楊愛峰, 董秋雨, 胡小建

(合肥工業(yè)大學 管理學院,安徽 合肥 230009)

0 引 言

隨著經(jīng)濟和技術的快速發(fā)展,產(chǎn)品生命周期越來越短,企業(yè)比以往更頻繁地推出升級產(chǎn)品以適應激烈的市場競爭,但大量的新品生產(chǎn)所帶來的資源消耗和環(huán)境污染等一系列問題不可忽視。2013年7月4日,國家發(fā)改委等五個部門印發(fā)了《再制造產(chǎn)品“以舊換再”試點實施方案》,正式啟動再制造產(chǎn)品“以舊換再”試點工作。2019年1月28日,國家發(fā)改委會同有關部門印發(fā)了《進一步優(yōu)化供給推動消費平穩(wěn)增長促進形成強大國內市場的實施方案(2019年)》,為以舊換新消費者提供補貼,支持綠色、智能家電銷售,促進產(chǎn)品更新?lián)Q代。以上政策表明以舊換新和以舊換再受到了政府的高度重視,在此背景下,為了增加消費者的購買需求,實現(xiàn)舊品的再制造、再銷售和再循環(huán),企業(yè)實施不同形式的以舊換新和以舊換再策略以獲得經(jīng)濟效益、社會效益和環(huán)境效益。

近年來,諸多學者對以舊換新/再策略進行了深入的研究。文獻[1-2]以閉環(huán)供應鏈為研究背景,建立了不同回收主體主導的以舊換新決策模型,研究了各模型下的最優(yōu)定價與回收策略;文獻[3]研究了消費者購買行為和再制造效率對以舊換新策略經(jīng)濟和環(huán)境價值的影響;文獻[4]假設B2C平臺是包括自營商店和第三方商店的雙渠道零售模式,B2C平臺以購物卡或現(xiàn)金券的形式實施以舊換新,購物卡只能在自營商店使用,現(xiàn)金券是2種商店都能使用,研究了在不考慮或考慮以舊換新努力程度情況下B2C平臺的最優(yōu)以舊換新策略;文獻[5]在雙寡頭競爭環(huán)境下,研究了先后進入市場的企業(yè)所面臨的以舊換新與定價博弈均衡,并分析了競爭存在與否對企業(yè)以舊換新策略產(chǎn)生的影響;文獻[6]研究了一個壟斷的原始設備制造商在第1階段銷售新品、在第2階段引入以舊換新的兩階段靜態(tài)和動態(tài)定價模型,原始設備制造商對以舊換新回收的舊產(chǎn)品采用2種策略,第1種是不進行再制造僅利用舊產(chǎn)品殘值的單市場策略,第2種是再制造并將再制造品銷往二級市場或不進行再制造僅利用舊產(chǎn)品殘值的雙市場策略;文獻[7]假設企業(yè)針對策略型消費者銷售升級換代產(chǎn)品和提供以舊換新,基于消費者的購買行為建立了兩階段動態(tài)博弈模型,研究了企業(yè)動態(tài)定價策略和預告定價策略下的實施條件及對企業(yè)利潤的影響;文獻[8]在消費者短視和以舊換新情形下,企業(yè)有一體化與模塊化2種產(chǎn)品設計架構策略,同時企業(yè)也有靜態(tài)定價和動態(tài)定價2種定價策略,建立了消費者與企業(yè)博弈模型,研究了企業(yè)的最優(yōu)產(chǎn)品設計架構和定價策略。

以上文獻主要考慮的是以舊換新策略,下列文獻主要考慮企業(yè)實施以舊換再策略促進再制造品的生產(chǎn)與銷售。文獻[9]假設新產(chǎn)品和再制造品之間質量無差異,研究了新產(chǎn)品和以舊換再的價格一致、新產(chǎn)品和以舊換再的價格固定但有差異以及新產(chǎn)品的價格固定、以舊換再的價格與使用時間有關的3種定價方式下的最優(yōu)價格;文獻[10]考慮消費者對再制造品的接受程度、新品的耐用性和政府補貼,建立了不提供以舊換再、無政府補貼時提供以舊換再和有政府補貼時提供以舊換再3個決策模型,研究了各模型下產(chǎn)品的最優(yōu)定價和生產(chǎn)量,并分析了企業(yè)提供以舊換再的條件;文獻[11]分析了在政府補貼和碳排放機制下新產(chǎn)品和再制造品共存于市場時,再制造品的低價策略或高補貼政策對企業(yè)實施以舊換再最優(yōu)決策的影響;文獻[12]根據(jù)傳統(tǒng)銷售和售后渠道以及消費者持有舊件質量的不同細分市場,考慮到消費者的以舊換再偏好程度構建了制造商分級定價利潤模型并分段優(yōu)化,研究了以舊換再補貼下的最優(yōu)分級定價決策;文獻[13]在競爭環(huán)境下,針對兩階段閉環(huán)供應鏈系統(tǒng),研究了古諾競爭型閉環(huán)供應鏈中的以舊換再策略選擇問題;文獻[14]在以舊換再背景下,針對同時存在原始消費者和新進消費者的情形,研究了制造商的生產(chǎn)與定價策略。

少量文獻同時考慮了以舊換新和以舊換再策略。文獻[15]在新產(chǎn)品和再制造品共存情形下,研究了企業(yè)是否同時實施以舊換新和以舊換再政策,以及以舊換新和以舊換再的最優(yōu)折扣、碳排放機制、以舊換再補貼的預算約束對最優(yōu)決策的影響;文獻[16]以閉環(huán)供應鏈為背景考慮政府補貼,構建了政府單獨提供以舊換新補貼的閉環(huán)供應鏈模型、政府單獨提供以舊換再補貼的閉環(huán)供應鏈模型和政府同時提供以舊換新和以舊換再補貼的閉環(huán)供應鏈模型,研究了政府最優(yōu)補貼決策和企業(yè)最優(yōu)定價策略;文獻[17]在碳稅政策下,分析了一個同時生產(chǎn)和銷售新品和再制造品的制造商為促進再制造品的銷售是否應該只提供以舊換再策略,研究了以舊換新和以舊換再策略共存下的最優(yōu)定價和保修期限;文獻[18]將押金與以舊換新/再相結合,假設新顧客在購買新/再產(chǎn)品時需要支付一定的押金,老顧客進行以舊換新/再時可以享受與押金相關的折扣,研究了押金制度下以舊換新/再的產(chǎn)品定價策略。

本文在已有文獻的基礎上,假設潛在市場規(guī)模在第1階段開始前是不確定的,消費者根據(jù)兩階段期望效用決策第1階段是否愿意購買產(chǎn)品。在第1階段購買到產(chǎn)品的顧客稱為老顧客,在第2階段決策是否以舊換新或以舊換再(下文簡稱以舊換新/再)。在第1階段愿意購買但沒有買到產(chǎn)品的顧客稱為新顧客,在第2階段決策是否購買新品或再制造品(下文簡稱購新/再)。本文構建了以生產(chǎn)商利潤最大化為目標，產(chǎn)品價格和生產(chǎn)量為決策變量的兩階段數(shù)學規(guī)劃模型。通過逆向歸納法求解,得出最優(yōu)產(chǎn)品定價與生產(chǎn)策略,運用解析方法和數(shù)值算例對決策變量和目標函數(shù)進行了靈敏度分析,并與僅存在新品的基礎模型進行了對比。

1 模型假設與符號說明

本文假設壟斷的生產(chǎn)商在第1階段銷售產(chǎn)品V1,在第2階段銷售其升級產(chǎn)品Vn(新品)和再制造品Vr,Vr為生產(chǎn)商從顧客處回收并進行再制造的產(chǎn)品。若自身回收的舊品不能滿足再制造需求,生產(chǎn)商可以外購零件用于再制造,即再制造品的數(shù)量不受舊品回收數(shù)量的限制。生產(chǎn)商在第1階段決策產(chǎn)品V1的生產(chǎn)數(shù)量Q1和零售價p1,在第2階段決策升級產(chǎn)品Vn的生產(chǎn)數(shù)量Qn、零售價格pbn和以舊換新價格ptn,以及再制造品Vr的生產(chǎn)數(shù)量Qr、零售價格pbr和以舊換再價格ptr。產(chǎn)品V1、Vn和Vr的單位生產(chǎn)成本分別為c1、cn和cn-r,其中r(0

潛在市場規(guī)模X在第1階段開始前是不確定的,設其分布函數(shù)為F(·),密度函數(shù)為f(·)=F′(·)。假設顧客在第1階段開始前均已到達,顧客對產(chǎn)品V1的估值為v,服從[0,1]上的均勻分布,對升級產(chǎn)品Vn的估值為(1+α)v,對再制造品Vr的估值為(1+θα)v,其中:0<α≤1為升級產(chǎn)品Vn相對于產(chǎn)品V1的創(chuàng)新提升水平;0<θ≤1為顧客對再制造品Vr的敏感系數(shù),θ越小表示顧客對再制造品越敏感。假設顧客對第2階段產(chǎn)品的價格有理性的預期,顧客會根據(jù)兩階段的期望效用來決策第1階段是否愿意購買產(chǎn)品V1,想要購買產(chǎn)品V1的顧客數(shù)量為X1,X1≤X。若X1≤Q1,則每個想要購買的顧客都可以購買到產(chǎn)品,在第1階段結束時,生產(chǎn)商把剩余的Q1-X1個產(chǎn)品V1以虧本價格s出售,其中sQ1,則想要購買的顧客中只有Q1個購買到產(chǎn)品,X1-Q1個沒有購買到產(chǎn)品。若顧客在第1階段購買到產(chǎn)品V1,則在第2階段稱為老顧客,否則稱為新顧客,因此老顧客的市場規(guī)模為Xr=X1∧Q1,新顧客的市場規(guī)模為Xn=(X1-Q1)+。老顧客在第2階段有2種選擇,即以舊換新/再,對應的效用分別為：

Utn=(1+α)v-ptn-(1-k)v,

Utr=(1+θα)v-ptr-(1-k)v。

其中，k為產(chǎn)品V1的折舊系數(shù),k越小表示產(chǎn)品V1越耐用。新顧客在第2階段有2種選擇,購新/再,對應的效用分別為:

Ubn=(1+α)v-pbn,

Ubr=(1+θα)v-pbr。

2 新/再產(chǎn)品共存的模型構建與求解

生產(chǎn)商以最大化兩階段總利潤為目標決策兩階段產(chǎn)品的零售價格和生產(chǎn)數(shù)量。根據(jù)逆向歸納法,先構建第2階段的數(shù)學規(guī)劃模型以決策pij和Qj(i=t,b;j=n,r),然后再構建第1階段的數(shù)學規(guī)劃模型以決策p1和Q1。

2.1 第2階段的模型構建與求解

首先通過比較效用求出在第2階段老顧客以舊換新/再以及新顧客購新/再的需求。

需求為Xrqtr。

若用π2表示生產(chǎn)商在第2階段的利潤,則第2階段的數(shù)學規(guī)劃模型為：

π2=Xr[qtn(ptn-cn)+qtr(ptr-cn+r)]+

Xn[qbn(pbn-cn)+qbr(pbr-cn+r)]

(1)

(1)式的第1項表示生產(chǎn)商從老顧客以舊換新/再業(yè)務中獲得的利潤,第2項表示生產(chǎn)商從新顧客購新/再業(yè)務中獲得的利潤。

引理1 當新品和再制造品共存時,第2階段產(chǎn)品的零售價pij(i=b,t;j=n,r)和新老顧客的市場規(guī)模Xn、Xr無關。

命題1 當新品和再制造品共存時,生產(chǎn)商第2階段的最優(yōu)決策為:

證明定義σr=qtn(ptn-cn)+qtr(ptr-cn+r),σn=qbn(pbn-cn)+qbr(pbr-cn+r)。由引理1可知,在π2中決策pij等價于在σr中決策ptj以及在σn中決策pbj(i=b,t;j=n,r)。

首先將qtn、qtr的表達式代入σr中,得σr=

進一步求得其Hessian矩陣為:

推論1表明,當新品和再制造品共存時,以舊換新/再的價格低于購新/再的價格,促進了老顧客重復購買。

推論2表明,隨著新品Vn單位生產(chǎn)成本的增加,生產(chǎn)商需要通過提高新品Vn的零售價格來提高利潤;隨著新品Vn創(chuàng)新提升水平的增加,新品Vn的競爭力將增加,生產(chǎn)商可以通過提高新品Vn的價格來提高利潤;隨著再制造品Vr的生產(chǎn)節(jié)約成本r的增加,再制造品Vr的生產(chǎn)成本越少,制造商將減少再制造品價格,再制造品的優(yōu)勢明顯,顧客將由新品轉向再制造品,生產(chǎn)商將增加再制造品Vr的生產(chǎn)量和減少新品Vn的生產(chǎn)量;隨著顧客對再制造品的敏感系數(shù)θ的增加,顧客對再制造品和新品的估值越接近,即顧客對再制造品的接受程度增加,生產(chǎn)商將通過提高再制造品Vr的價格來提高利潤;隨著產(chǎn)品V1折舊系數(shù)k的增加,產(chǎn)品V1越不耐用,老顧客以舊換新/再的需求增加,生產(chǎn)商將通過提高以舊換新/再的價格來提高利潤。

2.2 第1階段的模型構建與求解

(4) 第1階段購買V1,第2階段以舊換再,期望效用為μ-p1+E(Utr)=μ-p1+E[(k+θα)×

顯然,當且僅當μ-p1+E(Utj)≥E(Ubh)時,即p1-μ+E(Utj)-E(Ubh)(j,h=n,r),顧客在第1階段才愿意購買產(chǎn)品V1。為最大化兩階段利潤,生產(chǎn)商應將產(chǎn)品V1的價格定為消費者的保留價格[3],即p1=min{μ+E(Utj)-E(Ubh)|j,h=n,r),此時第1階段愿意購買產(chǎn)品V1的顧客需求為X1=X,第2階段老顧客的市場規(guī)模為Xr=X∧Q1,第2階段新顧客的市場規(guī)模為Xn=(X-Q1)+。

若用π表示生產(chǎn)商兩階段的利潤,則兩階段的數(shù)學規(guī)劃模型為:

(2)

定義z=p1+σr-σn,生產(chǎn)商在第1階段每銷售1個產(chǎn)品V1,除了獲得銷售收入p1外,增加了1個潛在的老顧客需求,減少了1個新顧客需求,1個老顧客和一個新顧客產(chǎn)生的單位利潤分別為σr、σn,因此z表示在第1階段銷售1個產(chǎn)品V1獲得的潛在收入。

命題2當新品與再制造品共存時,生產(chǎn)商第1階段的最優(yōu)決策為:

證明因為v服從[0,1]上的均勻分布,故μ=E(v)=1/2。

同理可求：

推論3表明,隨著單位生產(chǎn)成本c1的增加,由于市場規(guī)模在第1階段開始前是不確定的,生產(chǎn)商會降低產(chǎn)品V1的生產(chǎn)量,以減少滯銷損失;隨著虧本價格s的增加,產(chǎn)品V1滯銷的邊際損失減少,產(chǎn)品滯銷風險減少使得生產(chǎn)商能夠增加產(chǎn)品V1的生產(chǎn)量。

3 僅新品存在的模型構建與求解

3.1 第2階段的模型構建與求解

首先求出在第2階段老顧客以舊換新以及新顧客購買新品的需求。

(3)

(3)式的第1項表示生產(chǎn)商從老顧客以舊換新業(yè)務中獲得的利潤,第2項表示生產(chǎn)商從新顧客購買新品業(yè)務中獲得的利潤。

命題3 僅存在新品時,生產(chǎn)商第2階段的最優(yōu)決策為:

3.2 第1階段的模型構建與求解

若用πn表示僅新品存在時生產(chǎn)商兩階段的利潤,則兩階段的數(shù)學規(guī)劃模型為：

(4)

(4)式各項含義與(2)式相同。

命題4 僅存在新品時,生產(chǎn)商第1階段的最優(yōu)決策為:

命題4的證明方法同命題2。

下面將新品和再制造品共存情形與僅存在新品情形進行對比。

推論5表明,當顧客對再制造品的敏感系數(shù)較大時,即顧客對再制造品和新品的估值差異較小,再制造品進入市場會蠶食新品的銷售,然而增加了顧客購買產(chǎn)品的總概率。這是由于再制造品的價格低于新品的價格,并且兩者的估值比較接近,因此再制造品一方面吸引了部分原計劃購買新品的顧客,另一方面也吸引了部分沒有計劃購買新品的顧客。

推論6表明,相比于僅存在新品的情況,再制造品的進入擴大了第2階段的顧客市場,使得生產(chǎn)商將通過低價策略吸引顧客在第1階段購買產(chǎn)品V1。

當再制造品引入后,銷售1個產(chǎn)品V1的潛在收入大于僅存在新品情況下的潛在收入時,生產(chǎn)商將會提高第1階段產(chǎn)品V1的生產(chǎn)量,盡可能地增加產(chǎn)品V1的銷量,從而提高兩階段總利潤。

4 數(shù)值算例

因為潛在市場規(guī)模X是不確定的,所以生產(chǎn)商的利潤函數(shù)比較復雜,很難通過解析方法分析其利潤的變化規(guī)律。為了便于分析,假設X服從[0,1]上的均勻分布。本節(jié)將通過數(shù)值算例,分別在新品和再制造品共存與僅存在新品的2種情形下,研究消費者對再制造品的敏感系數(shù)θ、再制造品單位節(jié)約成本r和創(chuàng)新提升水平α對生產(chǎn)商利潤的影響。

4.1 參數(shù)θ對生產(chǎn)商利潤的影響

參數(shù)設定:c1=0.25,cn=0.45,r=0.13,k=0.6,α=0.5,s=0.2,θ在[0.2,0.8]上取值。參數(shù)θ對生產(chǎn)商利潤的影響如圖1所示。

圖1 參數(shù)θ對生產(chǎn)商利潤的影響

由圖1可知,消費者對再制造品的敏感系數(shù)θ較低時,即再制造品的受歡迎程度較低,再制造品的進入會損害生產(chǎn)商的利潤;隨著敏感系數(shù)θ的增加,顧客對新品和再制造品的估值差異減小,再制造品具有低價的競爭優(yōu)勢,可以吸引更多的消費者購買產(chǎn)品,再制造品帶來的利潤能夠彌補蠶食新品損失的利潤,此時再制造品的進入可以提高生產(chǎn)商的利潤。

4.2 參數(shù)r對生產(chǎn)商利潤的影響

參數(shù)設定:c1=0.25,c2=0.45,k=0.6,α=0.5,s=0.2,θ=0.6,r在[0.05,0.25]上取值。參數(shù)r對生產(chǎn)商利潤的影響如圖2所示。

圖2 參數(shù)r對生產(chǎn)商利潤的影響

由圖2可知,再制造品單位節(jié)約成本r較低時,再制造品相對于新品的成本優(yōu)勢不明顯,然而再制造品的零售價相對于新品較低,此時再制造品的進入會損害生產(chǎn)商的利潤;隨著單位節(jié)約成本r的增加,再制造品的成本優(yōu)勢明顯,可以吸引更多的顧客購買再制造品,彌補了低價產(chǎn)生的利潤損失,此時再制造品的進入可以提高生產(chǎn)商的利潤。

4.3 參數(shù)α對生產(chǎn)商利潤的影響

參數(shù)設定:c1=0.25,c2=0.45,r=0.13,k=0.6,s=0.2,θ=0.6,α在[0.2,0.8]上取值。參數(shù)α對生產(chǎn)商利潤的影響如圖3所示。

圖3 參數(shù)α對生產(chǎn)商利潤的影響

由圖3可知,不管再制造品是否存在,隨著新品Vn創(chuàng)新提升水平α的增加,顧客對新品的估值增加,生產(chǎn)商可以通過提高價格增加自身的利潤。新品創(chuàng)新提升水平α較低時,消費者對新品的估值也較低,生產(chǎn)商從新品獲得的收益較低,而再制造品的進入可以促進銷售,提高生產(chǎn)商的利潤。隨著創(chuàng)新提升水平的增加,新品相對于再制造品優(yōu)勢明顯,再制造品的進入蠶食新品銷售導致的利潤損失超過了銷售再制造品產(chǎn)生的利潤,此時再制造品的進入會降低生產(chǎn)商的利潤。

5 結 論

本文假設潛在市場規(guī)模在第1階段開始前是不確定的,生產(chǎn)商在第1階段開始前公布第1代產(chǎn)品的零售價,在第1階段開始前公布其升級產(chǎn)品和再制造品的零售價。在第1階段,顧客對第2階段產(chǎn)品的價格有理性的預期,將根據(jù)兩階段的期望效用之和決策是否愿意購買產(chǎn)品。第1階段購買到產(chǎn)品的顧客稱為老顧客,將根據(jù)第2階段效用決策以舊換新/再;第1階段愿意購買但沒有購買到產(chǎn)品的顧客稱為新顧客,將根據(jù)第2階段效用決策購新/再。本文在第2階段新品和再制造品共存與僅存在新品的2種情形下,建立了以生產(chǎn)商利潤最大化為目標，產(chǎn)品價格和生產(chǎn)量為決策變量的兩階段決策模型。本文的主要研究結論如下:

(1) 無論生產(chǎn)商是否引入再制造品,以舊換新價格均低于購新價格,以舊換新價格隨著折舊系數(shù)的增加而增加,新品Vn的最優(yōu)定價隨著其單位生產(chǎn)成本的增加而增加,隨著創(chuàng)新提升水平的增加而增加。

(2) 當新品和再制造品共存時,以舊換再價格低于購再價格,以舊換再價格隨著折舊系數(shù)的增加而增加,再制造品Vr的最優(yōu)定價隨著再制造生產(chǎn)節(jié)約成本的增加而增加,隨著敏感系數(shù)的增加而增加;新品Vn的最優(yōu)生產(chǎn)量隨著再制造生產(chǎn)節(jié)約成本的增加而減少,再制造品Vr的最優(yōu)生產(chǎn)量隨著再制造節(jié)約成本的增加而增加,產(chǎn)品V1的最優(yōu)生產(chǎn)量隨著其單位生產(chǎn)成本的增加而減少,隨著虧本價格的增加而增加。

(3) 當顧客對再制造品的敏感系數(shù)較大時,再制造品的引入會蠶食新品的銷售,但會增加顧客購買產(chǎn)品的總概率。新品和再制造品共存時第1階段的最優(yōu)定價小于僅新品存在時第1階段的最優(yōu)定價。當新品和再制造品共存情況下銷售1個產(chǎn)品V1的潛在收入較大時,生產(chǎn)商引入再制造品會提高第1階段的生產(chǎn)量。

(4) 生產(chǎn)商引入再制造品的利潤受敏感系數(shù)、再制造生產(chǎn)節(jié)約成本和新品創(chuàng)新提升水平的影響;當敏感系數(shù)較大，再制造生產(chǎn)節(jié)約成本較大，新品創(chuàng)新提升水平較小時,引入再制造品可以為生產(chǎn)商帶來更多的利潤。

進一步的工作可以從以下幾個方面進行:① 本文假設是在壟斷市場環(huán)境下研究企業(yè)的產(chǎn)品定價與生產(chǎn)策略,可以進一步考慮在競爭環(huán)境下企業(yè)的最優(yōu)決策;② 本文假設再制造品的數(shù)量不受限制,但現(xiàn)實中由于回收成本及回收舊產(chǎn)品受限等因素可能導致回收再制造的數(shù)量有限,因此可以進一步考慮再制造品數(shù)量受限下企業(yè)的最優(yōu)定價與生產(chǎn)策略;③ 本文假設消費者在第1階段開始前均已到達,但實際上部分潛在消費者可能在第2階段到達,可以進一步考慮潛在消費者在第2階段有購買行為時企業(yè)的最優(yōu)決策。