馮強 林屹峰 單明明 李龍

（1. 西安電子科技大學 超高速電路設計與電磁兼容教育部重點實驗室，西安 710071；2. 人工智能與數(shù)字經濟廣東省實驗室 智能超材料中心，廣州 510330）

引 言

電磁超材料理論和技術的發(fā)展從最初的等效媒質理論設計發(fā)展到現(xiàn)在的信息超材料[1-9]，經歷了從模擬時代到數(shù)字時代的轉變[3]. 從最初基于等效媒質理論進行的單負(介電常數(shù)為負或磁導率為負)和雙負(介電常數(shù)和磁導率均為負)材料設計[1-2]，然后又經歷了編碼超材料、數(shù)字超材料和基于數(shù)字可編程器件的可編程超材料[4-5,10]，之后電磁超材料又進一步結合了信息科學中的信息論和智能調控算法[11-13].目前電磁超材料的概念和理論已延伸至信息超材料[6-9].

電磁超表面是電磁超材料的一種二維實現(xiàn)形式，而目前大多數(shù)的電磁超材料對于電磁波的調控是通過電磁超表面的形式來實現(xiàn)的[6,14]. 鑒于電磁超表面對于電磁波的靈活調控能力，其可以用于Bessel波束的產生與調控設計[15-22]. Bessel 波束最早是由Durnin J. 在1987 年提出的，它是滿足波動方程在自由空間中的一個解[23-24]. 早期關于Bessel 波束的研究主要在光學領域，后來逐漸發(fā)展到了電磁領域[25-26]，而Bessel 波束在近場探測成像[27-29]以及近場無線功率/信息傳輸?shù)确矫婢兄匾獞肹17,30-33].

本文以編碼電磁超材料作為切入點，基于編碼電磁超表面的設計理論與設計方法，為Bessel 波束的數(shù)字化產生與調控提供新的設計思路. 同時，Bessel波束在面向信息超材料平臺/系統(tǒng)開展有關的應用研究時，也可以進一步促進其在雷達探測與成像以及無線通信等領域中的應用. 文獻[34] 中構建的可編程編碼超表面平臺，在進行軌道角動量(orbital angular momentum, OAM)渦旋波通信傳輸實驗時就采用了渦旋波束聚焦的設計方法以提高平臺的通信性能. 由于都是采用了數(shù)字化編碼設計方案，基于編碼電磁超表面的Bessel-OAM 波束設計方案也可以較為直接地應用到該可編程超表面平臺上來進行具有波束匯聚能力的Bessel-OAM 渦旋波束傳輸與設計，以起到提升渦旋波束通信傳輸性能的作用.

本文的主要內容如下：首先對Bessel 波束的基本理論和設計方法進行介紹，并以反射型人工電磁表面產生Bessel 波束的設計為例進行較為詳細的舉例說明. 接著，設計了一款反射型電磁超表面單元并對其進行編碼設計，以用于能夠產生Bessel 波束的編碼電磁超表面設計，并給出了典型的反射型電磁超表面的全波電磁仿真模型. 然后基于基本的Bessel波束設計理論和構建的編碼電磁超表面模型分別設計產生了多種不同類型的Bessel 波束，包括單波束零階Bessel 波束、雙波束零階Bessel 波束、單波束高階Bessel 波束以及雙波束高階Bessel 波束. 在設計實現(xiàn)這些不同類型Bessel 波束的同時，分別給出對應有關波束的具體設計方法和與之相對應的波束仿真結果. 最后是本文的總結部分.

1 Bessel 波束基本理論

首先，我們從最基本的波動方程出發(fā)來探討B(tài)essel 波束的基本理論[23-24,35]. 在柱坐標系中，自由空間中電場的波動方程可以表示如下：

式(2)對應波動方程的解是在沒有任何邊界條件約束下所對應的波動方程的一個解，而實際的電磁波輻射問題還需要考慮到其中的一個邊界條件，即索末菲爾德輻射邊界條件(Sommerfeld radiation condition)[35]，然后通過分離變量法，可以得到對應于波動方程(1)的一個解，形式如下[35]：

式中，Eout(r,φ,z)、Ein(r,φ,z)分別表示關于柱坐標系中Z軸的外行和內行錐形波束，當內行錐形波束經過坐標系Z軸后便轉換為對應的外行錐形波束. 兩種波束交匯的坐標系Z軸附近，二者進行疊加之后便形成了式(4)中的Bessel 波束，由于其只在有限的區(qū)域內保持，故將其稱為準Bessel 波束，并非嚴格意義上的理想Bessel 波束. 詳盡的推導和解釋可以參考文獻[35].

以反射型電磁超表面模型為例，對上述產生Bessel波束的基本原理與方法作進一步介紹. 圖1 所示為一個經由反射型電磁超表面產生偏轉的Bessel 波束原理示意圖，u?0表示波束偏轉指向. 經由電磁超表面調控之后的內行錐形電磁波束經過坐標系的Z′軸之后變成外行的錐形波束，而內行的錐形波束和外行的錐形波束在Z′軸附近交匯疊加形成了相應的Bessel 波束區(qū)域. 其中，tan α=kr/kz， α表示對應錐形波束的錐角大小. 這一電磁波束調控過程構成了產生Bessel 波束的基本原理.

圖1 基于反射型電磁超表面產生Bessel 波束的原理示意圖Fig. 1 Schematic diagram of the reflective metasurface for Bessel beams generation

2 Bessel 波束產生設計

基于第1 節(jié)的Bessel 波束基本理論，以反射型編碼電磁超表面為模型，分別對不同形式的Bessel波束進行設計和仿真實現(xiàn). 先給出Bessel 波束設計時所采用的反射型電磁超表面單元及其有關的仿真參數(shù)與電磁響應特性，以及反射型電磁表面模型；然后針對不同類型Bessel 波束設計給出具體與之相對應的設計方法以及仿真結果，并作簡要分析.

2.1 反射型編碼電磁超表面設計

本小節(jié)主要對反射型編碼電磁超表面的單元形式與設計參數(shù)、電磁超表面單元的電磁響應特性、反射型編碼電磁超表面的編碼方式以及超表面的陣列形式等有關設計方案與設計參數(shù)進行介紹.

2.1.1 反射型編碼電磁超表面單元設計

對于反射型編碼電磁超表面的單元設計形式，選取經典的“耶路撒冷(Jerusalem)”方環(huán)結構[36]. 圖2所示為我們設計的反射型電磁超表面單元結構形式，表1 為該單元結構的具體設計參數(shù)，中心工作頻率為10 GHz. 編碼電磁超表面主要通過對超表面單元進行離散比特化設計來實現(xiàn).

圖2 反射型電磁超表面單元結構示意圖Fig. 2 Geometry structure diagram of the designed reflective metasurface unit cell

表1 反射型電磁超表面單元結構參數(shù)Tab. 1 Geometry structure parameters of the designed reflective metasurface unit cellmm

圖3 為反射型電磁超表面單元的反射相位特性及相應的超表面單元編碼狀態(tài)選取示意圖. 可以看出，通過改變超表面單元的長度參數(shù)Ly，可以實現(xiàn)超表面單元從0°～360°的任意反射相位響應. 編碼超表面進行編碼設計的基本思路為：通過選取超表面單元的特定幾個反射相位狀態(tài)響應來進行超表面陣列的編碼設計，而不是選取連續(xù)的相位變化狀態(tài)；通過對電磁超表面的離散化和比特化設計，結合PIN二極管加載和后端的數(shù)字電路控制，便可以方便地實現(xiàn)電磁超表面的可編程設計和數(shù)字化設計[4,37-38].

圖3 反射型電磁超表面單元的反射相位隨單元尺寸Ly 變化曲線及編碼狀態(tài)選取Fig. 3 Reflection phase curve vs. the length of the reflective metasurface unit cell, and the schematic diagram of the coding statements

從圖3 連續(xù)變化的相位曲線中選取4 種不同的狀態(tài)來實現(xiàn)超表面單元的2 比特編碼設計，分別選取超表面單元反射相位為 0°、-90°、180°和+90°這4 種離散狀態(tài)作為“00”、“01”、“10”和“11”這4 種不同的編碼狀態(tài). 在后續(xù)的編碼電磁超表面陣列設計過程中，采用這4 種編碼狀態(tài)的超表面單元進行有關Bessel 波束的產生與調控設計.

為進一步說明電磁超表面單元的電磁響應特性，圖4 給出了反射型電磁超表面單元反射幅度特性隨單元尺寸參數(shù)Ly的變化曲線. 可以看出，該反射型超表面單元具有良好的反射特性，在設計的變化尺寸范圍內該單元基本可以保持大于-0.15 dB 的反射效果，在實際陣列設計過程中近似認為其與全反射的效果等同.

圖4 反射型電磁超表面單元的反射幅度隨單元尺寸Ly 變化曲線Fig. 4 Reflection amplitude curve vs. the length of the reflective metasurface unit cell

2.1.2 反射型編碼電磁超表面陣列設計

編碼電磁超表面陣列的設計與連續(xù)型電磁超表面的設計以及傳統(tǒng)反射陣列天線的設計流程基本一致. 相比于傳統(tǒng)連續(xù)型電磁超表面的設計，在計算得到編碼超表面口徑面所需的口徑場相位分布之后，還需對該口徑場相位分布進行離散化處理，即需要將口徑面上的相位分布值近似地對應到相應超表面單元的離散狀態(tài)所具有的那個相位值.

圖5 所示為一個典型的單饋源反射型電磁超表面設計模型. 其中饋源喇叭的位置為(fx,fy,fz)，超表面產生的其中一個波束指向為u?0=(θ0,φ0). 將超表面上任意位置處的超表面單元所在位置記為(xmn,ymn)，m和n分別表示超表面單元位于超表面陣列的行數(shù)和列數(shù).

圖5 單饋源反射型電磁超表面設計仿真模型Fig. 5 Simulation model of the designed single feed reflective metasurface

超表面陣列的設計關鍵在于對波束在超表面陣列口徑上所需要的口徑場相位分布的計算. 下面以零階單波束Bessel 波束的設計過程為例進行說明.反射型電磁超表面陣列口徑面上的切向電場分布可以表示為

式中：k表示對應的波數(shù)；dmn表示饋源喇叭的相位中心和(xmn,ymn)位置處超表面單元的距離； λ表示波長；α對應于圖1 中用于產生Bessel 波束的錐角大小. 由此，根據(jù)方程式(5)～(8)便可以由具體要設計的波束計算得到相應的口徑面相位分布，進而實現(xiàn)電磁超表面的波束調控功能設計. 一般對于反射型電磁超表面的設計，對應各超表面單元的幅度響應是相同的，即對A(xmn,ymn)這一項取常數(shù)值.

對零階Bessel 波束的設計，需先對反射型編碼電磁超表面有關的參數(shù)進行確定. 饋源喇叭口面到超表面的距離為(fx,fy,fz) = (0, 0, 300) mm，超表面的陣列規(guī)模為40×40，對應選取一個半徑為200 mm 的圓形區(qū)域作為實際設計的超表面區(qū)域，它也同時對應著20 個超表面陣元的排布數(shù)量. 整體超表面陣列大小為420 mm×420 mm，超表面所采用的介質基板類型是相對介電常數(shù)為 εr=2.65 的F4B、厚度為3 mm.單波束零階Bessel 波束指向u?0=(θ0,φ0) = (30°，0°)，圓錐角α=10°.

根據(jù)以上參數(shù)及方程式(5)～(8)對該超表面設計所需要的口徑場補償相位分布進行計算，如圖6所示. 圖6(a)為連續(xù)型口徑相位分布，編碼超表面設計的關鍵步驟在于對連續(xù)型相位的離散化和狀態(tài)編碼；而圖6(b) 為對應于圖6(a) 且經過2 比特離散量化之后的編碼相位分布，4 種不同的相位狀態(tài)0°、-90°、180°以及+90°分別對應“00”、“01”、“10”和“11”這4 種不同的編碼狀態(tài). 基于圖6(b)中的離散相位分布及其與圖3 中編碼超表面單元的對應關系，可以對應得到圖7 所示的反射型編碼電磁超表面陣列設計及其對應模型.

圖6 反射型電磁超表面口徑相位分布Fig. 6 Phase distributions on the reflective metasurface array aperture

圖7 反射型編碼電磁超表面陣列模型Fig. 7 Layout model of the designed reflective coding metasurface

以上即是編碼電磁超表面的基本設計過程. 在文章的后續(xù)部分，基于此設計過程分別對不同類型的Bessel 波束進行設計和仿真，且主要給出對應不同類型Bessel 波束的產生設計方法以及對應得到的仿真結果，而與之相對應的中間設計過程將不再詳述.

2.2 不同類型Bessel 波束設計與仿真

首先對零階Bessel 波束分別進行單波束和多波束的設計，并給出與之對應的仿真結果；然后對高階Bessel 波束進行設計仿真，并給出不同階Bessel波束的單波束和多波束設計方法. 對高階Bessel 波束來講，其自身具有OAM 特性[18,20,35,39-41]，而Bessel波束自身的階數(shù)也與相應的OAM 模態(tài)階數(shù)對應，在對應的設計部分將進行詳細介紹.

2.2.1 單波束零階Bessel 波束設計與仿真

基于2.1 節(jié)中對單波束零階Bessel 波束設計所得到的反射型編碼電磁超表面電磁仿真模型，通過電磁仿真計算得到其所對應的空間電場分布結果，如圖8 所示. 圖8(a)中，Z′軸對應于偏轉的Bessel 波束傳播軸，場觀察面與波束傳播軸垂直，且位于Z′=600 mm 處. 圖8(b)為與Bessel 波束傳播軸平行的軸截面內的電場強度分布仿真結果. 可以看出，反射型編碼電磁超表面設計確實產生了預期的偏轉零階Bessel 波束，說明了設計方案的有效性.

圖8 單波束零階Bessel 波束在觀察面內的電場強度分布Fig. 8 Electric field intensity distribution of the single beam Bessel beam of the zero order in the observation plane

2.2.2 雙波束零階Bessel 波束設計與仿真

基于2.1 節(jié)中的方程式(5)，多波束零階Bessel波束對應的反射型電磁超表面陣列口徑面上的切向電場分布可以表示為

雙波束零階Bessel 波束兩個波束指向分別為u?1=(θ1,φ1)=(30°，0°)和u?2=(θ2,φ2) =(-30°，0°). 圖9 為雙波束零階Bessel 波束仿真模型和對應的空間電場仿真觀察面設置及觀察面內的電場分布仿真結果.觀察面的大小和位置參數(shù)與圖8 中均相同，后邊所有仿真模型的場觀察面的參數(shù)設置也均與此相同.

圖9 雙波束零階Bessel 波束在觀察面內的電場強度分布Fig. 9 Electric field intensity distributions of the dual beams Bessel beam of the zero order in the observation planes

2.2.3 單/雙波束高階Bessel 波束設計與仿真

零階Bessel 波束對應于方程式(4) 中的? = 0，而高階Bessel 波束對應的?取值為非零整數(shù)，因此高階Bessel 波束的電場表達式中比零階Bessel 波束多了exp(j?φ)，與電磁波的OAM 相對應[39,41]，說明高階Bessel 波束本身就具有OAM 屬性. 同時，鑒于電磁超表面具有的對于渦旋電磁波束的產生與調控能力[42-45]，基于反射型編碼電磁超表面對高階Bessel 渦旋波束進行設計，并對其OAM 渦旋場分布進行分析.

用于產生高階Bessel 波束所需要的超表面口徑相位分布計算公式為

相比于式(5)，式(10)中對于口徑場相位分布的計算增加了φOAM這一項，φOAM=arg{exp(j?φ)}，產生對應的OAM，對應的階數(shù)?即高階Bessel 波束的階數(shù)，通過式(10)即可實現(xiàn)單波束高階Bessel 波束的設計.多波束高階Bessel 波束的設計參照式(9)，可以寫成如下形式：

式中：i表示不同的波束類型；φf,i、φd,i、φcone,i、φOAM,i分別對應不同類型波束的具體參數(shù)設置. 口徑場幅度項A(xmn,ymn)同樣近似為等幅均勻分布，這樣的近似處理會給設計尤其是多波束的設計引入誤差. 其雖可以通過一些陣列優(yōu)化設計的方法進行較為準確的設計[46]，但一般在進行原理方法驗證和說明的設計中不作為主要矛盾，因此通過等幅度均勻分布的近似處理可以帶來設計上的簡便.

圖10 和圖11 分別為建模仿真得到的單波束2 階Bessel 波束在對應的場觀察平面內的電場分布仿真結果，波束偏轉方向為u?0=(θ0,φ0) =(30°，0°). 通過渦旋場典型的環(huán)形電場強度分布(圖11(a))和螺旋相位分布(圖11(b)) 說明高階Bessel 波束與渦旋波束具有內在的關聯(lián)性.

圖10 單波束2 階Bessel 波束在與波束傳播軸平行的觀察面內的電場強度分布Fig. 10 Electric field intensity distribution of the single beam Bessel beam of the second order in the observation plane

圖11 單波束2 階Bessel 波束在與波束傳播軸垂直的觀察面內的渦旋電場強度分布與相位分布Fig. 11 Electric field intensity and phase distribution of the single beam Bessel beam of the second order in the observation plane

基于式(11) 給出了一個雙波束高階Bessel 波束的設計，可以同時產生兩個指向不同階數(shù)?也不同的Bessel 波束. 設計參數(shù)為：波束1 指向為u?1=(θ1,φ1)=(30°，0°)， ?1= 1；波束2 指向為u?2= (θ2,φ2) =(-30°，0°)， ?2= -1. 圖12 和圖13 分別為雙波束高階Bessel 波束在給定的空間觀察面內的電場分布仿真結果. 可以看出，預期的波束方向產生了所要設計實現(xiàn)的高階Bessel 波束，證明了設計的有效性.

圖12 雙波束高階Bessel 波束在與波束傳播軸平行的觀察面內的電場強度分布Fig. 12 Electric field intensity distributions of the dual Bessel beams of the first order in the observation planes

3 結 論

本文主要對多種不同類型Bessel 波束的產生設計原理和設計方法進行了介紹和梳理，并以反射型編碼電磁超表面作為具體的實現(xiàn)方式，分別設計實現(xiàn)了零階/高階的單波束/雙波束Bessel 波束，通過全波電磁仿真的方法分別仿真計算了對應不同類型Bessel 波束的空間電場分布特性，驗證了設計方法的有效性. 編碼電磁超表面作為信息超材料的一個重要研究分支，通過編碼電磁超表面設計實現(xiàn)Bessel波束調控的方法可以進一步應用到有關的信息超材料系統(tǒng)的設計當中，有效促進Bessel 波束將來在近場無線能量/信息傳輸以及雷達探測與成像中的應用.