劉學(xué)良，馮治恒，吳海軍，莫 蓉

（1.上海交通大學(xué)機(jī)械系統(tǒng)與振動國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240；2.廣西柳工機(jī)械股份有限公司，廣西柳州 545007）

0 引 言

齒輪箱在工程機(jī)械中非常重要，主要用于發(fā)動機(jī)動力輸入、扭矩輸出至軸系等方面。現(xiàn)今齒輪箱的輻射噪聲越來越受到重視[1-2]，其不僅會產(chǎn)生環(huán)境的噪聲污染問題，還會影響減速器的正常工作，降低設(shè)備的疲勞壽命。因此，準(zhǔn)確地計(jì)算齒輪箱的輻射噪聲，對其進(jìn)行噪聲評估以及低噪聲優(yōu)化有著重要的意義。隨著傳動技術(shù)的提升，如何在高轉(zhuǎn)速、大功率、大扭矩的齒輪箱中降低振動和輻射噪聲，是工程設(shè)計(jì)中的嚴(yán)峻課題[3]，同時(shí)也對噪聲預(yù)測提出了更高的要求。

齒輪箱的噪聲預(yù)測方法有統(tǒng)計(jì)能量分析（Statistical Energy Analysis,SEA）、有限元法（Finite Element Method,FEM）、邊界元法（Boundary Element Method,BEM）[4]等多種方法，其中BEM是一種基于積分方程的計(jì)算方法[5]。邊界元方法僅需對模型邊界進(jìn)行離散，并且求解精度較高，能自動滿足無限遠(yuǎn)處的 Sommerfeld輻射條件，因而非常適用于分析自由空間下的聲傳播問題[6]。因此本文選用邊界元方法對齒輪箱進(jìn)行聲場分析。目前國內(nèi)外關(guān)于邊界元法在齒輪箱聲場的噪聲預(yù)測有一定的研究。王勝男等[7]運(yùn)用邊界元法分析了二級齒輪箱的輻射噪聲；焦映厚等[8]建立了大型立式齒輪箱的外聲場邊界元模型并分析了輻射聲場；Le Moyne等[9]用邊界元法分析了齒輪箱的加筋板對聲輻射的影響。但以上研究所采用的均為傳統(tǒng)邊界元方法（Conventional Boundary Element Method,CBEM）。CBEM存在著求解效率低、內(nèi)存占用大的固有缺陷[10]，無法用于大規(guī)模聲學(xué)問題的計(jì)算。而齒輪箱在不同工況下的噪聲頻譜一般比較寬，在寬頻段內(nèi)的掃頻分析更加耗時(shí)，不利于產(chǎn)品聲學(xué)設(shè)計(jì)的及時(shí)評估及優(yōu)化設(shè)計(jì)。因此需要考慮加速算法。而快速多極子的方法出現(xiàn)，將邊界元方法的計(jì)算量和存儲量降低到O（N）量級，其中N為計(jì)算模型的自由度，從而使邊界元方法在求解大規(guī)模聲學(xué)問題上得到了迅速發(fā)展[11]。

本文發(fā)展了寬頻快速多極子邊界元算法，并運(yùn)用了多核并行方法加速計(jì)算，克服了以往傳統(tǒng)邊界元方法求解效率低、內(nèi)存占用大的缺點(diǎn)。通過對工程中的某齒輪箱進(jìn)行建模以及有限元仿真，得到模型表面節(jié)點(diǎn)的振速信息。再運(yùn)用所發(fā)展的快速多極子邊界元方法對齒輪箱進(jìn)行輻射聲場分析以及掃頻計(jì)算，大幅度地降低了求解時(shí)間，為后續(xù)的低噪聲優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。

1 邊界元法理論

在均勻理想介質(zhì)中，線性聲學(xué)波動方程[12]為

可以得到傳統(tǒng)邊界積分方程（Conventional Boundary Integral Equation,CBIE）為

可以得到相應(yīng)的超奇異邊界積分方程（Hypersingular Boundary Integral Equation,HBIE）為

2 數(shù)值算法實(shí)現(xiàn)

2.1 邊界元法數(shù)值實(shí)現(xiàn)

如前所述，將式（7）、（10）進(jìn)行線性組合，得到的Burton-Miller方程為

采用三角形或者四邊形常數(shù)單元進(jìn)行離散，并代入已知邊界條件，將未知邊界量及其系數(shù)重組，最終可以生成方程：

2.2 快速多極子方法

快速多極子方法[18-20]在20世紀(jì)80年代提出。該方法的引入，極大地降低了邊界元法的求解時(shí)間和內(nèi)存占用量，推動了邊界元法的快速發(fā)展?？焖俣鄻O子方法的核心思想是Green函數(shù)在高頻下的平面波展開和低頻下的級數(shù)展開。通過將源點(diǎn)對場點(diǎn)的貢獻(xiàn)進(jìn)行分塊層級傳遞，達(dá)到降低計(jì)算量的目的。以高頻為例，其平面波展開形式為：

其中：x為場點(diǎn)；y為源點(diǎn)；k為波數(shù)；xc是本地系數(shù)展開中心；yc是源點(diǎn)矩的匯聚中心；為球面上的法向量；為向量的模，快速算法的具體步驟如圖1所示。

首先，通過模型離散和算法實(shí)現(xiàn)，生成樹狀結(jié)構(gòu)。其次，通過上行、下行計(jì)算兩個(gè)步驟計(jì)算b向量，上行計(jì)算主要為各個(gè)柵格的源點(diǎn)矩計(jì)算，其公式為

其中，M為源點(diǎn)矩，yc為樹結(jié)構(gòu)中柵格的中心點(diǎn)。下行運(yùn)算主要為源點(diǎn)矩轉(zhuǎn)移（M2M）、源點(diǎn)矩到本地展開系數(shù)傳遞（M2L）及本地展開系數(shù)轉(zhuǎn)移（L2L）。通過層級傳遞，最終計(jì)算得到源點(diǎn)對場點(diǎn)的貢獻(xiàn)。本文通過運(yùn)用快速多極子算法，最終完成了低頻、高頻的快速多極子邊界元方法，并將兩者結(jié)合，最終發(fā)展了寬頻的快速多極子邊界元方法。

圖1 快速多極子算法流程圖Fig.1 The flowchart of fast multipole method

3 齒輪箱模型處理

3.1 齒輪箱模型

首先建立齒輪箱的幾何模型，建模過程中需要對模型進(jìn)行合理簡化，略去較小的倒角和其他細(xì)小特征。通過建立齒輪-軸-軸承系統(tǒng)的耦合動力學(xué)模型，對齒輪箱進(jìn)行動力學(xué)分析，得到齒輪箱的載荷，并運(yùn)用有限元法計(jì)算齒輪箱的各階模態(tài)。其次，對齒輪箱進(jìn)行頻段為4～2 000 Hz、步長4 Hz的諧響應(yīng)分析，計(jì)算得到各頻率下齒輪箱表面的節(jié)點(diǎn)振速信息，作為邊界元法的輸入邊界條件。

邊界元模型是結(jié)構(gòu)有限元模型的外輪廓，運(yùn)用商用軟件對有限元模型進(jìn)行網(wǎng)格處理，提取得到齒輪箱輪廓的網(wǎng)格模型如圖2所示，其模型參數(shù)見表1所示。

3.2 邊界條件處理

邊界元方法只需要模型表面輪廓的邊界條件。將有限元分析所得到的各頻率下的齒輪箱表面的節(jié)點(diǎn)振速進(jìn)行分析處理，可以得到離散面單元的聲壓法向?qū)?shù)，并將其作為邊界條件。其中節(jié)點(diǎn)聲壓的法向?qū)?shù)與振速V的關(guān)系為

圖2 三角形單元?jiǎng)澐值哪Ｐ虵ig.2 The model divided with constant triangular elements

表1 齒輪箱模型參數(shù)Table 1 The parameters of gear box model

圖3 邊界條件實(shí)部云圖Fig.3 Nephogram of the real part of boundary condition

圖4 邊界條件虛部云圖Fig.4 Nephogram of the imaginary part of boundary condition

4 齒輪箱聲場分析

本節(jié)介紹齒輪箱的聲場分析結(jié)果，分別計(jì)算了頻率為 100 Hz時(shí)的場點(diǎn)聲壓、齒輪箱的輻射聲場以及4～2 000 Hz的掃頻分析。計(jì)算所用的計(jì)算機(jī)主要參數(shù)如表2所示。

表2 計(jì)算機(jī)配置參數(shù)Table 2 The configuration parameters of computer

4.1 場點(diǎn)計(jì)算

為了驗(yàn)證預(yù)測結(jié)果的正確性，如圖 5所示位置布置場點(diǎn)，計(jì)算頻率為 100 Hz時(shí)的場點(diǎn)聲壓以及齒輪箱邊界聲壓。

圖5 場點(diǎn)分布Fig.5 The distribution of field points

運(yùn)用快速多極子邊界元方法，可以計(jì)算得到全空間下齒輪箱表面的聲場，其結(jié)果如圖6、圖7所示。

為了驗(yàn)證加速算法的計(jì)算精度和效率，對比了快速多極子邊界元法與某商用軟件的計(jì)算結(jié)果。商用軟件和快速邊界元方法在計(jì)算參數(shù)上的對比如表3所示?？焖偎惴ê蜕逃密浖膱鳇c(diǎn)計(jì)算結(jié)果對比見圖8所示。

從圖8中可以看出，算法與商用軟件的計(jì)算結(jié)果較為接近。

圖6 聲場實(shí)部計(jì)算結(jié)果Fig.6 Nephogram of the computational results of real part of the sound field

圖7 聲場虛部計(jì)算結(jié)果Fig.7 Nephogram of the computational results of imaginary part of the sound field

表3 快速算法和商用軟件計(jì)算參數(shù)對比Table 3 The comparison of parameters between the fast algorithm and the commercial software

圖8 快速算法和商用軟件的聲場計(jì)算結(jié)果對比Fig.8 Comparison of sound field computational results between the fast algorithm and the commercial software

4.2 齒輪箱輻射聲場計(jì)算

該部分通過計(jì)算齒輪箱附近的場點(diǎn)，得到頻率為 100 Hz時(shí)的齒輪箱輻射聲場。其場點(diǎn)模型如圖9所示。

圖9 場點(diǎn)模型Fig.9 The model of field points

圓環(huán)模型的圓心坐標(biāo)為（0,0,0.75）m，內(nèi)徑為1.2 m，外徑為 4.8 m，共有 3 202個(gè)場點(diǎn)，6 153個(gè)單元。運(yùn)用快速多極子邊界元方法進(jìn)行求解，得到其在100 Hz時(shí)的輻射聲場如圖10、11所示。

圖10 齒輪箱輻射聲場實(shí)部Fig.10 Nephogram of the real part of radiation sound field of the gearbox

圖11 齒輪箱輻射聲場虛部Fig.11 Nephogram of the imaginary part of radiation sound field of the gearbox

從云圖中可以清楚地看到齒輪箱周圍的聲場分布，進(jìn)而為齒輪箱后期的降噪處理和低噪聲設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

4.3 齒輪箱掃頻計(jì)算

該部分對齒輪箱進(jìn)行掃頻計(jì)算，計(jì)算頻率為4～2 000 Hz，步長為4 Hz，共500步。首先對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到500步中每一步的邊界條件，最終得到包含500步的邊界條件文件。將邊界條件代入快速算法進(jìn)行計(jì)算，得到掃頻計(jì)算結(jié)果。最終處理數(shù)據(jù)，得到每一個(gè)場點(diǎn)的聲壓級LSP，其計(jì)算公式為

從圖12中可以看到，商用軟件和快速邊界元方法的掃頻結(jié)果趨勢相近，在個(gè)別頻率處的計(jì)算結(jié)果有差異。該差異由算法的方法差異所決定，快速邊界元方法采用了常數(shù)三角形單元進(jìn)行模型離散，而商用軟件采用的是四邊形線性單元進(jìn)行離散。從理論上講，相同自由度下，線性單元的計(jì)算精度略高于常數(shù)單元。而在目前齒輪箱的模型中，快速多極子邊界元模型的自由度為商用軟件所采用模型自由度的2倍，由此分析，理論上快速邊界元的計(jì)算結(jié)果應(yīng)該更為準(zhǔn)確一些。

此外，運(yùn)用多核并行計(jì)算對掃頻分析進(jìn)行加速，最終得到快速多極子邊界元方法的計(jì)算時(shí)間如表4所示。

圖12 商用軟件和FM-BEM掃頻計(jì)算得到的4個(gè)典型場點(diǎn)的聲壓譜比較Fig.12 Comparison of the sound pressure spectrums obtained by the frequency sweeping calculations of commercial software and FM-BEM at four typical field points

表4 快速多極子邊界元方法計(jì)算時(shí)間Table 4 The computation time of FM-BEM

從表4中的數(shù)據(jù)可以看到，運(yùn)用多核并行計(jì)算可以加倍提升計(jì)算效率。當(dāng)采用36核進(jìn)行計(jì)算時(shí)，共500步的掃頻計(jì)算僅需2 h 15 min，大大提高了計(jì)算效率。采用多核并行計(jì)算的快速多極子邊界元方法為齒輪箱噪聲預(yù)測提供了強(qiáng)大的算力支撐。

5 結(jié) 論

本文運(yùn)用快速多極子邊界元方法，通過對齒輪箱輻射聲場的系統(tǒng)分析，得到了齒輪箱的聲場分布、單頻處的場點(diǎn)聲壓以及掃頻聲壓。通過對比商用軟件，驗(yàn)證了該快速多極子邊界元方法的準(zhǔn)確性。此外，通過運(yùn)用多核并行計(jì)算，進(jìn)一步加快了計(jì)算速度，最終快速完成了齒輪箱的掃頻分析，為后續(xù)的低噪聲優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了充分的理論依據(jù)。