南曉萱 王 俊 肖 明 席文明

(廈門大學(xué)航空航天學(xué)院，福建 廈門 361102)

在自動化制造階段，操作者通過示教器操縱機器人，形成操作者與機器人的直接關(guān)聯(lián)，這種模式適合大批量、產(chǎn)品單一的制造過程。在數(shù)字化制造階段，為適應(yīng)多品種、少數(shù)量的訂單式生產(chǎn)，構(gòu)建了與物理系統(tǒng)對應(yīng)的數(shù)字系統(tǒng)，即物理系統(tǒng)的鏡像模型,實現(xiàn)數(shù)字系統(tǒng)對物理系統(tǒng)功能的部分替代，適應(yīng)快速變化的制造過程[1-2]。在智能制造階段，為替代物理系統(tǒng)的更多功能，在鏡像模型的基礎(chǔ)上，實現(xiàn)數(shù)據(jù)的雙向傳輸，從而建立物理系統(tǒng)與數(shù)字系統(tǒng)的數(shù)字孿生[3-5]，通過物理系統(tǒng)的傳感數(shù)據(jù)，實現(xiàn)對物理系統(tǒng)的模擬、仿真與參數(shù)優(yōu)化[6]。

建立物理系統(tǒng)的鏡像模型是實現(xiàn)智能制造的基礎(chǔ)，然而，由于機器人制造、安裝誤差的存在以及機器人串聯(lián)式結(jié)構(gòu)，其物理機器人幾何參數(shù)與數(shù)字空間中的理論參數(shù)并不一致，導(dǎo)致機器人絕對定位精度低。構(gòu)建物理機器人鏡像模型的方法是對機器人的本體和裝備進行標定[7]，利用標定的參數(shù)，實現(xiàn)數(shù)字空間中物理機器人的鏡像模型構(gòu)建。標定精度決定著建立的鏡像模型精度，從而決定著機器人的作業(yè)精度。

現(xiàn)有標定方法沒有考慮零位誤差，即機器人零位時實際關(guān)節(jié)角與理論關(guān)節(jié)角差值對幾何參數(shù)標定的影響，導(dǎo)致標定后幾何參數(shù)的較大誤差[8]，降低了鏡像模型精度和機器人的作業(yè)精度。本文采用軸旋轉(zhuǎn)法標定方法，實現(xiàn)幾何參數(shù)與零位的解耦標定。利用坐標變換法建立標定后機器人的運動學(xué)方程，借助牛頓迭代法求取運動學(xué)逆解。

1 軸旋轉(zhuǎn)法標定機器人關(guān)節(jié)軸線

圖1是標定機器人幾何參數(shù)的實驗系統(tǒng)，由安川MH250機器人(日本安川公司，抓取重量250 kg，工作空間2 700 mm)、Radian激光跟蹤儀(美國自動精密工程公司，測量精度為5 μm)以及安裝在機器人末端電主軸連接塊上的靶球組成。標定過程為：①驅(qū)動機器人至零位。②在盡可能大的角度范圍內(nèi)，按一定的角度間隔只旋轉(zhuǎn)一個軸而其他軸固定，記錄對應(yīng)角度間隔的靶球空間坐標。③將靶球安裝到電主軸連接塊的另一個位置，重復(fù)②，即同一個軸測量兩次。④標定完一個軸后，重復(fù)①～③過程，直到所有關(guān)節(jié)軸標定完成。

對于記錄的同一個軸的兩組數(shù)據(jù)，它們處于繞該軸旋轉(zhuǎn)形成的空間圓上，如果能夠利用2組數(shù)據(jù)求得空間圓的圓心，則2個圓心的連線就是該軸的軸線。計算方法如下：

設(shè)測量點的坐標為Ki(xi，yi，zi)，i=1，2，...，n?？臻g平面的方程為：

apx+bpy+cpz-1=0

(1)

將n個測量點代入式(1)中，得：

ApXp-Lp=0

(2)

(3)

空間球方程為：

x2+y2+z2-Ax-By-Cz+D=0

(4)

將n個測量點代入公式(4)并以矩陣形式表示：

QqXq-Lq=0

(5)

則其最小二乘解為：

(6)

apx0+bpy0+cpz0-1=0

(7)

又向量O0平行于擬合平面的法向量(ap，bp，cp)，則：

(8)

聯(lián)立式(7)、(8)，可得擬合平面與擬合球相交的截圓圓心坐標：

(9)

設(shè)第二次擬合圓的圓心為o′(x01,y01,z01)，連接兩圓圓心，得到軸線的向量為：

n=(x01-x0,y01-y0,z01-z0)

(10)

軸線向量n已知，又軸線過擬合圓圓心o(x0,y0,z0)，則軸線方程為：

(11)

2 機器人運動學(xué)方程建立

由于制造和安裝誤差，導(dǎo)致物理機器人的軸線由理論的平行或垂直狀態(tài)變?yōu)椴黄叫?、不垂直，并且末端三軸不交于一點，無法采用D-H法建立運動學(xué)方程。圖2中，{in}表示理論模型的第i軸連桿坐標系，{ia}表示物理機器人第i軸連桿坐標系，li表示機器人基坐標系中第i軸的方向向量。

{in}繞ki軸旋轉(zhuǎn)λi角使旋轉(zhuǎn)后坐標系各坐標軸平行于{ia}坐標系各坐標軸，得到新坐標系{i1n}；然后將新坐標系{i1n}沿向量npi進行平移與坐標系{ia}重合，其中：

(12)

由各軸軸線的空間位姿，可以得到物理機器人的零位，見表1所示。

表1 機器人理論零位和實際零位值 (°)

假設(shè)理論模型各連桿坐標系相對于機器人基坐標系的位姿矩陣為Ii，則物理機器人各連桿坐標系相對于基坐標系的位姿矩陣Qi可通過式(13)進行求解：

Qi=IiTrans(npix,npiy,npiz)Rot(ki,λi)

(13)

式中：npix、npiy、npix是向量npi在坐標系{in}的3個坐標軸上的投影。

(3)繞{(i-1)2a}的z軸旋轉(zhuǎn)θi，使得{(i-1)2a}的姿態(tài)與{ia}完全一致，得{(i-1)3a}。

(4)沿向量Si(Six,Siy,Siz)平移，使得{(i-1)3a}最終與{ia}完全重合。

可得：

(14)

αi=arccos[(a(i-1)xaix+a(i-1)yaiy+a(i-1)zaiz)cosβi-1+

(n(i-1)xaix+n(i-1)yaiy+n(i-1)zaiz)sinβi-1]

(15)

(16)

求得的Qi數(shù)值代入式(14)～(16)，即可求得物理機器人的連桿參數(shù)，見表2所示。

表2 物理機器人連桿參數(shù)

物理機器人相鄰變換矩陣為：

(17)

其中：s表示sin，c表示cos。

根據(jù)正運動學(xué)方程的定義，得：

LS=MA

(18)

其中：L為投影矩陣，MA為給定機器人的末端位姿。矩陣取等式兩邊矩陣的前3行元素對應(yīng)相等，構(gòu)造方程組如下：

(19)

其中：f1(θ)～f12(θ)均是關(guān)于變量θ(θ1θ2θ3θ4θ5θ6)的多元函數(shù)，記為F=[f1(θ),f2(θ),…，f11(θ),f12(θ)]T。物理機器人逆運動學(xué)求解的本質(zhì)是求方程組F關(guān)于變量θ的解，使用牛頓迭代法求解該方程組，具體步驟如下：

(1)首先求解方程組F的雅可比矩陣J(θ)，并構(gòu)造θ求解的迭代公式。方程f1(θ)～f12(θ)分別對變量θ(θ1θ2θ3θ4θ5θ6)求偏導(dǎo)數(shù)，得到方程組F的雅可比矩陣J(θ)，如式(21)所示。

(20)

計算雅可比矩陣J(θ)的廣義逆矩陣，并由此得到θ求解的迭代公式，如式(21)所示。

θk+1=θk-[JT(θk)J(θk)]-1JT(θk)F(θk)

(21)

(2)利用機器人理論模型的逆運動學(xué)解，作為牛頓迭代的初值θ0。

(3)根據(jù)迭代公式(21)更新變量θ的值。

(4)根據(jù)加工要求給定迭代精度ξ，本文取小數(shù)點后4位。計算關(guān)節(jié)變化量dθ=θk+1-θk，判斷‖dθ‖∞≤ξ是否成立，若成立，取θ當前值作為物理機器人的逆解；若不成立，重復(fù)步驟③～步驟④，直至‖dθ‖∞≤ξ成立或超出迭代次數(shù)。

3 機器人加工裝備鏡像模型建立

物理機器人運動學(xué)標定完成后，就可以利用標定的參數(shù)建立物理機器人的鏡像模型。圖5a是物理機器人系統(tǒng)，圖5b是利用ADAMS軟件建立的與圖5a對應(yīng)的鏡像模型，其方法是按照標定的參數(shù)建立各桿件CAD模型并將其導(dǎo)入到軟件中，按照標定的幾何參數(shù)裝配成鏡像模型。

建立物理機器人的鏡像模型后，還需要建立機器人加工裝備的鏡像模型，即圖5a中的其他單元相對于機器人的位姿，與圖5b中的對應(yīng)單元模型相對于機器人模型的位姿一致。以加工對象為例，設(shè)圖5a中加工對象的坐標系為{XOYOZO}，機器人坐標系為{XBYBZB}，它們之間的轉(zhuǎn)換矩陣為J1。圖5b中加工對象模型的坐標系為{xoyozo}，機器人模型坐標系為{xbybzb}，它們之間的轉(zhuǎn)換矩陣為J2。建立機器人加工裝備鏡像模型的方法為：在物理空間，利用標定后的機器人作為測量工具測量J1的值，然后在鏡像模型空間中，利用測量的J1值調(diào)整加工對象模型的位姿，即調(diào)整{xoyozo}的位姿，使得J2=J1。機器人加工裝備中其他單元的鏡像模型建立與此相同。

完成物理機器人本體和裝備的鏡像模型建立后，可以在數(shù)字空間中集成刀軌跡生成與后處理模塊以及加工仿真模塊，實現(xiàn)物理機器人加工前的軌跡生成與優(yōu)化、加工仿真等。

在圖5b中，針對加工對象模型，CAM軟件生成的刀軌跡是相對于{xoyozo}坐標系，需要將刀軌跡通過{xoyozo}坐標系，轉(zhuǎn)換到機器人坐標系{xbybzb}中，生成機器人軌跡，這一過程被稱為刀軌跡后處理。{xoyozo}與{xbybzb}之間的轉(zhuǎn)換矩陣為J2，通過J2易于將刀軌跡轉(zhuǎn)換成機器人軌跡。

4 實驗驗證

圖6是沿長方體四周加工凹槽，通過測量凹槽加工后的錯位誤差以及尺寸精度，驗證物理機器人與裝備鏡像模型建立的有效性。采用理論運動學(xué)模型控制機器人加工的最大誤差為4.02 mm，而采用標定幾何參數(shù)的運動學(xué)模型控制機器人加工的最大誤差減少到0.28 mm。通過機器人幾何參數(shù)的標定，可以有效提高鏡像模型的精度，從而提高機器人的加工精度。

圖7a是采用變姿態(tài)對半球體進行加工，加工時，其刀具軸線指向球心，圖7b是完成加工后的半球，圖7c是半球加工后的誤差測量方法，即沿不同的d處，測量球冠半徑R。其中球體半徑為50 mm，d值以5 mm為間隔，共測量8次，每次重復(fù)測量10次，取其平均值。半球體加工的誤差范圍為-0.83～+0.52 mm，這其中部分誤差來源于電主軸連接塊的安裝和制造誤差，導(dǎo)致鏡像模型空間與物理空間的工具中心點(TCP)坐標系不一致而形成的誤差。

5 結(jié)語

本文利用軸旋轉(zhuǎn)法標定方法求取物理機器人的幾何參數(shù)，利用求取的幾何參數(shù)構(gòu)建物理機器人的鏡像模型，為物理機器人數(shù)字孿生體的構(gòu)建建立了基礎(chǔ)。后期，將利用機器人廠家提供的開發(fā)庫，獲取物理機器人的狀態(tài)參數(shù)以及加工參數(shù)，實現(xiàn)物理系統(tǒng)與數(shù)字系統(tǒng)間的數(shù)據(jù)雙向傳輸，建立物理機器人系統(tǒng)的數(shù)字孿生體，實現(xiàn)加工過程的監(jiān)督與加工參數(shù)的優(yōu)化。