劉成漢,何 慶,杜逆索,陳 俊

1(貴州大學(xué) 大數(shù)據(jù)與信息工程學(xué)院，貴陽 550025) 2(貴州省公共大數(shù)據(jù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，貴陽 550025)

1 引 言

優(yōu)化問題一直都是各行各業(yè)的一個熱門話題，隨著技術(shù)的不斷發(fā)展，優(yōu)化顯得尤為重要.近年來，眾多學(xué)者對自然界中動物種群社會習(xí)性進(jìn)行大量研究，提出多種群智能優(yōu)化算法，如粒子群優(yōu)化(Particle Swarm Optimization，PSO)算法[1]，差分進(jìn)化(Differential Evolution，DE)算法[2]，鯨魚優(yōu)化算法(Whale Optimization Algorithm，WOA)[3]，蜻蜓算法(Dragonfly Algorithm，DA)[4]，蝙蝠算法(Bat Algorithm，BA)[5]，灰狼優(yōu)化(Grey Wolf Optimizer，GWO)算法[6]等.隨著性能的不斷改進(jìn)，這些群智能優(yōu)化算法已逐漸成為解決復(fù)雜優(yōu)化問題的有力工具.

2014年，澳大利亞格里菲斯大學(xué)學(xué)者M(jìn)irjalili等人提出了灰狼優(yōu)化(Grey Wolf Optimizer，GWO)算法[7].GWO算法是根據(jù)自然界中灰狼種群的等級制度以及捕食活動啟發(fā)而開發(fā)的一種群智能優(yōu)化算法.GWO算法相比其他群智能優(yōu)化算法具有易實(shí)現(xiàn)、收斂性強(qiáng)等特點(diǎn)，它己被成功地應(yīng)用到車間調(diào)度[8]、路徑規(guī)劃[9]、特征選擇[10]等領(lǐng)域中.

雖然GWO算法具有很多優(yōu)勢，但是GWO算法也存在一些智能優(yōu)化算法普遍存在的問題，例如易早熟收斂，收斂速度慢且精度不高等.針對上述問題，許多學(xué)者提出了不同的策略對灰狼優(yōu)化算法進(jìn)行改進(jìn).例如龍文等人[11]在種群初始化階段采用Tent混沌映射方法，產(chǎn)生具有更高隨機(jī)性的序列來初始化種群，保證了初始解的質(zhì)量；伍鐵斌等人[12]提出了一種用對數(shù)函數(shù)描述收斂因子的灰狼優(yōu)化算法，對收斂因子采取對數(shù)函數(shù)形式描述，從而平衡了算法的局部開發(fā)和全局搜索能力；朱海波等人[13]提出了一種基于差分進(jìn)化與優(yōu)勝劣汰策略的灰狼優(yōu)化算法，通過引入縮放和交叉概率因子以及競爭策略控制種群活力，防止種群陷入局部最優(yōu)值；Teng等人[14]提出了一種改進(jìn)的混合灰狼優(yōu)化算法，通過結(jié)合PSO算法的思想，利用個體最優(yōu)值和狼群的最優(yōu)值共同更新種群中個體的位置.上述改進(jìn)策略對于GWO算法的性能有一定提升，但是對于灰狼優(yōu)化算法收斂速度慢、精度低，易陷入局部最優(yōu)值的問題，依然存在很大的改進(jìn)空間.

綜上所述，針對GWO算法存在收斂慢、收斂精度不高，易陷入局部最優(yōu)值的問題，本文提出的改進(jìn)策略如下，首先引入Logistic混沌映射初始化灰狼種群，提高初始化種群位置的質(zhì)量；然后針對頭狼擾動和灰狼搜索步長分別引入不同的權(quán)重因子，用來平衡算法的局部開發(fā)和全局搜索能力；最后引入改進(jìn)的鯰魚效應(yīng)策略控制種群活力，避免算法早熟現(xiàn)象.

2 基本灰狼優(yōu)化算法

GWO算法是受到自然界灰狼的社會等級制度和追蹤捕獲獵物活動的啟發(fā)而開發(fā)的一種群智能算法.GWO模型是以灰狼內(nèi)部等級制度和種群追蹤捕獲獵物時包圍、狩獵和攻擊這3個步驟為思路建立的.將灰狼種群中最好的3匹狼定義為頭狼，分別用α，β和δ表示，α、β和δ狼在種群中起著指引作用.除頭狼之外的所有狼定義為ω狼，ω狼的位置更新圍繞α，β和δ狼進(jìn)行.設(shè)搜索維度為D，最大種群規(guī)模為N，灰狼個體當(dāng)前的位置為Xi.

2.1 包圍

在狩獵過程中，將灰狼個體包圍獵物的行為用數(shù)學(xué)模型描述如下：

Xi(t+1)=Xi(t)-Ai|CiXp-Xi(t)|

(1)

式中，Xp為獵物的位置，Ai|CiXp(t)-Ai|定義了包圍步長，其中|CiXp(t)-Ai|表示獵物與當(dāng)前個體之間的距離，Ai和Ci為控制參數(shù)，數(shù)學(xué)模型描述如下：

Ai=2a·rand1-a

(2)

Ci=2·rand2

(3)

式中，rand1和rand2表示取值為[0,1]的隨機(jī)數(shù)，收斂因子a的數(shù)學(xué)模型描述如下：

a=2-2t/tmax

(4)

式中，t和tmax分別表示當(dāng)前迭代次數(shù)和最大迭代次數(shù).隨著迭代次數(shù)的增加，a由2線性下降到0.

2.2 狩獵

由于算法不能通過主觀決策了解獵物的位置，因此，假設(shè)α，β和δ狼有了解獵物潛在位置的意識.其他灰狼通過α，β和δ狼的位置更新各自位置.灰狼位置更新數(shù)學(xué)模型如下：

(5)

(6)

式中，Xi(t)表示第i只灰狼當(dāng)前的位置，Xα(t)、Xβ(t)和Xδ(t)表示α，β和δ狼當(dāng)前的位置，Xi(t+1)表示當(dāng)前灰狼更新后的位置，C1、C2和C3為[0,1]之間的隨機(jī)數(shù).

2.3 攻擊

灰狼在狩獵過程中逐漸逼近獵物，最后通過攻擊獵物完成狩獵.灰狼攻擊獵物的過程可以描述為：參數(shù)A的值在[-a,a]之間隨機(jī)變化，隨著收斂因子a不斷減小，A的波動范圍也逐漸減小，當(dāng)A值的波動范圍在區(qū)間[-1,1]之外時，灰狼可以在當(dāng)前自身位置和獵物位置之間進(jìn)行搜尋；而當(dāng)A值的波動在區(qū)間[-1,1]以內(nèi)時，狼群必須向獵物發(fā)起攻擊.

綜上所述，GWO算法的尋優(yōu)過程可以描述為：生成一個種群規(guī)模為N的隨機(jī)灰狼種群，確定種群中位置最好的3匹狼α、β和δ狼，由α、β和δ狼預(yù)測獵物(最優(yōu)解)位置，種群內(nèi)其他狼根據(jù)α、β和δ狼的位置更新各自位置.隨著迭代次數(shù)增加，收斂因子a逐漸減小并控制參數(shù)A的波動，當(dāng)|A|>1時，灰狼遠(yuǎn)離獵物；當(dāng)|A|<1時，灰狼攻擊獵物，完成狩獵過程.

3 改進(jìn)GWO算法

3.1 混沌映射初始化種群

位置初始化對于種群的多樣性以及算法的穩(wěn)定性有一定的影響.GWO算法只能保證初始化時種群位置的分散程度，而分散并不意味著均勻.混沌序列具有一定的遍歷性和很高的隨機(jī)性，混沌映射能夠產(chǎn)生[0,1]之間分布較為均勻的隨機(jī)數(shù)，產(chǎn)生混沌序列的映射有很多，Logistic混沌映射就是其中最常用的映射之一.因此，本文引入Logistic混沌映射初始化種群，以保證種群初始位置的質(zhì)量，其數(shù)學(xué)模型描述如下：

Xk+1=μXk(1-Xk)

(7)

式中，μ∈[0,4]為控制參數(shù)，Xk∈[0,1].

對于初始值X0，工作于混沌狀態(tài)的前提是μ取[3.6,4.0]，工作于混沌狀態(tài)的序列是隨機(jī)的，而且是不收斂的.而對于μ取其他區(qū)間的序列必將收斂于某個值.μ∈[2.6,4]時X的映射分岔圖如圖1所示.

圖1 Logistic映射分岔圖Fig.1 Logistic map

由圖1可以看出，對于μ取[3.6,4.0]的映射處于混沌狀態(tài)，而且隨著μ的增大，X的取值均勻分布在區(qū)間[0,1]之間，所以取μ越接近4時X隨機(jī)性越高.

為了驗(yàn)證參數(shù)μ的取值對算法性能的影響，分別取μ的值為1.5、3.7和4.0，維度dim=30，種群數(shù)為30，種群搜索空間上下界ub=100，lb=-100，進(jìn)行種群初始化測試.當(dāng)μ取值為1.5、3.7和4.0時Logistic混沌映射初始化種群的個體位置如圖2所示.

由圖2可看出，當(dāng)μ取值為1.5時，種群經(jīng)過初始化后個體呈直線排布；當(dāng)μ取值為3.7時，種群個體初始分布較為密集，集中在區(qū)間[-50,50]之間；當(dāng)μ取值為4.0時，種群初始位置分散在整個搜索空間內(nèi).由此可知，當(dāng)Logistic混沌映射中的參數(shù)μ的取值越接近4.0時，其用于種群初始化所得到的種群位置越分散，且較均勻分布在整個空間.而種群的初始位置的分散程度決定種群的多樣性，在一定程度上影響算法的搜索速度和尋優(yōu)精度，因此取參數(shù)μ=4.0最為合理.

圖2 μ取不同值時種群初始位置圖Fig.2 Population location map with different μ

3.2 雙權(quán)重因子策略

慣性權(quán)重ω是平衡算法全局搜索能力與局部開發(fā)能力的關(guān)鍵因素[15].本文分別針對α，β和δ狼的擾動和灰狼的搜索步長，引入了兩種改進(jìn)的權(quán)重因子.用來加快GWO算法收斂并提高收斂精度.

3.2.1 自適應(yīng)權(quán)重因子

由于GWO算法中灰狼的位置更新取決于α，β和δ狼的位置，所以α、β和δ狼的位置擾動對于底層狼的位置更新有很大影響.當(dāng)個體越靠近最優(yōu)解位置時，對α、β和δ狼的擾動越小，有利于個體在局部范圍內(nèi)搜索；當(dāng)個體遠(yuǎn)離最優(yōu)解位置時，對α、β和δ狼的擾動越大，有利于個體全局搜索.本文借鑒文獻(xiàn)[15]提出的自適應(yīng)慣性權(quán)重策略，并做出了如下改進(jìn)：在每次迭代中，將灰狼個體按適應(yīng)度升序排序，然后平均分成兩部分分別求平均適應(yīng)度fa1和fa2.以fa1和fa2為界線，灰狼種群被分為3個等級的子群，最后對不同子群的個體分配不同的權(quán)重ω1.

本文引入的自適應(yīng)權(quán)重ω1用于頭狼位置的加權(quán)，取值區(qū)間為[0.2,1.8].當(dāng)ω1的取值越接近1時，頭狼的位置變化越小，此時頭狼的位置變化對于底層狼的位置更新影響越小，因此適應(yīng)度較好的底層狼可以在原來的位置附近進(jìn)行搜索，有利于加快算法收斂；反之，當(dāng)ω1的取值越遠(yuǎn)離1時，頭狼的位置變化越大，從而對于底層狼的位置更新影響越大，因此適應(yīng)度較差的底層狼的位置更新將獲得一個較大的步長，使距離獵物較遠(yuǎn)的底層狼遠(yuǎn)離較差的搜索空間，增加算法的全局搜索能力.具體權(quán)重分配如下：

1)f(i)≤fa1

當(dāng)前灰狼個體適應(yīng)度f(i)較小，說明個體處于較優(yōu)位置，與全局最優(yōu)解靠近.所以應(yīng)該給頭狼較小擾動，故ω1取值為[0.6,0.9]或[1.1,1.4]之間的隨機(jī)數(shù)，有利于個體在局部范圍內(nèi)進(jìn)行開發(fā).

2)f(i)>fa2

當(dāng)前灰狼個體適應(yīng)度f(i)較大，說明個體處于較差位置，與全局最優(yōu)解相距較遠(yuǎn).所以應(yīng)該給頭狼較大擾動，故ω1取值為[0.2,0.5]或[1.5,1.8]之間的隨機(jī)數(shù)，有利于個體全局搜索.

3)fa1

當(dāng)前灰狼個體處于一般位置，故ω1以取值為[0.9,1.1]之間的隨機(jī)數(shù)，只給予頭狼較小波動，使個體能在原來的位置附近進(jìn)行搜索.

3.2.2 步長權(quán)重因子

隨著算法迭代次數(shù)的增加，合理的步長對于算法的尋優(yōu)起著重要作用.算法迭代前期，種群較為分散，此時大步長有利于算法全局搜索最優(yōu)解；算法迭代后期，算法逐漸收斂，小步長有利于算法局部開發(fā).考慮到灰狼算法容易陷入局部最優(yōu)解，本文在算法迭代末期給予步長一個相對較大的權(quán)重，對于算法跳出局部最優(yōu)解有一定幫助，本文提出的步長權(quán)重因子ω2數(shù)學(xué)模型描述如下：

(8)

式中，m和k為常量系數(shù)，t為當(dāng)前迭代次數(shù)，tn為指定迭代數(shù).ω2曲線圖如圖3所示.

圖3 步長權(quán)重因子曲線Fig.3 Graph of step weight factor

引入雙權(quán)重因子后的灰狼位置更新數(shù)學(xué)描述如下：

(9)

綜上所述，本文采用雙權(quán)重因子，分別針對頭狼擾動和灰狼行進(jìn)步長.首先在頭狼擾動上引入分段權(quán)重，增加灰狼搜索的多樣性，有利于算法收斂；然后加入步長權(quán)重因子，隨著算法迭代逐漸減小步長，有利于算法的局部開發(fā)和全局搜索，并在算法迭代末期給予相對較大權(quán)重，增加算法跳出局部最優(yōu)的能力.

3.3 改進(jìn)的鯰魚效應(yīng)策略

由于沙丁魚不喜歡活動，被捕獲的沙丁運(yùn)輸過程中經(jīng)常窒息而死.為了解決這一問題，漁夫們通常在捕獲的沙丁魚中加入其天敵—鯰魚，鯰魚的存在讓沙丁魚活躍起來，從而保證了沙丁魚的存活率，這就是著名的“鯰魚效應(yīng)”.文獻(xiàn)[16]中把鯰魚效應(yīng)策略應(yīng)用到人工蜂群算法中，通過粒子間的競爭淘汰沒有活力的粒子.具體實(shí)現(xiàn)過程如下，當(dāng)記錄的當(dāng)代全局最優(yōu)解gbest(i)在規(guī)定的迭代次數(shù)內(nèi)沒有更新，則對種群適應(yīng)度較差的90%粒子進(jìn)行速度和位置上的初始化，進(jìn)而恢復(fù)種群活力.

文獻(xiàn)[17]提出的鯰魚效應(yīng)策略需要多次初始化種群90%的個體，這會導(dǎo)致種群搜索進(jìn)程緩慢，不利于算法收斂.因此，本文針對GWO算法易陷入局部最優(yōu)問題，提出了一種改進(jìn)的鯰魚效應(yīng)策略，具體實(shí)現(xiàn)過程如下：把灰狼種群隨機(jī)分為幾個小種群，在小種群內(nèi)分別記錄每一次迭代的最優(yōu)解gbestj(i)，當(dāng)記錄的最優(yōu)解在規(guī)定的迭代次數(shù)內(nèi)沒有進(jìn)化則更新當(dāng)前小種群內(nèi)適應(yīng)度較差的90%個體的位置，位置更新引入文獻(xiàn)[18]中的正余弦優(yōu)化算法，其具體位置更新數(shù)學(xué)模型如下：

(10)

(11)

式中，a為常數(shù)，tmax為最大迭代次數(shù)，迭代前期r1值較大，有利于算法全局尋優(yōu)，隨著迭代次數(shù)的增加r1值逐漸減小，算法局部尋優(yōu)能力增強(qiáng).

改進(jìn)后的鯰魚效應(yīng)策略不僅能提高算法跳出局部最優(yōu)的能力，還能避免大規(guī)模的位置更新帶來的算法收斂速度慢以及多次初始化帶來的尋優(yōu)效果差等問題.

3.4 IGWO算法的實(shí)現(xiàn)步驟

步驟1.參數(shù)初始化，設(shè)置種群規(guī)模為N，搜索維度dim，最大迭代次數(shù)tmax，上下界ub、lb.

步驟2.種群初始化.引入Logistic混沌映射策略隨機(jī)生成初始種群.并把種群隨機(jī)分成s個小種群.

步驟3.更新收斂因子a，計(jì)算群體中每個個體的適應(yīng)度值并排序，選出α，β和δ狼，求出平均適應(yīng)度fa1、fa2.

步驟4.根據(jù)公式(2)、公式(3)計(jì)算出C和A.

步驟5.更新每只灰狼個體位置.根據(jù)灰狼適應(yīng)度確定權(quán)重ω1和ω2，并把權(quán)重加在灰狼搜索上.

步驟6.分別計(jì)算m個小種最優(yōu)解gbestj(i)，并判斷在n代內(nèi)是否有更新，如果沒有進(jìn)化則更新小種群內(nèi)適應(yīng)度較差的90%個體，否則繼續(xù).

步驟7.判斷是否迭代至最大迭代次數(shù)tmax，滿足條件則退出循環(huán)，否則循環(huán)跳轉(zhuǎn)至步驟3.

步驟8.算法尋優(yōu)結(jié)束，輸出α狼位置即為尋優(yōu)結(jié)果.

4 實(shí)驗(yàn)仿真與分析

4.1 測試函數(shù)

為了檢驗(yàn)IGWO算法性能，選取表1中的10個標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)進(jìn)行測試，其中包括復(fù)雜單峰測試函數(shù)f1、f2、f3、f4、f5和復(fù)雜多峰測試函數(shù)f6、f7、f8、f9、f10，其中f10為固定維度函數(shù)，維度為2，測試函數(shù)信息如表1所示.

4.2 測試改進(jìn)算法性能

仿真實(shí)驗(yàn)采用的計(jì)算機(jī)配置詳細(xì)情況為，CPU為 Intel Core i5-7500U，主頻為3.40GHz，8G RAM，操作系統(tǒng)為Microsoft Windows 64位操作系統(tǒng).計(jì)算環(huán)境為Matlab2016(a).實(shí)驗(yàn)測試依次對10個標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)進(jìn)行30維和200維測試.

表1 測試函數(shù)Table 1 Test function

4.2.1 混沌初始化仿真分析

為了提高初始化種群的多樣性和種群位置的質(zhì)量，引入Logistic混沌映射.取Logistic混沌映射控制參數(shù)μ=4.0，測試函數(shù)維度dim=30，最大迭代次數(shù)為tmax=500.GWO算法和加入混沌初始化的灰狼優(yōu)化算法(LGWO)在單峰測試函數(shù)f3和多峰測試函數(shù)f6上的尋優(yōu)對比如圖4所示.

圖4 引入Logistic映射尋優(yōu)對比圖Fig.4 Logistic mapping comparison diagram

由圖4可以看出，單獨(dú)引入Logistic混沌映射的灰狼優(yōu)化算法在算法性能上提升并不大，對于單峰測試函數(shù)f3和多峰測試函數(shù)f6，算法并不能找到理論最優(yōu)解.這是由于混沌初始化種群的隨機(jī)性很大，雖然單獨(dú)引入效果不好，但是結(jié)合其他策略后對于算法總體性能有一定提升.

4.2.2 雙權(quán)重因子策略仿真分析

針對頭狼擾動和灰狼搜索步長，本文引入了兩種不同的權(quán)重因子ω1和ω2用來加快算法收斂，平衡算法的局部和全局搜索能力.為了直觀地評價改進(jìn)算法的尋優(yōu)效果，分別對基本灰狼優(yōu)化算法(GWO)、只引入權(quán)重因子ω1的灰狼優(yōu)化算法(W1GWO)、只引入權(quán)重因子ω2的灰狼優(yōu)化算法(W2GWO)以及引入權(quán)重因子ω1和ω2的灰狼優(yōu)化算法(WGWO)進(jìn)行單峰f1、f5測試函數(shù)和多峰f7、f8測試函數(shù)上的尋優(yōu)測試對比.其中測試維度取值為dim=30，最大迭代次數(shù)tmax=1000，權(quán)重因子ω2中的常量系數(shù)取值為：m=0.2、k=3、tn=350.實(shí)驗(yàn)對比結(jié)果如圖5所示.

由圖5可知，單獨(dú)引入權(quán)重因子ω1和ω2或者兩者都引入后的算法都能提高算法的收斂速度，但是引入兩種權(quán)重后算法收斂更快，收斂精度更高.對于單峰函數(shù)f1函數(shù)和多峰函數(shù)f8，引入雙權(quán)重因子后的GWO算法能夠找到最優(yōu)值0；對于單峰函數(shù)f4和多峰函數(shù)f8，引入雙權(quán)重因子后的GWO算法雖然沒有找到最優(yōu)值，但是算法的收斂速度和收斂精度均有提升.雖然引入雙權(quán)重因子后的GWO算法對于GWO算法收斂速度和精度有一定提升，但是通過對其他復(fù)雜多峰測試函數(shù)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)其尋優(yōu)結(jié)果并不是很理想，由此可以得到結(jié)論，加入雙權(quán)重因子能夠加快算法收斂、提高算法收斂精度，但是對于部分多峰函數(shù)尋優(yōu)效果并不是特別理想.

圖5 引入權(quán)重因子尋優(yōu)結(jié)果對比Fig.5 Comparison of weight factor results

4.2.3 改進(jìn)鯰魚效應(yīng)策略仿真分析

通過前面分析可知，引入混沌初始化和雙權(quán)重因子的GWO算法在一定程度上提高了算法的收斂速度，并且在部分單峰和多峰函數(shù)上能夠找到最優(yōu)值，但是對于一些復(fù)雜多峰函數(shù)，其尋優(yōu)效果并不理想.針對算法在迭代過程中容易陷入局部最優(yōu)的問題，本文引入并加以改進(jìn)，通過更新種群中適應(yīng)度差的個體來增加種群活力，從而避免算法陷入局部最優(yōu)值.選取測試維度dim=30，最大迭代次數(shù)tmax=1000，策略中隨機(jī)選取的種群數(shù)s=5，規(guī)定的迭代次數(shù)n=10，將基本灰狼優(yōu)化算法(GWO)與引入改進(jìn)鯰魚效應(yīng)策略的灰狼優(yōu)化算法(CGWO)在單峰測試函數(shù)f3、f5和多峰測試函數(shù)f8、f9上的尋優(yōu)效果進(jìn)行對比，尋優(yōu)結(jié)果如圖6所示.

由圖6可以看出，加入改進(jìn)鯰魚效應(yīng)策略后的GWO算法在單峰函數(shù)f3和多峰函數(shù)f8上能找到最優(yōu)值0；對于單峰函數(shù)f5和多峰函數(shù)f9，GWO算法陷入了局部最優(yōu)值，而引入改進(jìn)鯰魚效應(yīng)策略的GWO算法能夠跳出局部最優(yōu)值，進(jìn)一步提高了收斂精度.仿真結(jié)果表明，引入改進(jìn)鯰魚效應(yīng)策略的灰狼算法在收斂精度和跳出局部最優(yōu)值能力上有一定提升.

綜上所述，3個改進(jìn)點(diǎn)分別都對算法的性能有一定的提升，但是單獨(dú)的改進(jìn)對于部分復(fù)雜函數(shù)并不能找到其最優(yōu)值.最后將3個改進(jìn)部分一起引入算法，并與其他算法進(jìn)行對比，對比結(jié)果將在下節(jié)給出.

圖6 改進(jìn)鯰魚效應(yīng)策略尋優(yōu)結(jié)果Fig.6 Improve catfish strategy to optimize results

4.3 與其他優(yōu)化算法尋優(yōu)對比

4.3.1 與其他基本優(yōu)化算法性能對比

將IGWO算法與GWO算法、PSO算法和WOA算法進(jìn)行尋優(yōu)實(shí)驗(yàn)對比.選取維度為dim=30，最大迭代次數(shù)為tmax=500，混沌映射控制參數(shù)μ=4.0，改進(jìn)鯰魚效應(yīng)策略整中隨機(jī)選取的種群數(shù)為s=5、規(guī)定的迭代次數(shù)n=10，權(quán)重因子ω2中各常量參數(shù)的選取如下：m=0.2、k=3、tn=350.為了驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)的可靠性，對10個標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)分別進(jìn)行30次實(shí)驗(yàn)，計(jì)算平均值和標(biāo)準(zhǔn)差.測試函數(shù)尋優(yōu)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對比如表2所示.

表2 各優(yōu)化算法30維尋優(yōu)對比表Table 2 Optimization comparison table for each optimization algorithm(30d)

從表2可知，IGWO算法對于f1、f2、f3、f4、f6和f86個測試函數(shù)能夠收斂到理論最優(yōu)值，對于f9函數(shù)，GWO算法尋優(yōu)時容易陷入局部最優(yōu)值，而IGWO算法雖然不能找到全局最優(yōu)值，但是能夠跳出局部最優(yōu)值并且尋優(yōu)結(jié)果更加接近理論最優(yōu)值，對于測試函數(shù)f5、f7和f10，雖然IGWO算法并沒有收斂到理論最優(yōu)值，但是在尋優(yōu)精度上均高于其他優(yōu)化算法.通過對比說明IGWO算法引入Logistic混沌映射初始化種群并采用雙權(quán)重因子和改進(jìn)地鯰魚效應(yīng)策略能夠在一定程度上規(guī)避局部最優(yōu)解，并且提高了算法的收斂速度和精度.

為了更加直觀地觀測以上4種算法的高維尋優(yōu)效果，采用維度dim=200，最大迭代次數(shù)tmax=500，分別對10個標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)測試，尋優(yōu)對比如圖7所示.

圖7 各優(yōu)化算法200維尋優(yōu)對比圖Fig.7 Comparison diagram of optimization algorithms(200d)

由圖7可以看出，對于高維函數(shù)IGWO算法同樣具有很好的尋優(yōu)效果，對于單峰測試函數(shù)f1、f2、f3、f4和多峰測試函數(shù)f6、f9，IGWO算法在200維時仍然能夠收斂到最優(yōu)值0；對于單峰測試函數(shù)f5和多峰測試函數(shù)f7、f9，IGWO算法雖然沒有收斂到最優(yōu)值，但是對比各優(yōu)化算法收斂精度更高，且能跳出局部最優(yōu)值；對于固定維度測試函數(shù)f10，IGWO更接近理論最優(yōu)值0.0003.說明IGWO算法不僅在收斂速度和精度上優(yōu)于其他多種智能優(yōu)化算法，還能在一定程度上規(guī)避局部最優(yōu)值，通過GWO算法、PSO算法和WOA算法與IGWO算法的尋優(yōu)對比圖可以看出IGWO算法的優(yōu)勢.

4.3.2 與其他改進(jìn)灰狼優(yōu)化算法性能對比

表3為IGWO算法與其他改進(jìn)的灰狼優(yōu)化算法尋優(yōu)對比結(jié)果，取維度為dim=30，最大迭代次數(shù)tmax=500，其中GWO-EPD算法、NGWO算法和SMIGWO算法數(shù)據(jù)來源于文獻(xiàn)[19]和文獻(xiàn)[20].

表3 各改進(jìn)灰狼優(yōu)化算法30維尋優(yōu)對比表Table 3 Optimization comparison table for each improved(GWO)algorithm(30d)

根據(jù)表3的結(jié)果來看，在相同的維度和評價次數(shù)下，各改進(jìn)灰狼優(yōu)化函數(shù)尋優(yōu)結(jié)果對比如下：對于單峰函數(shù)，IGWO算法尋優(yōu)結(jié)果明顯好于其他改進(jìn)算法，例如f1、f2、f3和f4函數(shù)，IGWO算法能夠收斂到理論最優(yōu)值0，但是其他算法都沒有收斂到0，而對于f5函數(shù)，IGWO算法收斂精度是最高的；對于多峰測試函數(shù)f6和f8，IGWO算法、NGWO算法和SMIGWO算法都能收斂到最優(yōu)值，對于f9函數(shù)，IGWO算法收斂精度是最高的，對于測試函數(shù)f7，SMIGWO算法收斂精度最高，但通過對比文獻(xiàn)[19]發(fā)現(xiàn)IGWO算法收斂速度要快于SMIGWO算法；對于固定維度測試函數(shù)f10，其他改進(jìn)灰狼優(yōu)化算法并沒有給出結(jié)果，但本文給出的尋優(yōu)結(jié)果接近理論最優(yōu)值0.0003.對比結(jié)果說明本文提出的IGWO算法的性能在總體上好于GWO-EPD算法、NGWO算法和SMIGWO算法.

4.4 改進(jìn)算法時間復(fù)雜度分析

GWO算法的時間復(fù)雜度為O(N×dim×tmax)，N為個體數(shù)，tmax為最大迭代次數(shù)，dim為維度.本文提出的IGWO算法各環(huán)節(jié)時間復(fù)雜度分析如下：

1)IGWO算法采用Logistic混沌映射初始化種群，時間復(fù)雜度為O(N×dim)，因此引入混沌初始化的GWO算法的時間復(fù)雜度為O(N×dim×(tmax+1))=O(N×dim×tmax).

2)假設(shè)計(jì)算權(quán)重因子所需的時間為w1，加入權(quán)重因子后灰狼位置更新時間增加了w2，則引入權(quán)重因子的GWO算法時間復(fù)雜度為O(N×dim×tmax+w1+w1)=O(N×dim×tmax).

3)假設(shè)引入改進(jìn)鯰魚效應(yīng)策略時種群劃分所需時間為w3，記錄每個小種群當(dāng)代最優(yōu)解所需時間為w4，正余弦位置更新所需時間為w5，則引入改進(jìn)鯰魚效應(yīng)策略的GWO算法時間復(fù)雜度為O(N×dim×tmax+w3+w4+w5)=O(N×dim×tmax).

綜上所述，IGWO算法的時間復(fù)雜度為O(N×dim×tmax).由此可知，本文提出的IGWO算法時間復(fù)雜與GWO算法時間復(fù)雜度一致，而且IGWO算法穩(wěn)定性更高，并且尋優(yōu)精度高于GWO算法.

5 結(jié)束語

為了改善GWO算法存在的尋優(yōu)速度慢，跳出局部最優(yōu)值能力差等問題，本文提出基于雙權(quán)重因子的改進(jìn)鯰魚效應(yīng)策略GWO算法(IGWO)，IGWO算法利用混沌映射初始化種群，保證種群多樣性；為了提高算法尋優(yōu)速度，加入兩種不同的權(quán)重因子，協(xié)調(diào)了算法尋優(yōu)能力；最后通過結(jié)合鯰魚捕食沙丁魚的思想，引入改進(jìn)的鯰魚效應(yīng)策略來提高了種群活力，防止算法早熟現(xiàn)象.通過對10個標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)進(jìn)行仿真分析可以看出，改進(jìn)后的IGWO算法在尋優(yōu)速度和精度以及跳出局部最優(yōu)值能力方面有了較大的提升.下一步的研究工作是將IGWO算法應(yīng)用到多目標(biāo)優(yōu)化問題中.