楊杰， 張慧， 李愛純， 高天

(蘭州交通大學土木工程學院， 蘭州 730070)

變截面懸臂空心圓柱因其良好的力學特性，多年來一直是工程中最常用的結構之一。目前，有關研究已取得較多進展。張宏生等[1]從撓度微分方程出發(fā)，應用傳遞矩陣法得到了階梯柱模型整體穩(wěn)定性歐拉臨界力求解控制方程的表達式。賀麗平等[2]在針對變截面門式剛架柱的穩(wěn)定性計算中, 分別對大頭截面參數(shù)和小頭截面參數(shù)進行探討, 提出了穩(wěn)定系數(shù)φ′b的簡化公式。卞敬玲等[3]在三維退化梁單元的基礎上引入幾何非線性，導出了計算任意變截面壓桿穩(wěn)定問題的有限元列式。練章華等[4]基于彈塑性力學理論建立了實際井況下油管柱屈曲行為分析的有限元力學模型，對管柱屈曲行為的影響程度開展了研究。吳瑩等[5]導出了變圓截面彈性懸臂柱的后屈曲控制方程，解決了強非線性邊值問題。Lee等[6]在研究等體積變截面懸臂柱的大撓度荷載時考慮剪切變形的影響，導出了控制柱屈曲形狀的幾何非線性微分方程。Bakker[7]從能量原理著手，結合逆解思想和試函數(shù)方法，導出了均布荷載作用下懸臂柱彎剪屈曲的近似計算公式?；輰捥玫萚8]通過系數(shù)擬合對彎剪型屈曲的臨界荷載計算公式予以修正，得到彎剪型懸臂柱的屈曲臨界荷載計算公式。趙欽等[9]綜合考慮懸臂柱的剪切與彎曲變形，得到了等截面與變截面形式下彎矩放大系數(shù)的表達式。

Borodin等[10]對非彈性懸臂柱體系進行了抗震分析，將非彈性系統(tǒng)的震動分析歸結為準靜態(tài)問題。Darbandi等[11]研究了受分布軸力作用的變截面柱的靜穩(wěn)定性，得到了計算屈曲載荷和相應的模態(tài)振型的封閉解。Lee等[12]利用直接積分法導出了軸壓荷載作用下軸功能梯度懸臂柱的橫向自由振動問題的控制微分方程。潘旦光等[13]基于直接模態(tài)攝動法的基本原理建立一種求解變截面Timoshenko梁動力特性的近似分析方法，將梁的特征方程的微分方程組轉化為代數(shù)方程組從而進行求解。禹金云[14]通過函數(shù)變換法給出了變截面桿在自由縱向振動情形下的部分精確解。崔凱等[15]基于Abaqus有限元對不同沖擊能量和沖擊位置下格構式鋼柱的動態(tài)響應進行有限元分析，表明懸臂試件在沖擊位置較低時的沖擊力時程曲線發(fā)展趨勢與兩端簡支試件相似,變形破壞由剪切效應控制。陳玉驥等[16]研究了突加荷載作用下，變截面空心柱在考慮了慣性力后的動力特性，給出了塑性鉸位置參數(shù)和懸臂端中點加速度在不同影響參數(shù)下的變化規(guī)律。

現(xiàn)有懸臂變截面空心柱的研究主要集中在靜力穩(wěn)定性與振動穩(wěn)定性兩大類，較少涉及沖擊荷載作用下的動力特性研究。然而，在工程中，變截面懸臂空心圓柱有可能受到沖擊荷載作用，因此，有必要針對其沖擊響應展開研究?，F(xiàn)擬從準靜態(tài)極限分析與沖擊動力學理論入手，對其在沖擊荷載作用下的動力特性展開研究，分析不利工況產生的條件，以便提高其使用可靠性。

1 本構關系與準靜態(tài)極限分析

圖1為受沖擊荷載F作用的變截面懸臂空心圓柱。D0與D2分別為懸臂端(以字母c表示)與固定端(以字母f表示)的截面外徑；H為構件跨度；z為懸臂端到固定端的距離(高度)。定義荷載位置參數(shù)μ，并以μH表示荷載F的作用位置到懸臂端的距離；z為懸臂端到固定端的距離(高度)。

圖1 受沖擊荷載作用的變截面懸臂空心圓柱Fig.1 Cantilever hollow cylinder with variable cross-section under impact load

為簡化其動力響應分析，本文中懸臂柱的本構關系采用理想鋼塑性材料模型。

由彈塑性力學可知，薄壁圓環(huán)截面的塑性極限彎矩為

(1)

式(1)中：d、D與td為截面內徑、外徑與壁厚；σy為材料屈服應力。

顯然，Mp為直徑的二次式。因此，根據(jù)量綱分析，設任意截面的塑性極限彎矩為

(2)

式(2)中：Mp0、Mp1、Mp2分別為懸臂端、跨中和固定端的截面塑性極限彎矩。

根據(jù)準靜態(tài)極限分析，設區(qū)間z>μH，上桿段任一截面的靜態(tài)極限荷載為

(3)

式(3)中：Fx0、Fx1和Fx2分別為懸臂端、跨中和固定端的截面在x方向的靜態(tài)極限荷載。

當變截面懸臂空心圓柱受到沖擊荷載作用時，其會繞柱的某一截面發(fā)生轉動，即在該截面產生塑性鉸。顯然，塑性鉸出現(xiàn)的位置情況有兩種：①塑性鉸位于固定端；②塑性鉸位于柱中。因此，現(xiàn)將根據(jù)塑性鉸出現(xiàn)的位置情況，對其沖擊動力特性展開分類研究。此外，因工程中常用的變截面懸臂空心圓柱常分為等厚度柱與變厚度柱兩類，故亦分類討論。

2 塑性鉸位于固定端

圖2為懸臂柱塑性鉸位于固定端的運動模式。vc(t)為懸臂端中點的速度；Rf為固定端的水平支反力；Mp2為固定端的截面塑性極限彎矩。

圖2 塑性鉸位于固定端的懸臂柱轉動模式Fig.2 Rotation mode of cantilever cylinder with plastic hinge at the fixed end

2.1 等厚度柱的沖擊動力特性

等厚度柱的厚度為td，懸臂端、固定端的截面內徑分別為d0和d2，d(z)表示高度為z時空心柱截面的內徑，材料密度為ρ。為分析等厚度柱在該情形下的沖擊響應，可根據(jù)沖擊動力學，先對其在x方向運用動量定理，有

(4)

積分得

(5)

再應用動量矩定理，有

F(1-μ)H-Mp2

(6)

積分得

(7)

聯(lián)立式(5)和式(7)得

(8)

由式(8)第二式可得懸臂端中點的加速度，則任一截面的加速度為

(9)

由結構力學可知，截面剪力V(z)與分布慣性力存在以下關系，即

(10)

積分可得

(11)

根據(jù)彎矩與剪力的微分關系可得

(12)

2.2 變厚度柱的沖擊動力特性

變厚度柱的內徑為d，懸臂端、固定端的截面厚度分別為t0、t2，t(z)表示高度為z時空心柱截面的壁厚，材料密度為ρ。與2.1節(jié)同理可得

(13)

積分得

(14)

式(14)中：ζ=3(d+2t0)t0+(d+4t0)(t2-t0)+(t2-t0)2，ξ=20(d+2t0)t0+5(d+4t0)(t2-t0)+4(t2-t0)2。

3 塑性鉸位于柱中

圖3表示懸臂柱塑性鉸位于柱中的運動模式。定義塑性鉸位置參數(shù)λ，并以λH表示塑性鉸位置到懸臂端的距離；Fxλ為塑性鉸截面的靜態(tài)極限荷載，Mp為相應的塑性極限彎矩。

圖3 塑性鉸位于柱中的懸臂柱轉動模式Fig.3 Rotation mode of cantilever cylinder with plastic hinge in the cylinder

由2.1節(jié)的分析可知，塑性鉸在懸臂柱中產生的條件為F>Fx2且μ≤μxc。但真實情況是：當F稍微大于Fx2時，即使μ≤μxc，塑性鉸仍會在固定端產生。事實上，由圖3便可看出，只有當F>Fxλ時，懸臂柱才會發(fā)生轉動。因此，塑性鉸在柱中產生的條件應為：F>Fxλ>Fx2與μ≤μxc。

3.1 等厚度柱的沖擊動力特性

分別運用動量定理與動量矩定理，有

(15)

對式(15)第一式積分，得懸臂端加速度為

(16)

將式(16)代入式(15)中第二式，積分得

(d2-d0)λ3-2[μ(d2-d0)-d0]λ2-6μd0λ=0

(17)

式(17)為塑性鉸位置參數(shù)λ的控制方程。當d2=d0時，變截面柱變?yōu)榈冉孛嬷?。若μ?，式(17)變?yōu)棣?3μ，故有：當μ<1/3時，等截面柱的塑性鉸在柱中產生，即μ<λ<1，且λ=3μ；當μ≥1/3時，塑性鉸在固定端產生，即λ=1。

3.2 變厚度柱的沖擊動力特性

分別運用動量定理與動量矩定理，有

(18)

對式(18)第一式積分，得懸臂端加速度為

(19)

式(19)中：ζ=(t2-t0)2λ3+(d+4t0)(t2-t0)λ2+3(d+2t0)t0λ。

將式(19)代入式(18)第二式，積分得

6(t2-t0)2λ4+5(d+4t0)(t2-t0)λ3-

10(t2-t0)2μλ3+10(d+2t0)t0λ2-

10(d+4t0)(t2-t0)μλ2-30(d+2t0)t0μλ=0

(20)

式(20)即為λ的控制方程。當t2=t0時，變截面柱變?yōu)榈冉孛嬷?/p>

4 算例

4.1 等厚度變截面懸臂空心圓柱算例

算例參數(shù)：H=5 000 mm，d0=200 mm，d2=300 mm，td=12 mm，ρ=7.85×103kg/m3，σy=240 MPa，F(xiàn)=1.855×105N，μ=0.2。算例離散模型如圖4所示。

根據(jù)參數(shù)算得Fx2=1.195×105N，μxc=0.357 1，F(xiàn)xλ=1.853 3×105N。滿足F>Fxλ>Fx2與μ<μxc，故塑性鉸將在柱中產生。將λ與ac的計算結果列于表1。

圖4 變截面懸臂空心圓柱離散模型Fig.4 Discrete model of cantilever hollow cylinder with variable cross-section

表1 等厚度懸臂柱的動力參數(shù)對比Table 1 Comparison of dynamic parameters of cantilever cylinder with constant thickness

由表1可知，塑性鉸位置參數(shù)λ與懸臂端加速度ac的本文解與數(shù)值解吻合良好。

保持F不變，改變μ，繪得μ-λ關系曲線、μ-ac關系曲線、λ-ac關系曲線分別見圖5～圖7，并予以有限元驗證。

由圖5可知，塑性鉸位置參數(shù)λ隨荷載位置參數(shù)μ的增大而增大，且二者關系幾乎為線性；當μ超過臨界荷載位置參數(shù)μxc=0.357 1時，塑性鉸發(fā)生在固定端，即有λ=1。

由圖6可知，懸臂端加速度ac隨著荷載位置參數(shù)μ的增大而減?。寒敠?0.15時，ac下降較快；當μ>0.15時，ac下降趨勢逐漸放緩。

由圖7可知，懸臂端加速度ac隨塑性鉸位置參數(shù)λ的增大而減?。寒敠?0.4時，ac下降很快；當λ>0.4時，ac下降趨勢逐漸放緩。

4.2 變截面變厚度懸臂空心圓柱算例

算例參數(shù)：H=5 000 mm，d=300 mm，t0=10 mm，t2=20 mm，ρ=7.85×103kg/m3，σy=240 MPa，F(xiàn)=4.205×105N，μ=0.2。

圖5 等厚度變截面懸臂空心圓柱μ-λ關系曲線Fig.5 μ-λ relation curve of cantilever hollow cylinder with equal thickness and variable section

圖6 等厚度變截面懸臂空心圓柱μ-ac關系曲線Fig.6 μ-ac relation curve of cantilever hollow cylinder with equal thickness and variable section

圖7 等厚度變截面懸臂空心圓柱λ-ac關系曲線Fig.7 λ-ac relation curve of cantilever hollow cylinder with equal thickness and variable section

根據(jù)參數(shù)算得Fx2=2.460 8×105N，μxc=0.378 6，F(xiàn)xλ=4.202 9×105N，滿足條件F>Fxλ>Fx2與μ<μxc，故塑性鉸位于柱中。將λ與ac的計算結果列于表2。

由表2可知，塑性鉸位置參數(shù)λ與懸臂端加速度ac的本文理論解與有限元解吻合良好。

保持F不變，改變μ，繪得μ-λ曲線、μ-ac曲線、λ-ac曲線分別見圖8～圖10。

表2 變厚度懸臂柱的動力參數(shù)對比Table 2 Comparison of dynamic parameters of cantilever cylinder with variable thickness

圖8 變截面變厚度懸臂空心圓柱μ-λ關系曲線Fig.8 μ-λ relation curve of cantilever hollow cylinder with variable section and thickness

圖9 變截面變厚度懸臂空心圓柱μ-ac關系曲線Fig.9 μ-ac relation curve of cantilever hollow cylinder with variable section and thickness

由圖8可知，μ-λ曲線近似成線性，當μ超過μxc=0.378 6時，塑性鉸發(fā)生在固定端，即有λ=1。

由圖9可知，ac隨μ的增大而減小：當μ<0.15時，ac下降快；當μ>0.15時，ac下降趨勢逐漸放緩。

由圖10可知，ac隨λ的增大而減小：當λ<0.4時，ac下降快；當λ>0.4時，ac下降趨勢逐漸放緩。

圖10 變截面變厚度懸臂空心圓柱λ-ac關系曲線Fig.10 λ-ac relation curve of cantilever hollow cylinder with variable section and thickness

5 結論

以準靜態(tài)極限分析與沖擊動力學為理論基礎，分析了沖擊荷載作用在不同位置時，等厚度、變厚度變截面懸臂空心圓柱的動力特性，得到以下結論：

(1)當F>Fx2且μ>μxc時，變截面懸臂空心圓柱將在固定端產生塑性鉸。

(2)當F>Fxλ>Fx2且μ≤μxc時，變截面懸臂空心圓柱將在柱中產生塑性鉸；塑性鉸位置參數(shù)λ只與荷載位置參數(shù)μ有關，即λ可由控制方程求得。

(3)μ-λ關系曲線表明：λ隨μ的增大而增大，二者關系幾乎為線性；當μ超過μxc時，塑性鉸在固定端產生。

(4)μ-ac關系曲線表明：ac隨μ的增大而逐漸減小，前期下降較快，后期下降趨勢漸緩。

(5)λ-ac關系曲線的變化規(guī)律與μ-ac關系曲線的規(guī)律類似。