黃曉丹

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認(rèn)為，在學(xué)習(xí)知識時，要想實現(xiàn)對知識深刻、真正的理解，學(xué)習(xí)者需要使掌握的知識呈現(xiàn)出結(jié)構(gòu)化、整合性等特征。在當(dāng)前的數(shù)學(xué)課堂中，學(xué)習(xí)活動已經(jīng)呈現(xiàn)出新的顯著特征，但是仍有教師在教學(xué)過程中存在誤區(qū)，導(dǎo)致學(xué)生的合作學(xué)習(xí)僅停留在比較淺顯的表層，未能真正培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力，也不利于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)及必備品格的發(fā)展。因此，應(yīng)展開怎樣的合作學(xué)習(xí)？如何才能通過合作學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生的多元化技能？應(yīng)實施怎樣的合作學(xué)習(xí)策略？這些都是一線教師需要關(guān)注和思考的問題。而在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中引入多元表征，能夠幫助學(xué)生在掌握基礎(chǔ)概念的同時了解其內(nèi)涵與外延，既有助于促進(jìn)學(xué)生新知的生成，又有助于學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提高解題能力。就當(dāng)前的數(shù)學(xué)體系來看，概念經(jīng)歷了多層次的抽象、多視角的歸納以及多維度的建構(gòu)，在這種情況下，無論是數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在表征，還是具體的數(shù)學(xué)思維過程，都是可感、可視的。

一、借助縱橫推進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)概念

數(shù)學(xué)概念之間是存在聯(lián)系的。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師要善于借助縱橫推進(jìn)的策略，引導(dǎo)學(xué)生對概念進(jìn)行建構(gòu)，讓學(xué)生在處理縱向化表征與橫向化表征的過程中，開展高效的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)。

（一）縱向化表征，促進(jìn)學(xué)生對概念的多層次建構(gòu)

在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師需要以小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律為基礎(chǔ)，由具象到抽象，合理運(yùn)用縱向多元表征，對小學(xué)生形成思維引領(lǐng)，使其逐漸剝離事物中個性化、非本質(zhì)的屬性部分，并保留事物的共同屬性、本質(zhì)屬性等，分層次深入架構(gòu)數(shù)學(xué)概念。

以“認(rèn)識數(shù)字1—10”為例，教材中除了呈現(xiàn)實物情景圖之外，還融合了圖形表征、書寫符號表征以及動作表征等。教師可基于實物表征的方式，讓學(xué)生建立數(shù)學(xué)知識皆來自現(xiàn)實生活的感知。同時，基于圖形表征，教師能夠從中剔除實物本身的物理屬性，保留學(xué)生易于理解的數(shù)量屬性；基于書寫符號表征，教師能夠幫助學(xué)生在數(shù)量和符號之間建立一一對應(yīng)的關(guān)系；基于動作表征，學(xué)生可以實現(xiàn)對知識的進(jìn)一步鞏固與內(nèi)化。此外，在課堂教學(xué)過程中，還有一項必不可少的內(nèi)容，即言語表征，比如認(rèn)讀數(shù)字“7”。在經(jīng)歷了由具象到抽象的學(xué)習(xí)之后，學(xué)生也能獲得較好的學(xué)習(xí)體驗。因此，借助多元表征，能夠使學(xué)生在面對客觀事物時，將其數(shù)量內(nèi)化為認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而加深對自然數(shù)“7”的認(rèn)知。

概念在持續(xù)生成時，也會帶動具體表征的改變。以“認(rèn)識100 以內(nèi)的數(shù)”為例，教材中呈現(xiàn)出了多元化的表征方式，比如小棒計數(shù)器及實物等。借助不同的表征，不僅能夠使學(xué)生建立初步認(rèn)知，把握數(shù)位的內(nèi)涵，還能夠以書寫符號表征呈現(xiàn)書寫和模型之間的一一對應(yīng)關(guān)系。此外，還需輔助教師的言語表征，幫助學(xué)生在數(shù)的讀法和書寫之間建立對應(yīng)關(guān)系，使學(xué)生感受由具象到抽象的過程，加深對兩位數(shù)概念的認(rèn)知。

（二）橫向化表征，促進(jìn)學(xué)生對概念的多維度理解

所謂橫向化表征，也就是立足于不同的視角解讀數(shù)學(xué)概念的外延，既能夠呈現(xiàn)豐富的樣例，又能夠讓學(xué)生積累足夠的顯性經(jīng)驗，使其能夠在解讀概念的過程中形成多視角、多維度的感知，進(jìn)而完成對概念的初步梳理和歸納。

以“角的初步認(rèn)識”教學(xué)為例。首先，教師可以呈現(xiàn)實物表征，比如生活中比較常見的剪刀、三角板等，引導(dǎo)學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)角，學(xué)會畫角。在這一過程中，學(xué)生還能夠自主完成對角的分類，對不同類型的角建立圖形表征。其次，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生基于文字進(jìn)行歸納。在經(jīng)歷了多元表征之后，學(xué)生不僅可以在腦海中初步架構(gòu)角的外形，掌握其概念，而且還能夠結(jié)合圖形進(jìn)行梳理，發(fā)現(xiàn)其特征。

二、借助多元形式，引導(dǎo)學(xué)生探究概念

隨著認(rèn)知心理學(xué)的快速發(fā)展，概念教學(xué)呈現(xiàn)出了各種新的變化，不再以單一表征為主，而是逐漸發(fā)展到多元表征，強(qiáng)調(diào)概念本質(zhì)及意義的探尋過程。教師在引入不同的表征方式之后，能夠?qū)Ω拍詈蛦栴}展開不同維度的解釋，也就是基于不同的視角闡釋其本質(zhì)。因此，在組織概念教學(xué)的過程中，教師要對學(xué)生進(jìn)行正確的引導(dǎo)，為學(xué)生呈現(xiàn)不同的表征方式，幫助學(xué)生完成概念的建立及知識的內(nèi)化，使學(xué)生能夠準(zhǔn)確把握概念的內(nèi)涵、外延。

（一）借助表象表征，豐富概念感知

對于學(xué)生來說，建立感知的外界因素就是具有直觀性的各種實物素材，并且需要對其表面現(xiàn)象及外部特征中的相關(guān)信息進(jìn)行搜集與整理?？梢?，這部分認(rèn)知主要體現(xiàn)在感性層面。學(xué)生只有積累豐富的感知，才能在腦海中建立清晰的表象，才有助于激活想象力，使實物和概念之間建立一一對應(yīng)的關(guān)系，從而更好地理解概念、掌握概念。所謂豐富的感知，并不能僅限于某種感知的數(shù)量，而應(yīng)借助多元的路徑及方法。而學(xué)生也應(yīng)基于不同的角度、形式以及感官體驗，對素材留下深刻的印象，建立準(zhǔn)確而具象的認(rèn)知，提升數(shù)學(xué)思維。

例如，在講解“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（二）”時，教師在完成例題1 的教學(xué)之后，可以繼續(xù)追問：“桃子的總個數(shù)有6 個、4 個、8 個，由于總個數(shù)不同，均分為兩份的話，每份所得到的個數(shù)也有所不同，是否都可以用1/2 表示？如果需要分的桃子的數(shù)量是10 個、48 個，100 個，甚至更多，也可以這樣表示嗎？”教師通過呈現(xiàn)一組總數(shù)相同、均分份數(shù)相同的桃子的圖片，引導(dǎo)學(xué)生展開觀察、對比、思考、交流，最后將桃子的實物外形隱去，轉(zhuǎn)化為其他物體，并同時給出提示：“這個整體可以看作一盤桃子，也可以將其轉(zhuǎn)化為生活中常見的其他物體所組成的整體，只要將其均分為兩份，則每一份都代表本整體的1/2?！苯?jīng)歷了比較與辨析之后，學(xué)生可以清晰地把握部分和整體之間的關(guān)系，從而加深對某一整體的幾分之一的理解，深刻把握分?jǐn)?shù)的本質(zhì)。

（二）借助表達(dá)表征，促進(jìn)概念理解

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時，教師都會提前布設(shè)實物，以幫助學(xué)生建立直觀感知，然后基于引導(dǎo)逐步過渡至圖形，最后再利用語言進(jìn)行生動的描述。在用語言對概念進(jìn)行表述的過程中，要經(jīng)歷以下環(huán)節(jié)：基于學(xué)生的語言表述、基于規(guī)范的數(shù)學(xué)語言表述、基于個性化的語言表述。而這也是提升學(xué)生表述能力的重要途徑。

規(guī)范的數(shù)學(xué)語言一般包括符號、文字、圖示等多元化的形式，并且具體的學(xué)習(xí)過程要依賴于符號語言，因為這種方式既直接又具象。因此，教師應(yīng)強(qiáng)化概念教學(xué)，一方面可以使學(xué)生建立正確的認(rèn)知及進(jìn)行清晰的表達(dá)；另一方面，也能夠推動學(xué)生學(xué)以致用，使學(xué)生可以在應(yīng)用的過程中感受數(shù)學(xué)的奧秘。以“因數(shù)和倍數(shù)”教學(xué)為例。學(xué)生對因數(shù)、倍數(shù)等概念比較陌生，教師細(xì)致講解后，需要學(xué)生理解和記憶。一位教師在解讀這一環(huán)節(jié)時，首先為學(xué)生呈現(xiàn)了乘法算式——“4×3=12”，目的是借助這個算式幫助學(xué)生對上述概念建立初步認(rèn)知。此后，這位教師還提供了表達(dá)方式：（ ）和（ ）是（ ）的因數(shù)，（ ）是（ ）的倍數(shù)，（ ）也是（ ）的倍數(shù)。這是一種規(guī)范的數(shù)學(xué)表達(dá)，在給出其他算式之后，要求學(xué)生借助這種表達(dá)方式說一說、練一練，從而使學(xué)生有效地將數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)表達(dá)結(jié)合起來，同時也有助于培養(yǎng)學(xué)生的語言表達(dá)能力，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)語言表達(dá)的規(guī)范性和科學(xué)性。所謂數(shù)學(xué)表達(dá)，簡單來說，就是在學(xué)習(xí)的過程中，對具體的實踐及應(yīng)用過程作出規(guī)范的描述，這種描述有助于學(xué)生把握概念內(nèi)涵、事物本質(zhì)屬性，能夠為學(xué)生更好地理解和記憶知識提供助力。

（三）借助過程表征，推進(jìn)概念內(nèi)化

概念的學(xué)習(xí)需要經(jīng)歷一個完整的過程：感知素材、建立表象、抽象概念、具體化概念。這也是在整個概念教學(xué)過程中教師必須關(guān)注的重要過程。首先，教師需要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)可以促使其展開深入觀察、分析和思考的平臺，這樣才能夠使學(xué)生聚焦注意力，積極主動地參與一系列認(rèn)知活動，例如建模、對比分析等，體驗概念的生成過程，進(jìn)而更好地進(jìn)行應(yīng)用與實踐。只有經(jīng)歷了這一過程，學(xué)生對概念的認(rèn)知才能夠從具象化、感性化上升到理性層面，才能夠清晰地把握概念的本質(zhì)屬性。

例如，在講解“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（二）”時，為了幫助學(xué)生建立直觀認(rèn)知，教師首先提出問題，引導(dǎo)學(xué)生圍繞該問題直接開展操作活動，體驗完整的觀察、對比、分析等思維活動，從而建立起對“幾分之一”概念的認(rèn)知。在經(jīng)過了多次對比分析之后，學(xué)生能夠從中把握變量及定量的概念，并從中提煉出分?jǐn)?shù)的本質(zhì)屬性，作出規(guī)范的數(shù)學(xué)表達(dá)[1]。其次，引入變式，一方面是為了幫助學(xué)生建立新舊知識對比；另一方面也可以結(jié)合課后拓展等多元化的方式，促使學(xué)生的感性思維上升到理性思維，通過新舊知識之間的邏輯關(guān)聯(lián)，促進(jìn)原有知識結(jié)構(gòu)體系的完善。在經(jīng)過實物操作、圖像操作及符號操作之后，學(xué)生可以結(jié)合多元表征實現(xiàn)對信息的操作處理，使信息外顯化、豐富化。這在一定程度上能對學(xué)生形成有效的思維引領(lǐng)，幫助學(xué)生完成對知識的意義架構(gòu)，同時也有助于深化學(xué)生對概念的理解，并使學(xué)生在這一過程中獲得成功的體驗。

三、發(fā)揮表征魅力，引導(dǎo)學(xué)生內(nèi)化概念

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，在主動建構(gòu)的過程中，作為認(rèn)知主體的學(xué)生，具有極其重要的地位和作用。那么，如何才能幫助學(xué)生準(zhǔn)確把握概念的內(nèi)涵和外延，是教師需要深入考量的核心問題。將多元表征引入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，不僅有助于促進(jìn)學(xué)生生成新知，而且也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維、提高學(xué)生解題能力的關(guān)鍵路徑。因為多元表征的本質(zhì)在于對數(shù)學(xué)概念進(jìn)行多層次的抽象、多角度的歸納，有助于學(xué)生完成多維度的建構(gòu)，改變數(shù)學(xué)內(nèi)在表征及思維過程原本的不可視狀態(tài)，使其變得真實、可感。

（一）引導(dǎo)學(xué)生動手操作，促進(jìn)概念內(nèi)化

在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生動手操作，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的內(nèi)化。只有這樣，才能夠達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果[2]。

例如，在講解“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（二）”時，教師可為學(xué)生提供自主探究的機(jī)會，由學(xué)生完成以下問題的探究：“給你24 顆糖，你認(rèn)為可以平均分成幾份？根據(jù)你的分法，每一份是總數(shù)的幾分之幾？”接下來，教師可讓學(xué)生開展自主操作，并根據(jù)學(xué)情反饋，提出問題：“這里面哪些因素發(fā)生了改變？哪些沒有發(fā)生改變？為何會出現(xiàn)這樣的情況？”結(jié)合問題，教師可讓學(xué)生以小組為單位進(jìn)行操作，并實時巡視，發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的問題并及時糾正。在這一過程中，教師不僅引入了聽思、學(xué)思相結(jié)合的教學(xué)方式，還實現(xiàn)了多感官的感知，使學(xué)生可以完整地體驗分?jǐn)?shù)這一概念的創(chuàng)造過程，體會其應(yīng)用。這顯然能夠改變概念的抽象性，使其變得具象可感、親切活潑。在教師的引導(dǎo)下，雖然最初呈現(xiàn)的是圖形表征，而學(xué)生通過操作可以將其轉(zhuǎn)化為符號表征、言語表征等多元化的方式，深化對分?jǐn)?shù)概念的理解。引入遷移、變式等多元化的學(xué)習(xí)方式，不僅有助于推動概念的轉(zhuǎn)化，也能夠幫助學(xué)生鍛煉并提升數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)學(xué)生綜合素養(yǎng)的全面發(fā)展。

（二）運(yùn)用 “大問題” 導(dǎo)學(xué)模式，深化概念理解

數(shù)學(xué)教學(xué)是為了發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的解題能力。在小學(xué)階段，教師可引入“大問題”導(dǎo)學(xué)模式?！按髥栴}”是指一類問題，包括數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)、重點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn)等。那么，怎樣才能更好地發(fā)揮“大問題”的導(dǎo)學(xué)功能，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平呢？以下是結(jié)合教學(xué)實踐提出的具體教學(xué)舉措。

例如，在講解完“乘法的初步認(rèn)識”后，為了能夠讓學(xué)生更好地鞏固新知，主動關(guān)聯(lián)舊知體系，順利解決現(xiàn)實問題，筆者設(shè)計了一個“大問題”，即“9+9+9+5+9=？”。設(shè)置這一問題的目的是引導(dǎo)學(xué)生回顧、梳理乘法的意義。經(jīng)過討論之后，學(xué)生認(rèn)為可以將加法轉(zhuǎn)換為乘法，這種方式會更加便捷。為了進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考，筆者提出問題：“那么，引入乘法計算的關(guān)鍵因素是什么？”學(xué)生的做法大多是在算式中找有幾個“9”，這樣就能夠?qū)λ闶竭M(jìn)行轉(zhuǎn)化，變成“9×4+5”。順著學(xué)生的思路，筆者繼續(xù)提問：“你能否找到其他的便捷方法？”此時，學(xué)生發(fā)現(xiàn)也可以把“5”當(dāng)作“9-4”，這樣就能夠轉(zhuǎn)化為“5×9-4”，這同樣是一種有效的簡便方式。

在“大問題”的引導(dǎo)下，學(xué)生能夠成功地運(yùn)用已經(jīng)掌握的方法、知識，實現(xiàn)新、舊知識的相互轉(zhuǎn)化，將題目中的“5”轉(zhuǎn)化為“9-4”，以此提出乘法的簡便計算策略，這就是一種創(chuàng)新思維。

總之，多元表征與小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律、認(rèn)知特點(diǎn)相符。通過實踐操作，學(xué)生既能夠在各種表征之間建立溝通和聯(lián)系，又能夠形成從多個維度看待問題的意識，徹底領(lǐng)悟概念的本質(zhì)，把握概念的內(nèi)涵和外延。