楊文珍，何 慶，，杜逆索

1(貴州大學(xué) 大數(shù)據(jù)與信息工程學(xué)院，貴陽(yáng) 550025)2(貴州大學(xué) 貴州省公共大數(shù)據(jù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，貴陽(yáng) 550025)

1 引 言

蝗蟲優(yōu)化算法(Grasshopper Optimization Algorithm，GOA)[1]在2017年被Saremi等人首次提出.GOA原理易懂、參數(shù)較少，易于實(shí)現(xiàn).然而該算法收斂速度慢，容易收斂早熟，雖然具有強(qiáng)大的局部開發(fā)能力，但全局勘探的能力仍然有待提升.

為了解決這些問題，在2019年文獻(xiàn)[2]提出了一種基于動(dòng)態(tài)權(quán)重機(jī)制和隨機(jī)跳躍策略(DJGOA)的改進(jìn)蝗蟲優(yōu)化算法，首先動(dòng)態(tài)權(quán)重機(jī)制促進(jìn)了算法迭代的利用，自適應(yīng)調(diào)整蝗蟲的搜索空間范圍；隨后使用隨機(jī)跳躍策略有助于算法跳出局部最優(yōu).李洋洲等[3]在2019年對(duì)參數(shù)c使用兩種曲線自適應(yīng)改進(jìn)策略，這種基于曲線自適應(yīng)和模擬退火的蝗蟲優(yōu)化算法(SA-CAGOA)，在求解精度方面有了明顯改進(jìn).然而以上所引文獻(xiàn)仍存在收斂速度慢、尋優(yōu)精度有待優(yōu)化的問題，本文提出一種具有擾動(dòng)機(jī)制和雙重搜索能力萊維飛行的蝗蟲改進(jìn)算法(DLGOA).首先，提出動(dòng)態(tài)自適應(yīng)曲線的函數(shù)取代原本線性遞減的參數(shù)c，使全局搜索和局部開發(fā)得到更好的平衡；其次，設(shè)置擾動(dòng)因子改變位置更新步長(zhǎng)，算法的尋優(yōu)精度以及收斂速度均被有效提升；最后，引入帶有雙重搜索功能并具有高斯隨機(jī)分布的約束因子動(dòng)態(tài)步長(zhǎng)的萊維飛行機(jī)制，不僅有效避免算法出現(xiàn)早熟收斂現(xiàn)象，并且增加了種群多樣性，與此同時(shí)提高了尋優(yōu)精度.

2 蝗蟲優(yōu)化算法

蝗蟲算法[1]是在研究蝗蟲在自然界的群行為基礎(chǔ)上而提出的一種基于交互力的元啟發(fā)式智能算法.算法仿生原理是將幼蟲期蝗蟲的小范圍移動(dòng)行為映射為短步長(zhǎng)的局部開發(fā)，成蟲期的蝗蟲大范圍移動(dòng)行為映射為長(zhǎng)步長(zhǎng)的全局探索，搜索食物源的過程即為算法的尋優(yōu)過程.蝗蟲的群行為可以用式(1)的數(shù)學(xué)模型來描述：

(1)

(2)

其中式(2)系數(shù)為線性遞減，在式(1)中，外側(cè)的系數(shù)c與PSO中的慣性權(quán)重w原理相似，決定蝗蟲的搜索范圍，為了平衡算法的全局探索和局部開發(fā)；內(nèi)側(cè)的系數(shù)c決定蝗蟲間之間吸引、排斥、舒適區(qū)域.式(2)中t表示當(dāng)前迭代次數(shù)，Tmax為最大迭代次數(shù)，cmax、cmin分別為參數(shù)c的最大值和最小值.

3 DLGOA算法

3.1 曲線自適應(yīng)曲線

GOA中的參數(shù)c算法整體性起關(guān)鍵作用.然而因?yàn)閰?shù)c是線性變化的，在算法初期下降過快，導(dǎo)致蝗蟲不能遍歷更多的解空間，因?yàn)閰?shù)c的線性變化特性導(dǎo)致算法初期全局探索能力不足，算法后時(shí)期，參數(shù)下降趨勢(shì)過于平緩，容易過早的在局部最優(yōu)值附近停滯，收斂速度下降[3].為解決這一問題，提出一種曲線函數(shù)c(t)取代參數(shù)c，使算法的全局探索和局部開發(fā)能力得到更好的平衡，函數(shù)定義如下：

c(t)=(-cmax)×csch(αt)2

(3)

(4)

上式中t是當(dāng)前迭代次數(shù)，α是中間量，Tmax、Cmax、Cmin含義已在本文上一節(jié)闡述.從式(3)可以看出，c(t)仍是遞減函數(shù)，根據(jù)雙曲函數(shù)性質(zhì)，c(t)前期取值較大、下降慢，能讓算法在迭代前期以較大步長(zhǎng)進(jìn)行全局探索；同時(shí)在迭代后期取值較小、下降快，使得算法加快收斂速度.

3.2 位置更新策略

GOA中蝗蟲的更新位置會(huì)受到當(dāng)前位置，目標(biāo)位置和其他所有蝗蟲的位置共同影響，這表示所有的蝗蟲個(gè)體都影響每只蝗蟲的下一個(gè)位置.因此GOA雖然其局部開發(fā)能力較為優(yōu)秀但全局探索能力相對(duì)有所不足，也就是說GOA易出現(xiàn)在局部最優(yōu)值附近停滯的情況.而算法前期需要大范圍的全局搜索來找到所有可能的解，后期需要小范圍的局部開發(fā)來找到這些可能的解中最優(yōu)的解，為提升算法優(yōu)化性能，本節(jié)引入擾動(dòng)機(jī)制，通過擾動(dòng)因子v改變位置更新步長(zhǎng)，使蝗蟲在算法前期在較大范圍內(nèi)探索目標(biāo)位置，更新范圍也隨著迭代次數(shù)的增加而隨之減小，后期圍繞目標(biāo)值均勻分布.擾動(dòng)因子能夠提升尋優(yōu)精度，加快DLGOA收斂速度，從而獲得最優(yōu)解.根據(jù)文獻(xiàn)[4]中獅子移動(dòng)方式的啟發(fā)，擾動(dòng)因子定義如下：

(5)

其中，τ表示擾動(dòng)系數(shù)，經(jīng)多次實(shí)驗(yàn)τ取值為30時(shí)，算法具有最優(yōu)尋優(yōu)能力.其他參數(shù)含義同上.算法加入擾動(dòng)因子的蝗蟲位置更新的公式數(shù)學(xué)模型如式(6)所示：

(6)

3.3 萊維飛行

GOA在求解非線性優(yōu)化問題時(shí)易陷入局部收斂，全局搜索能力不足，因此在GOA中引入萊維飛行機(jī)制，基本的萊維飛行機(jī)制在尋最優(yōu)過程中雖然增加了算法的全局搜索能力，但是還會(huì)存在陷入局部最優(yōu)的問題，若步長(zhǎng)因子α的值取值較大，雖增強(qiáng)了全局搜索能力，卻不能求得高精度的解，α的值設(shè)定較小，若想尋到算法理論值，算法則需要更多的迭代次數(shù)，算法的效率隨之降低.

針對(duì)以上所述問題，本文提出強(qiáng)化搜索的萊維飛行機(jī)制，步長(zhǎng)α由固定值改為隨迭代次數(shù)改變的動(dòng)態(tài)步長(zhǎng)因子，步長(zhǎng)因子α定義如下：

(7)

圖1 α1變化曲線Fig.1 Variation curve of factor α1

萊維飛行服從萊維分布，變異后的萊維飛行機(jī)制數(shù)字模型如公式(8)所示[5]：

(8)

(9)

由圖1所示，由于引入變異步長(zhǎng)，動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)搜索步長(zhǎng)，在算法中前期，因子變化率隨著迭代次數(shù)成正比關(guān)系，實(shí)現(xiàn)種群由子空間到整體解空間進(jìn)行萊維全局搜索，當(dāng)算法到后期的因子變化率逐漸變小，實(shí)現(xiàn)全局搜索減弱，局部開發(fā)能力增強(qiáng)，實(shí)現(xiàn)了的萊維飛行機(jī)制的強(qiáng)化搜索，通過動(dòng)態(tài)地調(diào)整步長(zhǎng)，如果出現(xiàn)算法陷入局部最優(yōu)、搜索停滯的情況，較大的步長(zhǎng)可以使得停滯現(xiàn)象消失，幫助算法脫離局部極值；當(dāng)蝗蟲的個(gè)體接近最優(yōu)解的位置時(shí)，較小取值的步長(zhǎng)因子能使得個(gè)體加速收斂，提升率算法效率以及尋優(yōu)精度.

雖然經(jīng)過萊維飛行搜索產(chǎn)生的新位置能夠擺脫局部最優(yōu)，但并不能保證更新后的位置均勻分布在最優(yōu)位置附近，故在萊維飛行機(jī)制中增加了高斯隨機(jī)分布函數(shù)作為約束因子，使蝗蟲種群更加均勻的分布在探索空間.約束因子定義如下：

γ=N(0，δ)

(10)

其中δ為尺度參數(shù)，取值為t/Tmax，隨著迭代次數(shù)的增加動(dòng)態(tài)改變尺度參數(shù)的大小，合理的控制位置的分布.故萊維飛行的最終的位置更新方式如下：

(11)

本文為使算法能夠擺脫局部最優(yōu)，增加種群多樣性，提出服從高斯均勻分布且具有雙重搜索功能的萊維飛行策略，但由于策略的隨機(jī)性，更新后的位置相比于原位置未必更為優(yōu)秀，策略最后通過貪婪算法的原理去判斷是否更新后的位置比原位置好，如果更新位置更加有價(jià)值才更新，否則保留原位置，不執(zhí)行更新.

4 DLGOA算法的實(shí)現(xiàn)

綜上所述，DLGOA是在原始GOA的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)的，通過改進(jìn)參數(shù)c，使之更合理的平衡全局探索和局部開發(fā)；引進(jìn)擾動(dòng)因子改變位置更新方式使算法產(chǎn)生種群多樣性，最大化的遍歷更多的搜索空間；針對(duì)最優(yōu)位置無更新的缺陷，加入改進(jìn)的萊維飛行機(jī)制，根據(jù)最優(yōu)位置的引導(dǎo)作用，使算法不再在局部最優(yōu)值附近停滯，從而使得算法的收斂速度和精度得到一定的提高.結(jié)合第3節(jié)的步驟和結(jié)論，DLGOA的主要流程圖如圖2所示.

圖2 DLGOA流程圖Fig.2 DLGOA flow chart

算法時(shí)間復(fù)雜度分析

根據(jù)第2、3節(jié)內(nèi)容，在GOA的初始化過程中，設(shè)想種群規(guī)模N，空間維度d等參數(shù)需要花費(fèi)執(zhí)行時(shí)間為x1，算法產(chǎn)生均勻分布隨機(jī)數(shù)所需的執(zhí)行時(shí)間為x2，計(jì)算每只蝗蟲對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度值的時(shí)間為f(n)，排序并保存最優(yōu)位置的時(shí)間為x3，因此算法初始化的時(shí)間復(fù)雜度為：

O(x1+N(n×x2+f(n))+x3)=O(n+f(n))

(12)

在主循環(huán)部分，假設(shè)更新函數(shù)c的時(shí)間為x4，根據(jù)式(1)產(chǎn)生新解的時(shí)間為x5，計(jì)算新解的適應(yīng)度的時(shí)間為f(n)，比較新位置與歷史最優(yōu)位置的時(shí)間為x6，更新后的位置被替換為最優(yōu)位置的時(shí)間為x7，循環(huán)主要所需時(shí)間復(fù)雜度為：

O(x4+N(n×x5+f(n)+x6)+x7)=O(n+f(n))

(13)

標(biāo)準(zhǔn)GOA求解每一代最優(yōu)解的時(shí)間復(fù)雜度為：

T(n)=O(n+f(n))+O(n+f(n))=O(n+f(n))

(14)

同理可知，在DLGOA的初始化流程和標(biāo)準(zhǔn)GOA流程完全一致，所以它們的時(shí)間復(fù)雜度相同都為O(n+f(n))；由圖2可知DLGOA的流程，在主循環(huán)部分，假設(shè)更新函數(shù)c(t)的時(shí)間為z1，根據(jù)式(1)計(jì)算新位置的時(shí)間為z2，更新適應(yīng)度值的時(shí)間為f(n)，比較新位置與最優(yōu)位置和替換最優(yōu)位置的時(shí)間分別是z3和z4，根據(jù)式(6)更新最優(yōu)位置的時(shí)間為z5，進(jìn)行貪婪算法的時(shí)間為z6，由此主循環(huán)部分的時(shí)間復(fù)雜度為：

O(z1+N(n×z2+f(n)+z3+z4)+z6)=O(n+f(n))

(15)

綜上可得，DLGOA每一代求解最優(yōu)解的時(shí)間復(fù)雜度為：

T(n)=O(n+f(n))+O(n+f(n))=O(n+f(n))

(16)

綜上所述，DLGOA算法與GOA算法相比時(shí)間復(fù)雜度一致，本文改進(jìn)算法的改進(jìn)策略對(duì)于算法的時(shí)間復(fù)雜度不會(huì)有負(fù)面影響.

5 實(shí)驗(yàn)仿真與分析

5.1 仿真環(huán)境

本次實(shí)驗(yàn)使用MATLAB R2018a進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真，運(yùn)行環(huán)境為64 位 Windows 7操作系統(tǒng)，處理器類型為 Intel(R) Core(TM) i5-6500.

為驗(yàn)證本文提出的改進(jìn)算法的性能有效性，實(shí)驗(yàn)通過使用7個(gè)具有單峰與多峰等不同特征的經(jīng)典測(cè)試函數(shù)在維度從5維-100維不等的環(huán)境進(jìn)行驗(yàn)證.

測(cè)試函數(shù)信息如表1所示，其中函數(shù)F1-F4是單峰函數(shù)即只有一個(gè)最優(yōu)值，全局最優(yōu)值與局部最優(yōu)值相同，主要作用來測(cè)試收斂速度，從F5-F7為多峰函數(shù)，函數(shù)具有一個(gè)全局最優(yōu)值以及多個(gè)局部極最優(yōu)值，作用于測(cè)試求解精度.

表1 測(cè)試函數(shù)Table 1 Test functions

5.2 驗(yàn)證本文算法的有效性

為驗(yàn)證本文提出的改進(jìn)算法的有效尋優(yōu)能力以及魯棒性，將DLGOA與標(biāo)準(zhǔn)的GOA[1]算法對(duì)比，以及其他群智能算法如蟻獅算法(ALO)[6]、灰狼優(yōu)化算法(GWO)[7]、樽海鞘群算法(SSA)[8]在7個(gè)測(cè)試函數(shù)作比較，其中ALO、GWO和SSA的參數(shù)設(shè)置如表2所示，為避免實(shí)驗(yàn)的偶然性，7個(gè)測(cè)試函數(shù)每個(gè)獨(dú)立運(yùn)行30次，數(shù)據(jù)結(jié)果如表3所示.

表2 參數(shù)設(shè)置Table 2 Parameter setting

由表3可知，GWO整體尋優(yōu)能力雖然比ALO的強(qiáng)，但均未尋到理論值，這表明這兩個(gè)群智能算法在高維以及低維的求解優(yōu)化函數(shù)時(shí)，尋優(yōu)精度差，尋優(yōu)能力弱，同時(shí)，DLGOA與ALO、GWO對(duì)比，DLGOA收斂精度更高.具體的，在高維情況下，ALO和GWO的求解的結(jié)果的平均值均較大，說明ALO，GWO尋優(yōu)能力的不足，而且跳出局部最優(yōu)的能力較弱；對(duì)測(cè)試函數(shù)中單峰函數(shù)尋優(yōu)時(shí)，DLGOA均尋到了理論最優(yōu)值，例如函數(shù)F1，ALO的最優(yōu)值3.07E-09，GWO的最優(yōu)值是1.78E-102，而DLGOA的最優(yōu)值是0；對(duì)于3個(gè)多峰函數(shù)，DLGOA的解相較于這兩種群智能算法，尋優(yōu)的收斂速度、求解精度均有明顯優(yōu)勢(shì)；另外，從表3數(shù)據(jù)可以得知無論是單峰函數(shù)還是多峰函數(shù)，與GOA相比，DLGOA在7個(gè)測(cè)試函數(shù)上的尋優(yōu)結(jié)果均優(yōu)于GOA，且除Ackley函數(shù)外，DLGOA對(duì)其他函數(shù)均尋到理論最優(yōu)值，而在對(duì)F6函數(shù)尋優(yōu)時(shí)，與GOA的標(biāo)準(zhǔn)差1.01E+00相比，DLGOA的標(biāo)準(zhǔn)差為0，說明DLGOA算法相較于GOA算法具有穩(wěn)定的尋優(yōu)能力.在圖3中，除GWO外，ALO和GOA在尋優(yōu)結(jié)果分布過于局限，且尋優(yōu)精度低，說明存在局部最優(yōu)的缺陷，同時(shí)GWO對(duì)于7個(gè)測(cè)試函數(shù)也沒有尋到理論值，表明DLGOA相較于3種對(duì)比算法具備明顯優(yōu)越的尋優(yōu)能力.

表3 算法對(duì)比結(jié)果Table 3 Comparison of results of different algorithms

圖3 基準(zhǔn)函數(shù)平均收斂曲線Fig.3 Average convergence curve of benchmark function

5.3 驗(yàn)證不同改進(jìn)策略的有效性

為了比較不同改進(jìn)策略的有效性同時(shí)驗(yàn)證每一種改進(jìn)策略對(duì)DLGOA的影響，將DLGOA與改進(jìn)函數(shù)c(t)的蝗蟲算法(Parameter GOA，PGOA)、引入擾動(dòng)因子的蝗蟲算法(Disturb GOA，DGOA)和加入改進(jìn)的萊維飛行機(jī)制的蝗蟲算法(Levi Flight GOA，LGOA)作比較.為方便比較說明，相同的參數(shù)與3.2節(jié)設(shè)置一樣，實(shí)驗(yàn)仿真數(shù)據(jù)如表4所示.

由表4的最小值和平均值可反應(yīng)算法的尋優(yōu)能力和收斂精度，在7個(gè)測(cè)試函數(shù)中，尋優(yōu)能力最好的是DGOA，在求解多峰函數(shù)(F5-F7)時(shí)，此時(shí)DGOA除了對(duì)F6尋優(yōu)的結(jié)果稍差以外，其余多峰函數(shù)都找到了理論值0，同時(shí)函數(shù)F6的尋優(yōu)精度也比標(biāo)準(zhǔn)GOA高出16個(gè)數(shù)量級(jí)，表明DGOA算法在求解F6時(shí)盡管后期陷入了局部最優(yōu)，但是其最后的收斂精度比原始的GOA效果好；尋優(yōu)能力次之的是LGOA，在F5能找到最優(yōu)值，在其他測(cè)試函數(shù)較GOA，尋優(yōu)精度都有不同幅度的提升，但DGOA具有更高尋優(yōu)能力和收斂精度，例如圖4(e)，DGOA收斂于60代，LGOA收斂于499代，是LGOA的80倍，DGOA收斂速度較快，驗(yàn)證了加入擾動(dòng)因子對(duì)算法蝗蟲個(gè)體的位置更新和算法的收斂速度有積極影響.

表4 不同改進(jìn)策略結(jié)果對(duì)比Table 4 Comparison of results of different improvement strategies

另外，從表4的標(biāo)準(zhǔn)差可知，DLGOA對(duì)測(cè)試函數(shù)尋優(yōu)結(jié)果的所有標(biāo)準(zhǔn)差都為0，驗(yàn)證DLGOA具有很強(qiáng)的魯棒性.表4中DGOA與DLGOA的尋優(yōu)結(jié)果相同，這表明加入擾動(dòng)因子改變位置的更新方式后對(duì)算法跳出局部最優(yōu)起到促進(jìn)作用；LGOA的收斂精度較高于CGOA，較之GOA，每個(gè)函數(shù)尋優(yōu)能力都有不同幅度的提升，在求解多峰函數(shù)Rastrigin時(shí)，LGOA能尋到最優(yōu)值0，這是因?yàn)長(zhǎng)GOA在萊維飛行的步長(zhǎng)因子加入雙曲正弦函數(shù)通過數(shù)學(xué)函數(shù)的變化改變蝗蟲種群的個(gè)體狀態(tài)，使種群在前期能夠保持多樣性，進(jìn)行全局搜索，后期個(gè)體進(jìn)行局部開發(fā)，不斷探索空間尋到全局最優(yōu)位置，全局搜索能力和局部開發(fā)能力得到有效平衡，并提升了尋優(yōu)精度.CGOA與GOA相比，雖然CGOA在各個(gè)測(cè)試函數(shù)中均未能尋到最優(yōu)，但由于其引入了調(diào)節(jié)因子，使得參數(shù)c的收斂方式有所調(diào)整，算法前期全局探索時(shí)間變得更加充裕，后期的收斂速度更加迅速，所以收斂精度有明顯提升，例F1函數(shù)，兩者間的算法求解精度達(dá)到31個(gè)數(shù)量級(jí)的差距.

最后，結(jié)合表4和圖4可以看出，在位置更新位置加入擾動(dòng)機(jī)制的DGOA改進(jìn)效果最為明顯，改進(jìn)效果次之的是LGOA，CGOA相對(duì)于以上兩個(gè)改進(jìn)策略改進(jìn)效果次之，但是相較于原始算法GOA，收斂效果得到提升，改進(jìn)仍具有一定競(jìng)爭(zhēng)力.

從圖1的圖4(a)-圖4(d)可以看出，在算法前期，GOA的解體現(xiàn)出算法的尋優(yōu)性較差，且其解的分布范圍趨于局限，不具有較好的多樣性，在迭代進(jìn)行到達(dá)后期，其解仍在較小的范圍分布，表明算法已陷入局部最優(yōu).而DLGOA在整個(gè)迭代期，解的分布較廣，保持著多樣性，如圖4(c)，DLGOA的解從1.61E+04隨迭代次數(shù)下降到3.60E-300，然后收斂于理論值0.

從圖4(e)-圖4(g)中可以看出，LGOA在測(cè)試函數(shù)中有一小段時(shí)間收斂曲線下降較快，這驗(yàn)證引入萊維飛行策略，有效改進(jìn)了算法在多峰函數(shù)時(shí)易陷入局部最優(yōu)解的問題，使得算法一開始的收斂速度就較快.

圖4 算法不同策略的平均收斂曲線圖Fig.4 Average convergence curves of different strategy algorithms

由圖4可知，DGOA求解函數(shù)收斂所需迭代次數(shù)下降明顯，表明位置更新方式改進(jìn)后，增加了種群多樣性，一定程度上加快了算法收斂，7個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)，雖然DGOA和DLGOA均達(dá)到了理論值0，但是DLGOA達(dá)到理論值的步數(shù)都比DGOA小，說明DLGOA算法中引入萊維飛行加快了算法的收斂速度；圖4(a)-圖4(d)是單峰高維函數(shù)的平均收斂曲線，可以看出CGOA中引入曲線函數(shù)c(t)對(duì)于平衡全局探索和局部開發(fā)的有效性.

結(jié)合表4和圖4可以看出對(duì)于幾個(gè)改進(jìn)策略，在位置更新處引入擾動(dòng)因子的DGOA的改進(jìn)效果最為明顯，因?yàn)閿_動(dòng)因子的引入使得位置更新方式發(fā)生了變化，明顯的提高了算法的尋優(yōu)精度和加快了收斂速度；改進(jìn)效果次之的是LGOA，但該改進(jìn)策略利用變異步長(zhǎng)增加種群尋優(yōu)空間以及使用高斯隨機(jī)分布函數(shù)在一定程度上增加了種群多樣性，使算法避免陷入局部最優(yōu)，提高了算法性能，較之原始算法GOA，每個(gè)函數(shù)尋優(yōu)效果都得到了明顯提高，并且因?yàn)槿R維飛行加入了雙重搜索，F(xiàn)5能找到最優(yōu)值0，使得萊維飛行容易陷入局部最優(yōu)的問題有明顯改進(jìn).CGOA改進(jìn)效果不是很明顯，但該策略對(duì)參數(shù)c進(jìn)行非線性變化，較好的平衡了全局探索和局部開發(fā)；將3種改進(jìn)策略結(jié)合在一起，充分融合了各自改進(jìn)策略的優(yōu)勢(shì)，使得DLGOA在不管在求解單峰、多峰、低維、高維測(cè)試函數(shù)時(shí)都具有明顯的優(yōu)越性.

5.4 與其他最新改進(jìn)算法性能對(duì)比

為了更好的研究DLGOA的優(yōu)化性能，將本文提出的DLGOA與GS-WOA[9]、MOSCA[10]兩個(gè)其他類型的智能算法比較，以及和新興的蝗蟲改進(jìn)算法F-GOA[11]、GC-GOA[12]進(jìn)行對(duì)比，在10維、30維、200維的不同空間維度下在7個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)(表格中相關(guān)文獻(xiàn)未給出的數(shù)據(jù)用“……”表示)，參數(shù)設(shè)置與5.2節(jié)一致.

由表5可知，GS-WOA在4種對(duì)比算法中，尋優(yōu)效果是最好的，MOSCA尋優(yōu)結(jié)果較差，F(xiàn)-GOA和GC-GOA尋優(yōu)精度差距不明顯，從實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析得出，在收斂精度和穩(wěn)定性兩者皆顧的情況下，DLGOA明顯優(yōu)于4種對(duì)比算法，并且在低維上耗時(shí)最短.

表5 不同維度下與其他群智能算法的結(jié)果對(duì)比Table 5 Comparison of results with other swarm intelligence algorithms in different dimensions

縱向觀察表5，在4種對(duì)比算法中，GS-WOA在尋優(yōu)過程中，只有在 F1、F3、F5、F7這4個(gè)測(cè)試函數(shù)的求解中，才尋到理論值 0，在其他基準(zhǔn)函數(shù)中，例如F2-F4，在 4 中對(duì)比算法無法求解或求解精確度低的情況下，DLGOA 在均能找到理論最優(yōu)值0，具有較高的尋優(yōu)精度和穩(wěn)定性.

在GOA 3種算法對(duì)比中，F(xiàn)-GOA和GC-GOA均未尋到最優(yōu)值，并且由其標(biāo)準(zhǔn)差可知，該算法的尋優(yōu)結(jié)果不穩(wěn)定.在7個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)中，DLGOA都找到了理論值，DLGOA具有較高的尋優(yōu)能力和穩(wěn)定性，并且從維度的比較上分析，隨著維度的增加，在其他算法魯棒性和尋優(yōu)能力降低的情況下，DLGOA仍然具備優(yōu)越的尋優(yōu)能力和魯棒性，驗(yàn)證了DLGOA不管在低維還是高維的情況都體現(xiàn)了較高的尋優(yōu)能力和魯棒性.從耗時(shí)方面看，在相同低維情況下，DLGOA比其他兩種GOA算法耗時(shí)更短，隨著維度增加，高維情況下，3個(gè)對(duì)比算法耗時(shí)都有增加，因?yàn)樵诟呔S情況下，算法的搜索空間增大，尋優(yōu)難度隨之增加.

5.5 Wilcoxon秩和檢驗(yàn)的p值

為避免算法發(fā)生偶然優(yōu)勢(shì).文獻(xiàn)[13]提出，統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)應(yīng)作為算法性能的評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)之一.本文采用Wilcoxon統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)在5%的顯著性水平下進(jìn)行差異檢驗(yàn).如表6所示，給出了算法以及策略對(duì)7個(gè)測(cè)試函數(shù)尋優(yōu)的Wilcoxon秩和檢驗(yàn)的p值.p<0.05的可以被認(rèn)為是拒絕零假設(shè)的客觀驗(yàn)證.

假設(shè)最佳算法是DLGOA，則通過DLGOA與GOA，CGOA，DGOA，LGOA，ALO，GWO之間進(jìn)行成對(duì)比較.N/A為相應(yīng)的算法可以在秩和檢驗(yàn)中沒有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與自身比較.表6中“+”、“-”、“=”等符號(hào)說明DLGOA的性能優(yōu)于、劣于和相當(dāng)于對(duì)比算法.

表6 測(cè)試函數(shù)Wilcoxon秩和檢驗(yàn)的p值Table 6 p values of Wilcoxon rank sum test of test function

根據(jù)表6中的結(jié)果，DLGOA的p值均低于5%，說明了本文改進(jìn)算法的優(yōu)越性在統(tǒng)計(jì)上是顯著的，即認(rèn)為DLGOA比GAO、ALO、GWO、CGOA和LGOA具有更好的搜索能力.

6 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)蝗蟲算法求解精度不理想，出現(xiàn)局部最優(yōu)附近停滯現(xiàn)象以及算法的收斂速度慢等問題進(jìn)行改進(jìn).算法引入非線性曲線函數(shù)、擾動(dòng)因子，雙重搜索萊維飛行，提高算法全局搜索和局部開發(fā)能力，同時(shí)引入帶有高斯隨機(jī)分布的約束因子，增加種群多樣性，驗(yàn)證本文的算法具有較強(qiáng)的魯棒性，早熟現(xiàn)象的發(fā)生被有效地避免，改進(jìn)了蝗蟲算法求解精度不高的問題，同時(shí)算法的有效性和穩(wěn)定性也得到了驗(yàn)證.