蘭 欽，段東旭，廖玉海，程 忠

(中國電建集團中南勘測設(shè)計研究院有限公司，湖南 長沙 410014)

弧形閘門重力矩是影響啟閉力的重要因素[1]。與平面閘門不同，弧形閘門結(jié)構(gòu)復雜，其重心不易準確獲取。SL 74—2013《水利水電工程鋼閘門設(shè)計規(guī)范》[2]和NB 35055—2015《水電工程鋼閘門設(shè)計規(guī)范》[3]均只簡單地給出了弧門啟閉力計算的表達式，其中重力矩采用自重與力臂之積表示，但并沒有給出弧門自重及不同開度下的力臂計算式[3-4]。長期以來，弧門各構(gòu)件自重均簡化成規(guī)則的矩形板計算，重力力臂通常采用經(jīng)驗公式，即近似認為重心位于弧門全關(guān)時總水壓力作用線上距支鉸中心0.80或0.85倍半徑處，弧門任意開度下的重力力臂則通過角度換算得到[5-6]。該經(jīng)驗公式綜合考慮了弧門實際外荷載和主框架合理剛度比，依據(jù)等安全度水平設(shè)計理念，并結(jié)合大量工程經(jīng)驗得到，概念清楚、計算簡便，在工程界得到了普遍的應用。但是該公式未考慮弧門設(shè)計時實際重量分布，特別是對于有局部加重或者異型結(jié)構(gòu)弧門，必然存在一定的誤差。

隨著計算機三維輔助設(shè)計平臺的開發(fā)和普遍應用，設(shè)計人員只需要建立弧門的三維模型，便可以獲取弧門自重及重心的精確值。許多學者已直接采用數(shù)值模擬的方法直接計算出較高精度的內(nèi)力和啟閉力[7-9]。但是目前這種方法模型建立過程較復雜[10]。設(shè)計人員往往需要將采用平面體系法設(shè)計的弧形閘門在三維輔助設(shè)計平臺上建立模型，得到重心后再進行啟閉力計算和布置優(yōu)化，計算和優(yōu)化效率不高，不易得到弧門結(jié)構(gòu)和啟閉機布置的全局最優(yōu)結(jié)果。此外，三維輔助設(shè)計平臺需要耗費較大計算機容量，計算時間也較長。如何通過較簡單的方法獲取弧門重心，并將弧門結(jié)構(gòu)計算與啟閉機布置優(yōu)化結(jié)合，以便得到全局最優(yōu)結(jié)果，具有重要的研究價值。

本文試圖從理論上推導弧門重力、重心和重力矩的解析公式，分析弧門重心的2個參數(shù)(半徑rG、傾角θG)對弧門啟閉力的影響，在此基礎(chǔ)上提出計算弧門重心的簡易法，結(jié)合工程實例編制相應的計算程序，將計算結(jié)果與經(jīng)驗公式、三維模型的結(jié)果進行比較，驗證計算方法的合理性和優(yōu)越性，為類似弧門設(shè)計提供參考。

1 弧門重量及重力矩

弧門任意開度下主要構(gòu)件自重及重力矩可采用積分[11]計算，下面具體說明。圖1中，在柱坐標下與豎直方向成θ角度處取弧門某構(gòu)件體積微元dV,其外半徑為Ri，徑向高度為δi，環(huán)向包角為dθ，垂直于紙面方向即Z向?qū)挾葹锽i，鋼材的密度為ρ，重力加速度為g。

圖1 弧門重心及重力矩計算

由于δi

(1)

(2)

mi=ρδiBiAi

(3)

Mi=ρgδiBiAirGi

(4)

則弧門重量及該開度下的重力矩為：

m=∑mi=ρ∑δiBiAi

(5)

M=∑Mi=ρg∑δiBiAirGi

(6)

式(5)、(6)為弧門自重、重力矩的計算通式。設(shè)計人員可以根據(jù)弧門開閉的角度變化利用式(6)計算出弧門不同開度下的重力矩。但是每一種開度下的重力矩均需采用這個復雜的公式分別計算，計算過程復雜、計算量較大。而且得不到弧門的重心，使弧門及其啟閉機系統(tǒng)優(yōu)化過程仍存在盲目性，優(yōu)化效率低下。如果能夠通過某種較簡單的方法得到弧門的重心，則可結(jié)合式(5)直接計算出不同開度時的重力矩。此時，弧門任意開度Δθ時重力矩可表示為：

MΔθ=mgrGsin(θG+Δθ)

(7)

式中rG——弧門重心到支鉸中心的距離；θG——弧門全關(guān)狀態(tài)下重心-支鉸中心連線與豎直方向的夾角。

式(6)、(7)實際上是2種不同的計算重力矩的方法，其計算流程列于表1。

表1 弧門重力矩計算流程

2 弧門重心計算方法

2.1 組合法

圖1中，當閘門處于全關(guān)狀態(tài)時，首先計算出各構(gòu)件對其主慣性軸的重心值x0Ci，然后通過坐標變換計算出在直角坐標系xoy下的重心(xCi,yCi)，最后計算出弧門重心(xC,yC)，則極坐標表示的重心坐標為[12]：

(8)

(9)

(10)

2.2 旋轉(zhuǎn)法

弧門任意2種不同開度j、k時弧門的重力力臂rj、rk為：

(11)

(12)

開度j、k時重心-支鉸中心連線與豎直方向的夾角分別為θGj、θGk，則開度j、k時弧門的重力力臂rj、rk亦可表示為：

rj=rGsinθGj

(13)

rk=rGsin(θGj+Δθ)

(14)

聯(lián)立式(7)—(10)得：

sin(θGj+Δθ)/sinθGj=f

(15)

式中，f為常系數(shù)，f=Mk/Mj。顯然，式(15)中除θGj為未知量外，其他均為已知量。若能證明函數(shù)f(x)=sin(x+Δθ)/sinx在本文所述問題邊界條件下是單調(diào)的，就能通過式(15)求出唯一的θGj，進一步代入式(13)，就可以求出rG。至此，弧門的重心就確定了。

2.3 簡易法

從以上的分析可知，弧門重心由半徑rG和傾角θG2個參數(shù)確定，本節(jié)將分析2個參數(shù)對弧門啟閉力的敏感性，進而提出只考慮較敏感因素的弧門重心簡易計算公式。定義參數(shù)a的相對誤差為：

(16)

式中，a0為參數(shù)a的真實值，a1為參數(shù)a的計算值。則在半徑rG和傾角θG同等相對誤差δ條件下，弧門任意啟閉狀態(tài)下半徑rG計算誤差所引起的啟閉力相對誤差δFr與傾角θG計算誤差所引起的啟閉力相對誤差δFθ的比值K可表示為：

(17)

由式(17)可知，啟閉力相對誤差比值K的大小與相對誤差δ、傾角θG、開度Δθ有關(guān)，與半徑rG無關(guān)。對于露頂式弧門，圖2為弧門零開度(Δθ=0)時啟閉力相對誤差比值K與傾角θG關(guān)系曲線，從圖中可以看出，對于不同的相對誤差δ，K值總體上大于1；當θG在87°左右，K總體上達最大，最大值高達500左右；只有當θG>110°時，K才略小于1；對于傾角θG和開度Δθ取可能值，K值總體上大于1。

事實上，對于按等安全度水平設(shè)計且無局部加重塊的弧門，夾角θG的真實值與θw(θw為弧門總水壓力作用線與豎直方向的夾角)相差不大，可進一步地取θG∈[θ1+θB/4,θ1+θB/2]，代入易得出θG∈[57°,97°]。此時，K總大于1.5，即半徑rG總體上比傾角θG更敏感。另外，實際設(shè)計時半徑rG的相

圖2 啟閉力相對誤差比值K與傾角θG關(guān)系曲線

對誤差往往遠大于傾角θG的相對誤差或者兩者的相對誤差均很小。在不同的相對誤差δ1、δ2(δ1<<δ2)時，啟閉力相對誤差的比值K將遠大于1。綜合以上因素，露頂式弧門啟閉力相對誤差比值K將遠大于1，即半徑rG對弧門啟閉力的影響比傾角θG大得多；對潛孔式弧門和水閘露頂式弧門，也可得出類似的結(jié)論。從以上分析來看，對于按等安全度水平設(shè)計且無局部加重塊的弧門可取θG≈θw，代入式(13)便可以計算出半徑rG，該計算方法為簡易法。

2.4 幾種計算方法的比較

除三維模型外，共有4種求解弧門重心的方法，其中組合法和旋轉(zhuǎn)法均是通過理論推導而來，只是計算思路不同，合稱為解析法。各計算方法流程及其比較列于表2。

3 算例驗證

3.1 典型弧門模型及參數(shù)

算例①：潘口溢洪道露頂式弧門孔口寬度20.0 m，孔口高度為18.327 m，下游無水，面板曲率半徑為23.0 m，轉(zhuǎn)動鉸高度為10.327 m，門葉高度為18.8 m，閘門重力為3 000 kN。轉(zhuǎn)動鉸摩阻力力臂為0.425 m，水封摩阻力力臂為23.0 m，水封上托力的力臂為20.55 m。已知閘門能依靠自重下門，采用經(jīng)驗公式計算時擋水狀態(tài)時啟門力最大，此時啟閉力力臂10.946 m。

表2 弧門重心及重力矩各種計算方法流程及比較

算例②：潘口泄洪洞潛孔式弧門孔口寬度8.0 m，孔口高度為10.0 m，面板曲率半徑為16.0 m，轉(zhuǎn)動鉸高度為13.10 m，門葉高度為10.15 m，閘門重力為2 334.5 kN。轉(zhuǎn)動鉸摩阻力力臂為0.35 m，水封摩阻力力臂為16.0 m，頂、底水封上托力的力臂分別為16.0、9.2 m。已知閘門能依靠自重下門，采用經(jīng)驗公式計算時全開狀態(tài)時啟門力最大，此時啟閉力力臂11.05 m。

相關(guān)參數(shù)：鋼材密度為7 850 kg/m3，泊松比為0.31；鉸軸滑動摩擦系數(shù)為0.1，側(cè)水封壓縮量為4 mm，水封線壓力為p=58 N/cm，摩擦系數(shù)為0.5；底水封長度為110 mm，厚度為15 mm，閘門擋水狀態(tài)時的壓縮量為5 mm，彈性模量為6 MPa。

3.2 重心解析計算法合理性驗證

分別采用經(jīng)驗公式、三維模型、組合法、旋轉(zhuǎn)法對實例中弧門重心做了計算。其中，三維有限元模型中利用APDL程序[16-20]獲取重心，組合法、旋轉(zhuǎn)法采用MATLAB編程[21-23]實現(xiàn)?？紤]到結(jié)構(gòu)的特殊性，弧門有限元模型鋼結(jié)構(gòu)構(gòu)件均采用殼單元，止水部分采用摩擦單元[19-20]。其中，案例①模型共有節(jié)點71 609個，單元35 125個(圖3)；案例②模型節(jié)點53 609個，單元30 095個(圖4)。4種方法的計算結(jié)果及比較見表4、5，計算中將三維模型的計算結(jié)果作為真實值。

圖3 算例①有限元模型

圖4 算例②有限元模型

表3 弧門各構(gòu)件單元類型

表4 算例①4種方法計算結(jié)果及比較

表5 算例②4種方法計算結(jié)果及比較

從表4、5可以看出：采用經(jīng)驗公式計算時，傾角θG的最大相對誤差為3.78%，半徑rG的最大相對誤差為25.18%，傾角θG的誤差均遠小于半徑rG的誤差，兩者最小相差約1倍；采用組合法、旋轉(zhuǎn)法計算的結(jié)果相當，最大相對誤差為7.58%，總體上比經(jīng)驗公式的小很多。與占據(jù)大容量內(nèi)存和模型建立復雜的三維平臺相比，組合法、旋轉(zhuǎn)法只需編制1個小程序就可以實現(xiàn)，更方便設(shè)計者掌握和使用。此外，依據(jù)組合法、旋轉(zhuǎn)法編制的計算程序，能夠與閘門結(jié)構(gòu)和啟閉機系統(tǒng)布置優(yōu)化程序結(jié)合，從而實現(xiàn)對弧門的全局優(yōu)化[10]設(shè)計。相比較而言，旋轉(zhuǎn)法不需要分別計算各構(gòu)件的重心，亦無須坐標轉(zhuǎn)換，比組合法更簡便。

綜上，經(jīng)驗公式可以用于弧門啟閉力估算和啟閉力隨開度的變化規(guī)律分析；解析法兼具精度高和通用性強突出優(yōu)點，與組合法相比較，旋轉(zhuǎn)法計算過程較簡單，是弧門重心較優(yōu)的計算方法。

3.3 2個參數(shù)對啟閉力影響分析

采用3種方法計算的3.1節(jié)2個算例弧門最大啟門力及由θG、rG相對誤差所引起的啟門力相對誤差見表6、7。從表中可以看出，采用經(jīng)驗公式計算時，啟閉力最大相對誤差為23.52%；采用旋轉(zhuǎn)法計算時，啟閉力最大相對誤差為6.05%，比經(jīng)驗公式的結(jié)果精度高很多，這與第3.2節(jié)重心計算時的結(jié)論是一致的；采用這2種方法計算時，由傾角θG所引起的啟閉力最大相對誤差為0.81%，由半徑rG所引起的啟閉力最大相對誤差為23.66%，2種方法啟閉力相對誤差結(jié)果呈現(xiàn)相同的規(guī)律，即由半徑rG引起的啟門力相對誤差遠大于由傾角θG引起的啟門力相對誤差，最小相差約1個數(shù)量級。這表明，對于弧門啟門力而言，半徑rG為敏感因素，傾角θG為非敏感因素；采用經(jīng)驗公式對弧門啟閉力估算和啟閉力隨開度的變化規(guī)律分析是可行的。

表6 算例①2個參數(shù)誤差對啟閉力影響

表7 算例②2個參數(shù)誤差對啟閉力影響

3.4 重心簡易計算法適用性分析

從2.3節(jié)的計算分析來看，采用簡易法計算弧門重心從理論上是可行的。表8列出了采用簡易法計算時弧門半徑rG的計算結(jié)果，從表8可以看出，當采用簡易法對兩弧門重心進行計算時，半徑rG最大相對誤差僅為10.15%；與經(jīng)驗公式的計算結(jié)果相比精度提高約1倍；與旋轉(zhuǎn)法的計算結(jié)果相比，半徑rG相對誤差相差不大，但計算量卻減少很多。這表明，當弧門無加重時，采用簡易法計算重心是簡易可行的，這與2.3節(jié)的理論分析是一致的。

表8 簡易法半徑rG計算結(jié)果

4 結(jié)論

通過弧形閘門重量、重心、重力矩計算公式的推導及其適用性分析，得出如下結(jié)論。

a)從理論上推導出了計算弧門重心及重力矩的組合法和旋轉(zhuǎn)法，與經(jīng)驗公式和三維模型的計算結(jié)果相比，結(jié)合算例分析得出組合法和旋轉(zhuǎn)法兼具精度高和通用性強突出優(yōu)點。其中旋轉(zhuǎn)法計算更簡便，是弧門重心較優(yōu)的計算方法。

b)分析了重心的2個參數(shù)(半徑rG、傾角θG)對弧門啟閉力的影響，總體上半徑rG為敏感因素，對弧門啟閉力影響較大；傾角θG為非敏感因素，對弧門啟閉力影響較小。在此基礎(chǔ)上提出了適用于計算無局部加重塊弧門重心的簡易法，從理論和實例2個角度分析了簡易法的優(yōu)越性和適用性。

c)設(shè)計中，可以先采用經(jīng)驗公式進行啟閉力估算和啟閉力隨開度的變化規(guī)律計算分析，然后根據(jù)弧門有無局部加重塊分別選用旋轉(zhuǎn)法或簡易法計算出高精度的弧門最大啟閉力，以達到高精度高效率的雙重目的。