胡升陽，方宗德，徐穎強，沈 瑞

(1.西北工業(yè)大學 機電工程學院，西安 710072；2.中國航發(fā)湖南動力機械研究所，湖南 株洲 412002)

行星傳動系統(tǒng)具備結構緊湊、傳遞功率大、承載能力高、抗沖擊和振動的能力強以及傳動平穩(wěn)等優(yōu)點，故而有十分廣泛的用途。內齒圈作為行星傳動系統(tǒng)的重要構件之一，其動態(tài)嚙合特性直接影響傳動系統(tǒng)的均載和動載性能，分析內齒圈的振動機理，提出相應的減振、降噪措施，對于設計動力學性能優(yōu)良的行星齒輪傳動裝置有十分重要的現實意義。

理論分析和實驗研究都表明，內齒圈的柔度對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響是不容忽視的[1-4]。增加行星輪系中內齒圈的柔性將使行星齒輪之間的載荷分配更加均勻。Hidaka等[3]對傳統(tǒng)的內齒圈結構進行了深入的研究，得出了輪緣厚度對變形、應力和載荷分擔系數的影響。結果表明，當輪緣厚度較小時，內齒圈的彎曲變形起主導作用。隨著齒厚的增加，內齒圈上的最大應力逐漸從齒槽向齒根轉移，但對其載荷分擔性能的影響不顯著。Kahraman等[5]還利用有限元法建立了行星輪系的準靜態(tài)模型，以分析傳統(tǒng)內齒圈的柔度對齒輪應力和載荷分布的影響。此外，Kahraman等[6]利用類似的方法，進一步研究了傳統(tǒng)內齒圈的柔度對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響，研究表明減小內齒圈的厚度有助于補償齒輪制造安裝誤差造成的不均勻載荷效應。然而由于傳統(tǒng)內齒圈結構輪緣較厚并呈現剛度高的特點，從而影響傳動系統(tǒng)的均載和動載性能。為獲取更加優(yōu)良的系統(tǒng)動態(tài)性能，學者們對傳統(tǒng)內齒圈的結構進行優(yōu)化后獲得了可以降低傳動系統(tǒng)振動和不均載的柔性內齒圈結構。例如：薄壁柔性內齒圈結構[7]、新材料和彈性支撐的內齒圈結構等。

然而，目前對于傳統(tǒng)內齒圈結構與柔性內齒圈結構的結構特點與柔性差異及對系統(tǒng)均載和動載的影響甚少有文獻報道。筆者對此進行詳細分析，以期為系統(tǒng)傳動構件的設計選用提供幫助。

1 內齒圈類型及柔性分析

對常見的3種內齒圈結構[8](傳統(tǒng)內齒圈、薄壁柔性內齒圈及彈性銷內齒圈)展開對比分析，以了解各內齒圈結構的特性以及其對行星傳動系統(tǒng)動態(tài)特性的影響，為設計行星傳動系統(tǒng)結構設計提供理論基礎。

為準確對比分析3種結構的特點，筆者將采用完全相同模數、齒數、外徑、變位系數、輪緣厚度、壓力角及相同齒寬參數的內齒圈，參數見表1。

表1 內齒圈部分參數

1.1 傳統(tǒng)內齒圈結構

傳統(tǒng)內齒圈結構具備輪緣厚度大并且采用輪緣外側固定支承的方式(見圖1)，致使諸多學者在分析輪齒嚙合過程時忽略不計輪緣變形，僅考慮輪齒的承載變形。通過構建傳統(tǒng)內齒圈與外嚙合齒輪的有限元模型，按照中心距裝配，設置材料屬性，采用“static,general”靜態(tài)分析步，并設置齒輪中心參考點與輪齒網格耦合。采用“surface-to-surface contact”面面接觸分析類型及“small sliding”微小滑移算法，并設置接觸屬性為切向無摩擦且法向硬接觸。從而獲取了含輪緣柔性的單個嚙合周期下的輪齒承載傳動誤差曲線，如圖2所示。

圖1 傳統(tǒng)內齒圈有限元模型Fig. 1 Finite element model of traditional ring

圖2 傳統(tǒng)內齒圈承載傳動誤差曲線Fig. 2 Loaded transmission errors of traditional ring

1.2 薄壁柔性內齒圈

薄壁柔性內齒圈通過依靠齒輪本身彈性變形使各行星輪載荷均勻減少振動，該結構采用下端面固定且延伸輪緣長度形成懸臂的特點。通過構建新型柔性內齒圈的單齒有限元模型并環(huán)形陣列合并形成全齒模型，見圖3。設定材料屬性(彈性模量206 000 MPa，泊松比0.3，密度7.85 g/cm3)、采用靜力通用分析步并設置相關接觸面及接觸特性后施加扭矩于太陽輪中心點位置，準確獲得單個嚙合周期內的承載傳動誤差曲線，如圖4所示。

圖3 薄壁柔性內齒圈有限元模型Fig. 3 Finite element model of thin-walled ring

圖4 承載傳動誤差曲線Fig. 4 Loaded transmission errors of thin-walled ring

1.3 彈性銷內齒圈

彈性銷內齒圈則通過將內齒圈輪緣與外接基體部分間添加銷連接，通過控制銷的柔性以降低整體剛度提升系統(tǒng)的均載性能。由于該結構的有限元模型計算時存在收斂困難且計算時間過長的問題，因此在結合其結構和支撐特點的情況下給出了一種數值解法，提高效率的同時保證了準確度，具體方程可見作者已發(fā)表文獻[9]，此處僅做簡要闡述。假設內齒圈有n個支座(以5支座為例，見圖5)，內齒圈可分為至少n段均勻彎曲的彎曲梁[10]。通過分析可得內齒圈的周向位移ω、徑向位移μ和彎曲角θ所造成的嚙合線上總體變形。

圖5 內齒圈銷支承原理圖Fig. 5 Schematic diagram of pin

1)固定支撐的內齒圈通常采用螺栓連接。在支承位置的平移位移完全受約束，僅保留轉動自由度，即u=0；ω=0；θ1=θ2。

2)采用銷釘支承內齒圈時存在兩種邊界條件。當梁沿徑向遠離圓心時，它將與銷釘接觸。梁在支承位置的周向位移和徑向位移受到完全約束。此時邊界條件與固定相同，即u=0；ω=0；θ1=θ2。當梁沿著接近圓心的徑向移動時，它將通過與銷釘分離。梁在支承位置的周向位移和徑向位移可以同時進行。此時，邊界條件為u1=u2；ω1=ω2；θ1=θ2。

基于上述分析，通過對任意截面曲線梁的任意邊界約束位置設置不同的邊界條件，可以得到相應的變形、內力和轉矩。

將內齒輪輪齒部分作為剛體，嚙合力以周向力、徑向力和轉矩的形式作用于內齒輪的關系見圖6。

圖6 內齒圈變形沿嚙合線線的位移(含力分解)Fig. 6 Displacement of ring gear deformation along the meshing line (including force decomposition)

(1)

周向位移ω、徑向位移μ和彎曲角θ所造成的嚙合線上總體變形，

σ=ωcosα+μsinα+θ|OA|sinβ。

(2)

根據支撐邊界條件，通過對均勻曲線梁的分析，得到了梁的周向位移ω、徑向位移μ和彎曲角θ等表達式。根據一般彈性體材料力學原理，將截面內力與變形聯系起來，可以建立以下基本微分方程：

(3)

式中：A是梁的橫截面積；E是彈性模量；G是剪切模量；Ix和Iy對應x和y軸的彎曲慣性矩；Id是關于z軸的扭轉慣性矩；Iω是梁的變形常數；Q是剪切力。

通過對上述公式的推導和變換，得到了彎曲的微分方程及相應的扭轉角和彎曲角的表達式。

(4)

當集中荷載和扭矩作用于梁的任意位置時，梁的各截面內力被分成兩部分，如圖7所示。

圖7 集中荷載和集中扭矩下的變形計算Fig. 7 Deformation calculation under concentrated load and concentrated torque

(5)

(6)

由上式得到撓度微分方程為：

并得通解為：

(7)

基于邊界條件和連續(xù)條件，

得到相關系數：

(8)

將得到的常數代入公式，得到集中荷載和集中扭矩作用下彎曲梁的彎曲度及彎扭角的計算公式為：

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

至此，獲取了彈性銷內齒圈結構的輪緣的變形以及綜合時變嚙合剛度(輪齒時變嚙合剛度采用有限元方法)，并給出了固定支承下該方法計算結果與有限元進行了對比，見圖8。

圖8 輪緣變形對比與綜合嚙合剛度Fig. 8 Deformation comparison and comprehensive meshing stiffness

1.4 對比總結

通過分析3種內齒圈結構的柔性，可獲知傳統(tǒng)剛性內齒圈結構的柔性最小，剛度最大。薄壁內齒圈結構的柔性最好，且波動幅值較小。彈性銷內齒圈結構的柔性介于以上兩者之間，但存在柔性波動過大的問題，該缺點將導致時變嚙合剛度的波動劇烈，從而影響系統(tǒng)的均載和動載特性。為更加準確定量地獲知3種內齒圈結構對行星傳動系統(tǒng)的動態(tài)特性影響的區(qū)別，下文將通過構建行星傳動系統(tǒng)的動力學模型，進一步對比3種內齒圈結構的動力學特性的差異。

2 動力學特性分析

為進一步了各內齒圈結構對行星傳動系統(tǒng)的動態(tài)特性的影響對比，采用集中質量法[9]構建了行星傳動系統(tǒng)的動力學方程。圖9為行星齒輪傳動簡圖。整個系統(tǒng)由太陽輪、5個行星輪和內齒圈組成。輸入的功率由太陽輪分流經過行星輪后再匯流到行星架上輸出。

圖9 行星齒輪傳動簡圖Fig. 9 Schematic diagram of planetary gear transmission

建模時采用集中質量模型，將齒輪視為集中質量傳統(tǒng)圓盤，嚙合副的彈性變形簡化為沿嚙合線的時變彈簧剛度，支承處的彈性變形則用等效彈簧剛度表示，齒輪均為直齒輪，且各行星輪的物理和幾何參數相同，不計齒輪嚙合時摩擦力的影響，考慮齒輪的安裝誤差、制造誤差，則系統(tǒng)的動力學模型如圖10所示[11]。

圖10 行星傳動系統(tǒng)動力學模型Fig. 10 Dynamic model of the system

所構建行星傳動系統(tǒng)的動力學模型的廣義坐標為X={xs,ys,us,xpi,ypi,xr,yr,ur,xc,yc,uc},其中i=1,2,…,5。

圖10中，kspi表示太陽輪與行星輪嚙合副間的輪齒時變嚙合剛度；kspi表示太陽輪與行星輪嚙合副間的嚙合阻尼；krpi表示行星輪與內齒圈嚙合副間的輪齒時變嚙合剛度；crpi表示行星輪與內齒圈嚙合副間的嚙合阻尼；ksx表示太陽輪的支承處在x方向上的等效彈簧剛度；ksy表示太陽輪的支承處在y方向上的等效彈簧剛度；csx表示太陽輪的支承處在x方向上的等效阻尼；csy表示太陽輪的支承處在y方向上的等效阻尼；kpix表示行星輪的支承處在x方向上的等效彈簧剛度；kpiy表示行星輪的支承處在y方向上的等效彈簧剛度；cpix表示行星輪的支承處在x方向上的等效阻尼；cpiy表示行星輪的支承處在y方向上的等效阻尼；krx表示內齒圈的支承處在x方向上的等效彈簧剛度；kry表示內齒圈的支承處在y方向上的等效彈簧剛度；crx表示內齒圈的支承處在x方向上的等效阻尼；cry表示內齒圈的支承處在y方向上的等效阻尼；kcx表示行星架的支承處在x方向上的等效彈簧剛度；kcy表示行星架的支承處在y方向上的等效彈簧剛度；ccx表示行星架的支承處在x方向上的等效阻尼；ccy表示行星架的支承處在y方向上的等效阻尼。

按照行星輪系工況(見表2)，傳遞功率2 958.8 kW、輸出轉速1 128 r/min，采用Runge-Kutta算法對系統(tǒng)動力學方程進行求解。

表2 行星輪系構件參數

2.1 各構件相對位置關系分析

目前對于行星傳動系統(tǒng)各構件間相對位置關系的分析已經較為完善，故本節(jié)對各構件間相對位置關系的分析過程不再贅述。結合相關文獻獲知各構件相對位置關系在端面嚙合線上的相對位移關系轉化公式見下文1)至4)，圖11與圖12為各構件間相對位置關系圖(圖中忽略綜合誤差)。

圖11 太陽輪與行星輪間相對位移關系Fig. 11 Relative displacement relationship between sun and planetary wheel

圖12 行星架與行星輪間相對位移關系Fig. 12 Relative displacement relationship between carrier and planetary wheel

1)太陽輪中心和行星輪中心在端面嚙合線上的相對位移：

(15)

2)行星輪中心和內齒圈中心在端面嚙合線上的相對位移：

(16)

3)行星輪中心和行星架中心在xc、yc、uc方向上的相對位移：

(17)

(18)

(19)

4)行星輪中心和行星架中心在xn、yn方向上的相對位移：

(20)

(21)

2.2 誤差分析

本文中考慮的系統(tǒng)誤差包括太陽輪、行星輪、內齒圈的偏心誤差Es、Epi、Er及安裝誤差As、Api、Ar，各構件的偏心誤差的相位角為θEs、θEpi、θEr，各構件的安裝誤差的相位角為θAs、θApi、θAr，i=1,2,…,5。各誤差的相位角的起始位置為各構件坐標系中x軸，逆時針方向為正。

為便于讀者的閱讀，于圖13給出了行星輪的偏心誤差、安裝誤差以及相應相位角的示意圖，其他構件的誤差定義與其相同。具體含義如下：在O上裝配該構件時將不存在安裝誤差，為理論裝配位置。O1為構件理想制造中心，O2為構件實際安裝位置。

圖13 行星輪偏心誤差與安裝誤差示意圖Fig. 13 Schematic diagram of eccentric error and installation error of planetwheel

依據對于構件偏心誤差與安裝誤差的位置關系定義，可將各構件的偏心誤差和安裝誤差分別向相對應的端面嚙合線方向上投影得到各構件的當量嚙合誤差，并將內、外嚙合線上的當量嚙合誤差進行累加即可得到相應的嚙合線上的累積嚙合誤差。這里規(guī)定嚙合線方向為被動輪指向主動輪，太陽輪旋轉方向為正，行星輪、內齒圈的旋轉方向為負。至此獲得了行星輪、太陽輪、內齒圈以及行星架在嚙合線上的嚙合誤差關系式，具體見下文。

1)行星輪偏心誤差Epi向第i個外嚙合副端面嚙合線方向投影得到當量嚙合誤差：

(22)

偏心誤差Epi向第i個內嚙合副端面嚙合線方向投影得到當量嚙合誤差：

(23)

安裝誤差Api向第i個外嚙合副端面嚙合線方向投影得到當量嚙合誤差：

(24)

安裝誤差Api向第i個內嚙合副端面嚙合線方向投影得到當量嚙合誤差：

(25)

2)太陽輪偏心誤差Es向第i個外嚙合副端面嚙合線方向投影得到當量嚙合誤差：

(26)

安裝誤差As向第i個外嚙合副端面嚙合線方向投影得到當量嚙合誤差：

(27)

3)內齒圈偏心誤差Er向第i個內嚙合副端面嚙合線方向投影得到當量嚙合誤差：

(28)

安裝誤差Api向第i個內嚙合副端面嚙合線方向投影得到當量嚙合誤差：

(29)

假設齒輪副的齒側間隙為b，在計入時變嚙合剛度、齒側間隙及系統(tǒng)阻尼的條件下，獲得了行星輪與太陽輪、行星輪與內齒圈間的嚙合力表達式。

行星輪與太陽輪間嚙合力：

(30)

(31)

(32)

行星輪與內齒圈間嚙合力：

(33)

(34)

(35)

式中：f(δsn,b)為行星輪與太陽輪間齒側間隙非線性函數；f(δrn,b)為行星輪與內齒圈間齒側間隙非線性函數。

至此，根據牛頓第二運動定律，結合前文分析建立了考慮時變嚙合剛度、偏心誤差、安裝誤差等特性的行星齒輪傳動系統(tǒng)非線性動力學方程。

1)太陽輪運動微分方程。

(36)

式中：ms、Is分別表示太陽輪的質量與轉動慣量；ksx、csx分別表示太陽輪的橫向支承剛度及橫向支承阻尼；ksy、csy分別表示太陽輪的縱向支承剛度及縱向支承阻尼；ksu、csu分別表示太陽輪的扭轉方向的支承剛度及扭轉阻尼；Ts為輸入扭矩；rs為太陽輪基圓半徑，Is為太陽輪的轉動慣量，αsp為太陽輪與行星輪的嚙合角。

2)行星輪運動微分方程。

(37)

式中：mp、Ip分別表示行星輪的質量與轉動慣量；kpx、cpx分別表示行星輪的橫向支承剛度及橫向支承阻尼；kpy、cpy分別表示行星輪的縱向支承剛度及縱向支承阻尼；rn為行星輪基圓半徑，In為行星輪的轉動慣量。

3)內齒圈運動微分方程。

(38)

式中：mr、Ir分別表示內齒圈的質量與轉動慣量；krx、crx分別表示內齒圈的橫向支承剛度及橫向支承阻尼；kry、cry分別表示內齒圈的縱向支承剛度及縱向支承阻尼；kru、cru分別表示內齒圈的扭轉方向的支承剛度及扭轉阻尼；rr為內齒圈基圓半徑，Ir為內齒圈的轉動慣量，αrp為內齒圈與行星輪的嚙合角。

4)行星架運動微分方程。

(39)

式中：mc分別表示行星架的質量；kcx、ccx分別表示行星架的橫向支承剛度及橫向支承阻尼；kcy、ccy分別表示行星架的縱向支承剛度及縱向支承阻尼；kcu、ccu分別表示行星架的扭轉方向的支承剛度及扭轉阻尼，Ic為行星架的轉動慣量，Tc為行星架的輸出扭矩。

通過構建的行星傳動系統(tǒng)的動力學模型，將所獲各內齒圈的承載傳動誤差轉化為時變嚙合剛度引入模型，設置誤差類型如表3所示(考慮實際工況下，系統(tǒng)的誤差是無法避免的，并且當系統(tǒng)不存在誤差時，系統(tǒng)將完全均載，亦將無法對比齒圈結構類型的差異。)，進而準確獲取并對比了傳統(tǒng)內齒圈、薄壁柔性內齒圈以及彈性銷內齒圈3種結構下的系統(tǒng)的均載系數和動載系數狀況。具體如圖14、15所示。

表3 誤差設置

圖14 均載系數對比Fig. 14 Comparison of load sharing coefficient

由圖14和圖15可知以下結論：1)傳統(tǒng)內齒圈的柔性最差，系統(tǒng)的均載系數為1.12，系統(tǒng)的均載系數和動載系數均較另外兩種內齒圈結構明顯偏大。2)彈性銷內齒圈結構由于結構的特點，導致輪齒接觸的時變嚙合剛度不斷變換，且當處于銷釘位置時剛度會明顯增大。其系統(tǒng)的均載系數為1.098，雖然較傳統(tǒng)內齒圈結構有所降低，但明顯振動較多，且在動載系數上振動更是表現明顯。3)薄壁柔性內齒圈結構的均載效果最好且無多余振動，系統(tǒng)的均載系數僅為1.048，但由于其支撐方式的原因導致系統(tǒng)的各支路的動載系數波動增大，但整體趨向于均勻，波動變緩。

圖15 動載系數對比Fig. 15 Comparison of dynamic load factorcoefficients

3 結 論

柔性內齒圈的提出是對傳統(tǒng)內齒圈機構的全新改革，然而目前對于該類結構的分析甚少。在本文中，通過構建各內齒圈結構類型的柔性分析模型以及系統(tǒng)的動力學模型，從靜力學特性和動態(tài)特性兩方面對比分析各結構的優(yōu)缺點。結論如下：

1)傳統(tǒng)內齒圈由于輪緣厚度大且支承方式的特點導致其剛性最強柔性最差，往往僅分析受載時輪齒部分的承載變形。由于柔度差導致采用該結構會較其他的柔性內齒圈結構在系統(tǒng)的均載系數和動載系數上明顯偏大。

2)彈性銷內齒圈結構在輪齒嚙合過程中存在內齒圈偏離圓心和靠近圓心的兩種姿態(tài)，且由于銷釘的存在會導致在相鄰兩個銷釘之間內齒圈的變形不均勻呈拱形的特點，這將導致輪齒接觸的時變嚙合剛度波動劇烈，且當處于銷釘位置時剛度會明顯增大。該結構在降低系統(tǒng)的均載系數的同時存在振動明顯增多的缺陷，并且導致系統(tǒng)的動載系數波動劇烈且雜亂無章。

3)薄壁柔性內齒圈結構由于支撐位置位于下端面，靠內齒圈自身的柔性實現均載，因此其均載效果最好且無多余振動，并且在嚙合過程中亦不會出現時變嚙合剛度的劇烈波動。但亦因為其支撐方式的原因會造成齒面載荷的偏載出現，因此在設計時可考慮在輪緣的上端面設計加強環(huán)以降低齒面偏載的弊端。此外薄壁內齒圈結構會導致系統(tǒng)的各支路的動載系數波動增大，但各支路的波動趨向于均勻變緩。