葉 紅，李 艷

(1. 武漢理工大學 土木工程與建筑學院，湖北 武漢 430070； 2. 武漢交通職業(yè)學院 交通工程學院，湖北 武漢 430065)

0 引 言

具有良好錨固效果的預應力錨索已被廣泛地應用到邊坡、基坑等的加固中[1]，而軟弱巖土體由于其不連續(xù)性和各向異性，在外荷載作用下受荷區(qū)會發(fā)生彈性變形和塑性變形，即蠕變變形[2-3]，因此在預應力錨索長期加固的軟弱巖土體中，巖土體由于預應力作用而發(fā)生蠕變，蠕變反過來又引起錨索預應力損失，錨索預應力與巖土體蠕變之間存在耦合效應關系。

由于軟弱巖土體的復雜性，關于預應力錨索錨固機理還不清楚，業(yè)內學者正在進行深入的理論研究。王克忠等[4]、王國富等[5]、鄧東平等[6]從錨索預應力與巖土體蠕變的耦合效應方面研究了預應力錨索的錨固機理；索玉文等[7]、于貴等[8-9]基于錨索錨固段彎曲采用半平面彈性理論研究了錨索錨固段的剪應力分布情況。針對軟弱巖土體在外荷載作用下發(fā)生蠕變這個現(xiàn)象，筆者基于錨索預應力與軟弱巖土體蠕變之間的耦合效應，結合Boussinesq-Flamant問題解和任意點的平面應力狀態(tài)，對預應力錨索彎曲錨固段的切向剪應力進行了研究，得到彎曲錨固段切向剪應力的變化規(guī)律，研究結果補充完善了軟弱巖土體中預應力錨索錨固機理。

1 耦合效應的特征方程

筆者采用一個Hooke體模型和一個Kelvin體模型串聯(lián)而成的廣義開爾文體(General Kelvin)模型來表征錨索的預應力和巖土體的蠕變，如圖1。圖中：EK、η分別為錨索周邊巖土體的滯后彈性模量(單位：MPa)、黏性參數(shù)(單位：MPa·h)；EH為錨索的瞬時彈性模量(單位：MPa)；σ為錨索預應力與軟弱巖土體蠕變耦合效應的計算應力(單位：MPa)[1]。

圖1 廣義開爾文模型Fig. 1 Model of general Kelvin

1.1 本構方程

General Kelvin模型的本構方程如式(1)：

(1)

式中：σK為General Kelvin模型錨索周邊巖土體的應力，MPa；εK為General Kelvin模型錨索周邊巖土體的應變；其他符號同前。

由圖1的靜力平衡條件可得

(2)

式中：ε為錨索預應力與軟弱巖土體蠕變耦合效應計算模型的應變；σH為錨索的應力，MPa；εH為錨索的應變；其他符號同前。

將式(2)代入式(1)得到耦合效應計算模型的本構方程(3)：

(3)

1.2 松弛方程

在耦合效應計算模型的本構方程(3)中，如果錨索預應力變化而應變沒有變化，此時ε為常數(shù)C，則有

(4)

已知初始條件下σt=0=EHC，由式(4)可得到耦合效應計算模型的松弛方程(5)：

(5)

錨索預應力荷載F(單位：kN)隨時間t而逐漸減少，如式(6)：

(6)

式中：A為預應力錨索鋼絞線的截面面積，m2；其他符號同前。

2 彎曲錨固段的剪應力

2.1 Boussinesq-Flamant問題解

通常，預應力錨索孔道采用潛孔鉆施工方法來鉆探，由于地質因素、技術因素和工藝因素等的影響，在鉆進過程中孔道往往會發(fā)生彎曲而偏離設計要求[10]，尤其是在較長孔道的鉆探施工過程中，錨索孔道會呈現(xiàn)向下彎曲的狀態(tài)。一般來說，位于軟弱巖土體中的錨索孔道越長，孔道向下彎曲的幅度也就越大[11]。

預應力錨索的鋼絞線所受到的拉力傳遞到注漿體上后轉化為剪應力和壓應力，注漿體受到的剪應力的方向與鋼絞線受到的拉力的方向相反[7]，并沿錨索孔圓心對稱[12]。錨索孔道彎曲半徑為R，預應力錨索孔道直徑為D，若錨索錨固段彎曲處內曲線和外曲線不對稱，則內曲線和外曲線上任意點的切向剪應力不相等[8-9]，如圖2。

圖2 錨索彎曲錨固段受力示意Fig. 2 Force diagram of bending anchorage section ofthe anchor cable

錨索預應力荷載F作用在軟弱巖土體表面時，可由彈性力學理論Boussinesq-Flamant問題解得到預應力錨索錨固段應力的表達式[7-9]：

(7)

(8)

(9)

式中：σx、σy、τxy分別為直角坐標系下錨固段內、外曲線上任意點的應力，MPa；其他符號同前。

預應力錨索彎曲錨固段內曲線和外曲線的變化規(guī)律均與錨索孔道彎曲半徑R和錨索孔道直徑D存在數(shù)學函數(shù)關系，如圖3。

圖3 錨索彎曲錨固段力學分析示意Fig. 3 Mechanical diagram of bending anchorage section ofthe anchor cable

因此，可得到在直角坐標系下彎曲錨固段內、外曲線的函數(shù)式fi(x,y)、fo(x,y)，分別代入式(7)～式(9)，可得到直角坐標系下預應力錨索錨固段內、外曲線上任意點的應力。

2.2 預應力錨索錨固段內、外曲線上任意點的平面應力狀態(tài)

斜面應力公式或應力變換公式即柯西應力公式，是彈性力學中常用公式之一[13-14]。三維坐標下的柯西應力公式如式(10)：

tN=σ·N

(10)

對于平面應力問題，如果已知單元體上的應力(σx、σy、τyx)，可由柯西應力公式(10)得到斜面上的正向應力和切向應力[14]。在內曲線和外曲線確定的平面中，根據平面應力問題中任意點的應力狀態(tài)(圖4)，可由柯西應力公式(10)得到錨索錨固段內曲線或外曲線任意點的法向正應力和切向剪應力，如式(11)：

(11)

式中：σα、τα分別為錨索錨固段彎曲孔道內、外曲線上任意點的法向正應力和切向剪應力，MPa；α為錨索彎曲錨固段內、外曲線上任意點的切線與y軸之間的銳角，(°)。

圖4 平面應力狀態(tài)應力分析示意Fig. 4 Stress analysis diagram of plane stress state

2.3 預應力錨索錨固段內、外曲線上任意點的切向剪應力

分別將內、外曲線函數(shù)fi(x,y)、fo(x,y)，及式(7)～式(9)代入式(11)，可得到預應力錨索彎曲錨固段內、外曲線上任意點的切向剪應力τi、τo：

(12)

(13)

3 算例分析

借鑒陳安敏等[15]、王國富等[16]的錨索蠕變相似試驗研究成果，某經過預應力錨索加固的軟弱巖土體邊坡，假設軟弱巖土體的瞬時彈性模量EH=9.362 MPa，滯后彈性模量EK=7.719 MPa，黏性參數(shù)η=607.795 MPa·h，C=9.53×10-5。預應力初始值F0=100 kN。如果預應力錨索錨固段長S=4.5 m，錨索孔直徑D=0.14 m，經專用設備測試得錨索孔道彎曲半徑R=10 m，則彎曲錨固段內、外曲線上任意點的切線銳角α由式(14)表示：

(14)

3.1 錨索預應力初始值F0的影響

如果錨索預應力初始值F0=100、200、400 kN，由圖5可見，由于錨索預應力變化與軟弱巖土體蠕變之間的耦合效應，從加載后開始計時，錨索預應力荷載F隨著時間t的增加而按冪函數(shù)遞減。

圖5 錨索預應力隨時間t的變化曲線Fig. 5 Variation curve of anchor cable prestress changing with time t

當F0=100、200、400 kN，t=480 h[15-16]時，預應力錨索彎曲錨固段內、外曲線切向剪應力分布如圖6；預應力錨索彎曲錨固段內、外曲線切向剪應力峰值如表1。

圖6 F0=100, 200, 400 kN,錨索彎曲錨固段內、外曲線切向剪應力分布曲線Fig. 6 Tangential shear stress distribution curve of the inner and outer curves of bending anchorage section of the anchor cable withF0=100, 200, 400 kN

表1 F0=100, 200, 400 kN，彎曲錨固段內、外曲線切向剪應力峰值Table 1 The peak value of tangential shear stress of the inner andouter curves of bending anchorage section of the anchor cable withF0=100, 200, 400 kNMPa

由圖6、表1可知：

1)錨索彎曲錨固段，內、外曲線上任意點的切向剪應力分布曲線均隨著F0的增加而逐漸陡峭，且內、外曲線上任意點的切向剪應力主要集中在錨頭0.5 m范圍內。

2)錨索彎曲錨固段，內、外曲線的切向剪應力峰值τi, peak、τo，peak均隨著F0的增加而呈線性變化，且有τi,peak≈2.9τo,peak。

3.2 錨索孔道彎曲半徑R的影響

當錨索彎曲錨固段孔道彎曲半徑R=5、10、20 m時，錨索彎曲錨固段內、外曲線的切向剪應力分布曲線如圖7，切向剪應力峰值如表2。

圖7 R=5, 10, 20 m,錨索彎曲錨固段內、外曲線切向剪應力分布曲線Fig. 7 Tangential shear stress distribution curve of the inner andouter curves of bending anchorage section of the anchor cable withR=5, 10, 20 m

表2 R=5, 10, 20 m錨索彎曲錨固段內、外曲線切向剪應力峰值Table 2 The peak value of tangential shear stress of the inner andouter curves of bending anchorage section of the anchor cable withR=5, 10, 20 mMPa

由圖7、表2可知：

1)錨索彎曲錨固段，內、外曲線的切向剪應力分布曲線隨R的增加而逐漸平緩。

2)錨索彎曲錨固段，內、外曲線的切向剪應力峰值τi, peak、τo, peak均隨R的增加而逐漸減小，且τi, peak>τo, peak。

4 結 論

基于錨索預應力變化與軟弱巖土體蠕變之間的耦合效應，根據Boussinesq-Flamant問題解，對預應力錨索彎曲錨固段切向剪應力進行了理論推導；算例分析了錨索彎曲錨固段內、外曲線的切向剪應力，得到以下結論：

1)在預應力變化與巖土體蠕變的耦合效應下，錨索的預應力隨著時間按冪函數(shù)遞減。

2)錨索彎曲錨固段任意點的切向剪應力主要集中在錨頭0.5 m范圍內，且切向剪應力峰值與預應力初始值成正相關關系。

3)錨索彎曲錨固段，內曲線任意點的切向剪應力峰值比外曲線任意點的切向剪應力峰值大。

4)錨索彎曲錨固段，孔道彎曲半徑與錨固段內、外曲線切向剪應力峰值之間存在負相關關系。