徐康賓 楊亞莉

摘? 要：當(dāng)前，用于預(yù)測疲勞裂紋擴(kuò)展的方法多種多樣，但無論哪一種裂紋擴(kuò)展方法，都是以擴(kuò)展點的擴(kuò)展代替整個裂紋的擴(kuò)展。因此，對擴(kuò)展點的優(yōu)化具有重要意義。考慮到遺傳算法對多參數(shù)優(yōu)化具有較好的效果，基于遺傳算法對擴(kuò)展點的個數(shù)和分布進(jìn)行了優(yōu)化研究;引進(jìn)了“位置比”這個概念，以最外側(cè)擴(kuò)展點的位置比表征擴(kuò)展點的分布;介紹了一種裂紋擴(kuò)展的數(shù)值方法，計算數(shù)值結(jié)果與實驗結(jié)果的誤差，取該誤差的倒數(shù)作為個體適應(yīng)度。結(jié)果表明，當(dāng)擴(kuò)展點個數(shù)和最外側(cè)擴(kuò)展點位置比分別為11和0.95時，個體適應(yīng)度最高，數(shù)值預(yù)測精度最好。

關(guān)鍵詞：遺傳算法;裂紋擴(kuò)展;擴(kuò)展點個數(shù);位置比;優(yōu)化

中圖分類號：TP304? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：2096-1472（2022）-01-22-06

Abstract： At present， there are various methods for predicting the fatigue crack growth， but no matter which kind of crack growth method， expansion of the expansion point replaces the entire crack expansion. Therefore， optimization of the expansion point is of great significance. Considering that genetic algorithm has good effect on multi-parameter optimization， this paper proposes to optimize the number and distribution of expansion points based on genetic algorithm. The concept of position ratio is introduced to represent the distribution of expansion points by the position ratio of the outermost expansion points. A numerical method for crack growth is introduced. The error between numerical results and experimental results is calculated， and the reciprocal of the error is taken as individual fitness. The results show that when the number of expansion points and the position ratio of the outermost expansion points are 11 and 0.95 respectively， the individual fitness is the highest and the numerical prediction accuracy is the best.

Keywords： genetic algorithm; crack growth; number of expansion points; position ratio; optimization

1? ?引言（Introduction）

工程構(gòu)件在生產(chǎn)、安裝、使用過程中，難免會受到擠壓、劃傷等，造成表面損傷。在循環(huán)荷載作用下，這些表面損傷將演變?yōu)楸砻媪鸭y，最終斷裂，從而導(dǎo)致構(gòu)件失效。因此，研究表面裂紋的擴(kuò)展機(jī)理具有很大的經(jīng)濟(jì)價值和現(xiàn)實意義[1-4]。LIN等[5]、WU[6]通過三次樣條曲線擬合表面裂紋擴(kuò)展形狀，而NEWMAN等[7]、SONG等[8]和LIU等[9]則通過橢圓弧擬合表面裂紋擴(kuò)展形狀，雖然他們使用的裂紋擴(kuò)展方法不同，但都是通過對擴(kuò)展點的擬合得到擴(kuò)展結(jié)果的。因此，對擴(kuò)展點的優(yōu)化具有重要意義。

遺傳算法作為一種最優(yōu)算法，在很多領(lǐng)域得到應(yīng)用[10-12]。隨著遺傳算法的不斷完善，其應(yīng)用的領(lǐng)域也越來越廣[13-16]?？紤]到遺傳算法對多參數(shù)優(yōu)化具有較好的優(yōu)化效果，本文基于遺傳算法對裂紋擴(kuò)展過程中的擴(kuò)展點個數(shù)與分布進(jìn)行了優(yōu)化研究。

2? ?裂紋擴(kuò)展方法（Crack growth method）

2.1? ?位置比的確定

圖1是位置比的示意圖，其定義如式（1）所示，其中代表裂紋上的任何點p到裂紋最深點的距離，代表表面點到裂紋最深點的距離。對于一個給定的裂縫，因為最深的點和表面點是固定的，也是固定的。點p的位置發(fā)生變化，也發(fā)生變化，從而使R發(fā)生變化。換句話說，每一個點p的位置對應(yīng)一個R，反過來，給出一個R也就能確定點p的位置。

2.2? ?裂紋擴(kuò)展步驟

當(dāng)裂紋從第條裂紋擴(kuò)展到第 條裂紋時，其裂紋擴(kuò)展示意圖如圖2所示。

其具體步驟如下：

（1）在第條裂紋上取N 個擴(kuò)展點，其坐標(biāo)為，代表第個擴(kuò)展點，其取值為1到N。

（2）計算第 個擴(kuò)展點的擴(kuò)展步長。其中是第條裂紋上的第 個擴(kuò)展點的應(yīng)力強(qiáng)度因子幅，是第條裂紋上的第1 個擴(kuò)展點的應(yīng)力強(qiáng)度因子幅。是第1 個擴(kuò)展點的擴(kuò)展量。

（3）根據(jù)擴(kuò)展點垂直于當(dāng)前裂紋，求出擴(kuò)展后的第 個擴(kuò)展點pj，其坐標(biāo)為。

（4）根據(jù)每個擴(kuò)展點擴(kuò)展后的坐標(biāo)，擬合出第 條裂紋。

（5）將第條裂紋上的擴(kuò)展點垂線與第 條裂紋的交點作為第 條裂紋的擴(kuò)展點，其坐標(biāo)為。

由于第1 條裂紋是已知的，從而可以得出第2 條裂紋，依次迭代可以得出整個擴(kuò)展過程的所有裂紋。

3? ?數(shù)值結(jié)果處理（Numerical result processing）

考慮到優(yōu)化時需要一個優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)，因此提出一種可以量化數(shù)值結(jié)果與實驗結(jié)果誤差的方法。其原理是用一條曲線擬合實驗結(jié)果，然后以擬合曲線與數(shù)值曲線的接近程度作為優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)。實驗結(jié)果來源于TORIBIO等人[17]。

3.1? ?實驗結(jié)果的處理

圖3是用Origin軟件擬合實驗數(shù)據(jù)后的結(jié)果圖。圖3中的擬合結(jié)果如表1所示。則實驗數(shù)據(jù)擬合曲線的方程為：

3.2? ?數(shù)值結(jié)果與實驗結(jié)果的誤差計算

經(jīng)過將實驗數(shù)據(jù)擬合后，實驗結(jié)果可以用一條曲線代替，而數(shù)值結(jié)果也能用一條曲線表示，因此，可以將數(shù)值結(jié)果與實驗結(jié)果的誤差用兩條曲線的誤差代替。其示意圖如圖4所示，具體步驟如下：

（1）將數(shù)值結(jié)果中的n 個數(shù)據(jù)點連接起來。

（2）在實驗擬合曲線中取出n 個數(shù)據(jù)點，保證兩條曲線中的n 個數(shù)據(jù)點的相對裂紋深度相同。

（3）計算兩條曲線中n 個數(shù)據(jù)點的相對裂紋弦長差。

（4）計算兩條曲線的誤差。

4? 基于遺傳算法的研究方法（Research method based on genetic algorithm）

遺傳算法的優(yōu)化目標(biāo)包括擴(kuò)展點個數(shù)和擴(kuò)展點分布，其中擴(kuò)展點分布是通過最外側(cè)擴(kuò)展點的位置比實現(xiàn)的。遺傳算法所選取的種群個數(shù)為8，實現(xiàn)步驟可以分為六步，即編碼、解碼、求解適應(yīng)度、復(fù)制、交叉、變異。

（1）編碼

根據(jù)經(jīng)驗，擴(kuò)展點個數(shù)一般小于20，擴(kuò)展點個數(shù)范圍選為3—18，共16 種選擇;而擴(kuò)展點位置比為0.11、0.23、0.35、0.47、0.59、0.71、0.83和0.95，共八種選擇。

因此，染色體位數(shù)選擇為七位，前四位代表擴(kuò)展點個數(shù)，后三位代表位置比，相對應(yīng)的關(guān)系如表2和表3所示。可以將相關(guān)參數(shù)轉(zhuǎn)換成染色體編號。

（2）解碼

解碼規(guī)則與編碼規(guī)則是相對應(yīng)的，可以根據(jù)染色體編號通過查詢表2和表3獲得對應(yīng)的相關(guān)參數(shù)。

（3）求解適應(yīng)度

每個個體中的染色體都能通過解碼找到其對應(yīng)的擴(kuò)展點個數(shù)和位置比，通過這兩個參數(shù)就能得到相應(yīng)的數(shù)值結(jié)果，再將數(shù)值結(jié)果進(jìn)行處理，就得到了數(shù)值結(jié)果與實驗結(jié)果的誤差，最后取誤差的倒數(shù)作為該個體的適應(yīng)度。

（4）復(fù)制

將種群中適應(yīng)度最低的個體用適應(yīng)度最高的個體替代，就是更新后的種群。

（5）交叉

種群中個體與個體間有一定概率發(fā)生部分染色體交換的情況，用MATLAB實現(xiàn)的代碼如圖5所示。

（6）變異

除了個體與個體之間的交換會改變?nèi)旧w外，每個個體自身的變異也會改變?nèi)旧w的編號，用MATLAB實現(xiàn)的代碼如圖6所示。

5? ?種群進(jìn)化（Population evolution）

首先，種群的第一代個體所對應(yīng)的染色體編號由電腦隨機(jī)生成，其相關(guān)信息如表4所示。個體3適應(yīng)度最小，個體4適應(yīng)度最大。

將第一代種群進(jìn)行復(fù)制、交叉與變異后得到第二代種群，其相關(guān)信息如表5所示。個體3適應(yīng)度最小，個體8適應(yīng)度最大。

將第二代種群進(jìn)行復(fù)制、交叉與變異后得到第三代種群，其相關(guān)信息如表6所示。個體8適應(yīng)度最小，個體4適應(yīng)度最大。

將第三代種群進(jìn)行復(fù)制、交叉與變異后得到第四代種群，其相關(guān)信息如表7所示。個體1適應(yīng)度最小，個體3適應(yīng)度最大。

將第四代種群進(jìn)行復(fù)制、交叉與變異后得到第五代種群，其相關(guān)信息如表8所示。個體3適應(yīng)度最小，個體5適應(yīng)度最大。

將第五代種群進(jìn)行復(fù)制、交叉與變異后得到第六代種群，其相關(guān)信息如表9所示。個體2適應(yīng)度最小，個體1適應(yīng)度最大。

將第六代種群進(jìn)行復(fù)制、交叉與變異后得到第七代種群，其相關(guān)信息如表10所示。個體6適應(yīng)度最小，個體2和個體3適應(yīng)度最大。

將第七代種群進(jìn)行復(fù)制、交叉與變異后得到第八代種群，其相關(guān)信息如表11所示。個體3適應(yīng)度最小，個體2和個體6適應(yīng)度最大。

6? ?結(jié)果與討論（Results and discussion）

將每代種群中最高的個體適應(yīng)度作為該代種群中最佳適應(yīng)度，從而可以得到種群中最佳適應(yīng)度與種群迭代次數(shù)的關(guān)系，如圖7所示。從圖7中可以看出，當(dāng)種群從第五代開始，種群中最佳適應(yīng)度就一直維持在同一個水平。說明此時的種群已經(jīng)進(jìn)化到最佳狀態(tài)，則種群中最佳適應(yīng)度對應(yīng)的個體就是最佳個體，其對應(yīng)的染色體編號為1000111，經(jīng)過解碼后，得知其對應(yīng)的擴(kuò)展點個數(shù)和位置比分別為11和0.95。

對于擴(kuò)展點，當(dāng)擴(kuò)展點較少時，用于預(yù)測下一條裂紋的擬合數(shù)據(jù)較少，導(dǎo)致誤差偏大;而當(dāng)擴(kuò)展點較多時，由于在模型計算中劃分網(wǎng)格精度不高，計算出的應(yīng)力強(qiáng)度因子幅誤差偏大，從而使得單個擴(kuò)展點精度不足，進(jìn)而誤差也偏大。對于位置比，位置比越大，最外側(cè)擴(kuò)展點越接近圓柱體表面，擴(kuò)展點在整個裂紋前沿的分布范圍也越廣，也就越有利于減小誤差。

7? ?結(jié)論（Conclusion）

本文通過遺傳算法對疲勞裂紋擴(kuò)展過程中擴(kuò)展點的個數(shù)和分布進(jìn)行了優(yōu)化研究。具體結(jié)論如下：

（1）引進(jìn)了位置比的概念，通過改變位置比實現(xiàn)對擴(kuò)展點分布的改變。介紹了疲勞裂紋擴(kuò)展方法，通過該方法可以實現(xiàn)在不同擴(kuò)展點個數(shù)和分布下的數(shù)值擴(kuò)展。

（2）提出了一種數(shù)值結(jié)果與仿真結(jié)果的誤差計算方法，實現(xiàn)了在不同擴(kuò)展點個數(shù)和分布下對應(yīng)的數(shù)值精度計算。基于遺傳算法，將不同的擴(kuò)展點個數(shù)和分布進(jìn)行編碼和解碼，并將對應(yīng)的數(shù)值精度的倒數(shù)作為個體適應(yīng)度。

（3）從第五代開始，種群中的最佳適應(yīng)度就不再改變，說明的種群已經(jīng)進(jìn)化到最佳狀態(tài)。此時，種群中最佳適應(yīng)度對應(yīng)的個體就是最佳個體，其對應(yīng)的染色體編號為1000111，經(jīng)過解碼后，得知其對應(yīng)的擴(kuò)展點個數(shù)和位置比分別為11和0.95。

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作者簡介：

徐康賓（1995-），男，碩士生.研究領(lǐng)域：汽車零部件疲勞損傷及輕量化.

楊亞莉（1982-），女，博士，副教授.研究領(lǐng)域：汽車零部件疲勞損傷及金屬斷裂機(jī)理.