shí)候，航空器B 恰好位于所在的碰撞風(fēng)險(xiǎn)區(qū)中，則證明兩航空器發(fā)生了碰撞。需要將改進(jìn)后碰撞盒在高度層上的投影面積大小占整個(gè)長(zhǎng)方體碰撞盒的比例通過(guò)圖形進(jìn)行推導(dǎo)。碰撞盒在改進(jìn)前后面積大小的比例記為(0)，對(duì)(0)進(jìn)行推導(dǎo)與計(jì)算。

若模型使用長(zhǎng)方體時(shí)碰撞盒的面積表示為，則：

若模型使用兩個(gè)拼接橢圓錐體時(shí)的碰撞盒面積表示為，通過(guò)計(jì)算得到：

則有：

同理可知：

同樣可得：

則可推導(dǎo)出：

碰撞風(fēng)險(xiǎn)就是碰撞盒A 穿越高度層的頻率與航空器B 位于擴(kuò)展碰撞盒內(nèi)的概率的乘積。即：碰撞風(fēng)險(xiǎn)=碰撞盒A 垂直穿越高度層的頻率×航空器B 位于擴(kuò)展碰撞盒內(nèi)的概率。

根據(jù)上文假定的(0)為改進(jìn)前后碰撞盒面積大小的比值，則根據(jù)文獻(xiàn)［14］中的計(jì)算方法可得：

根據(jù)文獻(xiàn)［15］可得，在航路最初基于長(zhǎng)方體的碰撞盒的Event 模型的碰撞風(fēng)險(xiǎn)為

用式（2）乘以(0)即可得到經(jīng)過(guò)改進(jìn)的基于兩個(gè)拼接橢圓錐體時(shí)Event 模型所得的碰撞風(fēng)險(xiǎn)概率。由此可得，航路的碰撞風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算在基于兩個(gè)拼接的橢圓錐體建立的模型時(shí)，碰撞風(fēng)險(xiǎn)為

根據(jù)文獻(xiàn)［14］，基于碰撞橢球體時(shí)Event 模型所得的碰撞盒面積大小的比值為

用式（4）乘以N即可得到經(jīng)過(guò)改進(jìn)的基于碰撞橢球體時(shí)Event 模型所得的碰撞風(fēng)險(xiǎn)概率為

式中：λ，λ，λ分別為原長(zhǎng)方體Event 模型中航空器的機(jī)身長(zhǎng)，翼展長(zhǎng)和高度；P(S)為兩架航空器垂直重疊的概率；(0)為兩架航空器的縱向臨近率，即相鄰的飛行高度層上，航空器的縱向間隔小于縱向間隔標(biāo)準(zhǔn)值的航空器數(shù)量與航路上航空器總數(shù)量的比例；P(0)為位于同一航跡相鄰的高度層上兩架航空器側(cè)向重疊的概率；，，分別為改進(jìn)的兩個(gè)拼接的橢圓錐體Event 模型中的航空器的機(jī)身長(zhǎng)，翼展長(zhǎng)與大于航空器機(jī)身中心到垂尾頂部的高度；，，分別為A，B 兩個(gè)航空器分別在縱向，側(cè)向及垂直方向的相對(duì)速度；N為原長(zhǎng)方體碰撞盒的Event 模型在航路的碰撞風(fēng)險(xiǎn)值；N″為經(jīng)過(guò)改進(jìn)后利用兩個(gè)拼接的橢圓錐體碰撞盒的Event 模型在航路的碰撞風(fēng)險(xiǎn)值；N″″為原橢球體碰撞盒的Event 模型在航路的碰撞風(fēng)險(xiǎn)值；S為航空器的縱向間隔標(biāo)準(zhǔn)值。

3 算 例

3.1 基本參數(shù)

在計(jì)算碰撞風(fēng)險(xiǎn)時(shí)使用客機(jī)A220 與A310 作為算例，兩種不同的客機(jī)組合分為以下兩種情況。

（1）客機(jī)一（A220 客機(jī)）：機(jī)身長(zhǎng)為35.00 m，翼展長(zhǎng)度為35.10 m，高度為11.50 m；

（2）客機(jī)二（A310 客機(jī)）：機(jī)身長(zhǎng)為46.66 m，翼展長(zhǎng)度為43.90 m，高度為15.80 m。

取側(cè)向相對(duì)速度為6.43 m/s，縱向相對(duì)速度為514 m/s，垂直相對(duì)速度為0.78 m/s。取側(cè)向的重疊概率P(0)為0.043，垂直的重疊概率P(S)為6.6×10，縱向臨近率(0)為0.01，航空器的縱向間隔標(biāo)準(zhǔn)值S為10 km。碰撞風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)如表1 所示。

表1 碰撞風(fēng)險(xiǎn)的參數(shù)Table 1 Parameters of collision risk

3.2 算例分析

將表1 中的全部數(shù)據(jù)帶入公式（2）、公式（5）與公式（3），并通過(guò)編寫(xiě)的軟件進(jìn)行計(jì)算，分別得到原長(zhǎng)方體Event 模型，原橢球體Event 模型與改進(jìn)的兩個(gè)拼接橢圓錐體Event 模型的碰撞風(fēng)險(xiǎn)值。得到計(jì)算結(jié)果（保留小數(shù)點(diǎn)后四位小數(shù)）如表2所示。

表2 碰撞風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估結(jié)果Table 2 Collision risk assessment results

將兩種客機(jī)的數(shù)據(jù)在三種不同類型的Event模型中進(jìn)行計(jì)算與分析，用兩個(gè)拼接的橢圓錐體碰撞模板代替原來(lái)的Event 模型的碰撞模板后，碰撞風(fēng)險(xiǎn)是原長(zhǎng)方體Event 模型碰撞風(fēng)險(xiǎn)概率的13%左右，是原橢球體Event 模型碰撞風(fēng)險(xiǎn)的67%左右，且都滿足國(guó)際目標(biāo)安全等級(jí)。

4 結(jié) 論

（1）本文使用改進(jìn)的更加符合航空器在空間上速度矢量分布的兩個(gè)拼接橢圓錐體碰撞盒代替原有Event 模型中的碰撞盒的方法后，相鄰高度層的兩種航空器的碰撞風(fēng)險(xiǎn)均是原長(zhǎng)方體Event 模型碰撞風(fēng)險(xiǎn)概率的13%左右，是原橢球體Event 模型碰撞風(fēng)險(xiǎn)的67%左右。

（2）使用改進(jìn)的兩個(gè)拼接橢圓錐體模型方法的碰撞風(fēng)險(xiǎn)值小于先前所有的碰撞模板所計(jì)算出的碰撞風(fēng)險(xiǎn)值，且在國(guó)際民航組織規(guī)定的安全目標(biāo)風(fēng)險(xiǎn)值5×10范圍以內(nèi)，使得航路的碰撞風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算更合理，克服了原Event 模型的保守缺點(diǎn)，該方法對(duì)航路飛行碰撞風(fēng)險(xiǎn)量化評(píng)估是可行的。