劉小靖，周又和，王記增

（蘭州大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院 西部災(zāi)害與環(huán)境力學(xué)教育部重點實驗室，蘭州 730000）

（我刊編委周又和、王記增來稿）

引 言

小波分析發(fā)端于對地震波的分析研究.對于頻率隨時間顯著變化的地震波，研究人員除希望知道其所包含有哪些頻率的波外，更期望能夠具體掌握各頻率波所出現(xiàn)的次序與持續(xù)時間等信息.Fourier 分析雖能非常精準地給出整個地震波的頻譜成分，但卻完全無法識別各頻率波所發(fā)生的時刻，即Fourier 分析具有理想的頻率分辨率，但卻完全沒有時間分辨率[1].顯然，對于普遍存在于自然界與人類生產(chǎn)活動中的各類頻率隨時間(或空間)變化的非平穩(wěn)信號而言，F(xiàn)ourier 分析是遠遠不足以滿足需求的.故而，在Fourier 分析的基礎(chǔ)上，研究人員進一步提出了窗口Fourier 變換[2].通過引入一個窗口函數(shù)，每次截取一小段時間(或空間)內(nèi)的信號來進行Fourier 分析，從而使得窗口Fourier 變換能夠同時獲得一定的時間(或空間)分辨率與頻率分辨率.其中，時-頻分辨率取決于窗口函數(shù)，一旦取定則窗口Fourier 變換的時-頻分辨率會隨之確定，在整個分析中不會再發(fā)生變化.通常，較小的窗口可以獲得較高的時間(或空間)分辨率，反之較大的窗口則可以獲得較高的頻率分辨率，即時間(或空間)分辨率與頻率分辨率無法兼得.事實上，根據(jù)測不準原理，我們不可能同時精確地識別出一個信號的頻率與發(fā)生時刻，即無法同時獲得理想的時間(或空間)分辨率與頻率分辨率，二者之間必須進行折中.在現(xiàn)實應(yīng)用中，對于通常持續(xù)時間較長(或空間較大)的低頻信號，我們希望獲得高的頻率分辨率，而對時間(或空間)的分辨率要求可以適當(dāng)降低.反之，對于持續(xù)時間較短(或空間較小)的高頻信號，我們則希望有高的時間(或空間)分辨率，而對頻率分辨率可適當(dāng)放松.因為分辨率水平?jīng)Q定著絕對誤差，對于頻率較低的信號，為控制頻率分析的相對誤差，需使得其絕對誤差處于較低的水平(即要求高頻率分辨率)，反過來由于其持續(xù)時間較長(或空間較大)，則即使時間(或空間)分析的絕對誤差相對大一些也仍可使得其相對誤差維持在較低的水平.而針對高頻信號的分析要求則剛好相反.由前述介紹可知，窗口Fourier 變換的時-頻窗口在一次分析中是固定的，即其時-頻分析的絕對誤差保持不變.因此對于我們通常更為關(guān)心的相對誤差，將會隨著信號頻率與持續(xù)時間的變化而改變，這對于頻率隨時間(或空間)變化較為劇烈的非平穩(wěn)信號是不夠理想的，甚至很多時候是無法接受的.故而，研究人員在窗口Fourier 變換的基礎(chǔ)上進一步發(fā)展出來了小波分析[3].小波分析通過尺度伸縮與位置平移可以在整個時域(或空間)生成一系列時-頻分辨率不一的窗口，即多分辨分析，從而自適應(yīng)地識別分析信號中的不同頻率成分.

從Fourier 分析到小波分析是復(fù)雜信號分析處理技術(shù)的一個逐漸改進發(fā)展的過程.簡而概之，窗口Fourier 變換在一定程度上彌補了Fourier 變換完全不具有時間(或空間)分辨率的缺陷，而小波分析則進一步彌補了窗口Fourier 變換的時-頻分辨率無法隨信號頻率自適應(yīng)調(diào)整的不足.后者可以不是非常準確地理解為，窗口Fourier 變換控制的是時間(或空間)分析與頻率分析的絕對誤差，而小波分析控制的則是實際應(yīng)用中更為關(guān)心的相對誤差.因此，小波分析被認為是在信號處理領(lǐng)域中繼Fourier 分析之后的里程碑式進展[4].

從小波分析的發(fā)展背景可以看出，其為目前分析處理頻率隨時間(或空間)變化的非平穩(wěn)信號的有力工具，甚至往往是最佳選擇.而計算力學(xué)中許多問題的挑戰(zhàn)正是來自于對局部特征的表征與捕獲.如復(fù)雜幾何體的建模往往可歸結(jié)為對局部幾何細節(jié)的刻畫，斷裂問題分析的關(guān)鍵在于有效地處理裂尖附近應(yīng)力場的奇異性及裂紋面處的間斷.同時，由于物理與幾何強非線性的存在，大量力學(xué)問題在定量求解時會存在高階（高頻）信息與低階(低頻)信息耦合影響引起的計算難題.如在計算流體力學(xué)中如何有效地表征不同尺度的渦運動及其之間的相互作用[5].因此，小波分析的特點正好迎合了解決目前計算力學(xué)中這些挑戰(zhàn)性問題的根本需求，進而在數(shù)學(xué)適用性上相較于常規(guī)方法具有更明顯的優(yōu)勢.同時，小波基函數(shù)還可兼具緊支性、正交性、高階連續(xù)性、一致性、插值性等諸多在數(shù)值計算中所期望的優(yōu)良數(shù)值性質(zhì).故而，在小波理論初步成熟的20世紀90年代初，研究人員便將小波分析引入到微分方程的求解與計算力學(xué)中，構(gòu)建了多種小波基數(shù)值方法用于分析求解各類物理力學(xué)問題.如早在1991年，Latto 等便成功構(gòu)造了求解Burgers 方程的小波Galerkin 法[6].隨后，Xu 和Shann[7]系統(tǒng)研究了兩點邊值問題的小波Galerkin 解法，并指出需進一步攻克緊支撐正交小波函數(shù)或尺度函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)乘積積分(通常稱之為連接系數(shù))的高精度計算以及抑制邊界附近因級數(shù)截斷所導(dǎo)致的數(shù)值失穩(wěn)這兩個基本難題.Tanaka 等[8]在采用不具有正交性的B 樣條小波Galerkin 方法求解固體力學(xué)問題時，也同樣發(fā)現(xiàn)級數(shù)展開在邊界附近的截斷會導(dǎo)致離散后的剛度矩陣奇異等最終引起數(shù)值失穩(wěn)的問題.針對這兩個小波方法發(fā)展中所面臨的基礎(chǔ)性問題，蘭州大學(xué)學(xué)者[9]于2000年前后提出了緊支正交小波連接系數(shù)的精確計算方法，以及可有效抑制邊界數(shù)值失穩(wěn)的延拓技術(shù)，從而大幅改善了小波Galerkin 方法的求解精度，并在一系列數(shù)值測試中驗證展示了小波方法相較于有限元等傳統(tǒng)數(shù)值方法在精度上的明顯優(yōu)勢.隨后，學(xué)者們[9-11]還進一步將小波Galerkin 法擴展應(yīng)用于高階偏微分方程的求解，如梁板結(jié)構(gòu)的彎曲問題.之后，小波方法引起了更為廣泛的關(guān)注與重視，相關(guān)研究也得到了快速發(fā)展.研究人員通過結(jié)合不同的小波基函數(shù)與方程離散技術(shù)開發(fā)出了多種小波基數(shù)值方法用以求解各類物理力學(xué)問題.如Nakagoshi 和Noguchi[12]在2001年提出了一種改進的小波Galerkin 法用以求解Mindlin 板的彎曲問題.Alqassab 和Nair[13]運用小波Galerkin 方法分析了彈性電纜的自由振動.Li 等[14-15]基于小波有限單元法求解了板的彎曲問題，并開發(fā)了一種裂紋檢測技術(shù).這一發(fā)展時期，有關(guān)各類小波基方法的研究進展，可進一步參考Li 和Chen 于2014年發(fā)表的綜述性文獻[16].

從上述簡短的介紹可以看出，小波方法在2000年前后的十余年里得到了迅猛發(fā)展.但這些研究工作大部分屬于對各類小波基數(shù)值方法的原理性驗證，很多研究都是基于非常簡單的模型問題來分析討論各類小波方法的精度、效率與穩(wěn)定性等數(shù)值特性，而針對相對更為復(fù)雜的工程問題的應(yīng)用研究則非常匱乏.事實上，研究人員一直都在持續(xù)努力推動小波方法的實用化，但卻長期受制于如下兩個基本問題遲遲無法得到有效解決而進展緩慢.其一是非規(guī)則求解域的有效處理技術(shù).初始小波分析是定義在開區(qū)間上的，因此在有限域上運用時需要進行級數(shù)截斷，由此將在邊界附近產(chǎn)生數(shù)值失穩(wěn)[9].雖然在小波方法發(fā)展的早期已經(jīng)給出了處理一維問題的邊界延拓技術(shù)[9]，但卻一直缺少直接適用于二維與三維復(fù)雜區(qū)域問題的邊界延拓方法.因此，對于二維與三維問題，相應(yīng)的小波基往往只能由結(jié)合邊界延拓后的一維小波基的張量積來生成，導(dǎo)致只能處理高度規(guī)則的問題域.雖然研究人員針對這一問題先后提出了虛擬區(qū)域法與小波有限元等處理技術(shù)，但各自都面臨著一些較為嚴峻的挑戰(zhàn).如在虛擬區(qū)域法中，求解域被擴大導(dǎo)致計算量增加，同時往往會在虛擬區(qū)域與真實問題域的界面處產(chǎn)生不連續(xù)，導(dǎo)致計算精度下降以及數(shù)值穩(wěn)定性問題[17-18].而小波有限元則需計算小波基函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)與Jacobi 矩陣之積的積分，由于小波函數(shù)的導(dǎo)數(shù)往往高度振蕩，造成這一積分所需的計算量非常大而精度卻不高.同時，在相鄰單元界面處的連續(xù)性難以保證，即通常為非協(xié)調(diào)元，故而在使用時還需額外關(guān)注穩(wěn)定性問題.其二是非線性問題的求解.在運用小波Galerkin 法求解非線性問題時，需要計算小波基函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)多重乘積或與超越函數(shù)之積等復(fù)雜函數(shù)的積分，而這些積分通常難以高效高精度的獲得.故而，在非線性問題求解中，往往采用小波配點法以避免這些復(fù)雜的積分運算.但對于大多數(shù)物理力學(xué)問題，如固體力學(xué)問題，與變分原理對應(yīng)的Galerkin 法往往具有更為優(yōu)良的精度與穩(wěn)定性.但小波Galerkin 法由于自身存在的上述局限，難以展現(xiàn)優(yōu)勢.

正是由于小波方法在非規(guī)則求解域與非線性問題的處理中面臨著上述挑戰(zhàn)，導(dǎo)致其難以用于分析相對復(fù)雜的工程問題.因此，雖然小波方法在很多基準模型測試中展現(xiàn)出了非常誘人的優(yōu)勢，但限于自身極為有限的適用范圍，造成近年來關(guān)于小波方法的研究逐步減少.但應(yīng)該看到，雖然小波方法具有一些自身的弱點，但在復(fù)雜問題處理中其所具有的獨特優(yōu)勢依然是不可替代的.因此，如何在保持小波分析優(yōu)勢的同時克服小波基數(shù)值方法在非規(guī)則求解域與非線性問題分析中的局限成為了近些年來研究的熱點.本文后續(xù)部分將逐一介紹近年來小波方法在非規(guī)則求解域與非線性問題以及高階微分方程求解方面的最新研究進展.

1 復(fù)雜求解域的處理技術(shù)

復(fù)雜求解域及相應(yīng)邊界條件的處理是所有數(shù)值方法面臨的基本難題之一，也一直是制約各種方法進一步發(fā)展與應(yīng)用的主要障礙之一[19-20].即使是目前已非常成熟的有限元與有限體積法等網(wǎng)格基方法，也依然面臨著網(wǎng)格生成極為耗時且難以完全由計算機全自動生成等諸多嚴峻挑戰(zhàn)[21-22].相對于這些采用多項式為基底的方法，對于針對開區(qū)間函數(shù)分析而構(gòu)建的小波而言則面臨著更大的困難.

根據(jù)小波多分辨分析理論，在有限區(qū)域Ω上逼近L2函數(shù)時，有[23-24]

其中 φk(x)和 ψk(x)分別為由緊支小波尺度函數(shù) φ(x)和 小波函數(shù) ψ(x)通過伸縮平移形成的基函數(shù).圖1給出了消失矩γ=6 和尺度函數(shù)一階矩M1=的廣義正交Coiflet 小波[9]的尺度函數(shù)和小波函數(shù)及其頻譜.在式(1)中，展開系數(shù)可具體表征為

圖1 廣義正交Coiflet小波(γ=6，M1=7)：(a)尺度函數(shù)φ(x)和小波函數(shù)ψ(x)；(b)頻譜Fig.1 The generalized orthogonal Coiflet with γ=6 and M1=7:(a) scaling function φ(x) and wavelet function ψ(x);(b) frequency spectrum

基于小波多分辨理論，在近似格式(1)中，尺度級數(shù)Sj f(x)表征著函數(shù)f(x)的低頻成分(如圖1所示)，并維持著式(1)精確重構(gòu)低階多項式的能力(即一致性)；而小波級數(shù)部分Qnf(x)則代表著f(x)的高頻成分(如圖1所示)，通常用于描述局部細節(jié)，作為對尺度級數(shù)的補充，可根據(jù)實際需要進行增減.因為尺度級數(shù)Sj f(x)維持著式(1)的一致性，故而必須完備，即序列 {φk(x),k=1,2,···,N+Ne} 應(yīng) 當(dāng)恰好剛剛是緊支域 Ωφk與區(qū)域Ω存在交集的所有尺度基函數(shù)的集合.由此，式(1)中必定會存在緊支域 Ωφ

k只有非常小的一部分位于區(qū)域Ω內(nèi)的尺度基函數(shù) {φk(x),k=N+1,N+2,···,N+Ne}，如圖2所示.同時，由圖1可知對于緊支小波其函數(shù)值包含導(dǎo)數(shù)值在緊支域的邊界處都非常小，遠小于其最大值.因此，若直接使用式(1)作為試函數(shù)，則無論是用Galerkin 法，抑或是傳統(tǒng)配點法，還是其他離散方法，在離散系統(tǒng)的系數(shù)矩陣中，與這些基函數(shù)對應(yīng)的行元素都會遠小于其他行元素，導(dǎo)致方程系數(shù)矩陣的條件數(shù)非常大甚至接近于奇異，由此必須采用計算量非常大的特殊方法才能求解，且解的精度往往非常不理想.而另一方面，如前所述這些項又不能直接舍掉，否則式(1)在邊界附近將會喪失精確重構(gòu)低階多項式的能力，導(dǎo)致解的誤差在邊界附近急劇增大，產(chǎn)生數(shù)值失穩(wěn)[4,25].

圖2 在有限區(qū)域上逼近函數(shù)所需的尺度基函數(shù)及邊界延拓示意圖Fig.2 Diagrammatic drawing of the required scaling basis function and the corresponding boundary extension in the approximation of a function in a finite domain

鑒于在微分方程求解中，既不能直接將式(1)中的展開系數(shù)ck，k=N+1,N+2,···,N+Ne作為基本求解量，也不能直接賦為零(即舍掉)，故而研究人員提出了邊界延拓的思想[26-27]，即用其余展開系數(shù)ck，k=1,2,···,N將這部分系數(shù)表征出來.但要通過初始定義式(2)建立二者之間的聯(lián)系，除非采用周期延拓否則幾乎不可能.但周期延拓，即認為函數(shù)是以求解域為一個周期的周期函數(shù)的處理方式，一方面只適用于高度規(guī)則的求解域，同時并不能確保近似格式(1)的一致性，只適用于極少數(shù)特定問題.故而，王記增與周又和[17-18]進一步提出了計算尺度展開系數(shù)ck的廣義小波Gauss 積分法，同時國外學(xué)者也開發(fā)了插值小波[25].二者的共同特征是用節(jié)點值來表征尺度展開系數(shù)ck，即式(1)可改寫為

式中 θk(x)為(擬)插值小波尺度基函數(shù)，xk，k=1,2,···,N和k=N+1,N+2,···,N+Ne則分別為位于域內(nèi)和域外的節(jié)點.

基于近似格式(3)，邊界延拓轉(zhuǎn)化為用域內(nèi)節(jié)點值外推給出所需的域外節(jié)點值.但由于在早期研究中缺少完善的理論分析，往往根據(jù)尺度級數(shù)Sjf(x)表征的是低頻光滑部分，因此邊界延拓應(yīng)該保證延拓后的域外函數(shù)與原域內(nèi)函數(shù)也應(yīng)該具有一定的光滑性這一定性原則進行.但對于邊界是曲線的一般二維區(qū)域與邊界為曲面的一般三維區(qū)域，要構(gòu)建一個與域內(nèi)函數(shù)在邊界處具有高階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的域外函數(shù)非常困難，故而只成功發(fā)展了針對一維問題的邊界延拓技術(shù)，如Lagrange 插值延拓與Taylor 展開延拓[9,28].而對于二維與三維問題則只能采用延拓后的一維小波基的張量積來進行逼近，導(dǎo)致只能適用于長方形與立方體等高度規(guī)則的求解域.為了進一步處理非規(guī)則求解域，研究人員一方面通過引入有限元的概念提出了小波有限元方法[16]，但該方法在應(yīng)用時其單元間的連續(xù)性往往難以保證，且所需的小波基函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)與Jacobi 矩陣之積的積分難以高精度獲得.另一方面，研究人員通過將求解域擴大為規(guī)則區(qū)域再結(jié)合Lagrange 乘子法或罰函數(shù)法施加界面約束條件的方式構(gòu)建了虛擬區(qū)域法[12]，但這一方法一直面臨著計算量大而精度低，且數(shù)值穩(wěn)定性不好的問題.因此，雖然經(jīng)過了諸多嘗試與努力，但小波基數(shù)值方法一直未能有效地擴展應(yīng)用于一般求解域問題，難以處理各類實際問題，適用范圍與實用性極為有限，造成近年來小波基方法的研究逐漸減少.

針對小波方法難以有效處理非規(guī)則求解域的問題，Liu 等[29-31]經(jīng)過長期探索于近期提出了一套針對一般區(qū)域的普適邊界延拓技術(shù).基于完善的數(shù)學(xué)證明，他們首先明確給出了邊界延拓的實質(zhì)是要補充一組適當(dāng)?shù)挠蛲夤?jié)點值，從而使得近似格式(3)在全域內(nèi)具有精確重構(gòu)低階多項式的能力這一定量原則.繼而通過理論證明，用與距域外節(jié)點最近的域內(nèi)節(jié)點通過Lagrange 插值給出該域外節(jié)點值即可滿足該要求.如對于圖2所示的域外節(jié)點xo，可由離其最近的域內(nèi)節(jié)點(位于虛線框內(nèi))通過Lagrange 插值給出相應(yīng)的值.對于每一個域外節(jié)點，這一插值都完全獨立，彼此之間不相互影響，故而整個邊界延拓過程非常簡便易于實施.由此，Liu等[29-31]給出了一種有效逼近定義在非規(guī)則區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的小波格式，即

其中?k(x)為結(jié)合邊界延拓后的改進尺度基函數(shù)，其為標準尺度基函數(shù)θk(x)的線性組合.

但近似格式(4)通常不具有插值性，即使是對于插值小波也只在與尺度基函數(shù)對應(yīng)的節(jié)點上(均勻分布的節(jié)點，如圖3中的紅色節(jié)點)才滿足關(guān)系f(xk)=Sj f(xk).這一極為有限的插值性導(dǎo)致本質(zhì)邊界條件無法像有限元一樣簡便施加，只能采用目前無網(wǎng)格方法中所普遍使用的Lagrange 乘子法或罰函數(shù)法進行處理.但前者會擴大最后代數(shù)方程組的維數(shù)，并且造成剛度矩陣喪失正定性，而后者則無法精確施加邊界條件，導(dǎo)致計算精度偏低.針對這一問題，Liu 等[29-31]通過重新定義多分辨分解關(guān)系(小波理論的核心關(guān)系)建立了一種能在任意指定局部節(jié)點上(與小波基函數(shù)對應(yīng))進行過點插值的小波近似格式，即

式中基函數(shù)φk(x)為標準基函數(shù) θk(x)和 ψk(x)的線性組合.插值格式(5)滿足性質(zhì)f(xk)≡fh(xk)，k∈?，其中節(jié)點組{xk,k∈?}可為整體節(jié)點組的任意子集，如圖3所示，Q為?的補集.

圖3 小波多分辨定向插值的節(jié)點分布示意圖Fig.3 Diagrammatic drawing of the distribution of nodes for targeted wavelet interpolation

結(jié)合小波多分辨定向插值格式(5)與變分原理，并通過開發(fā)非規(guī)則區(qū)域上小波連接系數(shù)的半解析積分方法，Liu 等[29-31]建立了小波多分辨插值Galerkin 方法，并將其成功應(yīng)用于線彈性力學(xué)與線彈性斷裂力學(xué)問題的定量分析中.數(shù)值算例表明，這一方法可以非常高效地處理非規(guī)則求解域，如汽車連桿與輪轂等具有復(fù)雜幾何形狀的問題.同時在節(jié)點數(shù)量相同的情形下，其精度明顯優(yōu)于常用的線性有限元，而計算時間相當(dāng)(有限元計算耗時中不包括網(wǎng)格劃分)[29-31].此外，該小波多分辨插值Galerkin 方法還具有如下優(yōu)點[29-31]：1) 不需要網(wǎng)格，包括背景網(wǎng)格，是一種真正的無網(wǎng)格法；2) 所需節(jié)點分為均勻節(jié)點(可以都不位于邊界上)與可任意添加的局部節(jié)點，如圖3所示，生成規(guī)則明確易于實現(xiàn)，均可由計算機全自動高效生成；3) 形函數(shù)生成過程中不存在任何矩陣求逆運算與任何經(jīng)驗參數(shù)；4) 剛度矩陣積分可由半解析方法高效獲得；5) 位移邊界條件的施加與有限元一樣簡便高效；6) 得益于小波多分辨分析，具有強健穩(wěn)定的局部細化能力，如對于裂尖應(yīng)力場，只需在局部做多分辨細化即可準確地捕獲到該奇異場.由國內(nèi)學(xué)者近期所發(fā)展的這一小波多分辨插值Galerkin 方法，為處理非規(guī)則域問題的求解這一小波基數(shù)值方法長期以來所面臨的關(guān)鍵性基礎(chǔ)難題，提供了一種可行的方案，展現(xiàn)出了發(fā)展成為科學(xué)研究與工程應(yīng)用中各類物理與力學(xué)問題普適求解新型數(shù)值工具的潛力.

2 非線性問題的封閉求解技術(shù)

非線性廣泛存在于各類科學(xué)和工程問題中，如彈塑性、大變形、接觸、湍流等.這類問題的高效、高精度求解一直是計算數(shù)學(xué)與計算力學(xué)研究領(lǐng)域的前沿?zé)狳c與難點問題之一.目前，針對非線性問題的求解總體上可分為兩條基本途徑.一是逐步追蹤逼近，將原非線性問題轉(zhuǎn)化為一系列線性問題進行求解[32-35]，典型的如分析大變形問題的增量有限元.但這一方法對于強非線性問題往往面臨著精度難以滿足需求，甚至無法獲得收斂解的難題.同時，各種線性化與收斂增強技術(shù)的有效性往往依賴于具體問題，缺乏普適性[32-37].另一種途徑則是直接數(shù)值求解非線性微分方程，通過將待求函數(shù)用級數(shù)展開并將其代入非線性項以獲得非線性項的近似逼近格式，繼而再由Galerkin 或配點方法等離散技術(shù)獲得非線性離散系統(tǒng)以實現(xiàn)求解[38-39].但現(xiàn)有采用這一途徑的數(shù)值方法包括小波基方法均面臨著一些局限.

如對于一般形式的偏微分方程：

其中L和N分別為線性和非線性微分算子.在數(shù)值求解中不可避免地要對待求函數(shù)u(x)的展開級數(shù)進行截斷，即將其表示為

其中uh(x)為所保留的近似解，而(x)為舍掉的截斷誤差，ak和hk(x)分別為展開系數(shù)與基函數(shù).將式(7)代入式(6)可得

式中Q(x)為實際所求解的近似方程L[uh(x)]+N[uh(x)]=0的殘差.顯然，求解中必須將方程殘差Q(x)控制到足夠小才能保證uh(x)為u(x)的有效近似.另一方面，如果Q(x)過大，即近似方程與原方程存在較大區(qū)別，則可能出現(xiàn)原方程有解但實際所求解的近似方程卻并不存在解的情形，由此導(dǎo)致求解過程不收斂.但從式(8)可以看出，方程殘差Q(x)不但依賴于截斷誤差(x)，同時還依賴于近似解uh(x)，故而無法通過單獨調(diào)控截斷誤差(x)來確保方程殘差Q(x)處于相對極小的范圍，從而導(dǎo)致方法的有效性依賴于所求解的具體問題.這一在非線性問題求解中所出現(xiàn)的近似解與截斷誤差相互耦合，彼此相互影響的問題即為所謂的求解不封閉[40].這是非線性問題求解顯著區(qū)別于線性問題求解的基本特征.例如，若N也為一線性算子，根據(jù)疊加原理則有方程殘差即對于線性問題，方程的殘差只依賴于截斷誤差(x) 而與近似解uh(x)無關(guān)，所以求解是封閉的.正是由于這一封閉性問題的存在，導(dǎo)致非線性問題的求解難度遠大于線性問題.

此外，對于近似方程式(8)，如采用Galerkin 或有限元等方法求解，則需計算等復(fù)雜積分，這些積分通常是難以獲得的.尤其是當(dāng)非線性算子N為一非整數(shù)冪次或超越函數(shù)關(guān)系時，基本無法直接計算，往往需先進行Taylor 展開轉(zhuǎn)化為一整數(shù)冪次非線性問題再進行求解[40].由此，在求解中又必須對這一Taylor 展開的收斂性加以關(guān)注研究.而對于利用性質(zhì)優(yōu)異的緊支撐正交小波為基底的小波Galerkin 方法而言，這一問題尤為突出，因為目前只存在有關(guān)緊支撐正交小波基函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)3 重乘積積分的精確數(shù)值計算的有效方法[4,9].因此即使是對于超過2 次的整數(shù)冪次非線性問題，也難以利用小波Galerkin 方法進行處理，造成其在非線性問題求解中的適用范圍極為有限.

針對現(xiàn)有數(shù)值方法普遍存在的封閉性問題以及小波Galerkin 法面臨的復(fù)雜積分無法獲得的難題，周又和團隊[40]在其所開發(fā)的廣義小波Gauss 積分法的基礎(chǔ)上，進一步提出了非線性問題的小波封閉解法.在這一方法中，假定非線性項是平方可積的，這時其也可被視為一獨立函數(shù)用式(4)進行展開，即

其中非線性項的展開系數(shù)可用待求函數(shù)的展開系數(shù)加以顯式表征，從而避免了待求系數(shù)的增加.這一處理方式明顯區(qū)別于常規(guī)方法中所使用的將近似解直接代入非線性項的處理方式.將式(4)和式(9)代入方程(7)，可得實際所求解近似方程的殘差為

從式(10)中可以看出，方程殘差完全取決于決定截斷誤差的展開系數(shù)和，而獨立于表征近似解的展開系數(shù)u(xk)，即實現(xiàn)了近似解與截斷誤差的解耦，因而其對于非線性問題的求解是封閉的[40].

此外，從非線性項的展開格式(9)可以看出，非線性算子只作用在展開系數(shù)上，而不影響基函數(shù).因此，對于一般的非線性問題，包括超越函數(shù)形式的非線性問題，這一小波封閉算法均只需用到已有方法即可實現(xiàn)精確計算的兩項連接系數(shù)[40]，從而完美解決了傳統(tǒng)小波Galerkin 法在非線性問題求解中所面臨的復(fù)雜積分無法獲得的難題.事實上，在使用這一小波封閉算法求解非線性微分方程時，其離散過程與線性問題的處理情形高度相似，同樣的便捷.因此，相較于其他Galerkin 類方法，由Zhou 及其合作者所建立的小波封閉算法在求解普遍的非線性問題時也更為高效，易于實施[40].

為測試上述小波封閉解法的實際性能，學(xué)者們[10,11,40-52]已具體研究分析了大量物理力學(xué)非線性問題，如梁板結(jié)構(gòu)的彎曲與屈曲問題、Burgers 方程和淺水波方程等.所得到的大量數(shù)值結(jié)果表明，這一小波封閉算法相較于有限元和有限差分法等常規(guī)數(shù)值方法具有更高的求解精度與計算效率，并且可以統(tǒng)一求解從弱到強的非常廣泛的非線性問題，從而有效解決了常規(guī)方法的有效性依賴于具體問題非線性特征的難題[10,11,40-52].最近，Ma 等[53]直接運用這一小波封閉解法定量研究了大范圍軸向運動繩的非線性耦合振動，評價其比有限元等常規(guī)方法計算精度更高且分析速度更快.美國與科威特學(xué)者則直接將該小波封閉解作為無法獲得精確解的非線性問題的標準參考解，作為評估他們所提方法數(shù)值精度的標準[54].此外，Yu 及其合作者[55-56]通過將這一非線性小波封閉展開格式與傳統(tǒng)同倫算法相結(jié)合，發(fā)展形成了所謂的小波同倫方法，在多類強非線性問題的定量求解[57-60]中獲得了良好的效果.他們認為這一小波逼近格式具有正交性、緊支集、插值性等在數(shù)值計算中所期望的良好性質(zhì)，并可非常方便地平衡效率與精度.同時，由于這一函數(shù)近似逼近格式對非線性形式不敏感，從而有效解決了傳統(tǒng)同倫方法一直面臨的對不同問題進行求解時需選擇有效基函數(shù)的難題.

3 高階微分方程的高精度求解

高階微分方程廣泛用于描述天體物理、流體運動與結(jié)構(gòu)力學(xué)等學(xué)科中的諸多現(xiàn)象.如非對稱載荷作用下，正交各向異性圓柱薄殼的變形可由8 階偏微分方程組描述[61]，均勻梁扭轉(zhuǎn)振動的控制方程也為8 偏微分方程[62].而在流體力學(xué)中也存在許多需要由高階微分方程來加以描述的問題[63]，甚至有些問題的數(shù)學(xué)模型為高達24 階的微分方程組[3].

針對高階微分方程的求解，目前有兩條基本途徑.一是將高階微分方程的求解轉(zhuǎn)化為低階微分方程組，其實質(zhì)就是利用逐步迭代的方式，通過多次使用低階微分離散算子，來獲得高階微分的離散格式[64-69].如Liu等[67-69]通過反復(fù)使用低階微分求積來離散算子，分別求解了4 階、6 階和8 階微分方程.但在這類方法中，由于誤差的急劇累加，導(dǎo)致解的精度將隨著微分方程階次的升高而急劇下降，難以獲得高精度的近似解[64-69].第二條途徑是直接構(gòu)造高階微分算子的離散格式.如Boutayeb 和Twizell[70]提出了離散8 階導(dǎo)數(shù)的有限差分格式，進而建立了求解8 階微分方程的有限差分法.但針對高階導(dǎo)數(shù)的有限差分格式，一方面其構(gòu)造過程異常繁瑣，同時更重要的是在使用較小的網(wǎng)格尺寸時，其離散矩陣的條件數(shù)會非常高，從而引發(fā)數(shù)值穩(wěn)定性問題[70].因此，為保證求解的穩(wěn)定性，不能使用過于細密的網(wǎng)格，求解精度受到限制，難以獲得高精度解.而用有限元、配點法與Galerkin 法等方法求解高階微分方程時，需要高階連續(xù)的試函數(shù)與權(quán)函數(shù).即使是對試函數(shù)連續(xù)性要求相對較低的弱形式，也要求試函數(shù)具有微分方程階次一半階次的弱導(dǎo)數(shù).但通常具有高階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的試函數(shù)的構(gòu)造極為繁瑣，尤其是當(dāng)求解域較為復(fù)雜時[71-75].同時，這些方法在實際使用中還往往面臨著穩(wěn)定性問題.如Siddiqi 和 Twizell[73-74]在使用高次樣條函數(shù)求解高階線性邊值問題時，便遇到了解在邊界附近不收斂的問題.

事實上，上述求解格式的基本思想都是將待求函數(shù)作為基本未知量，然后通過數(shù)值微分將其導(dǎo)數(shù)用待求函數(shù)自身進行近似表征[64-75].眾所周知，數(shù)值微分隨著導(dǎo)數(shù)階次的升高其精度將會急劇下降，從而導(dǎo)致這些方法的求解精度都會隨著微分方程階次的升高而急劇衰減.特別是這些方法的收斂速度通常較低，一般很難超過2 階[64-75]，由此導(dǎo)致難以獲得高階微分方程的高精度近似解.這一問題即使是對于數(shù)值性質(zhì)優(yōu)良的小波基方法也無法避免[46-54].如對于2 階微分方程，小波Galerkin 法的收斂速度可達到5 階[47]，但用其求解4 階微分方程時則迅速衰減為3 階[10].而且在用小波方法求解高階微分方程時還面臨著自身特有的難題.由于大部分性質(zhì)優(yōu)良的小波通常不具有解析表達式，且其導(dǎo)數(shù)往往為高度振蕩的函數(shù)，因此計算其高階導(dǎo)數(shù)以及與之相關(guān)的連接系數(shù)將是一項頗具挑戰(zhàn)性的工作，通常難以高精度地獲得求解高階微分方程中所需的這些導(dǎo)數(shù)和積分.

鑒于高階微分方程求解所面臨的難題，學(xué)者們[42,76-77]提出了一種高精度的小波積分配點法.這一方法的基本思想是將非線性微分方程中的各階導(dǎo)數(shù)分別看作未知函數(shù)，從而將方程中復(fù)雜的導(dǎo)數(shù)與非線性耦合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)之間的直接關(guān)系，并進一步通過配點方法將原方程離散為在節(jié)點上滿足的一系列代數(shù)方程.而代表各階導(dǎo)數(shù)的未知函數(shù)之間，則通過小波數(shù)值積分技術(shù)近似表征.由于這一方法是采用數(shù)值積分來建立方程中各階導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系，而不是常規(guī)數(shù)值方法中所使用的數(shù)值微分思想，因此這一小波積分配點法可有效地克服上述常規(guī)數(shù)值方法所面臨的問題.第一個優(yōu)點是可以大幅放寬對試函數(shù)連續(xù)性的要求.例如，Amin 等[78-79]以只存在一階弱導(dǎo)數(shù)的Haar 小波為試函數(shù)便成功地獲得了8 階與10 階微分方程的有效近似解.第二個明顯的優(yōu)勢是其收斂速度與精度對于微分方程的階次不再十分敏感，這得益于數(shù)值積分的精度通常要遠高于數(shù)值微分.如對于基于同一種小波所構(gòu)造的數(shù)值微分與數(shù)值積分格式，在近似逼近函數(shù)的4 階導(dǎo)數(shù)時，數(shù)值精度較之逼近原函數(shù)會下降約6 個數(shù)量級，而相應(yīng)的收斂速度會降低4 階.但在逼近不同重數(shù)的積分時，其精度與收斂速度則幾乎保持不變[40,76].具體的數(shù)值算例表明，小波積分配點法在分別求解4 階、6 階和8 階非線性微分方程時，其收斂速度一直可保持6 階，與直接利用小波基逼近函數(shù)的收斂階數(shù)一致.針對線性問題的誤差分析表明，在求解過程中小波積分配點法所涉及相關(guān)系數(shù)矩陣的條件數(shù)會隨著未知量個數(shù)的增加而降低，相較其他方法具有非常獨特的數(shù)值穩(wěn)定特性[76].在一維與二維非線性波動問題的求解中[77]，小波積分配點法的收斂階數(shù)在空間上仍保持在了6 階.而且這一收斂階數(shù)幾乎不依賴于問題中非線性的形式、時間的存在以及空間的維數(shù).

4 總結(jié)與展望

本文對小波分析的提出背景、優(yōu)點以及其在微分方程求解中的運用進行了簡要梳理總結(jié).從中可以看出，小波分析由于其獨具的時頻局部性與多分辨特性，從而在復(fù)雜信號(或函數(shù))的分析表征上具有明顯的理論優(yōu)勢，使得各類基于小波級數(shù)展開的數(shù)值方法也在微分方程的求解中體現(xiàn)出相應(yīng)的優(yōu)良性質(zhì).但在將小波分析運用于計算數(shù)學(xué)與計算力學(xué)廣泛問題的普適求解時，也存在著一些必須克服的基礎(chǔ)性難題，如難以高效處理具有非規(guī)則求解域與復(fù)雜非線性的問題等.這些難題的存在造成各類小波基方法的適用范圍極為有限，也因此導(dǎo)致近年來有關(guān)小波方法研究的關(guān)注度持續(xù)下降.但近期，國內(nèi)學(xué)者通過開發(fā)提出小波多分辨插值Galerkin 法、小波封閉解法以及小波積分配點法等，給出了涉及非規(guī)則求解域、強非線性以及高階導(dǎo)數(shù)等特征微分方程的高效處理技術(shù)，有效地解決了小波基方法長期以來在這些問題求解中所面臨的基礎(chǔ)性難題.由于這些方法在完整保留小波分析獨特優(yōu)勢的同時有效地克服了小波方法自身的局限，從而在相關(guān)問題的求解中表現(xiàn)出了相較于有限元與有限差分法等常規(guī)數(shù)值方法非常明顯的優(yōu)勢，并使得將小波方法直接用于復(fù)雜工程問題的求解成為可能，也使得小波基數(shù)值方法再次展現(xiàn)出了良好的發(fā)展前景與潛力.

但是應(yīng)當(dāng)看到，小波基方法雖然經(jīng)過了30 余年的發(fā)展，但離發(fā)展成熟依然相距甚遠，還遺留著諸多問題有待進一步深入研究.比如，如何將小波多分辨插值Galerkin 法與小波封閉算法融合起來，從而形成一套對分析求解實際工程問題中所面臨的各類具有復(fù)雜幾何形態(tài)與局部大梯度的非線性問題廣泛適用的新型數(shù)值方法？以及如何運用小波多分辨插值Galerkin 法的基本思想將求解高階微分方程的小波積分配點法擴展至非規(guī)則求解域問題的研究中？此外，發(fā)展小波基數(shù)值方法與CAD的無縫數(shù)據(jù)交換技術(shù)，以及將已有算法進一步軟件化，這在其進一步發(fā)展與實用化過程中也是必須要加以研究的課題.最后，小波分析在大規(guī)模數(shù)據(jù)的處理中具有非常獨特的優(yōu)勢，因此其與基于大數(shù)據(jù)驅(qū)動的計算數(shù)學(xué)和計算力學(xué)具有天然的契合點，但目前只有極少數(shù)工作對此進行了初步的嘗試，故而將二者深度而有機地融合起來，將有望成為小波基方法與計算力學(xué)領(lǐng)域新發(fā)展的下一個驅(qū)動點.