崔立營(yíng) 楊英歌

摘 要 CVOFLS方法（Coupled Volume of Fluid and Level Set method）繼承了VOF和Level Set兩種方法的優(yōu)點(diǎn)，以VOF函數(shù)為主體模擬流體運(yùn)動(dòng)界面，通過Level Set函數(shù)校正界面法向，從而有效克服兩種方法的不足。多渦剪切流場(chǎng)數(shù)值模擬算例表明，該方法能保證較好的運(yùn)動(dòng)界面模擬精度以及較高的計(jì)算效率。

關(guān)鍵詞 運(yùn)動(dòng)界面 CVOFLS 模擬精度

中圖分類號(hào)：O24 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1007-0745（2022）01-0001-03

現(xiàn)實(shí)生活中很多現(xiàn)象與運(yùn)動(dòng)界面密切相關(guān)，如水滴下落、氣體爆炸等問題[1]，因此，研究運(yùn)動(dòng)界面的數(shù)值模擬具有深遠(yuǎn)意義。在歐拉方法中，Level Set方法[2]和VOF方法[3]因其內(nèi)存占用小，易解決結(jié)構(gòu)復(fù)雜的流體運(yùn)動(dòng)界面問題以及實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)而被廣泛采用。基于此，有學(xué)者提出了耦合兩類方法優(yōu)點(diǎn)的CLSVOF方法。

孫東亮等[4]于2010年給出了一種新的CLSVOF方法，該方法雖然簡(jiǎn)化了原始的CLSVOF方法，但其方法理論以及重構(gòu)界面的過程比較復(fù)雜。李強(qiáng)等[5]于2011年創(chuàng)造了一種全新的CLSVOF方法。該方法自帶質(zhì)量校正公式，并且計(jì)算自由運(yùn)動(dòng)界面精度很好，但其計(jì)算效率不高。

Level Set方法在模擬運(yùn)動(dòng)界面方面會(huì)計(jì)算得到更為準(zhǔn)確界面法向和曲率，又考慮到VOF方法具有計(jì)算效率高以及質(zhì)量守恒性好的優(yōu)點(diǎn)和界面法向與曲率較差的缺點(diǎn);因此，若將Level Set方法耦合到VOF方法中，便可克服其缺陷。本文采用了耦合Level Set與VOF的新方法─CVOFLS方法[6]，并通過對(duì)多渦剪切流場(chǎng)問題的模擬，驗(yàn)證了CVOFLS方法效率更高，界面守恒性更好。

1 輸運(yùn)方程

CVOFLS方法是一種新的耦合VOF與Level Set方法。運(yùn)動(dòng)介質(zhì)的速度場(chǎng)為u（u，v），Level Set函數(shù)φ（X，t）以及VOF函數(shù)F（X，t）所滿足的輸運(yùn)方程表達(dá)式分別如下：

CVOFLS方法中采用周文等[7]的數(shù)值方法對(duì)方程（1）和（2）進(jìn)行離散。

Level Set函數(shù)的運(yùn)算過程中需對(duì)函數(shù)φ（X，t）進(jìn)行重新初始化，進(jìn)而獲得新的點(diǎn)X到界面的符號(hào)距離函數(shù);該方法可以保證Level Set函數(shù)的數(shù)值穩(wěn)定性，并使得其在求解域內(nèi)具有優(yōu)良的光滑性。

對(duì)方程（3）進(jìn)行離散得到的穩(wěn)態(tài)解來重新初始化符號(hào)距離函數(shù)。其中是偽時(shí)間，使用近似計(jì)算sign（φ0），、為離散坐標(biāo)下的x軸與y軸的空間步長(zhǎng)。

2 數(shù)值方法

2.1 VOF輸運(yùn)方程的離散

為了計(jì)算方便，方程（2）可寫為守恒形式：

Sussman和Puckett[8]提出用通量分裂算法來求解方程（4），其離散形式如下：

其中：

2.2 Level Set輸運(yùn)及重新初始化方程的離散

2.2.1 空間離散

方程（1）和方程（3）同屬于Hamilton-Jacobi型方程。

其中Level Set函數(shù)方程（1）可寫為：

其在Hamilton-Jacobi型方程中：

對(duì)應(yīng)的通量為：

其中，

。

其中，方程（3）可寫為：

其Hamilton-Jacobi型方程中：

對(duì)應(yīng)的通量為：

其中：

Jiang和Peng[9]專門針對(duì)Hamilton-Jacobi型方程求解，給出了經(jīng)典的五階WENO（Weighted Essentially Non-Os cillatory）格式。故本文空間離散采用該格式，進(jìn)而可得該方程的離散形式[10]：

其中文獻(xiàn)[8]給出了，，，的表達(dá)式及詳細(xì)推導(dǎo)過程，文獻(xiàn)[9]提供了詳細(xì)的方程（3）的離散形式。

2.2.2 時(shí)間項(xiàng)離散

采用三階TVD-R-K（Total Variation Diminishing Ru-nge-Kutta）格式對(duì)方程（1）、（3）進(jìn)行離散，可以有效避免數(shù)值振蕩，其表達(dá)式為：

其中，。對(duì)于Level Set方程（1），;對(duì)于重新初始化方程（3）， 。

3 數(shù)值算例

為了驗(yàn)證本文提出的CVOFLS方法的有效性，下面以模擬多渦剪切流場(chǎng)的界面運(yùn)動(dòng)為例，檢驗(yàn)CVOFLS方法的模擬效果，即考察圓心在（0.5，0.5）、半徑為0.15的圓在速度場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況，整個(gè)流場(chǎng)計(jì)算區(qū)域?yàn)閇0，1]×[0，1]，時(shí)間步長(zhǎng)為0.002s。

其中t為模擬時(shí)間，T為多渦剪切流場(chǎng)的周期。

圖1、圖2分別給出了周期T=1s和T=2s時(shí)采用CVOFLS方法模擬多渦剪切流場(chǎng)的數(shù)值結(jié)果。由圖可知，CVOFLS方法在T=1s時(shí)模擬的數(shù)值結(jié)果與初始時(shí)刻的結(jié)果基本重合，表明其具有很好的穩(wěn)定性及守恒性。而在T=2s時(shí)模擬的數(shù)值結(jié)果效果良好，具有較好的守恒性。

4 結(jié)論

數(shù)值結(jié)果表明：CVOFLS方法對(duì)多渦剪切流場(chǎng)的數(shù)值模擬效果良好，其數(shù)值結(jié)果驗(yàn)證了CVOFLS方法的準(zhǔn)確性，同時(shí)表明該方法在數(shù)值界面模擬方面，具有更高的計(jì)算效率以及更好的界面模擬精度。

參考文獻(xiàn)：

[1] 劉儒勛，王志峰.運(yùn)動(dòng)界面追蹤與數(shù)值方法[M].合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2001.

[2] Osher S.，Sethian J.A. Fronts propagating with curv ature dependent speed： algorithms based on Hamilton-Jacobi formulat- ion[J].Journal of Computational Physics，1988，79（01）：12-49.

[3] Sethian J.A. Fast marching methods[J].SIAM Rev iew，1999，41（02）：199-235.

[4] D.L. Sun， W.Q. Tao. A coupled volume-of-fluid and level set （VOSET） method for computing incompressible two-phase flows[J].International Journal of Heat and Mass Transfer， 2010，53（04）：645-655.

[5] Li Qiang， Ouyang J，Yang Bingxin， et al. Numerical simulation of gas-assisted injection molding using CLSVOF method[J].Applied Mathematical Modelling， 2011，35（01）：257–275.

[6] 周文，歐陽潔，崔立營(yíng).運(yùn)動(dòng)界面追蹤的CVOFLS方法[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2015，32（05）：697-708.

[7] 同[6].

[8] G.Son， N.Hur.A Coupled Level Set and Volume-of-Fluid Method for Buoyancy-Driven Motion of Fluid Praticles[J].Numerical Heat Transfer Part B-Fundamentals，2002，42（06）：523-542.

[9] Jiang G S， Peng D.WENO Schemes for Hamilton-Jacobi Equations[J].Society for Industrial and Applied Mathematics，2000，21（06）：2126-2143.

[10] G.Son， N. Hur.A Coupled Level Set and Volume-of-Fluid Method for Buoyancy-Driven Motion of Fluid Praticles[J].Numerical Heat Transfer Part B-Fundamentals，2002，42（06）：523-542.