周晨，魏文新，楊喜全

（大連海事大學，遼寧大連，116026）

1 研究背景

隨著社會的發(fā)展，科技的進步，機器人作為一個朝陽產(chǎn)業(yè)，其正在不斷地被應用到各個領域當中[1]。不同運動方式的機器人有著不同的優(yōu)點，其中四足機器人是利用了仿生學和人工智能，通過機械設計得到得復合體。它的仿生結(jié)構(gòu)有著天然的優(yōu)越性，可以模擬四足動物的運動形式來適應不同的地形環(huán)境，在未來有著廣闊的發(fā)展前景[2]。

2 四足步態(tài)

我們將足式動物的運動模式定義為“步態(tài)”，步態(tài)就是指足式動物各腿之間的固定相位關系。不同的的四足動物因身體結(jié)構(gòu)的差異，運動的步態(tài)也呈現(xiàn)出不同的形式，我們以四足狗的運動狀態(tài)為例，分析三種常見的步態(tài)[3-5]。

2.1 crawl步態(tài)

crawl步態(tài)是四足動物在慢速行走的狀態(tài)下，任意時刻都有三條腿處于支撐相，一條腿處于擺動相，每次都是一條腿抬起，然后按照左前，右后，右前，左后的次序輪換的向前擺動，如圖1.1所示。我們定義四足每條腿與地面接觸的的時間和一個完整步態(tài)周期時間的比值為占空比β，一個完整的的步態(tài)周期為T，定義Ts，Tm分別為支撐相周長和擺動相的周期，則β=Ts/T當占空比0.75 ≤β＜1時，任意時刻均有至少三條腿處于支撐相，由于是規(guī)則步態(tài)，所以一個周期的運動規(guī)律相同且各腿之間的相位差：

我們一般取crawl步態(tài)的臨界狀態(tài)β=0.75且φ= 0.25，任意時刻僅有三條腿作為支撐相，這樣四足機器狗形進的速度加快，不會出現(xiàn)停頓感，時序如圖1所示。

圖1 crawl時序

2.2 trot步態(tài)

trot步態(tài)是小跑步態(tài)，由于該步態(tài)調(diào)速范圍大，運動穩(wěn)定性高且具有較高的能量效率，使得trot步態(tài)成為最常見的四足步態(tài)，其特點是兩拍步態(tài)，任何時刻僅有對角的兩條腿完成擺動和支撐運動。由于trot步態(tài)也是規(guī)則步態(tài)，其各腿的相位差為：

假設取β>0.5時會出現(xiàn)四足全部為支撐相的情況，此時可以對四足的平衡姿態(tài)進行調(diào)整，但是這樣會使運動出現(xiàn)停頓，速度無法達到期望值，則我們可以選取占空比=0.5（如圖所示），這樣四足機器人的對腳可以直接由擺動相轉(zhuǎn)變?yōu)橹蜗?，依次交替擺動實現(xiàn)平衡和速度的最優(yōu)化，時序如圖2所示。

圖2 trot時序

2.3 其他步態(tài)

pace步態(tài)為溜蹄步態(tài)，其特點是相同側(cè)的兩條腿同時運動，左側(cè)前后腿為擺動相的同時時右側(cè)腿為支撐相，這種步態(tài)常見于狗在安全的環(huán)境下放松的運動的場景中，該步態(tài)相位差為：

以β=0.5為例，此時pace步態(tài)不會出現(xiàn)四足全部觸地和騰空的現(xiàn)象，任意時刻只有一側(cè)為支撐相或擺動相，這種步態(tài)平衡性比較差速度也受到了限制，所以一般不常用[6]。

3 足端軌跡規(guī)劃

足端軌跡規(guī)劃是四足腿部控制達到目標點的前提，根據(jù)目標的位置來確定軌跡的函數(shù)方程中的變量，然后進一步通過方程求出足端坐標，將得到的以時間為函數(shù)變化的坐標通過運動學的逆解得出四足關節(jié)轉(zhuǎn)動所需要的角度，通過循環(huán)程序?qū)崿F(xiàn)周期性的運動，從而精確的實現(xiàn)腿部的運動學控制。

為了實現(xiàn)理想的步態(tài)模型，足端軌跡規(guī)劃必須滿足形進時平穩(wěn)，關節(jié)部位沒有交大的沖擊且擺動相抬腿和落地時實現(xiàn)零沖擊且足端軌跡圓滑。時刻足端處于擺動項，～T時刻足端處于支撐相。水平方向為X，豎直方向為Z，S為步頻，H為離地高度，Tm為擺動相時間，T是步態(tài)完整時間，其在X方向和Z方向的條件約束為：

（1）水平X方向

（2）豎直Z方向

（3）在約束條件下的復合擺線擺動相軌跡函數(shù)如下

由于該軌跡的方程在t=0和t=Tm時刻加速度會出現(xiàn)跳變，導致接觸與抬腿時產(chǎn)生較大的力，這與我們的要求相違背，于是我們采用優(yōu)化的擺線軌跡方程，令其加速度函數(shù)為：

再對其求積分得到速度函數(shù)，根據(jù)速度的約束條件得到的方程再對速度函數(shù)積分得到位移函數(shù)，根據(jù)位移的約束條件將其用分段函數(shù)表達：

圖3 足端軌跡方程

這里的λ的取值關系到關系到Z軸方向上的速度變化，λ值越大速度變化就更頻繁，通過matlab仿真得出，取λ=4時軌跡是最平滑的，通過對軌跡方程我們可以得到一個沖擊較小且平滑的曲線。

4 分解式虛擬模型步態(tài)算法

4.1 VMC支撐相控制算法

VMC算法其實是一種力控算法，其核心就是利用假想的彈簧阻尼構(gòu)件連接機器人的內(nèi)部作用點和外部的期望點，通過連接點之間的虛擬力來引導機器人實現(xiàn)目標運動，這些虛擬力通過jacobian矩陣計算得到期望的關節(jié)力矩作為電機的控制輸入，全局空間下的作用力轉(zhuǎn)換為關節(jié)力矩，二者的映射關系就是雅可比矩陣。要想求取雅可比矩陣首先要根據(jù)機器人的腿部獲取其正運動學模x型，我們定義xn為n個自由度的的位姿向量，qm是m個關節(jié)變量的位置向量，得到：x=f(q)，然后求x對q的偏導得到：

得到了jacobian矩陣J(n×m)，將關節(jié)的速度映射成足端的移動速度。虛擬功可以表示為：

其中，τ為關節(jié)力矩向量，F(xiàn)為外部作用力，就可以得到外部作用力和關節(jié)力矩的關系:

上述方法在單腿支撐相中的應用如下：

圖4

當四足機器人在單腿支撐時我們可以得到其正運動學的的關系式：

對各關節(jié)求偏導數(shù)得到jacobian矩陣為:

大腿部的力作用在足端。所以支持相的控制法則為：

施加在足端的虛擬構(gòu)件產(chǎn)生的虛擬力為：

4.2 VMC擺動相控制算法

擺動相的控制方法有兩種首先我們這里采用之前提到的復合擺線足端軌跡然后將此軌跡通過運動學的逆解之后得到關節(jié)運動軌跡，這樣的方式能夠得到比位置控制方法更高的精度，并且能精準的到達預定的抬腿高度和落腳點。

運動學正解是已經(jīng)知道運動關節(jié)的各個電機運動參數(shù)，也就是此時對于初始位置轉(zhuǎn)動的角度，去求末端執(zhí)行器的相對參考坐標系的位姿。而運動學逆解恰恰相反，是根據(jù)相對參考坐標系的位姿去求出運動關節(jié)的各個電機此時對于初始位置轉(zhuǎn)動的角度，通過幾何方法解出大腿和小腿的舵機轉(zhuǎn)動角度θ1和θ2，然后將計算出來的角度值輸出至舵機運動庫中，從而實現(xiàn)死四足的運動。

第二種方法是VMC擺動相控制通過足端虛擬的彈簧阻尼力來牽引足端沿著目標軌跡進行運動的一種控制方法，其在二維空間中可以分解為x軸與y軸方向的力。

其施加在足端的虛擬力為:

根據(jù)支撐項所求的單腿Jacobian 矩陣可以得到關節(jié)力矩即：τ，合并公式得出擺動相VMC力矩方程：

這種力矩控制更加接近于仿生學，并不需要對運動學逆解進行求解，在一定程度上減少了運算量并且提高了控制效率。

5 運動控制仿真分析

5.1 仿真環(huán)境及仿真模型

為了實現(xiàn)分解式VMC方法在四足機器人上的應用，本節(jié)會制作相關仿真程序，并根據(jù)VMC控制方法，使用Matlab對一個空間立體四足機器人模型進行Trot勻速小跑仿真。

本篇文章使用Matlab進行步態(tài)仿真試驗，基于Simulink仿真環(huán)境來搭建四足機器人運動學模型。在 soldwork中建模，設計合適的構(gòu)件比例，把.urdf文件后導入Matlab中，再補充四足機器人中的動力學參數(shù)，將各構(gòu)件設置為勻質(zhì)量構(gòu)件，目的使其質(zhì)心位于各構(gòu)件的幾何中心，設立坐標軸。通過3D模塊設置關節(jié)驅(qū)動，添加關節(jié)角度傳感器，得到完整的四足機器人運動仿真模型。

圖5 仿真模型

5.2 Vmc單腿軌跡規(guī)劃

利用Matlab簡易搭建Vmc單腿仿真模型，編寫腿部VMC控制程序，模擬機器人trot步態(tài)。

擺動相memory模塊記錄上時刻位置值，其中插入積分模塊，對擺動相進行計時實現(xiàn)以周期的腿部擺動往復運動。通過機器人腿部位置的捕捉，同時我們通過Matlab繪制出預期x-z平面下的足端軌跡圖并和返回的足端位置曲線進行對比。

為測試小腿部分我們在坐標系中繪制單腿在步態(tài)周期內(nèi)的運動狀態(tài)圖。仿真穩(wěn)定時，可以發(fā)現(xiàn)步態(tài)運動曲線基本符合期望軌跡，可以看到髖部坐標系下腿的高度期望值Zd=0.5m，但是就是不能夠達到，他的影響因素有很多，其中占主要作用的是我們在計算雅各比矩陣是沒有消除掉慣性力的作用，另外腿部關節(jié)的摩擦力，也使得抬腿高度不能跟隨虛擬力達到期望位置。

搭建四足機器人的simulik仿真模型，將上述得到的單腿軌跡規(guī)劃，對應到機器人四條腿，設置相位差，使得四條腿能交替進行支撐相與擺動相，實現(xiàn)trot步態(tài)。

圖6 單腿仿真

可以從圖中觀察到四足機器人四條腿可以實現(xiàn)擺動相和支撐相的交替運動，實現(xiàn)穩(wěn)定trot步態(tài)，用示波器來顯示仿真過程中z軸方向上足端運動曲線。

圖7 四足trot步態(tài)

6 結(jié)束語

本次項目完整的實現(xiàn)了四足機器人從設計到實現(xiàn)的全過程，并且通過實物驗證了理論的可行性[7-10]，但是目前的程序設計和理論無法達到在復雜地形的平穩(wěn)運動，且在運動關節(jié)上采用的舵機為運動控制輸出，相比于無刷和行星減速機等動力輸出原件還有很大不足，后期努力實現(xiàn)四足機器人在復雜地形的平穩(wěn)運動。