劉天奇，崔芳鳴，馮一辰

(北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875)

利用電流表測(cè)量微小質(zhì)量的實(shí)驗(yàn)已經(jīng)有報(bào)道[1]，但該實(shí)驗(yàn)需要對(duì)裝置進(jìn)行定標(biāo)，其測(cè)量分辨率由于受制于定標(biāo)物的精度，而無(wú)法達(dá)到較高的水平，且不能充分發(fā)揮電學(xué)量測(cè)量精度高的優(yōu)勢(shì). 上世紀(jì)七十年代英國(guó)物理學(xué)家基布爾為了定義國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)電流單位——安培，發(fā)明了基布爾秤[2]. 隨著量子霍爾效應(yīng)以及約瑟夫森結(jié)現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)，基布爾秤將經(jīng)典力學(xué)的現(xiàn)象與量子力學(xué)聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，基布爾秤成為可以高精度測(cè)量普朗克常量的裝置，后來(lái)由此提出了用基本常量定義國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量單位——千克. 因此基布爾秤在計(jì)量學(xué)上具有十分重要的地位.由于基布爾秤的基本原理公式左右兩端均為功率的量綱，因此基布爾秤又被稱(chēng)為瓦特秤. 它的2種工作模式中，涉及2個(gè)物理過(guò)程：通有電流的線圈在磁場(chǎng)中受力；該線圈在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì). 從基本原理出發(fā)，有很多方法可以制造簡(jiǎn)易的瓦特秤.

制造瓦特秤需要產(chǎn)生合適的磁場(chǎng)，并找到符合需求的線圈. 對(duì)此可以從基本零件開(kāi)始構(gòu)建瓦特秤[3]，也可以考慮改裝存在類(lèi)似結(jié)構(gòu)的電子元器件[4]，如揚(yáng)聲器. 實(shí)驗(yàn)室中常見(jiàn)的指針式電流表具有上述的結(jié)構(gòu)：有良好的磁場(chǎng)，且有通過(guò)電流后會(huì)在磁場(chǎng)中受到安培力的線圈；如果人為地?fù)軇?dòng)指針，電流表內(nèi)的線圈便會(huì)切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì). 基于此，本文利用大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中常用的萬(wàn)用表、穩(wěn)壓電源等，通過(guò)改裝指針式電流表制成了簡(jiǎn)易的實(shí)驗(yàn)裝置，驗(yàn)證了瓦特秤的工作原理，同時(shí)由于電學(xué)量的測(cè)量分辨本領(lǐng)大于力的測(cè)量，因此基于瓦特秤原理設(shè)計(jì)的裝置在測(cè)量微小力方面具有優(yōu)勢(shì).

1 實(shí)驗(yàn)原理

實(shí)驗(yàn)分為2個(gè)過(guò)程：首先，金屬導(dǎo)體在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)ε[圖1(a)]，其次金屬導(dǎo)體在同一磁場(chǎng)中靜止并通過(guò)恒定電流I[圖1(b)].

取該金屬導(dǎo)體的一段微元，長(zhǎng)度為dl，發(fā)生2次過(guò)程所處位置相同，且磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，第1個(gè)過(guò)程中導(dǎo)體微元運(yùn)動(dòng)速度的垂直導(dǎo)體分量為v(平行于導(dǎo)體的速度分量在此過(guò)程不起作用)，第2個(gè)過(guò)程中導(dǎo)體中自由電子平均遷移速度為u，受到的安培力為dF.同時(shí)設(shè)該段導(dǎo)體單位長(zhǎng)度內(nèi)自由電子電荷量為ρ.則帶電粒子在電磁場(chǎng)中的受力(洛倫茲力公式)[5]為

dF·v=ρdlu×B·v=

ρdlu·(B×v)=j·(B×v)dl，

(1)

同時(shí)，根據(jù)電動(dòng)勢(shì)的定義：非靜電力對(duì)單位電荷所做的功，在這里非靜電力即為洛倫茲力沿導(dǎo)體方向的分力，所以

ρdlv×B·dl=-ρdl·dU,

(2)

(a)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的金屬導(dǎo)體

(b)靜止在磁場(chǎng)中的通電導(dǎo)體圖1 實(shí)驗(yàn)過(guò)程

將式(2)代入式(1)，計(jì)算得到

dF·v=jdU.

(3)

式(3)的成立需要滿(mǎn)足以下條件：導(dǎo)體在靜止受安培力及運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)這2種狀態(tài)時(shí)，其他條件(如磁場(chǎng)分布等)保持不變；導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)和受力均在磁場(chǎng)中的同一位置且導(dǎo)體本身不影響磁場(chǎng)(默認(rèn)此處的導(dǎo)體為非鐵磁材料).只有滿(mǎn)足了上述條件，才能保證磁場(chǎng)強(qiáng)度相等.從對(duì)一段導(dǎo)體元的微分式引申到整個(gè)導(dǎo)體，如果這2個(gè)過(guò)程發(fā)生在同1個(gè)導(dǎo)體上，且導(dǎo)體在磁場(chǎng)中的相對(duì)姿態(tài)保持不變，那么磁場(chǎng)在導(dǎo)體處的分布則可認(rèn)為保持不變，積分可得滿(mǎn)足整個(gè)導(dǎo)體的表達(dá)式：

Fv=UI.

(4)

等式左邊的受力與等式右邊的電流I在相同狀態(tài)下得到，左邊的速度v與右邊的導(dǎo)體兩端測(cè)得的電壓U是在另一狀態(tài)下得到的，此處的UI一般理解為虛功率，并不具有實(shí)際物理意義.(4)式兩邊均為功率量綱，本文的裝置也是基于此原理設(shè)計(jì)并完成對(duì)力的測(cè)量，只要測(cè)得某受外力的非鐵磁性通電導(dǎo)體在靜磁場(chǎng)中相對(duì)磁場(chǎng)保持靜止時(shí)通過(guò)的電流、在磁場(chǎng)中的靜止位置附近運(yùn)動(dòng)時(shí)的導(dǎo)體速度和兩端電壓，就可求出導(dǎo)體受力.通過(guò)瓦特秤這一原理便可以將微小力的測(cè)量轉(zhuǎn)化為電學(xué)量和位移的測(cè)量，從而制成微力傳感器.

F，v，U，I這4個(gè)物理量通過(guò)這2個(gè)過(guò)程聯(lián)系起來(lái)得到式(4)，因此當(dāng)測(cè)得v，U，I后就可以計(jì)算出力F.與傳統(tǒng)的測(cè)力方法相比，免去了繁瑣而且容易引入誤差的定標(biāo)步驟，避免了由于定標(biāo)物本身精度不高導(dǎo)致的問(wèn)題[2].

2 實(shí)驗(yàn)裝置

實(shí)驗(yàn)裝置采用指針式毫安表，從內(nèi)部結(jié)構(gòu)可知，當(dāng)電表不通過(guò)電流時(shí)，指針轉(zhuǎn)動(dòng)也會(huì)切割磁鐵的磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電壓.同時(shí)，由于除磁鐵外沒(méi)有鐵磁性物質(zhì)，指針轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程不影響表內(nèi)部的磁場(chǎng).因此可以通過(guò)測(cè)量指針某點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)速度以及相應(yīng)的電壓定出比例系數(shù)，在同一點(diǎn)處受力時(shí)，通過(guò)調(diào)整輸入的電流使得指針回到初始位置，根據(jù)電流大小測(cè)量出受力大小.對(duì)于這個(gè)裝置來(lái)說(shuō)，電流表指針連接的線圈在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，因此式(4)可改為

Fv=FLω=Gω=UI,

(5)

其中,L為電流表指針的受力點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)軸的垂直距離，G為指針式電表指針受到的力矩.

在進(jìn)行稱(chēng)量實(shí)驗(yàn)時(shí)，實(shí)驗(yàn)裝置的構(gòu)型圖和實(shí)物圖如圖2所示.

光路調(diào)整后，激光器發(fā)出的光經(jīng)過(guò)凸透鏡剛好聚焦到指針式電表的指針上，使得指針擋住大部分激光;然后在光路后放置帶有標(biāo)示線的光屏，通過(guò)調(diào)整凸透鏡以及激光器的高低，使得指針在平衡位置時(shí)，激光經(jīng)過(guò)指針后發(fā)生的直邊衍射條紋中的某特定級(jí)次剛好與光屏上的標(biāo)示線重合. 由于采用衍射的方法進(jìn)行了光學(xué)放大，對(duì)指針是否位于平衡位置的判斷十分靈敏，整個(gè)裝置都必須放置在封閉的空間內(nèi)以避免空氣流動(dòng)對(duì)判斷指針是否回零產(chǎn)生干擾. 基于這套裝置，就可以通過(guò)測(cè)量指針在平衡位置附近運(yùn)動(dòng)時(shí)，某點(diǎn)末端的速度以及相應(yīng)的感應(yīng)電壓，將這個(gè)過(guò)程稱(chēng)為動(dòng)態(tài)法；再在指針末端測(cè)速點(diǎn)受力時(shí)，通過(guò)調(diào)整輸入電流使得指針在光屏上顯示回零，將此個(gè)過(guò)程稱(chēng)為靜態(tài)法，并讀出當(dāng)前電流. 根據(jù)以上3個(gè)物理量就可以反推出當(dāng)前指針的受力.

(a)構(gòu)型圖

(b)實(shí)物圖圖2 稱(chēng)量裝置圖

動(dòng)態(tài)法實(shí)驗(yàn)裝置的構(gòu)型圖和實(shí)物圖如圖3所示.

本文設(shè)計(jì)的裝置與基布爾秤的不同之處在于：傳統(tǒng)的基布爾秤裝置是通過(guò)線圈在磁場(chǎng)中平移切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，進(jìn)而得到電壓與速度之間的關(guān)系，這樣設(shè)計(jì)的裝置比較復(fù)雜，線圈的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)也不容易精確控制. 而指針式電表內(nèi)部所設(shè)計(jì)的磁場(chǎng)與線圈的位置剛好使得磁場(chǎng)與線圈轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的速度垂直，因此線圈的速度完全用來(lái)切割磁感線，不必再進(jìn)一步求解速度垂直磁場(chǎng)的分量.

(a)構(gòu)型圖

(b)實(shí)物圖圖3 動(dòng)態(tài)法實(shí)驗(yàn)裝置

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在動(dòng)態(tài)法測(cè)量中，位移傳感器連接示波器，實(shí)時(shí)輸出指針末端標(biāo)記點(diǎn)的相對(duì)位移數(shù)據(jù)，并利用差分法平滑化后求得指針的速度，同時(shí)示波器的另一通道測(cè)量指針式電表兩端的感應(yīng)電壓，將多組相同時(shí)刻的2路信號(hào)數(shù)據(jù)點(diǎn)放在同一張圖中，進(jìn)行線性擬合，結(jié)果如圖4所示.

圖4 動(dòng)態(tài)法感應(yīng)電壓與指針?biāo)俣鹊年P(guān)系

由式(4)可知，電壓與運(yùn)動(dòng)速度呈正比關(guān)系，而此處的斜率為負(fù)的原因是測(cè)量感應(yīng)電壓的正負(fù)極與速度規(guī)定的正方向相反. 但不難看出，整體符合線性趨勢(shì)，而且截距較小可忽略不計(jì).

有了動(dòng)態(tài)法的斜率數(shù)據(jù)，可利用靜態(tài)法測(cè)指針末端標(biāo)記點(diǎn)的受力. 本文測(cè)量了多種微小力.

首先是液體的蒸發(fā)曲線，將蘸有少許水的細(xì)線掛在指針的末端標(biāo)記點(diǎn)處，通過(guò)測(cè)量并記錄不同時(shí)間的指針受力以繪制出水的蒸發(fā)曲線，如圖5所示.

圖5 指針上掛蘸水細(xì)線時(shí)指針受力隨時(shí)間變化

通常液體的蒸發(fā)曲線應(yīng)呈指數(shù)衰減形式，由于整個(gè)系統(tǒng)的邊界條件復(fù)雜，而且還存在空氣濕度等因素的影響，圖5中曲線基本符合指數(shù)規(guī)律.

將指針?lè)胖迷诙喾N力場(chǎng)中進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，首先在2個(gè)相對(duì)放置的超聲波換能器之間形成超聲駐波;然后將指針末端標(biāo)記點(diǎn)置于超聲波換能器的中線處，將換能器加載正弦波信號(hào)；最后同時(shí)移動(dòng)上下2個(gè)超聲波換能器從而改變與指針的相對(duì)位置，測(cè)量出空氣中駐波的聲壓分布. 由于指針不存在反饋調(diào)節(jié)，因此只在波節(jié)附近的半個(gè)周期可以穩(wěn)定存在數(shù)據(jù)，連續(xù)測(cè)量了6個(gè)不同位置波節(jié)附近的數(shù)據(jù)，其中1個(gè)波節(jié)處的數(shù)據(jù)如圖6所示.

圖6 空氣中駐波的聲壓分布

測(cè)得的聲壓力分布符合預(yù)期的三角函數(shù)形式，根據(jù)三角函數(shù)的空間頻率多次測(cè)量取平均值反推出聲波的駐波波長(zhǎng)為4.66 mm. 而根據(jù)信號(hào)發(fā)生器顯示的數(shù)據(jù)以及空氣中的聲速數(shù)據(jù)計(jì)算得到駐波的波長(zhǎng)為4.32 mm，相對(duì)偏差為2.6%，由此驗(yàn)印證這種方法的可行性.

最后，將金屬指針與一極板之間加載kV級(jí)別的電壓，由于電荷在電場(chǎng)的作用下重新分布，指針與極板之間會(huì)產(chǎn)生吸引力，這個(gè)力十分微弱，充分考驗(yàn)了該方法測(cè)量微小力的能力. 由簡(jiǎn)單的量綱分析可知，吸引力的大小與金屬指針和極板間電壓的平方成正比，同時(shí)指針與極板間距越小，吸引力越大. 控制極板間距在不同恒定數(shù)值的情況下，受力與電壓的關(guān)系如圖7所示.

圖7 不同控制距離下指針受力和極板間的電壓關(guān)系

圖7中實(shí)線為進(jìn)行平方擬合的擬合線，圓圈為測(cè)量的數(shù)據(jù)點(diǎn)，不同顏色線代表在不同極板間距下的結(jié)果. 以某一位置為初始位置，分別向上移動(dòng)0～6 mm，得到了圖7中的7條線.不難看出，整體的擬合效果符合理論預(yù)期. 考慮到受力與電壓的平方成正比，從數(shù)據(jù)擬合的準(zhǔn)確度方面考量，直接將受力F與電壓的平方U2進(jìn)行線性擬合，結(jié)果如圖8所示.

圖8 指針受力與電壓平方的關(guān)系

由圖8可知，線性擬合的結(jié)果十分理想，這驗(yàn)證了量綱分析的正確性. 同時(shí)在電壓較低時(shí)測(cè)量的受力只有0.1 μN(yùn)，利用電場(chǎng)力的微弱作用，基本達(dá)到了在當(dāng)前實(shí)驗(yàn)條件下系統(tǒng)的最高分辨本領(lǐng).

4 結(jié)束語(yǔ)

本文利用大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中常用的穩(wěn)壓電源、示波器、萬(wàn)用表、激光器等設(shè)備制成了分辨率為0.1 μN(yùn)的高分辨微力傳感器，不需要進(jìn)行定標(biāo)操作，避免了傳統(tǒng)測(cè)力手段在定標(biāo)中引入的誤差. 同時(shí)，裝置處于封閉空間，隔絕了外界的空氣擾動(dòng)等不利因素，并利用這套設(shè)備測(cè)量了水的蒸發(fā)曲線、聲音駐波的聲壓分布以及電場(chǎng)力等微小力，測(cè)量結(jié)果與預(yù)期符合較好. 這些微小力的測(cè)量印證了該系統(tǒng)的可靠性，且可直接測(cè)量得到許多之前無(wú)法直接測(cè)量的微小力學(xué)量.

在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)動(dòng)態(tài)法的測(cè)量數(shù)據(jù)波動(dòng)較大，這主要是示波器的采樣深度不夠?qū)е碌?，可以替換為采樣深度更高的設(shè)備進(jìn)行動(dòng)態(tài)法數(shù)據(jù)的測(cè)量. 此外，在聲壓分布的測(cè)量中該系統(tǒng)無(wú)法測(cè)量波腹附近聲壓力，主要是由于該系統(tǒng)沒(méi)有反饋調(diào)節(jié)機(jī)制，在波腹附近受到聲壓力的正反饋偏移作用會(huì)使得指針無(wú)法穩(wěn)定，未來(lái)可以通過(guò)為設(shè)備加裝反饋調(diào)節(jié)手段來(lái)提升系統(tǒng)的可用性以及易用性.

致謝：感謝白在橋老師對(duì)本實(shí)驗(yàn)提供的支持！