王調(diào)品，李峰

(1.成都工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院裝備制造學(xué)院，四川成都 610218；2.成都優(yōu)拓優(yōu)聯(lián)萬江科技有限公司，四川成都 611731)

0 前言

工業(yè)制造行業(yè)快速發(fā)展，如何提高數(shù)控機(jī)床加工精度一直是研究熱點(diǎn)[1]。一般機(jī)床誤差補(bǔ)償[2]是提高加工精度的重要途徑，通過人為提供一個(gè)新誤差消去原來的誤差，保證機(jī)床加工空間中任意實(shí)際點(diǎn)盡可能靠近理想位置。在誤差補(bǔ)償過程中，空間誤差模型是研究基礎(chǔ)，因此誤差建模始終是廣大學(xué)者研究的重要內(nèi)容之一?；诙囿w系統(tǒng)理論及其齊次坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的建模[3]技術(shù)因通用性較好被廣泛采用。柏衡和沈建新[4]采用基于多體系統(tǒng)理論的建模方法,通過充分分析拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、機(jī)床幾何誤差與坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換矩陣，建立機(jī)床綜合誤差模型,為后期開展實(shí)時(shí)誤差補(bǔ)償提供了計(jì)算依據(jù)。陳康等人[5]根據(jù)多體系統(tǒng)理論建立了機(jī)床空間坐標(biāo)系，描述了加工中心拓?fù)潢P(guān)系與相對運(yùn)動(dòng)方式，分析了機(jī)床結(jié)構(gòu)中的幾何誤差，闡述了D-H描述運(yùn)動(dòng)體間坐標(biāo)變換的矩陣，最終得到了機(jī)床空間綜合誤差模型,為機(jī)床仿真實(shí)驗(yàn)與誤差補(bǔ)償提供了數(shù)學(xué)模型依據(jù)。XIANG等[6]基于旋量理論計(jì)算了機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)通用模型，有效實(shí)現(xiàn)了機(jī)床空間誤差預(yù)測與補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)。

綜合以上分析，依據(jù)多體系統(tǒng)理論的數(shù)控機(jī)床空間誤差建模及其補(bǔ)償已經(jīng)較為成熟，但是機(jī)床結(jié)構(gòu)錯(cuò)綜復(fù)雜，由于齊次坐標(biāo)變換涉及多個(gè)局部坐標(biāo)系，較為冗余、復(fù)雜，同時(shí)會(huì)出現(xiàn)丟失幾何誤差的情況并可能出現(xiàn)奇異性的問題。因此，本文作者基于旋量理論建立機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)正解，同時(shí)輸出該立式加工中心完備空間誤差模型，在分析21項(xiàng)幾何誤差的基礎(chǔ)上進(jìn)行某立式加工中心的空間誤差建模，進(jìn)一步借助運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解補(bǔ)償策略開展空間誤差補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)，最終借助體對角線實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該方法的正確性和有效性。

1 立式加工中心空間誤差建模

1.1 機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)正解模型

三軸立式加工中心結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示。機(jī)床旋量運(yùn)動(dòng)學(xué)[7]正解：將3根軸運(yùn)動(dòng)量(x，y，z)轉(zhuǎn)換為機(jī)床刀具刀尖點(diǎn)相對于工件的位置偏差。機(jī)床運(yùn)動(dòng)鏈可以分為兩部分：刀具運(yùn)動(dòng)鏈和工件運(yùn)動(dòng)鏈。刀具鏈為刀尖點(diǎn)到床身的運(yùn)動(dòng)鏈，而工件鏈?zhǔn)菑墓ぜ邢鼽c(diǎn)到床身的運(yùn)動(dòng)鏈。

圖1 機(jī)床機(jī)構(gòu)簡圖

(1)

(2)

機(jī)床未進(jìn)給時(shí)，gCT(0)、gCW(0)分別為機(jī)床刀具點(diǎn)和工件切削點(diǎn)在機(jī)床坐標(biāo)系下的初始位置，分別如式(3)(4)所示：

gCT(0)=[xtytzt1]T

(3)

gCW(0)=[xwywzw1]T

(4)

綜合以上分析，當(dāng)前所建2條機(jī)床運(yùn)動(dòng)鏈正解本質(zhì)上為理論運(yùn)動(dòng)軌跡，并未有幾何誤差參與，但實(shí)際上機(jī)床空間誤差為刀尖點(diǎn)與切削點(diǎn)實(shí)際位姿之間的偏差。因此，應(yīng)首先進(jìn)行幾何誤差分析，然后進(jìn)行機(jī)床運(yùn)動(dòng)鏈實(shí)際運(yùn)動(dòng)學(xué)正解推導(dǎo)，最后建立基于旋量理論運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的機(jī)床空間誤差模型。

1.2 幾何誤差定義

三坐標(biāo)立式加工中心，一般只有x、y、z3個(gè)運(yùn)動(dòng)軸。當(dāng)x軸單軸進(jìn)給時(shí)，共計(jì)存在6項(xiàng)幾何誤差：δx(x)、δy(x)、δz(x)、εx(x)、εy(x)、εz(x)，同理y軸、z軸同樣分別存在6項(xiàng)幾何誤差，三軸共計(jì)18項(xiàng)幾何誤差。此外，x、y、z軸之間還有 3 項(xiàng)不直度誤差εxy、εyz、εzx，因此三軸立式加工中心共有 21 項(xiàng)幾何誤差[8],如表1所示。因后續(xù)運(yùn)動(dòng)學(xué)建模過程中設(shè)定x軸為參考，因此x軸不存在不直度誤差。圖2所示為x軸幾何誤差示意。

表1 21項(xiàng)幾何誤差

圖2 x軸幾何誤差示意

1.3 空間誤差建模

機(jī)床空間誤差建模的基礎(chǔ)即是建立2條運(yùn)動(dòng)鏈實(shí)際運(yùn)動(dòng)學(xué)正解。依據(jù)旋量理論，結(jié)合第1.2節(jié)中21項(xiàng)幾何誤差分析結(jié)果，每一項(xiàng)幾何誤差均可看做微小旋量運(yùn)動(dòng)描述，因此以x軸為例，將各項(xiàng)幾何誤差以旋量指數(shù)積形式表示為

(5)

同理y軸、z軸分別表示為

(6)

(7)

機(jī)床運(yùn)動(dòng)鏈實(shí)際運(yùn)動(dòng)學(xué)：機(jī)床理想運(yùn)動(dòng)附加微小誤差旋量運(yùn)動(dòng)。因此，通過結(jié)合21項(xiàng)幾何誤差分析，得出該立式加工中心刀具鏈、工件鏈實(shí)際運(yùn)動(dòng)學(xué)正解分別為

(8)

gCW(0)

(9)

結(jié)合機(jī)床運(yùn)動(dòng)鏈分析基礎(chǔ)，建立該立式加工中心空間誤差模型為

(10)

其中：ex、ey、ez分別為空間誤差各軸向投影。

該立式加工中心空間誤差模型包含了21項(xiàng)幾何誤差，實(shí)現(xiàn)了立式加工中心空間誤差完備建模，不僅避免了主流建模方法奇異性問題，同時(shí)規(guī)避了可能出現(xiàn)的幾何誤差丟失問題。

2 幾何誤差測量與辨識

利用九線法[9]對21項(xiàng)幾何誤差辨識時(shí)，一般將幾何誤差稱為辨識結(jié)果，而九線法實(shí)驗(yàn)測量數(shù)據(jù)實(shí)際上為誤差綜合結(jié)果，稱作幾何偏差。運(yùn)用九線法辨識幾何誤差時(shí)，各軸各有3條測量路線。以x軸進(jìn)給為例，當(dāng)機(jī)床沿x軸軸向進(jìn)行3條測量線進(jìn)給時(shí)，線1選取測點(diǎn)A1(x1，y1，z1)，測定x軸定位偏差Δδx1(x)，繼續(xù)測量x軸沿y向和z向的直線度偏差Δδy1(x)、Δδz1(x)；線2選取測點(diǎn)B2(x2，y2，z2)，測定x軸軸向定位偏差Δδx2(x)，繼續(xù)測量y向直線度偏差Δδy2(x)；線3選取測點(diǎn)C3(x3，y3，z3)，測得x軸向定位偏差為Δδx3(x)如圖3所示。依據(jù)九線法測量原理可得式(11)：

圖3 九線法測試軌跡 圖4 不直度偏差

(11)

進(jìn)一步，如圖4所示，根據(jù)相鄰兩方向上的直線度偏差數(shù)據(jù)即可計(jì)算剩余3項(xiàng)不直度誤差εxy、εyz、εxz，如式(12)所示:

(12)

式中:D1、D2分別為x、y軸進(jìn)給行程。同理，εyz、εxz亦可辨識。

同上所述，亦可辨識y軸、z軸各項(xiàng)幾何誤差。值得注意的是，機(jī)床進(jìn)給軸一般不符合笛卡爾坐標(biāo)系原則。因此，實(shí)驗(yàn)開始之前，應(yīng)提前進(jìn)行相關(guān)設(shè)置，保證機(jī)床進(jìn)給軸與G代碼實(shí)際運(yùn)行軌跡相符，避免出現(xiàn)與預(yù)設(shè)進(jìn)給方向相反的情況。

3 空間誤差補(bǔ)償及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解

根據(jù)第1.1節(jié)中機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)正解定義，計(jì)算出三軸實(shí)際運(yùn)動(dòng)的過程如式(13)所示：

(13)

結(jié)合式(13)分析，基于式(1)(2)推導(dǎo)，展開機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)正解為

(14)

根據(jù)式(14)反推機(jī)床運(yùn)動(dòng)逆解為

[xyz0]T=gCW(0)·ΔgWT·gCT(0)-1

(15)

3.2 補(bǔ)償方法

基于旋量理論的機(jī)床空間誤差補(bǔ)償路線[10]規(guī)劃如圖5所示。

圖5 補(bǔ)償策略流程

(3)計(jì)算預(yù)測軌跡與名義軌跡之間的偏差Δ；

(4)將偏差Δ作為補(bǔ)償量附加到名義運(yùn)動(dòng)軌跡上；

(5)基于旋量運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解，逆向求解誤差補(bǔ)償后的機(jī)床運(yùn)動(dòng)行程為(xc，yc，zc)，即機(jī)床實(shí)際進(jìn)給坐標(biāo)。

3.3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證基于旋量運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的機(jī)床空間誤差補(bǔ)償方法的正確性，基于國際標(biāo)準(zhǔn)ISO230-6[11]，采用第3.2節(jié)中的補(bǔ)償路線，選用雙頻激光干涉儀為測量儀器，利用機(jī)床加工空間內(nèi)4條體對角線定位偏差測量結(jié)果，通過比較體對角線補(bǔ)償前后效果，驗(yàn)證補(bǔ)償方法的準(zhǔn)確性。體對角線測量軌跡及補(bǔ)償結(jié)果如圖6、圖7及表2所示。

圖6 體對角線測量軌跡

圖7 體對角線補(bǔ)償

表2 預(yù)測補(bǔ)償結(jié)果

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：4條體對角線實(shí)驗(yàn)與預(yù)測補(bǔ)償結(jié)果符合預(yù)期，且體對角線正極限位置點(diǎn)最大補(bǔ)償率達(dá)82.9%。補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了基于旋量運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的機(jī)床空間誤差補(bǔ)償方法的正確性，為提高機(jī)床整機(jī)加工精度提供了參考。

4 結(jié)論

(1)以提高某立式加工中心整機(jī)加工精度為研究目的，基于旋量理論推導(dǎo)機(jī)床運(yùn)動(dòng)鏈運(yùn)動(dòng)學(xué)正解，推導(dǎo)并構(gòu)建了包含21項(xiàng)幾何誤差的立式加工中心完備空間誤差模型。

(2)利用傳統(tǒng)九線法辨識18項(xiàng)幾何誤差，同時(shí)借助直線度偏差計(jì)算3項(xiàng)不直度誤差，為后續(xù)補(bǔ)償提供數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。

(3)基于旋量理論的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解補(bǔ)償策略和國際標(biāo)準(zhǔn)ISO230-6，通過對比4條體對角線補(bǔ)償前后的結(jié)果，驗(yàn)證該補(bǔ)償方法的可行性。結(jié)果表明：4條體對角線補(bǔ)償結(jié)果均符合預(yù)期，最高補(bǔ)償率達(dá)82.9%。實(shí)驗(yàn)結(jié)果不僅驗(yàn)證了補(bǔ)償方法的可行性，同時(shí)為提高機(jī)床整機(jī)加工精度奠定了數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。