徐帥 楊贇贇 劉行 何濟(jì)洲

(南昌大學(xué)物理系,南昌 330031)

基于一維彈道導(dǎo)體,建立了三端納米線制冷機(jī)模型.該模型是由一個(gè)中間空腔和左右電子庫組成,中間空腔和兩電子庫通過一維納米線導(dǎo)體進(jìn)行連接.利用朗道方程和基本熱力學(xué)公式推導(dǎo)出兩電子庫之間電荷流和能量流的表達(dá)式,進(jìn)而得出該制冷機(jī)模型的工作區(qū)間,然后分析其性能特征并討論制冷機(jī)性能優(yōu)化.研究表明:不同的參數(shù)下該制冷機(jī)會(huì)有不同的制冷區(qū)間,但每個(gè)制冷區(qū)間都存在一個(gè)溫差上限,超過該溫差,此裝置將不能進(jìn)行制冷.制冷率隨制冷系數(shù)變化的特征曲線為回原點(diǎn)扭葉型曲線,這為衡量該制冷機(jī)性能提供了重要指標(biāo).盡可能減小納米線的能級(jí)寬度會(huì)提高該制冷機(jī)的工作性能.

1 引言

根據(jù)塞貝克效應(yīng),熱電裝置可通過吸收熱能來對(duì)外輸出功率,根據(jù)珀?duì)柼?yīng),熱電裝置可利用電能來實(shí)現(xiàn)對(duì)物體的制冷.由此可以看出,熱電裝置在能源利用中發(fā)揮著重要的作用.然而,現(xiàn)有的熱電裝置因?yàn)樾实投荒艿玫綇V泛應(yīng)用.因此,人們需要尋找新的熱電材料來提高熱電裝置的功率和效率.隨著納米技術(shù)的發(fā)展,越來越多的納米結(jié)構(gòu)如量子點(diǎn)、納米線、量子阱、超晶格等被報(bào)道[1?13].理論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,將低維納米結(jié)構(gòu)作為熱電材料可以顯著提高熱電裝置的熱力學(xué)性能.

近年來,許多學(xué)者在三端納米結(jié)構(gòu)熱電裝置的熱力學(xué)性能研究上取得了顯著進(jìn)展.與傳統(tǒng)的雙端熱電裝置相比,三端熱電裝置可以將電子流和熱流分開,從而顯著提高熱電裝置的熱力學(xué)性能.例如,Chen和Zhang等[14?19]具體研究了不同能量過濾體的三端能量選擇性電子器件的熱力學(xué)性能.Edwards等[20,21]提出了一種基于共振隧穿的三端量子點(diǎn)制冷機(jī),它可以將宏觀電子庫冷卻到遠(yuǎn)低于室溫的溫度.隨后,Prance等[22]通過實(shí)驗(yàn)證明了可以利用一個(gè)量子點(diǎn)制冷機(jī)對(duì)6 μm2區(qū)域內(nèi)二維電子氣體進(jìn)行制冷.Jiang等[23?25]分析了具有兩種溫度梯度的三端共振隧穿量子點(diǎn)熱電發(fā)電機(jī)的性能.Jordan等[26]則研究了基于半導(dǎo)體超晶格的三端熱機(jī)和制冷機(jī).Chen等[27,28]則研究了能量選擇性熱機(jī)和制冷機(jī)的性能.He等[29?37]研究了不同的三端熱電裝置,包括基于共振隧穿量子阱的三端制冷機(jī)和熱機(jī)、通過光子和熱能混和驅(qū)動(dòng)的三端量子點(diǎn)熱機(jī)和制冷機(jī)、基于半導(dǎo)體異質(zhì)結(jié)的三端熱機(jī)模型,并分析了各模型的性能特征和最佳性能.最近,實(shí)驗(yàn)上已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了在低溫下介觀系統(tǒng)的三端量子點(diǎn)熱電器件[38?41],為納米尺度多端熱電器件的應(yīng)用鋪平了道路.

一維彈道導(dǎo)體是一個(gè)沿橫向具有空間約束且長度較短的系統(tǒng),這種較短的長度保證了彈道運(yùn)輸,如果納米線[5,6,42,43]的長度保持相當(dāng)短,則也可以進(jìn)行彈道輸運(yùn).目前,基于納米線的三端熱電器件研究還很少[36],特別是納米線制冷機(jī).由于納米線橫向空間約束,電子能量在兩個(gè)橫向方向量子化,而在傳輸方向具有任意能量值.因此,相比于量子點(diǎn)系統(tǒng),納米線制冷機(jī)應(yīng)該有更大的制冷率,但制冷系數(shù)減少.另外,把許多平行納米線組裝在一起,可以形成宏觀尺度的熱電制冷機(jī),為新型三端納米線制冷機(jī)的應(yīng)用提供理論依據(jù).本文在前人工作的基礎(chǔ)上,提出了基于一維彈道導(dǎo)體的三端納米線制冷機(jī)模型.利用朗道爾方程及基本的熱力學(xué)公式推導(dǎo)出兩電子庫之間電荷流和能量流的表達(dá)式,進(jìn)而得出該制冷機(jī)模型的工作區(qū)間,分析其性能特征,并討論其性能優(yōu)化.

2 模型與理論分析

三端納米線制冷機(jī)的模型如圖1(a)所示,該模型是由一個(gè)中間空腔和溫度為Ti(iL,R)的左/右電子庫組成,中間空腔和左/右電子庫通過一維的納米線導(dǎo)體進(jìn)行連接.中間空腔在溫度為TC時(shí)與熱庫處于熱平衡狀態(tài).同時(shí)各庫的溫度滿足TLTR>TC.電子可以通過左/右一維納米線導(dǎo)體在中間空腔和左/右電子庫之間進(jìn)行傳輸,左/右納米線導(dǎo)體存在一個(gè)共振能級(jí)EL/ER.兩電子庫之間存在偏置電壓eVμR?μL,其中μL(μR)是左(右)電子庫的化學(xué)勢,e是電子電荷.中間空腔的化學(xué)勢μC可以通過電荷守恒定律來確定.此三端納米線制冷機(jī)對(duì)中間熱庫制冷的物理過程為:在外部電壓V的驅(qū)動(dòng)下,電子在右?guī)熘芯哂性讦蘎附近分布(Fermi分布)的能量,當(dāng)某電子在Z方向上的能量分量恰好處于ER時(shí),則該電子有一定幾率從右端電子庫通過右納米線到達(dá)中間空腔,此時(shí)該電子的能量由μR減小至ER,而后從中間空腔吸收熱量到達(dá)EL進(jìn)而通過左納米線到達(dá)左端電子庫,最終從左電子庫回到外部電源的正極完成回路.在這個(gè)過程中,由于中間空腔與中間熱庫要保持熱平衡,所以將不斷有熱流從中間熱庫流入中間空腔從而達(dá)到了對(duì)中間熱庫制冷的目的.

圖1 (a) 三端納米線制冷機(jī)模型圖;(b) 傳輸函數(shù)τi(E)作為能量 Ei 的函數(shù)Fig.1.(a) The schematic diagram of a three-terminal nanowire refrigerator;(b) transmission function τi(E) as a function of energy level Ei .

從左/右電子庫到中間腔的電流Ii和能流Ji由朗道方程給出[44]

其中fi(E){exp[(E?μi)/kBTi]+1}?1(iL,R)是左/右電子庫的費(fèi)米-狄拉克分布函數(shù),fC(E){exp[(E?μC)/kBTC]+1}?1是中間腔的費(fèi)米-狄拉克分布函數(shù),kB是玻爾茲曼常數(shù),h是普朗克常數(shù),τi(E)是一維導(dǎo)體的傳輸函數(shù).

作為理想的一維導(dǎo)體,能量E可以看作是在橫向尺寸上量子化的,并且不受傳輸方向(X方向)的限制,

其中,n是正整數(shù),m*是電子有效質(zhì)量.

為了更現(xiàn)實(shí)地描述一維納米線導(dǎo)體,可以采用鞍點(diǎn)勢傳輸函數(shù)[45],

其中,EinV0+(n?0.5)?ωy,γ?ωx/(2π),V0是電勢高度,?ωx和 ?ωy分別是縱向和橫向角頻率.本文討論的熱電制冷機(jī)要求 ?ωy遠(yuǎn)大于溫度kBT和電壓eV,并考慮將E0設(shè)置為接近電子庫的化學(xué)勢.因此,只有最低的能量E0在電子傳輸中起重要作用.因此左/右納米線導(dǎo)體的傳輸函數(shù)可以近似為

其中γ和Ei是能級(jí)的寬度和位置,如圖1(b)所示.在γ→0處,傳輸函數(shù)接近階梯函數(shù),即τi(E)Θ(E?Ei).

根據(jù)電荷守恒IL+IR0,可以確定中間腔的化學(xué)勢μC.該制冷機(jī)的輸入功率可以定義為

其中I≡IR?IL是通過系統(tǒng)的凈電流.基于中間腔中的能量守恒J+JL+JR0,可以計(jì)算出從熱庫吸收的熱流J即制冷率Q˙C的表達(dá)式為

則該制冷機(jī)的制冷系數(shù)φ的表達(dá)式為

從等式(1)—(8)可以發(fā)現(xiàn),制冷率和制冷系數(shù)均是溫度Ti和TC,化學(xué)勢μi和μC,能級(jí)位置Ei和能級(jí)寬度γ的函數(shù).為簡單起見,引入了溫差ΔTTi?TC和平均溫度T(Ti+TC)/2,當(dāng)電壓滿足eVμR?μL時(shí),取μReV/2和μL?eV/2 .在下面的結(jié)果分析過程中,制冷率均以 2(kBT)2/h為單位.

3 性能特征分析

在制冷機(jī)的研究過程中,首先需要考慮其工作區(qū)間.給定左右納米線的能級(jí)位置EL1.5kBT,ER?3kBT.在γ→0的情況下,制冷率隨溫差 ΔT和外加電壓V變化的三維投影圖如圖2(a)所示.圖2(a)中的黑色曲線表示制冷率0 的情況,可以判斷曲線的左側(cè)區(qū)域?qū)儆谠撝评錂C(jī)的工作區(qū)間(即0,P>0).圖2(b)繪制了在不同的能級(jí)寬度γ(γ0,0.5kBT,kBT)下的制冷區(qū)間,可以看出在能級(jí)寬度γ取不同值的情況下,制冷機(jī)的工作區(qū)間也會(huì)有所不同,并且隨著能級(jí)寬度γ的增大相應(yīng)的制冷區(qū)間會(huì)隨之減小;而當(dāng)能級(jí)寬度確定,溫差存在一個(gè)最大值 ΔTmax,如當(dāng)γ0.5kBT時(shí),對(duì)應(yīng)的 ΔTmax/T≈0.122 ;當(dāng)能級(jí)寬度確定,對(duì)于不同的溫差 ΔT≤ΔTmax,電壓具有不同的起始值Vmin和截止電壓Vmax,如當(dāng)γ0.5kBT,ΔT/T0.09時(shí),Vmin≈1.275kBT/e,Vmax≈4.235kBT/e.

圖2 (a)在γ→0的情況下制冷機(jī)的工作區(qū)間;(b)當(dāng)γ取不同的值時(shí)對(duì)工作區(qū)間的影響Fig.2.(a) The working region of the refrigerator in the case of γ→0 ;(b) the working regions at given different value γ.

圖3 在 γ→0時(shí)(a)制冷率和(b)制冷系數(shù)隨著能級(jí)位置變化的三維圖;(c)—(f)分別是 γ=0.5和 γ=1 對(duì)應(yīng)的制冷率和制冷系數(shù)的三維圖Fig.3.Three-dimensional graphs for (a) the cooling rate and (b) the coefficient of performance varying with the energy level positions under γ→0;(c)–(f) are the three-dimensional graphs for the cooling rate and the coefficient of performance at givenγ=0.5 and γ=1,respectively.

對(duì)于給定的參數(shù)EL1.5kBT,ER?5kBT和 ΔT/T0.05,可以繪制出在不同的能級(jí)寬度γ下,制冷率和制冷系數(shù)φ與電壓V的關(guān)系曲線,如圖4所示.從圖4(a)中可以看出,當(dāng)能級(jí)寬度γ確定,隨著電壓V的增大,制冷率先增大后減小,呈拋物線對(duì)稱分布.而從圖4(b)中可以看出,當(dāng)能級(jí)寬度γ確定,隨著電壓V的增大,制冷系數(shù)φ表現(xiàn)為先迅速增大后緩慢減小,這與制冷率隨電壓V的變化曲線不一樣.圖4(c)繪制了制冷率與制冷系數(shù)φ的特征曲線,從圖中可以清晰地看出制冷率和制冷系數(shù)之間的特征曲線是閉環(huán)型的,這意味著在最大制冷系數(shù)下制冷率不會(huì)消失,制冷機(jī)無法在可逆狀態(tài)下運(yùn)行,制冷系數(shù)的最大值無法達(dá)到卡諾值TC/(Ti?TC),在這些閉合曲線中,存在兩個(gè)特殊點(diǎn):最大制冷率的點(diǎn)和最大制冷系數(shù)的點(diǎn).作為制冷機(jī),人們總是希望在獲得盡可能大的制冷率的同時(shí)也獲得盡量大的制冷系數(shù),或者在獲得盡可能大的制冷系數(shù)的同時(shí)也盡量提升相應(yīng)的制冷率,因此該制冷機(jī)的最佳工作區(qū)間應(yīng)位于-φ特征圖的負(fù)斜率范圍內(nèi),即

圖4 (a) 制冷率關(guān)于電壓的函數(shù)圖像;(b) 制冷系數(shù)關(guān)于電壓的函數(shù)圖像;(c) 制冷機(jī)的 ?φ 特征圖Fig.4.(a) The cooling rate as a function of voltage;(b) the coefficient of performance as a function of voltage;(c) the characteristic curves of ?φ at given different value γ.

4 優(yōu)化性能分析

根據(jù)(1)—(8)式和極值條件

可通過數(shù)值計(jì)算來優(yōu)化制冷率和相應(yīng)的制冷系數(shù).在不同的能級(jí)寬度γ下,分別得到優(yōu)化制冷率和優(yōu)化制冷率下對(duì)應(yīng)的制冷系數(shù)隨電壓V變化的曲線圖,如圖5所示,其中給定參數(shù)ΔT/T0.05.從圖5中看出,隨著能級(jí)寬度γ的增大,優(yōu)化制冷率和對(duì)應(yīng)的制冷系數(shù)大致呈減小的趨勢.從圖5(a)中可以看出,對(duì)于一個(gè)確定的能級(jí)寬度γ,優(yōu)化制冷率的大小隨著電壓V的增大而表現(xiàn)出單調(diào)遞增,但遞增的速率是逐漸減小,直到eV≈5kBT左右時(shí),優(yōu)化制冷率達(dá)到飽和值,而從圖5(b)可以看出,對(duì)于一個(gè)確定的能級(jí)寬度γ,隨著電壓V的增大,優(yōu)化制冷率所對(duì)應(yīng)的制冷系數(shù)是先迅速增大后緩慢減小的,此時(shí)存在一個(gè)特殊的電壓Vφ,使得優(yōu)化制冷率所對(duì)應(yīng)的制冷系數(shù)達(dá)到最大.通過圖5(c)可以看出,對(duì)于一個(gè)確定的能級(jí)寬度γ,優(yōu)化的左能級(jí)位置EL,opt則是隨著電壓的增大幾乎呈線性增加,在能級(jí)寬度γ→0 的情況下,左能級(jí)位置的優(yōu)化值大致滿足EL,opt≈0.5eV.右能級(jí)位置的優(yōu)化值則未在圖中示出,其優(yōu)化值是一個(gè)大的負(fù)值,即?ER,opt?kBT.

圖5 (a) 優(yōu)化的制冷率隨電壓變化的圖像;(b) 相應(yīng)制冷系數(shù)隨電壓變化的圖像;(c) 最優(yōu)能級(jí)位置隨電壓變化的圖像Fig.5.(a) The curves of the optimized cooling rate as a function of voltage;(b) the curves of the corresponding coefficient of performance as a function of voltage;(c) the curves of the optimal energy level position as a function of voltage.

在給定 ΔT/T0.05 和飽和制冷率對(duì)應(yīng)的電壓eV5kBT的情況下,可以繪制出優(yōu)化的制冷率和所對(duì)應(yīng)的制冷系數(shù)與能級(jí)寬度γ的關(guān)系曲線,如圖6所示.從圖6(a),(b)可以看出,優(yōu)化制冷率和對(duì)應(yīng)的制冷系數(shù)的大小都是隨能級(jí)寬度γ的增大而逐漸減小,從圖6(c)可以看出,優(yōu)化下的左能級(jí)EL,opt則是隨著能級(jí)寬度的增大而逐漸增大.因此為了獲取優(yōu)化的制冷率,應(yīng)盡可能的減小能級(jí)寬度γ的值.

圖6 (a) 優(yōu)化的制冷率隨能級(jí)寬度變化的圖像;(b) 相應(yīng)的制冷系數(shù)隨能級(jí)寬度變化的圖像;(c) 最優(yōu)能級(jí)位置隨能級(jí)寬度變化的圖像Fig.6.(a) The curves of the optimized cooling rate as a function of the width of energy level;(b) the curves of the corresponding coefficient of performance as a function of the width of energy level;(c) the curves of the optimal position of energy level as a function of the width of energy level.

最后考慮溫差 ΔT對(duì)制冷機(jī)性能的影響.為了獲得最大制冷率,首先固定左右能級(jí)位置EL2.5kBT,ER?5kBT,電壓eV5kBT,能級(jí)寬度γ→0.通過數(shù)值計(jì)算繪制出最大制冷率和對(duì)應(yīng)的制冷系數(shù)φmax隨溫差 ΔT變化的關(guān)系曲線,如圖7所示.由圖7可以看出,最大制冷率和對(duì)應(yīng)的制冷系數(shù)的大小隨著溫差的增大而逐漸減小,當(dāng)ΔT/T≈0.166時(shí),0,φmax→0 .通過分析制冷率和制冷系數(shù)與溫差的變化關(guān)系,似乎可以得出溫差越小則相應(yīng)制冷機(jī)的性能越好,然而在溫差ΔT0的情況下,制冷機(jī)將失去制冷的意義.因而此處引入卡諾制冷系數(shù)φCTC/(Ti?TC),將最大制冷率所對(duì)應(yīng)的制冷系數(shù)除以卡諾制冷系數(shù)作為該制冷機(jī)優(yōu)化的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn).從圖7(b)中可以看出,以卡諾制冷系數(shù)為單位的制冷系數(shù)隨著溫差的增大表現(xiàn)為先增大后逐漸減小的趨勢,并在ΔT/T≈0.084時(shí)達(dá)到最大值.

圖7 (a) 最大制冷率隨溫差變化的圖像;(b) 最大制冷率下的制冷系數(shù)和以卡諾制冷系數(shù)為單位的制冷系數(shù)隨溫差變化的圖像Fig.7.(a) The curves of the maximum cooling rate as a function of the temperature difference;(b) the curves of the coefficient of performance at the maximum cooling rate and the coefficient of performance in a unit of Carnot value as a function of the temperature difference.

5 結(jié)論

本文以一維彈道導(dǎo)體為基礎(chǔ),建立了三端納米線制冷機(jī)模型.利用朗道爾方程及基本的熱力學(xué)公式推導(dǎo)出了兩電子庫電荷流和能量流的表達(dá)式,進(jìn)而得出了該制冷機(jī)模型的工作區(qū)間,分析了該制冷機(jī)的性能特征,并討論了其性能優(yōu)化.結(jié)果表明:

1) 制冷機(jī)的工作區(qū)間是由各個(gè)參數(shù)共同決定,但無論各參數(shù)如何變化,制冷機(jī)都存在一個(gè)溫差上限,超過這個(gè)溫差該裝置將不作為制冷機(jī)工作;

2) 最大制冷率和最大制冷系數(shù)在特征曲線中出現(xiàn)的位置是分開的,得到了衡量該制冷機(jī)性能的重要指標(biāo);

3) 對(duì)于該三端納米線制冷機(jī),其輸出功率或制冷率在超過某一能級(jí)位置會(huì)出現(xiàn)飽和值;

4) 盡可能減小納米線的能級(jí)寬度會(huì)提高制冷機(jī)的工作性能.