□許霜霜

數(shù)學(xué)史是研究數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展及其規(guī)律的科學(xué)。它向人們呈現(xiàn)的不僅僅是數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展歷程，還有隱藏在數(shù)學(xué)知識背后的文化內(nèi)涵。近年來，關(guān)于數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育（History and pedagogy of Mathematics，簡稱HPM）的理論與實(shí)踐研究在我國開創(chuàng)了繁榮發(fā)展的局面，數(shù)學(xué)史作為數(shù)學(xué)文化的核心部分越來越受到關(guān)注。

本期雜志17篇文章中有14篇聚焦HPM，形成系列專題研究，相信本期雜志定會(huì)成為關(guān)注數(shù)學(xué)文化、關(guān)注數(shù)學(xué)史研究的相關(guān)教師的“案頭書”。下面從理論探討、教學(xué)實(shí)踐、數(shù)學(xué)文化三個(gè)方面對本期相關(guān)內(nèi)容加以綜述，以供廣大讀者借鑒參考。

一、HPM的理論探討

（一）研究價(jià)值

數(shù)學(xué)史是人類發(fā)展的結(jié)晶史，正因?yàn)橛星叭说牟粩嗵剿髋c研究，才有如今簡約的數(shù)學(xué)概念、公式、定理。華東師范大學(xué)的汪曉勤教授將HPM研究價(jià)值歸納為“知識之美”“方法之美”“探究之樂”“能力之助”“文化之魅”“德育之效”六大價(jià)值。這與四基、四能、核心素養(yǎng)、情感態(tài)度與價(jià)值觀等課程改革的理念是相吻合的，也是數(shù)學(xué)學(xué)科育人的重要舉措。

蘇龍霞老師在《價(jià)值、內(nèi)容、方法：讓數(shù)學(xué)史更好地走進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)課堂》一文中提出，教師在教學(xué)時(shí)，要從價(jià)值取向、內(nèi)容取向、方法取向三個(gè)方面對數(shù)學(xué)史料進(jìn)行辯證取舍。數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂的價(jià)值取向是指實(shí)現(xiàn)教與學(xué)的統(tǒng)一，從而達(dá)成真正意義上的深度學(xué)習(xí)。以此提出兩點(diǎn)建議：其一，教師的教要觸及本質(zhì)；其二，學(xué)生的學(xué)要明確方向。

（二）研究進(jìn)展

盡管小學(xué)HPM存在教育取向的數(shù)學(xué)史匱乏、實(shí)踐中出現(xiàn)“高評價(jià)、低應(yīng)用”的現(xiàn)狀、實(shí)證研究不足等問題，但眾多一線教師對HPM的實(shí)踐、新的教育理念的涌現(xiàn)、課程改革的不斷推進(jìn)，極大地推動(dòng)了小學(xué)HPM的發(fā)展。

岳增成老師在《小學(xué)HPM新進(jìn)展》一文中提出，中國的HPM發(fā)展經(jīng)歷了“自下而上”與“自上而下”兩個(gè)階段：發(fā)軔于中學(xué)，HPM研究者與中學(xué)教師合作開發(fā)案例的過程中，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，升華理論；發(fā)展于中小學(xué)，將本土化的HPM理論應(yīng)用于中小學(xué)教學(xué)。課程改革的不斷推進(jìn)帶動(dòng)了小學(xué)HPM的快速發(fā)展，引發(fā)了小學(xué)HPM在理論輻射、價(jià)值認(rèn)知、使用方式、內(nèi)容載體、實(shí)施空間、理論聯(lián)結(jié)、研究范式等方面的新動(dòng)態(tài)。

（三）學(xué)習(xí)形式

華東師范大學(xué)汪曉勤教授提出了數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)史的四種方式，分別是：附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式、重構(gòu)式。顧宇恒、蔡宏圣老師在《基于數(shù)學(xué)史實(shí)施深度學(xué)習(xí)》一文中對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何更好地運(yùn)用數(shù)學(xué)史的四種方式，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)提出了建議：超越歷史史實(shí)，更多地指向意義與動(dòng)機(jī)；超越列舉呈現(xiàn)，更多地進(jìn)行知識間勾連；超越史料本身，更多地呈現(xiàn)思考過程；超越數(shù)學(xué)結(jié)論，更多地進(jìn)行探索再創(chuàng)造。

曹春艷、岳增成等老師在《小學(xué)數(shù)學(xué)教科書數(shù)學(xué)文化呈現(xiàn)比較與教學(xué)初探——以人教版和北師大版中“你知道嗎”欄目為例》一文中對人教版與北師大版中“你知道嗎”欄目進(jìn)行了呈現(xiàn)數(shù)量、呈現(xiàn)風(fēng)格、呈現(xiàn)內(nèi)容以及呈現(xiàn)語言四個(gè)方面的比較分析，提出：教師教學(xué)用書對該欄目沒有特別說明，教師對該內(nèi)容的教學(xué)存在意識淡薄、思考不足的現(xiàn)象，往往采用選擇性使用或?qū)W生自行閱讀的方式，即數(shù)學(xué)史的附加式運(yùn)用，這樣不利于將課程形態(tài)的數(shù)學(xué)文化轉(zhuǎn)化成為教育形態(tài)的數(shù)學(xué)文化。

以上兩文中均建議：從深度學(xué)習(xí)的要義去審視，“你知道嗎”欄目的教學(xué)，要關(guān)注欄目的教育意蘊(yùn)，彰顯其特有的學(xué)習(xí)價(jià)值；要關(guān)注欄目內(nèi)容的設(shè)計(jì)與開發(fā)，適度加工，讓其教學(xué)意義超越數(shù)學(xué)史本身，更多地指向領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識的意義與激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)。

二、HPM的教學(xué)實(shí)踐

HPM的教學(xué)實(shí)踐是指將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的實(shí)踐研究，包括HPM課例的設(shè)計(jì)、實(shí)施、評價(jià)與反饋等方面。本期中的8個(gè)教學(xué)實(shí)例，主要聚焦在設(shè)計(jì)與實(shí)施上。8個(gè)案例試圖通過對相關(guān)內(nèi)容數(shù)學(xué)史料的收集、整理、分析以及有效利用，探索如何從數(shù)學(xué)史料中體悟探究的過程，如何從數(shù)學(xué)史料中把握探究的程度，如何從數(shù)學(xué)史料中明晰探究的方向。結(jié)合具體的“課”進(jìn)行研究，探索有效利用數(shù)學(xué)史料的具體策略。

（一）讀史理序，重構(gòu)學(xué)習(xí)知識的探究之序

宦銘里、李紹平、洪燕君老師在《數(shù)學(xué)史融入“長方形和正方形的認(rèn)識”的課堂教學(xué)》一文中，基于相關(guān)數(shù)學(xué)史料的研究，按照“長方形→正方形→四邊形”的探究順序?qū)虒W(xué)進(jìn)行了重構(gòu)。通過觀看數(shù)學(xué)史微視頻了解長方形和正方形的由來和發(fā)展；通過“找、量、比、折、畫”等探究活動(dòng)，體會(huì)“方出于矩”的數(shù)學(xué)思想，掌握長、正方形的特征。

飛惠玲、袁科虹老師在《理論互動(dòng)，“三序”融合——以“圓的認(rèn)識”案例生成為例》一文中提出，將知識的歷史發(fā)展順序、教材的知識邏輯順序、學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展順序“三序”融合，是數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)所在。

（二）融史選材，設(shè)計(jì)問題探究的學(xué)習(xí)活動(dòng)

李建良、林永偉老師在《利用數(shù)學(xué)史料，解決復(fù)雜問題，發(fā)展綜合能力——小學(xué)五年級開展“勾股定理”教學(xué)的嘗試與思考》一文中，結(jié)合相關(guān)史料，借鑒初中數(shù)學(xué)的一些做法，設(shè)計(jì)了“以等腰直角三角形和各邊上正方形面積關(guān)系初探、借助‘勾三股四弦五’進(jìn)一步探究、通過‘趙爽弦圖’嘗試進(jìn)行實(shí)驗(yàn)證明”三個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)，使學(xué)生經(jīng)歷了從特殊到一般的過程，發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證勾股定理，引發(fā)學(xué)生的深入思考，發(fā)展學(xué)生的綜合能力。

劉樹霞、鄭玲玲老師在《挖知識源流，助文化互融——以基于數(shù)學(xué)史的“三角形的面積”教學(xué)為例》一文中，分析了不同時(shí)空中與三角形面積計(jì)算有關(guān)的歷史素材，以幾何學(xué)的起源為開端，順應(yīng)式地融入了古希臘等底等高的三角形和平行四邊形面積關(guān)系的命題；構(gòu)建了直角三角形的面積到銳角和鈍角三角形的面積的探究活動(dòng)，學(xué)生較為自然地探究出割補(bǔ)、倍拼的方法；在古今對照的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，了解古人的方法，拓展知識面，知曉原來也可由三邊長度得到三角形的面積。

（三）依史設(shè)問，激發(fā)學(xué)生深入探究的動(dòng)機(jī)

張偉明老師在《在“你知道嗎”中親歷知識的演變——例談HPM視角下“年、月、日”的教學(xué)》一文中，將教材中“你知道嗎”這一欄目里相關(guān)的數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)，陳愛君老師在《重構(gòu)學(xué)習(xí)深度理解——HPM視角下“圓的面積”教學(xué)實(shí)踐與思考》一文中，基于學(xué)生在圓面積公式推導(dǎo)中產(chǎn)生的“為什么曲邊可以等同于直線”的困惑，將歷史上圓面積計(jì)算的典型方法融入教學(xué)（劉徽的割圓術(shù)、阿基米德的細(xì)分同心圓、開普勒的分割變形），重構(gòu)以數(shù)學(xué)史料為探究載體的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生在方法的選擇和理解中感悟極限思想在解決問題過程中的獨(dú)到價(jià)值。

細(xì)讀這些教學(xué)案例，我們會(huì)看到HPM融入數(shù)學(xué)課堂的不同的學(xué)習(xí)路徑，表明HPM在教學(xué)實(shí)踐方面具有廣闊的研究空間，為深入研究提供了方向。

三、HPM與數(shù)學(xué)文化

課程標(biāo)準(zhǔn)對于課堂教學(xué)中的數(shù)學(xué)文化有具體、明確的表述：教材可以適時(shí)地介紹有關(guān)背景知識，包括數(shù)學(xué)在自然與社會(huì)中的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)發(fā)展史的有關(guān)材料，幫助學(xué)生了解在人類文明發(fā)展過程中數(shù)學(xué)所起的作用，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，感受數(shù)學(xué)家治學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，欣賞數(shù)學(xué)的優(yōu)美，數(shù)學(xué)的起源與發(fā)展史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)游戲、數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)工具、數(shù)學(xué)應(yīng)用活動(dòng)等都可以作為課堂教學(xué)中數(shù)學(xué)文化的具體元素。

陳燕、劉雪芳老師在《用詩性課堂品數(shù)學(xué)文化——以“詩歌中數(shù)字的魅力”教學(xué)為例》一文中，構(gòu)建了詩性數(shù)學(xué)文化課堂，展現(xiàn)了詩歌美、數(shù)字美，讓學(xué)生感受到我國古典文化的博大精深。課堂教學(xué)中呈現(xiàn)了詩歌中的“約數(shù)”、詩句中的“夸張數(shù)”、詩中的概數(shù)，整節(jié)課詩詞文化與數(shù)學(xué)水乳交融。從知識教學(xué)的角度，本節(jié)課打破了學(xué)生對數(shù)字的已有認(rèn)知；從生活和生命的角度，本節(jié)課拓展了數(shù)字的內(nèi)涵與應(yīng)用，提高了學(xué)習(xí)的深度。

除了數(shù)學(xué)與詩歌的結(jié)合能讓數(shù)學(xué)“好玩”，在數(shù)學(xué)文化的領(lǐng)域里還有美麗的黃金分割、奇妙的分形世界、迷人的平面鑲嵌、離奇的等寬曲線、出人意料的悖論等等，還可以看到數(shù)學(xué)與文學(xué)、數(shù)學(xué)與美術(shù)、數(shù)學(xué)與音樂的交融……這樣的結(jié)合，其目標(biāo)是幫助學(xué)生習(xí)得基本的知識技能，更重要的是豐富數(shù)學(xué)課堂，讓學(xué)生覺得數(shù)學(xué)好玩、數(shù)學(xué)美妙、數(shù)學(xué)有用，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。所以以數(shù)學(xué)文化為主、脫離數(shù)學(xué)課本的數(shù)學(xué)文化課堂正在興起。

雖然小學(xué)一線教師期待能有直接融入數(shù)學(xué)的史料或者將史料融入教學(xué)的“屠龍之技”，但是數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)發(fā)揮育人價(jià)值，需要建立在教師自身對數(shù)學(xué)史知識有豐富儲(chǔ)備與理解的基礎(chǔ)上，將學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)史轉(zhuǎn)變?yōu)榻逃螒B(tài)的數(shù)學(xué)史。

潘麗云老師在《小學(xué)數(shù)學(xué)教師提升數(shù)學(xué)史素養(yǎng)的意義與路徑——以“豎式乘法”教學(xué)為例》一文中提出，教師的數(shù)學(xué)史素養(yǎng)在知識、史觀、能力三個(gè)方面的內(nèi)涵界定是教學(xué)實(shí)踐的指南和教學(xué)評價(jià)的依據(jù)，以“豎式乘法”為例，闡述在數(shù)學(xué)史料學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)史融入教學(xué)實(shí)踐、數(shù)學(xué)史育人價(jià)值的觀念形成等方面提升教師數(shù)學(xué)史素養(yǎng)的具體實(shí)施路徑。

通讀每篇文章，深感每篇文章都充滿了作者的智慧和藝術(shù)，讀者能獲得的“營養(yǎng)成分”很高！能用——學(xué)以致用，不能用——學(xué)以備用！對數(shù)學(xué)史的研究只有前進(jìn)時(shí)，沒有終結(jié)時(shí)，對數(shù)學(xué)教育本質(zhì)的理解將從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史中獲得啟迪。