鄭丹陽(yáng)，曹 林，王 濤，王東峰,2

(1.北京信息科技大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，北京100101；2.北京川速微波科技有限公司，北京 100080)

0 引 言

在雷達(dá)多目標(biāo)跟蹤尤其是鄰近多目標(biāo)的跟蹤中，數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)是一種必不可少的關(guān)鍵技術(shù)，它包括確定出實(shí)時(shí)接收量測(cè)與目標(biāo)之間正確的對(duì)應(yīng)關(guān)系。聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)(Joint Probability Data Association,JPDA)技術(shù)作為一種經(jīng)典算法，在目標(biāo)數(shù)量較少以及雜波分布函數(shù)已知的情況下，能夠產(chǎn)生良好的關(guān)聯(lián)跟蹤效果。但是，在實(shí)際復(fù)雜檢測(cè)場(chǎng)景下，隨著目標(biāo)數(shù)量的增加，算法對(duì)應(yīng)產(chǎn)生的確認(rèn)矩陣數(shù)量激增，甚至出現(xiàn)指數(shù)爆炸現(xiàn)象。針對(duì)傳統(tǒng)JPDA算法存在的不足，文獻(xiàn)[1]提出了一種簡(jiǎn)化聯(lián)合概率數(shù)據(jù)算法，根據(jù)目標(biāo)航跡和量測(cè)之間的關(guān)聯(lián)規(guī)則，引入公共量測(cè)影響因子修正關(guān)聯(lián)概率，避開(kāi)拆分確認(rèn)矩陣，從根本上解決了組合爆炸問(wèn)題。針對(duì)單傳感器聯(lián)合概率數(shù)據(jù)互聯(lián)算法在密集多目標(biāo)場(chǎng)景中難以跟蹤所有目標(biāo)的問(wèn)題，文獻(xiàn)[2]提出一種基于JPDA量測(cè)目標(biāo)互聯(lián)概率統(tǒng)計(jì)加權(quán)并行式和序貫式多傳感器數(shù)據(jù)融合方法，在數(shù)據(jù)集PETS上對(duì)行人取得了較理想的跟蹤效果。文獻(xiàn)[3]提出了一種JPDA的修正版本——Set JPDA算法，用考慮目標(biāo)位置來(lái)替代對(duì)于目標(biāo)來(lái)源的確認(rèn)。通過(guò)結(jié)合單目標(biāo)和多目標(biāo)跟蹤算法，文獻(xiàn)[4]提出了一種k近鄰聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)(k Nearest Neighbor Joint Probability Data Association,kNN-JPDA)算法，實(shí)現(xiàn)了kNN和JPDA的優(yōu)化組合。文獻(xiàn)[5]將KL散度(Kullback-Leibler Divergence，KLD)作為代價(jià)函數(shù)來(lái)優(yōu)化關(guān)聯(lián)事件的后驗(yàn)概率密度函數(shù)，解決了雜波環(huán)境下的多目標(biāo)跟蹤問(wèn)題。針對(duì)目標(biāo)跟蹤中的多擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤問(wèn)題，文獻(xiàn)[6]對(duì)擴(kuò)展目標(biāo)進(jìn)行泊松點(diǎn)過(guò)程(Poisson Point Process，PPP)量測(cè)建模，提出了一種“多對(duì)一”JPDA關(guān)聯(lián)模型。

數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法需要解決的核心問(wèn)題是計(jì)算目標(biāo)與航跡之間的邊緣關(guān)聯(lián)概率，通過(guò)尋找到最大后驗(yàn)的聯(lián)合事件實(shí)現(xiàn)目標(biāo)-量測(cè)關(guān)聯(lián)。文獻(xiàn)[7-9]第一次將變分推斷與數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法結(jié)合起來(lái)，通過(guò)置信傳播求解最大后驗(yàn)關(guān)聯(lián)事件，解決了分布式無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)的目標(biāo)跟蹤問(wèn)題。作為其中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，概率圖模型通過(guò)不同層級(jí)的葉子節(jié)點(diǎn)來(lái)分解表示不同變量之間的概率聯(lián)系，為變分推斷提供了一種框架[10]。

在密集多目標(biāo)跟蹤中，隨著密集多目標(biāo)不斷接近，各目標(biāo)之間相關(guān)波門的重疊度增大，拆分確認(rèn)矩陣的數(shù)量指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)。經(jīng)典JPDA中包含兩個(gè)重要的關(guān)聯(lián)指標(biāo)：量測(cè)關(guān)聯(lián)指標(biāo)和目標(biāo)關(guān)聯(lián)指標(biāo)。為解決拆分確認(rèn)矩陣數(shù)量呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)的問(wèn)題，本文引入概率圖模型來(lái)分解表示關(guān)聯(lián)指標(biāo)之間的全部假設(shè)關(guān)聯(lián)關(guān)系，并在此模型上基于變分推斷求解最大后驗(yàn)關(guān)聯(lián)事件[11]。

1 聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法

聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)的目的是計(jì)算出每一個(gè)量測(cè)與其所有可能的源目標(biāo)之間的關(guān)聯(lián)概率，當(dāng)存在量測(cè)落入多個(gè)目標(biāo)的相關(guān)波門的重疊區(qū)域內(nèi)時(shí)，如圖1所示，就需要綜合考慮各個(gè)目標(biāo)的來(lái)源情況[12]。

圖1 確認(rèn)矩陣與互聯(lián)事件形成示意圖

設(shè)θjt(k)表示量測(cè)j來(lái)源于目標(biāo)t(0≤t≤T)的事件，而θj0(k)則表示量測(cè)j來(lái)源于雜波或虛警。另外，這里需要引入兩個(gè)二元變量量測(cè)互聯(lián)指示τj和目標(biāo)檢測(cè)指示δt：

(1)

表示量測(cè)j在聯(lián)合事件θi(k)中是否和一個(gè)真實(shí)目標(biāo)互聯(lián)，ωjt為一個(gè)二進(jìn)制變量;

(2)

表示任一量測(cè)在聯(lián)合事件θi(k)中是否與目標(biāo)t互聯(lián)(目標(biāo)t是否被檢測(cè)到)。

設(shè)nt[θi(k)]表示在聯(lián)合事件θi(k)中虛假量測(cè)的數(shù)量，則

(3)

應(yīng)用貝葉斯法則，則k時(shí)刻聯(lián)合事件θi(k)的條件概率為

P{θi(k)|Z(k)}=P{θi(k)|Z(k),Z(k-1)}=

(4)

如果θi(k)被確定，那么目標(biāo)檢測(cè)指示δt(θi(k))和虛假量測(cè)數(shù)量nt[θi(k)]也就會(huì)確定下來(lái)。于是，

P{θi(k)}=P{θi(k),δt[θi(k)],nt[θi(k)]}。

(5)

應(yīng)用乘法定理，則上式可以表示為

P{θi(k)}=P{θi(k)|δt[θi(k)],nt[θi(k)]}·

P{δt(k),nt[θi(k)]}。

(6)

P{θi(k)|δt(θi(k)),nt[θi(k)]}=

(7)

另外，

P{δt(θi(k)),nt[θi(k)]}=

(8)

(9)

p{Z(k)|θi(k),Z(k-1)}=

(10)

由此可得聯(lián)合事件θi(k)的后驗(yàn)概率為

(11)

注意，根據(jù)概率函數(shù)μF(nt[θi(k)])使用的模型不同，對(duì)應(yīng)的JPDA也有兩種不同形式：參數(shù)JPDA，μF(nt[θi(k)])服從泊松分布；非參數(shù)JPDA，μF(nt[θi(k)])服從均勻分布。

拆分確認(rèn)矩陣列舉出量測(cè)與目標(biāo)之間的所有可行聯(lián)合事件是JPDA的主要優(yōu)勢(shì)，在目標(biāo)和回波數(shù)量適中的情況下，JPDA算法通過(guò)計(jì)算所有可行聯(lián)合事件的后驗(yàn)概率，能夠達(dá)到較高的跟蹤精度。然而在回波數(shù)量增多的情況下，對(duì)應(yīng)于拆分確認(rèn)矩陣的可行聯(lián)合事件數(shù)量會(huì)出現(xiàn)指數(shù)爆炸現(xiàn)象，優(yōu)勢(shì)又成為嚴(yán)重影響跟蹤實(shí)時(shí)性的阻礙。接下來(lái)，基于拆分確認(rèn)矩陣的思想引入概率圖模型來(lái)解決這一問(wèn)題。

2 基于變分推斷的JPDA算法

2.1 概率圖模型

圖2 單掃描時(shí)刻的概率圖模型

在這種樹(shù)形圖中，置信傳播是一種進(jìn)行推斷的消息傳遞算法。其主要思想是，對(duì)于馬爾科夫隨機(jī)場(chǎng)中的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)，通過(guò)消息傳播，把該節(jié)點(diǎn)的概率分布狀態(tài)傳遞給相鄰的節(jié)點(diǎn)，從而影響相鄰節(jié)點(diǎn)的概率分布狀態(tài)，經(jīng)過(guò)一定次數(shù)的迭代，每個(gè)節(jié)點(diǎn)的概率分布將收斂于一個(gè)穩(wěn)態(tài)。在置信傳播算法中有兩個(gè)概念：消息和置信度。

接下來(lái)采用置信算法進(jìn)行優(yōu)化推斷，該算法通過(guò)傳遞相鄰節(jié)點(diǎn)之間的信息遞歸計(jì)算關(guān)聯(lián)概率。首先定義μt→j(τj)來(lái)表示頂點(diǎn)t∈V到頂點(diǎn)j∈V之間傳遞的信息，并且(t,j)∈e。置信更新方程為

(12)

式(12)也被稱為和積算法。當(dāng)BP算法收斂時(shí)，單次掃描中假設(shè)每個(gè)目標(biāo)之間獨(dú)立分布，則任一頂點(diǎn)v的邊緣分布為

(13)

接下來(lái)，假設(shè)在每個(gè)掃描時(shí)刻，各目標(biāo)的狀態(tài)相互獨(dú)立，同時(shí)定義在單次掃描時(shí)刻接收的量測(cè)為Z={z1,z2,…,zmt}。因此在單掃描周期內(nèi)，X的先驗(yàn)分布和量測(cè)與關(guān)聯(lián)變量之間的聯(lián)合概率分布分別為

(14)

(15)

(16)

式(15)中：λfa(zi)表示誤警率。

后驗(yàn)概率分布為

(17)

p(X,δ,τ|Z)∝

(18)

式中：

(19)

(20)

利用高斯擬合來(lái)計(jì)算每個(gè)目標(biāo)的邊緣分布pi(xi)，用這些近似邊緣分布的乘積來(lái)近似聯(lián)合分布。

2.2 基于變分推斷數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)

貝葉斯近似是一種用來(lái)計(jì)算Z(G)的創(chuàng)新方法，Z(G)是一個(gè)關(guān)于G的配分函數(shù)，也是關(guān)于G的最小優(yōu)化解。在本文中，單掃描時(shí)刻的變分問(wèn)題通過(guò)優(yōu)化下面的目標(biāo)函數(shù)來(lái)求解：

(21)

0≤qt,j≤1。

(22)

式中：qt,j=q(δt=j)=q(τj=t)是目標(biāo)t與量測(cè)j相關(guān)關(guān)聯(lián)的置信。如果j=0，則表示目標(biāo)t漏檢；如果t=0，量測(cè)j是誤警。公式(22)稱為一致性約束，是用來(lái)求解有效聯(lián)合事件的必要條件。文獻(xiàn)[15]已經(jīng)證明了該函數(shù)滿足凸優(yōu)化，即該目標(biāo)函數(shù)在約束條件下能夠收斂到最優(yōu)值。

FB(qt(δt),qi,t(xi,δt),qt,j(δt,τj))=

(23)

其約束條件為

qi,t(xi,δt)≥0,qo,j≥0 ，

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

令qt(δt)和qt,j(δt,τj)固定且可解，則公式(23)的解為

(29)

以上就是本文所提算法，該算法試圖估計(jì)目標(biāo)狀態(tài)的邊緣分布。當(dāng)單獨(dú)考慮每個(gè)目標(biāo)的時(shí)候，該算法能夠提供出完整的假設(shè)信息，例如在確定目標(biāo)所在位置的置信區(qū)域時(shí)。在某些跟蹤問(wèn)題中，JPDA算法存在一些特定類型的跟蹤不確定性，比如目標(biāo)臨近時(shí)出現(xiàn)航跡合并現(xiàn)象。在這種情況下，對(duì)于邊緣關(guān)聯(lián)分布的估計(jì)會(huì)給出多種可能組合，這是對(duì)各種不確定性的正確歸納。另外，概率圖模型中清楚地展示了目標(biāo)-量測(cè)關(guān)聯(lián)假設(shè)存在的冗余性，正是這種冗余性確保每個(gè)量測(cè)至多對(duì)應(yīng)一個(gè)目標(biāo)，而每個(gè)目標(biāo)至多對(duì)應(yīng)一個(gè)量測(cè)。

2.3 算法流程

Step1 獲取觀測(cè)數(shù)據(jù)。在接收到雷達(dá)的回波信號(hào)之后，通過(guò)雷達(dá)采集的目標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，將處理后的目標(biāo)數(shù)據(jù)保存為觀測(cè)數(shù)據(jù)。

Step2 對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)濾波和聚類處理。本文通過(guò)設(shè)定速度閾值來(lái)進(jìn)行部分障礙物濾波處理，然后再對(duì)多目標(biāo)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類分析。

Step3 根據(jù)量測(cè)數(shù)據(jù)以及目標(biāo)的狀態(tài)建立對(duì)應(yīng)的概率圖模型。

Step4 建立公式(23)所示的目標(biāo)函數(shù)。

Step5 通過(guò)假定qt(δt)和qt,j(δt,τj)均服從高斯分布來(lái)固定qt(δt)和qt,j(δt,τj)，則FB是關(guān)于qt,j(xi,τj)的函數(shù)。

Step6 初始化原始問(wèn)題的可行解yi,j以及非可行解xi,j(這里yi,j=0，xi,j=0)：

xi,j=(ω0,jy0,j+∑i′ωi′,jyi′,j)-(1-γ)×

(ω0,jy0,j+∑i′≠iωi′,jyi′,j)-γ×ek?i,j，

yi,j=(ωi,0xi,0+∑j′ωi,j′xi,j′)-(1-γ)×

(ωi,0xi,0+∑j′≠jωi,j′xi,j′)-γ×ek?i,j。

Step7 因該算法對(duì)初值的選擇不敏感，所以在約束條件(24)～(28)的范圍內(nèi)，線性迭代增加yi,j的值，并始終保持yi,j的可行性；同時(shí)增加xi,j的值，直到其成為原問(wèn)題的可行解。

Step8 循環(huán)終止條件：當(dāng)yi,j改變非常微小時(shí)，循環(huán)終止，輸出結(jié)果qi,j=ωi,jyi,jx0,j?i,j；否則，繼續(xù)執(zhí)行Step 7。

Step9 根據(jù)Step 8的輸出結(jié)果qi,j確定出各目標(biāo)與量測(cè)之間的關(guān)聯(lián)概率，濾除與各目標(biāo)之間關(guān)聯(lián)概率極小的雜波信息，并根據(jù)已關(guān)聯(lián)量測(cè)更新目標(biāo)狀態(tài)，進(jìn)入下一個(gè)掃描時(shí)刻。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

本文實(shí)驗(yàn)場(chǎng)地為一個(gè)長(zhǎng)5 m、寬6 m的室內(nèi)環(huán)境，如圖3所示，測(cè)試數(shù)據(jù)來(lái)自于毫米波雷達(dá)，雷達(dá)型號(hào)為CSR-EC-10近場(chǎng)高精度行為檢測(cè)雷達(dá)，F(xiàn)MCW體制，中心頻率77 GHz，距離分辨率10 cm，掃描周期200 ms，掃描范圍水平視場(chǎng)角150°。

圖3 真實(shí)實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景

3.1 實(shí)驗(yàn)1

在檢測(cè)場(chǎng)景中包含兩個(gè)目標(biāo)，兩個(gè)目標(biāo)在監(jiān)測(cè)范圍內(nèi)自由行走，并逐漸接近。圖4中顯示了這兩個(gè)目標(biāo)的真實(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡、JPDA、文獻(xiàn)[4]以及本文所提算法的關(guān)聯(lián)軌跡。從圖中能夠直觀地發(fā)現(xiàn)，這三種算法中，經(jīng)典JPDA的關(guān)聯(lián)效果最差。圖5中展示了這三種算法的關(guān)聯(lián)位置誤差(Position Error， PE)，其中本文所提算法具備更小的PE值，文獻(xiàn)[4]次之，JPDA的PE值最大。

圖4 兩個(gè)目標(biāo)的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)結(jié)果

圖5 三種算法下兩個(gè)目標(biāo)的位置誤差比較

另外，在圖6中三種算法的累積分布函數(shù)(Cumulative Distribution Function，CDF)結(jié)果表明，對(duì)目標(biāo)A和B來(lái)說(shuō)，本文所提算法將近60%的PE值在20～25.81 cm之間，同時(shí)60%的PE優(yōu)于另外兩種算法，這表明了本文所提算法在同樣跟蹤場(chǎng)景中具備更高的跟蹤精度。

圖6 三種算法關(guān)于兩個(gè)目標(biāo)的CDF結(jié)果

3.2 實(shí)驗(yàn)2

檢測(cè)場(chǎng)景中包含3個(gè)目標(biāo)，這3個(gè)目標(biāo)在檢測(cè)范圍內(nèi)自由行走，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，至少兩個(gè)目標(biāo)逐漸接近并從相遇到分離。相比實(shí)驗(yàn)1而言，目標(biāo)數(shù)量增加，對(duì)應(yīng)的跟蹤復(fù)雜度有所增加，實(shí)際關(guān)聯(lián)跟蹤結(jié)果如圖7所示。通過(guò)實(shí)驗(yàn)?zāi)軌虬l(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個(gè)目標(biāo)距離逐漸鄰近并相遇時(shí)，JPDA算法對(duì)應(yīng)產(chǎn)生的可能關(guān)聯(lián)事件個(gè)數(shù)逐漸增加，伴隨出現(xiàn)連續(xù)多幀的關(guān)聯(lián)錯(cuò)誤，而文獻(xiàn)[4]和本文所提算法未出現(xiàn)類似情況。同樣地，這三種算法的PE值均顯示于圖8中。圖8中的結(jié)果同樣也表明，JPDA關(guān)聯(lián)結(jié)果比起另外兩種算法存在短暫的波動(dòng)。通過(guò)對(duì)比，本文所提算法具備較小的PE值，表明其具備更高的定位精度。

圖7 三種算法下三個(gè)目標(biāo)的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)結(jié)果

圖8 三種算法下三個(gè)目標(biāo)的位置誤差比較

圖9中展示了實(shí)驗(yàn)2中三種算法的CDF結(jié)果。從單個(gè)目標(biāo)來(lái)看，本文算法產(chǎn)生的位置關(guān)聯(lián)誤差中接近58%的PE小于另外兩種算法。從整體角度看，本文算法依然比其他兩種算法具備更低的PE值，進(jìn)一步證明本文算法在跟蹤精度上的優(yōu)越性。作為JPDA算法的一種改進(jìn)，本文算法在原有算法的基礎(chǔ)上提升了跟蹤精度，同時(shí)避免了拆分確認(rèn)矩陣。

圖9 三種算法下三個(gè)目標(biāo)的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)結(jié)果

3.3 跟蹤性能

表1綜合分析了三種算法在上述兩個(gè)跟蹤場(chǎng)景中的跟蹤性能，同時(shí)在計(jì)算平均PE的基礎(chǔ)上計(jì)算了兩個(gè)實(shí)驗(yàn)中三種算法的平均耗時(shí)。結(jié)果表明，本文算法較JPDA的PE分別平均提升了11.05%和14.51%，而較文獻(xiàn)[4]的算法，跟蹤性能分別提升了8.84%和5.23%。由此說(shuō)明，本文算法所迭代計(jì)算的目標(biāo)-量測(cè)邊緣關(guān)聯(lián)概率具備更高的關(guān)聯(lián)置信。相比JPDA算法，本文算法避免了拆分確認(rèn)矩陣來(lái)產(chǎn)生可能關(guān)聯(lián)事件這一步驟，通過(guò)將目標(biāo)和量測(cè)兩個(gè)關(guān)聯(lián)指標(biāo)引入概率圖模型中，迭代計(jì)算出最高置信的關(guān)聯(lián)概率。這種方法保證了在多目標(biāo)鄰近時(shí)，算法能夠避免多幀關(guān)聯(lián)錯(cuò)誤的現(xiàn)象。

表1 關(guān)聯(lián)算法性能比較

另外在表1中，本文算法的平均耗時(shí)較JPDA算法有所提升，且與文獻(xiàn)[4]算法耗時(shí)接近。結(jié)果同樣表明，本文算法能夠在一定時(shí)間內(nèi)迭代收斂到一個(gè)最優(yōu)邊緣關(guān)聯(lián)概率，有效避免了因關(guān)聯(lián)事件個(gè)數(shù)激增而引起的指數(shù)爆炸現(xiàn)象。此外，本文算法在列舉目標(biāo)-量測(cè)關(guān)聯(lián)假設(shè)時(shí)存在冗余性，正是這種關(guān)聯(lián)冗余性在保證關(guān)聯(lián)假設(shè)無(wú)漏缺的同時(shí)又能避免拆分確認(rèn)矩陣。

4 結(jié)束語(yǔ)

由于經(jīng)典JPDA算法在密集多目標(biāo)跟蹤中會(huì)出現(xiàn)確認(rèn)事件呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)的現(xiàn)象，本文提出了一種基于變分推斷的JPDA算法，通過(guò)將目標(biāo)關(guān)聯(lián)指示和量測(cè)關(guān)聯(lián)指示引入概率圖模型中，避免了拆分確認(rèn)矩陣。通過(guò)將該算法應(yīng)用在兩個(gè)雷達(dá)室內(nèi)目標(biāo)跟蹤場(chǎng)景中，并與JPDA和文獻(xiàn)[4]中的算法進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明本文算法的跟蹤目標(biāo)位置誤差最小，具備更高的關(guān)聯(lián)精度。在后續(xù)的研究中，將繼續(xù)改進(jìn)本算法以適應(yīng)更加復(fù)雜的雷達(dá)多目標(biāo)跟蹤場(chǎng)景。