陸希成 邱揚(yáng)? 田錦 汪海波 江凌 陳鑫3)

1) (西安電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,西安 710071)

2) (西北核技術(shù)研究院,西安 710024)

3) (中國(guó)工程物理研究院電子工程研究所,綿陽(yáng) 621999)

基于時(shí)間反演腔的電磁波時(shí)間反演技術(shù)在許多方面有著潛在的應(yīng)用,如脈沖壓縮、功率合成、微擾探測(cè)、波束成形等.其中,時(shí)間反演腔通常采用具有多徑傳輸特征的微波混沌腔.利用衍射理論,雖然可以證明這類(lèi)腔體在時(shí)間反演過(guò)程中具有時(shí)空聚焦特性并可用于脈沖壓縮,但是它不能用于分析腔體的反演性能.為了得到一個(gè)合適的分析方法并可用于指導(dǎo)時(shí)間反演腔設(shè)計(jì),本文基于信道理論,分析電磁波傳播的散射、擴(kuò)散和衰減特性,構(gòu)建了時(shí)間反演腔的多徑信道模型,并詳細(xì)研究了路徑之間的串?dāng)_特征,給出反演重構(gòu)信號(hào)的時(shí)間旁瓣產(chǎn)生機(jī)理、時(shí)移特征以及對(duì)主瓣的干擾情況.另外,根據(jù)隨機(jī)平面波假設(shè),還分析了空間焦斑的分布特征.實(shí)際焦斑大小不但受限于衍射極限而且還與初始焦斑大小有關(guān).這些理論分析結(jié)果與實(shí)驗(yàn)和數(shù)值仿真結(jié)果基本一致.

1 引言

時(shí)間反演方法是將系統(tǒng)響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行時(shí)間翻轉(zhuǎn)后形成反演信號(hào),然后再輸入到系統(tǒng)中,并在初始位置重構(gòu)出原始波形的一種方法,該方法具有時(shí)空同步聚焦特性.早在20世紀(jì)六七十年代,人們就提出了時(shí)間反演的概念[1],主要用于研究聲波在時(shí)間和空間上的聚焦[2].在數(shù)學(xué)上,聲波的傳播方程與電磁波的傳播方程是一致的,均為雙曲型擴(kuò)散方程.因此,理論上可將聲學(xué)中的時(shí)間反演技術(shù)引入到電磁學(xué)領(lǐng)域.直到2000年之后,隨著高頻數(shù)字采樣技術(shù)的成熟,時(shí)間反演技術(shù)才開(kāi)始引入到電磁學(xué)領(lǐng)域.第一個(gè)電磁反演系統(tǒng)由單個(gè)收發(fā)天線和高Q值混響室(即時(shí)間反演腔)組成[1].該系統(tǒng)采用的時(shí)間反演腔(time reversal cavity,TRC)不但可以提高時(shí)間反演中的多徑效應(yīng),而且還克服了收發(fā)天線的時(shí)空覆蓋限制,具有很好的反演性能.對(duì)于TRC,一些研究人員利用衍射理論和格林函數(shù)證明了時(shí)間反演的時(shí)空聚焦特性[3,4].

近年來(lái),許多研究人員開(kāi)展了TRC的時(shí)間反演技術(shù)在脈沖壓縮及功率合成[5?7]、保密通信[8?10]、反演成像[11,12]、波束成形及定位[13?17],微擾探測(cè)[18,19]等方面的理論和實(shí)驗(yàn)研究.為了進(jìn)一步推進(jìn)實(shí)際應(yīng)用,還需要建立合適的物理模型和方法,用于分析TRC的反演性能并指導(dǎo)TRC的優(yōu)化設(shè)計(jì).但目前還缺少這方面的深入研究.當(dāng)前主要是采用無(wú)線信道理論中的統(tǒng)計(jì)建模和確定性建模的仿真方法開(kāi)展分析.例如,文獻(xiàn)[20]基于樣本參數(shù)信息采用遺傳算法優(yōu)化的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型方法去獲得質(zhì)量較好的反演系統(tǒng);文獻(xiàn)[21]利用數(shù)值仿真分析了無(wú)線信道的時(shí)間反演多徑特征.但在TRC的優(yōu)化設(shè)計(jì)中,改變參數(shù)就需要重新仿真計(jì)算.該方法不但耗時(shí)長(zhǎng),而且也很難指導(dǎo)獲得最優(yōu)結(jié)構(gòu).

本文將基于多徑信道理論,分析路徑之間的串?dāng)_特征,建立TRC的多徑信道模型,并用于分析TRC重構(gòu)信號(hào)的時(shí)間主瓣與旁瓣特征.此外,假設(shè)路徑上傳播的電磁波為隨機(jī)平面波,進(jìn)一步分析重構(gòu)信號(hào)的空間分布.這些可為T(mén)RC優(yōu)化設(shè)計(jì)和實(shí)際應(yīng)用提供理論支持.

2 多徑信道模型

2.1時(shí)間反演腔

當(dāng)電磁波傳輸介質(zhì)的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率張量均為實(shí)對(duì)稱矩陣時(shí),電磁系統(tǒng)具有時(shí)間反演對(duì)稱性,也稱為時(shí)間反演不變性[22].基于這種對(duì)稱性,文獻(xiàn)[1]中構(gòu)建了一個(gè)TRC系統(tǒng),并開(kāi)展了電磁波的時(shí)間反演實(shí)驗(yàn),其典型結(jié)構(gòu)如圖1所示.其中,系統(tǒng)中的TRC滿足電大條件(電大條件是指腔體特征尺寸遠(yuǎn)大于傳播波長(zhǎng)的情況);Port 0和Port 1為系統(tǒng)的輸入或輸出端口.另外,上部藍(lán)線為普通的響應(yīng)過(guò)程,下部紅線為反演過(guò)程.

圖1 典型的TRC系統(tǒng)Fig.1.Classical TRC system.

該系統(tǒng)中的電磁波從一個(gè)端口經(jīng)腔體傳播到另一個(gè)端口.根據(jù)信息論,該通道能夠傳送信息(電磁波),可認(rèn)為是一條完整的信道.由此,本文利用信道的概念和理論來(lái)分析TRC系統(tǒng)的時(shí)間反演問(wèn)題,并將Port 0,Port 1和TRC構(gòu)成信道的沖激響應(yīng)函數(shù)利用h(t) 表示.

為了簡(jiǎn)化分析,本文以電場(chǎng)信號(hào)為例分析電磁時(shí)間反演的特性.并且,進(jìn)一步將電場(chǎng)矢量信號(hào)簡(jiǎn)化為標(biāo)量信號(hào),記為s(t) .在這種情況下,如果初始信號(hào)sori(t) 在Port 0輸入,則在Port 1的響應(yīng)信號(hào)sres(t) 可表示為

式中,?為卷積算符.將響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行時(shí)間反演變換可得到反演信號(hào)srev(t) 為

并將其在Port 0(或Port 1)輸入到系統(tǒng)中.由此,可以得到時(shí)間反演重構(gòu)信號(hào)srec(t) 為

為了研究反演重構(gòu)信號(hào)的特征,需要重點(diǎn)分析沖激響應(yīng)函數(shù).由此本文定義它的自相關(guān)函數(shù)κ(t) 為

它是決定系統(tǒng)時(shí)間反演性能的一個(gè)核心參數(shù).在理想條件下,系統(tǒng)的自相關(guān)函數(shù)滿足

式中,δ為奇異函數(shù).此時(shí),重構(gòu)信號(hào)等于初始信號(hào),即srec(t)sori(t) .

但在實(shí)際情況下,電磁波傳播的擴(kuò)散、散射和衰減特性將會(huì)導(dǎo)致自相關(guān)函數(shù)并不等于奇異函數(shù).也就是說(shuō),實(shí)際情況下反演重構(gòu)信號(hào)并不完全等于初始信號(hào),如圖2所示.該重構(gòu)信號(hào)是基于圖1中的幾何模型通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法獲得的,具體反演過(guò)程也可參見(jiàn)圖1.

圖2 實(shí)驗(yàn)測(cè)量的時(shí)間反演腔重構(gòu)信號(hào)Fig.2.Reconstructed signal of TRC.

另外,從數(shù)學(xué)上看,時(shí)間反演過(guò)程等于系統(tǒng)分別進(jìn)行了一次卷積和一次反卷積運(yùn)算.因此,時(shí)間反演系統(tǒng)也可稱為卷積系統(tǒng).

2.2 多徑串?dāng)_

對(duì)于電大的TRC,腔體內(nèi)電磁波的傳播滿足程函近似條件,即波長(zhǎng)變化緩慢并且振幅的變化遠(yuǎn)小于相位的變化,可近似認(rèn)為是無(wú)窮多個(gè)相互獨(dú)立的射線形式傳播[23].因此,TRC系統(tǒng)可看成是一個(gè)多徑信道,沖激響應(yīng)函數(shù)h(t) 可通過(guò)多徑信道理論來(lái)建模.信道中的多徑可能包括了直射路徑、散射路徑(鏡面散射和漫散射)、衍射路徑、繞射路徑等.他們有長(zhǎng)有短,信號(hào)到達(dá)接收端的時(shí)間會(huì)不同,將會(huì)出現(xiàn)多徑時(shí)延現(xiàn)象,即時(shí)間色散特征.

如果僅從空間上看,信道內(nèi)每條路徑都是相互獨(dú)立的,具有獨(dú)立的沖激響應(yīng)函數(shù).在線性條件下,信道的沖激響應(yīng)函數(shù)h(t) 可表示為信道內(nèi)每條路徑的沖激響應(yīng)函數(shù)hi(t)之和,即h(t) 可表示為

式中,m表示信道的所有路徑數(shù)量.

雖然在空間上腔體內(nèi)的路徑是相互獨(dú)立的,但是由于電磁波在傳播過(guò)程中的擴(kuò)散特性和散射特征,將會(huì)導(dǎo)致不同路徑上傳播的電磁波出現(xiàn)串?dāng)_(互耦)現(xiàn)象,如圖3所示,即獨(dú)立路徑上的電磁沖激響應(yīng)函數(shù)hi(t) 不再獨(dú)立.由此,本文重新定義多徑信道的沖激響應(yīng)函數(shù)為

圖3 散射和擴(kuò)散對(duì)路徑串?dāng)_影響 (a) 散射情況;(b) 擴(kuò)散情況Fig.3.Crosstalk of scattering and diffusion on paths:(a) Scattering;(b) diffusion.

式中,k(t) 為路徑的衰減系數(shù)向量,其第i個(gè)系數(shù)ki(t)描述了第i條路徑上傳播信號(hào)的時(shí)間衰減特征;矩陣A(t) 為電磁波在每條路徑之間傳播的關(guān)聯(lián)矩陣,描述了路徑之間電磁波傳播的串?dāng)_特征,可表示為

其中,aij(t) 表示第i條路徑上的電磁波傳播到第j條路徑上的相關(guān)性.δ為奇異函數(shù)向量,可表示為

其中,τi為第i條路徑的響應(yīng)延遲時(shí)間(即路徑的飛行時(shí)間);T表示向量的轉(zhuǎn)置.

3 反演特性分析

根據(jù)多徑信道模型可知,路徑將會(huì)對(duì)反演信號(hào)進(jìn)行時(shí)間補(bǔ)償,使得沿不同路徑傳播的信號(hào)同時(shí)到達(dá)接收端口,可重構(gòu)出初始信號(hào).在這個(gè)過(guò)程中,電磁波出現(xiàn)了時(shí)間和空間上的匯聚,即具有時(shí)間壓縮和空間聚焦特征.這也是時(shí)間反演技術(shù)兩個(gè)最重要的基本特性.

但是,電磁波在路徑之間的傳播存在串?dāng)_使得反演重構(gòu)信號(hào)出現(xiàn)“噪聲”,導(dǎo)致重構(gòu)信號(hào)與初始信號(hào)并不完全相同.另外,從空域上看,由于電磁波的衍射特征,也會(huì)導(dǎo)致重構(gòu)信號(hào)的空間分布不可能與初始信號(hào)分布一致.由此,本文根據(jù)重構(gòu)信號(hào)分析它的反演特性.

3.1時(shí)域波形特征

3.1.1 主瓣與旁瓣

根據(jù)多徑信道模型,自相關(guān)函數(shù)κ(t) 和重構(gòu)信號(hào)srec(t) 可分別表示為

根據(jù)關(guān)聯(lián)矩陣特性,可將(10)式分成以下幾種情況討論.

1)當(dāng)ij時(shí),有τiτj,自相關(guān)函數(shù)和重構(gòu)信號(hào)可表示為

式中,κi=j(t) 表示第i條路徑自身傳播電磁波的相關(guān)特性.由此可見(jiàn),在ij時(shí),重構(gòu)信號(hào)srec,i=j(t)與初始信號(hào)波形一致,只是幅度減小了.這種情況沒(méi)有考慮到串?dāng)_的影響.

2)當(dāng)ij時(shí),若τiτj,自相關(guān)函數(shù)和重構(gòu)信號(hào)可表示為

此時(shí),重構(gòu)信號(hào)的波形與初始信號(hào)波形也一致.由此,可將同時(shí)到達(dá)的路徑認(rèn)為是同一個(gè)路徑,這在路徑的時(shí)間分析中非常有利.

3)當(dāng)ij時(shí),若τiτj,自相關(guān)函數(shù)和重構(gòu)信號(hào)可表示為

式中,κi=j(t) 表示第i條路徑和第j條路徑上電磁波傳播的相關(guān)性.在電磁波傳播的擴(kuò)散和散射特性條件下,aij0和aji0.此時(shí),重構(gòu)信號(hào)srec,i=j(t)的波形與初始信號(hào)波形基本一致,只是出現(xiàn)了時(shí)間偏移 (τi?τj) .

由此,重構(gòu)信號(hào)中發(fā)生時(shí)間偏移的信號(hào)被稱為“時(shí)間旁瓣”,而第一部分中沒(méi)有出現(xiàn)時(shí)間偏移的信號(hào),則稱為“時(shí)間主瓣”.再根據(jù)電磁波傳播的對(duì)稱性可知,關(guān)聯(lián)矩陣中的單元相關(guān)系數(shù)應(yīng)滿足

這也反映出反演重構(gòu)信號(hào)的時(shí)間旁瓣具有對(duì)稱性,如圖2所示.

如果時(shí)間反演系統(tǒng)中沒(méi)有電磁散射,例如只有直射路徑,則路徑之間沒(méi)有信息(能量)交換.此時(shí),重構(gòu)信號(hào)不會(huì)出現(xiàn)時(shí)間旁瓣,文獻(xiàn)[24]給出了實(shí)驗(yàn)證實(shí).由此可見(jiàn),散射是重構(gòu)信號(hào)出現(xiàn)時(shí)間旁瓣的一個(gè)必要因素.但是,根據(jù)電磁場(chǎng)理論可知,系統(tǒng)散射是產(chǎn)生多徑的主要原因,電磁波的擴(kuò)散才是引起路徑之間串?dāng)_的核心因素.因此,旁瓣應(yīng)是系統(tǒng)散射和波擴(kuò)散的共同作用結(jié)果.

3.1.2 旁瓣時(shí)移

利用射線追蹤理論,路徑串?dāng)_主要發(fā)生在發(fā)射端口和接收端口.在這種情況下,旁瓣時(shí)移可利用不同路徑傳播的時(shí)間差表示,即 (τi?τj) .它能夠反映出主瓣和旁瓣、旁瓣與旁瓣之間的時(shí)間間隔,可用于區(qū)分主瓣的被干擾情況.

根據(jù)上述分析,旁瓣時(shí)移應(yīng)與路徑長(zhǎng)度有關(guān),即路徑越長(zhǎng)則串?dāng)_信號(hào)的時(shí)移就越大.對(duì)于一個(gè)TRC,從統(tǒng)計(jì)上可將路徑分為直接到達(dá)路徑、第一次反射到達(dá)路徑、第二次反射到達(dá)路徑、以及第n次反射到達(dá)路徑,即將其分成n+1類(lèi).在這種情況下,每類(lèi)路徑的時(shí)移可用腔體內(nèi)射線的平均自由飛行時(shí)間τc(即平均自由程的射線飛行時(shí)間,也稱為腔體特征時(shí)間常數(shù))來(lái)表示.

當(dāng)收發(fā)端口位于腔體兩側(cè)時(shí),根據(jù)上述分析,第i類(lèi)到達(dá)路徑的旁瓣時(shí)移τi可近似表示為

由此,時(shí)間旁瓣的相對(duì)時(shí)移Tij可近似表示為

式中,i和j是任意的整數(shù).由此可見(jiàn),反演的時(shí)間旁瓣具有對(duì)稱性,如圖2所示.

根據(jù)上述分析,初始信號(hào)脈寬大于2倍的腔體特征時(shí)間常數(shù)時(shí),旁瓣和主瓣將會(huì)產(chǎn)生疊加,從而影響主瓣波形,如圖4所示.仿真模型如圖1所示,其中TRC尺寸為600 mm × 400 mm,特征時(shí)間常數(shù)約為0.8 ns,初始信號(hào)為載波頻率10 GHz脈寬10 ns的方波脈沖.由此可見(jiàn),主瓣受到了一定的干擾.根據(jù)腔體特征時(shí)間常數(shù)定義可知,旁瓣時(shí)移主要與腔體尺寸有關(guān).這在TRC的選擇和初始信號(hào)脈寬設(shè)計(jì)中具有很好的指導(dǎo)作用.

圖4 旁瓣對(duì)主瓣的干擾Fig.4.Interference of side lobe to main lobe.

3.2 空間分布特征

3.2.1 空間方向圖

由于電磁波的衍射特性,時(shí)間反演的空間聚焦不會(huì)形成一個(gè)理想點(diǎn).由此定義時(shí)間反演空間方向圖來(lái)表示它的空間聚焦特性,即可利用相關(guān)函數(shù)的主瓣最大值(即t0)垂直于傳播方向上的分布表示.以單方向?yàn)槔?有

式中,D(x) 表示x方向上的分布.

對(duì)于TRC,可假設(shè)每條路徑上傳播的電磁波為隨機(jī)平面波[25].在接收端口位置上的電磁場(chǎng)為這些平面波的線性疊加.根據(jù)中心極限定理,電磁場(chǎng)空間分布的相關(guān)函數(shù)可表示為

式中,J0為零階貝塞爾函數(shù);r1和r2表示空間任意兩點(diǎn).該式反映出了系統(tǒng)反演空間聚焦特性,與文獻(xiàn)[3]中利用衍射理論得到的結(jié)果一致.

當(dāng)kn|r1?r2|→∞時(shí),兩個(gè)空間位置的場(chǎng)相關(guān)函數(shù)趨近于零,即可認(rèn)為,在遠(yuǎn)大于一個(gè)波長(zhǎng)情況下,在點(diǎn)r1的重構(gòu)信號(hào)對(duì)點(diǎn)r2的重構(gòu)信號(hào)沒(méi)有影響.由此,可以得到系統(tǒng)時(shí)間反演的空間分辨率等于λ/2,即滿足經(jīng)典衍射極限.另外,如果重構(gòu)信號(hào)端口存在近場(chǎng)散射,則還可獲得時(shí)間反演的超分辨率特性[26?28].

3.2.2 焦斑分布

實(shí)際的空間聚焦尺寸,即焦斑,應(yīng)是初始信號(hào)分布和自相關(guān)函數(shù)的卷積.由此,初始信號(hào)發(fā)射時(shí)的分布dori(x) 與空間方向圖進(jìn)行卷積,有

式中,d(x) 為重構(gòu)信號(hào)的焦斑分布.由此可見(jiàn),如果初始發(fā)射信號(hào)的分布過(guò)寬,則會(huì)導(dǎo)致重構(gòu)信號(hào)的焦斑過(guò)大,不利于能量的空間聚焦.

圖5給出了利用(19)式的計(jì)算結(jié)果和相應(yīng)的數(shù)值仿真結(jié)果的比較.其中,仿真計(jì)算模型與圖1計(jì)算采用的模型相同.由此可見(jiàn),理論分析結(jié)果和仿真計(jì)算結(jié)果基本一致.在系統(tǒng)不滿足反演超分辨率的情況下,反演重構(gòu)信號(hào)的焦斑不會(huì)小于λ/2 .這可為反演重構(gòu)信號(hào)的能量提取端口設(shè)計(jì)提供技術(shù)支持.

圖5 焦斑分布比較Fig.5.Comparison of focal spot distribution.

4 結(jié)論

本文根據(jù)電磁波傳播的散射和擴(kuò)散特征分析了TRC的多徑路徑串?dāng)_,建立了時(shí)間反演腔的多徑信道模型.利用該模型,研究了重構(gòu)信號(hào)時(shí)間旁瓣的產(chǎn)生機(jī)理,給出了旁瓣對(duì)主瓣的干擾情況以及旁瓣時(shí)移與腔體尺寸(特征時(shí)間常數(shù))的關(guān)系,即時(shí)間反演腔的尺寸越大,則旁瓣時(shí)移就越大.該結(jié)論可用于指導(dǎo)選擇合適的初始信號(hào)脈寬或合適的腔體尺寸.另外,根據(jù)路徑上的隨機(jī)平面波假設(shè),同樣可以得到空間聚焦的最小衍射極限為λ/2 .但實(shí)際的反演焦斑不僅僅受限于衍射極限,還與初始端口的電磁場(chǎng)分布有關(guān).這些研究結(jié)果對(duì)接收端口設(shè)計(jì)和反演信號(hào)的能量提取有重要意義.