劉 恒，孫亞坤

（南京信息工程大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，江蘇 南京 210044）

0 引言

對于微機(jī)電系統(tǒng)中靜電驅(qū)動的微構(gòu)件，在電場力作用下，微結(jié)構(gòu)發(fā)生變形，結(jié)構(gòu)的變形又導(dǎo)致了電場力的改變，從而形成了結(jié)構(gòu)?靜電場耦合問題。微機(jī)電系統(tǒng)的設(shè)計(jì)水平和產(chǎn)品的可靠性與正確分析和求解靜電力驅(qū)動的微結(jié)構(gòu)變形、臨界（pull in）電壓等參數(shù)有關(guān)。對于機(jī)電耦合問題，一般采用懸臂梁或雙端固支梁結(jié)構(gòu)作為研究對象。將結(jié)構(gòu)簡化為“彈簧?質(zhì)量”模型是耦合分析的一種，但是對于建立的方程，由于邊界條件和器件的結(jié)構(gòu)過于復(fù)雜而往往難以獲得精確的解析解。因此機(jī)電耦合問題的建模和分析過程中更多的是借助于數(shù)值計(jì)算軟件進(jìn)行多能量場耦合分析，然后確定優(yōu)化結(jié)果，例如有限差分法（FD）、邊界元法（BEM）、有限元法（FEM）等。其中有限元法和邊界元法能夠獲得較為精確的物理級分析計(jì)算結(jié)果，利用綜合法可以獲得結(jié)構(gòu)在每個能量域內(nèi)行為的精確描述，但對于結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)來說，這種計(jì)算方法效率低，過程復(fù)雜，且不適合系統(tǒng)級的分析計(jì)算，不能同時考慮電路和結(jié)構(gòu)器件的設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)上述分析需要減少系統(tǒng)模型參數(shù)，即集總模型或降階模型。集總參數(shù)模型是強(qiáng)耦合模型，具有求解收斂速度快的優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)用范圍非常廣。本文以雙端固支梁為研究對象，建立其結(jié)構(gòu)?靜電耦合方程，推導(dǎo)出臨界驅(qū)動電壓的近似解。利用有限元分析軟件進(jìn)行仿真，驗(yàn)證了解析解的有效性，并提出一種基于集總參數(shù)模型求解臨界電壓的方法，仿真結(jié)果與有限元分析相近，但大大減少了計(jì)算時間，并且有利于快速地分析與設(shè)計(jì)機(jī)械結(jié)構(gòu)和驅(qū)動電路。

1 靜電驅(qū)動的雙端固支梁建模

雙端固支微梁系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型如圖1 所示。

圖1 靜電驅(qū)動下的雙端固支梁模型

在電壓的作用下，固支梁由于靜電力的作用產(chǎn)生變形，靜電力為：

式中：，分別為電極的寬度和梁的長度；為電極和梁的初始間距；為梁的寬度，電極寬度大于梁的寬度；為介電常數(shù)；為加在電極和梁上的電壓；為靜電力。在梁的中點(diǎn)處縱向位移最大，滿足如下條件：

當(dāng)電極的寬度遠(yuǎn)小于梁的長度時，式（1）近似化簡為：

根據(jù)式（4）、式（6），結(jié)合邊界條件可得：

得到：

該解析過程由于在式（8）中采用了近似減少極板間距的方法，解析結(jié)果必然小于實(shí)際精確的臨界電壓。

當(dāng)式（1）中的()接近y時，靜電力為：

相應(yīng)的臨界電壓為：

式（13）是臨界電壓的上限，當(dāng)較小時，式（10）和式（13）非常接近。

2 有限元方法和集總參數(shù)模型的應(yīng)用

本文采用混合有限元方法結(jié)合邊界元方法來求解雙端固支微梁在靜電力左右下的結(jié)構(gòu)?靜電耦合問題。將能量場分為力場和靜電場，用不同的控制方程來描述力場和電場中的能量。在進(jìn)行離散化時，兩個能量場中的節(jié)點(diǎn)定義獨(dú)立的節(jié)點(diǎn)自由度，根據(jù)力的邊界條件和位移協(xié)調(diào)邊界條件將它們結(jié)合起來。在結(jié)構(gòu)表面的電場分布采用邊界元方法，而結(jié)構(gòu)的變形則采用有限元法。這樣做一方面可有效地利用FEM 易于求解結(jié)構(gòu)變形的優(yōu)點(diǎn)，另一方面可以很容易用BEM 調(diào)整電場的構(gòu)型，直接得到需要的結(jié)構(gòu)邊界電場，節(jié)省大量的計(jì)算資源。

雙端固支梁結(jié)構(gòu)參數(shù)的選取來自文獻(xiàn)[13]，如表1所示。在Coventor 軟件下基于計(jì)算機(jī)虛擬微加工工藝建立梁和電極的實(shí)體模型，如圖2 所示。在分析中，固定梁的兩個側(cè)面均為導(dǎo)體。在電極上所加電壓為0 V，在梁上加正向電壓。

表1 結(jié)構(gòu)幾何尺寸

圖2 有限元分析的實(shí)體模型

臨界下拉電壓分析參數(shù)設(shè)置為：驅(qū)動電壓掃描范圍為20～50 V，收斂電壓容許差值為0.5 V。利用軟件自帶的耦合場分析器，得到的迭代過程如圖3 所示。臨界下拉電壓為42.187 5 V。電極長度和梁長度相等，等于1，解析計(jì)算結(jié)果為35.368 2 V，文獻(xiàn)[13]計(jì)算的結(jié)果為39.5 V。

圖3 臨界電壓有限元分析過程

圖4 不同驅(qū)動電壓下梁的縱向位移

基于有限元和邊界元的數(shù)值計(jì)算仿真方法雖然可以較精確地得到耦合的臨界下拉電壓，但需要的時間較長，本文為了減少計(jì)算機(jī)運(yùn)行時間，單元網(wǎng)格劃分得比較粗糙。這就是本文的有限元分析結(jié)果與文獻(xiàn)[13]結(jié)果不一致的原因。對于不同的梁和電極結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)，要不斷的重新設(shè)計(jì)二維版圖尺寸，然后相應(yīng)的三維模型實(shí)體才可以得到調(diào)整。分析、設(shè)計(jì)效率非常低，特別是復(fù)雜微機(jī)電系統(tǒng)。鑒于此，本文利用集總參數(shù)模型來分析固支梁的下拉臨界電壓。其中虛擬的工藝文件中固支梁為結(jié)構(gòu)層，厚度為3 μm，電極層厚度也為3 μm，中間犧牲層厚度為1 μm，尺寸與表1 相一致。梁中點(diǎn)處沿軸方向的位移通過自由度轉(zhuǎn)換模塊以數(shù)值的方式表示，模塊是基于MAST 語言的宏模型。梁和電極的幾何尺寸參數(shù)通過全局變量來設(shè)置，改變?nèi)肿兞康闹稻妥詣痈淖兌S版圖，結(jié)合虛擬的工藝就可以得到三維實(shí)體結(jié)構(gòu)，分析、設(shè)計(jì)效率得到提高。整個分析用的集總參數(shù)模型如圖5 所示，模型包括電極梁（Electrode beam）、臨界電壓源（Pull?in Resource）、錨點(diǎn)（Anchor）、全局變量（Coventor）等宏模型，梁兩端的錨點(diǎn)固定在圓片的底座上。對應(yīng)的二維版圖如圖6 所示。改變?nèi)謪?shù)就可以方便快捷地得到不同尺寸的版圖。

圖5 基于集總參數(shù)臨界電壓分析模型

圖6 基于集總參數(shù)分析模型對應(yīng)版圖

對集總參數(shù)模型進(jìn)行時域分析，在Saber 仿真中，接近臨界下拉電壓時出現(xiàn)奇點(diǎn)，仿真停止。驅(qū)動電壓和縱向位移數(shù)據(jù)經(jīng)Matlab/Simulink 中SaberSimulinkCosim 接口得到驅(qū)動電壓和梁在軸的曲線，如圖7 所示。

圖7 基于集總參數(shù)模型的臨界下拉電壓

從圖7 可知，臨界下拉電壓為44.531 2 V，在接近臨界下拉電壓時，曲線變化幅度趨于無窮，仿真產(chǎn)生奇點(diǎn)。仿真結(jié)果與文獻(xiàn)[13]介紹的結(jié)果有一定誤差，但仿真過程不需要重復(fù)劃分網(wǎng)格，可以進(jìn)行后續(xù)外圍電路分析，提高了微機(jī)電系統(tǒng)的設(shè)計(jì)效率。

3 結(jié)論

對于復(fù)雜的微構(gòu)件的結(jié)構(gòu)?靜電耦合場分析，一般很難建立耦合動力學(xué)方程；即使建立了方程也很難得到精確的解析解?；谟邢拊瓦吔缭挠?jì)算機(jī)軟件仿真雖然能獲得較精確的數(shù)值解，但是需要不斷地劃分單元網(wǎng)格，重復(fù)計(jì)算，效率非常低?；贛AST 語言的集總參數(shù)模型的力電耦合分析方法不需要劃分網(wǎng)格，能較快速地求解耦合問題。本文以雙端固支微梁為例，利用三種不同方法分析結(jié)構(gòu)?靜電耦合場，為求解復(fù)雜微機(jī)電系統(tǒng)中多能量場耦合問題提供依據(jù)，從而提高設(shè)計(jì)產(chǎn)品的可靠性。