佘彥超， 曾羽群， 張蔚曦 ，肖政國 ，王強

(1. 銅仁學(xué)院 物理與電子工程系， 銅仁 554300； 2. 集美大學(xué) 理學(xué)院， 廈門 361201)

1 引 言

近年來，包括量子阱(二維)，量子線(一維)，量子點在內(nèi)的半導(dǎo)體低維材料在量子光學(xué)和非線性光學(xué)領(lǐng)域引起了人們廣泛的研究興趣. 其中，由于半導(dǎo)體量子點中的光場傳播所引起的量子相干及干涉效應(yīng)尤其受到世人關(guān)注. 這是因為其具有退相干時間長以及與冷原子介質(zhì)類似特性(如分立能級)，易集成，并具有較大帶寬等優(yōu)點[1-6]. 這些優(yōu)良特性使得半導(dǎo)體量子結(jié)構(gòu)在量子通信及傳輸?shù)阮I(lǐng)域有著極其重要的應(yīng)用[7-12]. 許多有趣的光學(xué)現(xiàn)象，如電磁誘導(dǎo)透明，雙激子相干光場的調(diào)控，巨克爾非線性等現(xiàn)象都已經(jīng)實現(xiàn)[13-22]. 尤其是在傳播中具有保持波形不變、 保真度高、 抗干擾能力強等優(yōu)勢的超慢光孤子(能以遠(yuǎn)低于真空光速的速度傳播的光孤子，Ultraslow Optical Soliton)的實現(xiàn)使之成為量子通信和量子調(diào)控等領(lǐng)域的研究熱點[23-25]. 如Yang等[26]提出了一種產(chǎn)生匹配慢光孤子對(matched slow optical soliton pairs)的新方法，即在固態(tài)單量子結(jié)構(gòu)通過雙激子相干效應(yīng)來產(chǎn)生匹配慢光光孤子對. 最早的單量子點模型是通過忽略量子點鏈中點間的相互作用而得到的簡化模型. 考慮最簡單的點間相互作用就得到了所謂的雙量子點分子模型[27-29]. 實驗上，量子點間相互作用已經(jīng)能通過加載門電壓的方式實現(xiàn)并能有效調(diào)控. 在該新型結(jié)構(gòu)中，許多復(fù)雜而有趣的現(xiàn)象被發(fā)現(xiàn). 例如，Borges等人[30]發(fā)現(xiàn)了隧穿耦合效應(yīng)并建立了一個有效破壞量子干涉的路徑，即在吸收光譜中創(chuàng)建透明窗口. 這被稱為隧穿誘導(dǎo)透明，因為這一透明現(xiàn)象主要是由點間隧穿效應(yīng)引起的[31]. 我們之前的研究也發(fā)現(xiàn)在雙量子點間外加垂直方向電場， 通過控制隧穿和電場強度實現(xiàn)了亮暗孤子之間的轉(zhuǎn)換[32]. 最近實驗研究表明，一個高度可調(diào)諧的半導(dǎo)體線型三量子點裝置可在砷化銦單晶納米線中實現(xiàn)[33]. 理論上，人們發(fā)現(xiàn)，三量子點分子中的雙隧穿耦合效應(yīng)將能有效增強體系的克爾非線性效應(yīng)[34].

值得指出的是，在以前的文獻(xiàn)中，對于量子相干和干涉的光學(xué)效應(yīng)的研究大都僅涉及到點間隧穿的考慮[35-38]. 如， Eslami等研究三量子分子系統(tǒng)中光學(xué)怪波的魯棒性以及圖靈結(jié)構(gòu)的雙穩(wěn)和多穩(wěn)[37]；Luo等探索了三量子點系統(tǒng)中隧穿誘導(dǎo)透明和Autler-Townes雙重峰和三重峰現(xiàn)象的譜特征[38]. 這些研究工作并沒有考慮外部控制光對三量子點系統(tǒng)非線性光學(xué)效應(yīng)的的協(xié)同調(diào)控. 基于此，在本文中我們采用半經(jīng)典理論分析雙點間隧穿構(gòu)建非對稱三量子點模型，同時利用兩個外光場以調(diào)控量子點分子中的線性光學(xué)特性及光孤子的形成. 所謂半經(jīng)典方法，即是把光場看成是經(jīng)典的麥克斯韋電磁場而用量子力學(xué)理論描述三量子點系統(tǒng). 結(jié)果顯示，由于點間隧穿和外加控制光場之間的耦合效應(yīng)，在吸收光譜中單隧穿誘導(dǎo)透明窗口因而變成了雙隧穿誘導(dǎo)透明窗口. 不同于單點間隧穿效應(yīng)構(gòu)建的雙量子點分子，由于系統(tǒng)中雙點間隧穿效應(yīng)的存在，雙隧穿誘導(dǎo)透明窗口會進(jìn)一步演化成隧穿誘導(dǎo)透明三窗口. 弱探測光在系統(tǒng)中的非線性演化，可以由一個復(fù)系數(shù)的非線性薛定諤方程描述. 考慮到點間隧穿耦合和外加控制光場協(xié)同調(diào)制形成的隧穿誘導(dǎo)透明效應(yīng)，方程系數(shù)的虛部遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于實部，從而得到描述孤子演化的標(biāo)準(zhǔn)非線性薛定諤方程. 通過研究點間隧穿耦合和外加控制光場對孤子振幅和群速度的調(diào)控，發(fā)現(xiàn)相比于外部控制光，點間隧穿耦合效應(yīng)將能更有效的增大孤子的振幅并降低其群速度. 我們的結(jié)果可能提供了一種新穎而有效的調(diào)控手段來調(diào)節(jié)量子點分子系統(tǒng)中的與量子相干和干涉相關(guān)的光學(xué)效應(yīng)，而量子點分子系統(tǒng)是可應(yīng)用于光電器件如高效的單光子源，量子信息處理器等等.

圖1 非對稱半導(dǎo)體三量子點分子系統(tǒng)與強控制場(半拉比頻率為Ωc)及弱探 測場(半拉比頻率為Ωp)相互作用的能級圖. Te1，Te2分別表示中間量子點與左、 右量子點間的點間隧穿耦合強度. Fig.1 Energy-level diagram and excitation scheme of an asymmetric semiconductor triple quantum dot molecule system interacting with a strong control field (with half Rabi frequency Ωc) and a weak probe optical field (with half Rabi frequency Ωp). Here, Te1and Te2 represent the strengths of tunneling coupling between the intermediate quantum dot and the left and right quantum dot, respectively.

2 半導(dǎo)體三量子點理論模型及Maxwell-Schr?dinger方程

在我們的系統(tǒng)中，電子與電子之間的相互作用的影響被認(rèn)為會比較弱，因此由于電子之間相互作用導(dǎo)致的多體效應(yīng)在接下來的討論中被忽略. 在相互作用繪景下，通過旋轉(zhuǎn)波近似，系統(tǒng)的半經(jīng)典哈密頓量可寫成如下形式

〈3|+Te1|3〉〈2|+Te2|5〉〈4|+H.c.),

(1)

其中，H.c.表示哈密頓量的復(fù)共軛，Te1，Te2是點間隧穿耦合強度. 其中Δ2=δp,Δ3=δp-ω24,Δ4=δp-δ4,Δ5=δp-δ4-δ5. 在慢變包絡(luò)近似和電偶極近似作用下，可得上述體系幾率幅Aj的演化方程

(2a)

(2b)

(2c)

(2d)

這里dj=Δj+iγj(j=2～5)，而γj表示能級|j〉上衰減率，其值為γj=γij+Γij，其中γij和Γij分別代表能級壽命展寬和失相展寬. Γij表示能級|i〉?|j〉之間的相移衰減，它受電子-電子散射，聲子散射和彈性截面粗糙度的影響.γij表示能級|j〉的粒子數(shù)衰減，取決于系統(tǒng)的溫度,隨著溫度的增加，其變化量級可從 μeV 到 meV[43].

對于外部光場用麥克斯韋方程描述，對于強控制場，我們不考慮他隨時間及空間衰減，即認(rèn)為是常數(shù). 對于探測場，近似認(rèn)為其振幅隨時間的變化遠(yuǎn)小于光學(xué)頻率，隨空間的變化遠(yuǎn)小于光場(沿傳播方向z)的波矢，從而得到

(3)

κ12=(Naωp|p12|2)/2ε0?c為傳播系數(shù). 方程(2)和(3)組成描述探測光及耦合光與非對稱半導(dǎo)體三量子點分子相互作用的Maxwell-Schr?dinger方程.

3 線性光學(xué)性質(zhì)

首先，我們研究該體系的線性光學(xué)特性，該特性主要對脈沖傳播和衰減起作用. 為此，我們假設(shè)脈沖探測場遠(yuǎn)小于控制場，從而所有的電子最初幾乎布居在基態(tài)|1〉，并令A(yù)1≈1.而Aj(j=2～5)和Ωp則正比于exp[i(Kz-ωt)]，利用Maxwell-Schr?dinger方程，可得該系統(tǒng)的線性色散關(guān)系如下

(4)

圖2 探測場Ωp的線性吸收ImK(ω)(實線)和線性色散ReK(ω)(虛線)在(a) Te1=Te2=Ωc=0, (b) Te1=2.0 meV, Te2=Ωc=0, (c) Te1=2.0 meV，Te2=0, Ωc=1.5 meV,和(d)Te1=2.0 meV，Te2=Ωc=1.5 meV條件下隨頻率ω的變化情況. Fig. 2 The linear absorption ImK(ω) (solid curve) and linear dispersion ReK(ω) (dash curve) of the probe field Ωp as a function of the frequencies ω under the considerations of (a)Te1=Te2=Ωc=0, (b)Te1=2.0 meV, Te2=Ωc=0, (c)Te1=2.0 meV，Te2=0, Ωc=1.5 meV,和(d)Te1=2.0 meV，Te2=Ωc=1.5 meV. The other parameters used are given in the text.

只存在單峰值的Lorentz線型吸收峰，色散曲線在中心頻率附近呈現(xiàn)負(fù)的斜率. 這意味著探測場在中心頻率附近被極大地近共振吸收了. 這是由于此時的體系中點間隧穿強度為零，可視為由量子點基態(tài)和直接激子態(tài)所構(gòu)成的二能級系統(tǒng)，因此當(dāng)探測光與躍遷頻率共振時，吸收譜線會在共振位置處出現(xiàn)極大吸收. 然而，對于弱隧穿強度(Te1=2.0 meV，Te2=Ωc=0)，吸收曲線[如圖2(b)中的實線曲線]分裂成兩個獨立的吸收峰，兩峰之間出現(xiàn)了一個深谷(在此情況下，隧穿誘導(dǎo)透明的透明窗口因此形成). 同時，色散曲線在中心頻率附近呈現(xiàn)正的斜率. 這是由于弱的點間隧穿耦合的誘導(dǎo)，將使得導(dǎo)帶能級|2〉和|4〉形成綴飾能級. 而探測光躍遷至兩綴飾能級時會形成兩條相干躍遷通道. 這兩條相位相差π的躍遷通道使躍遷出現(xiàn)相消干涉現(xiàn)象，從而導(dǎo)致探測光的吸收譜線在原共振處出現(xiàn)吸收被抑制的深谷. 當(dāng)控制場存在時，探測場的線性吸收如圖2(c)實線所示，取控制場Te1=2.0 meV，Te2=0，Ωc=1.5 meV，對比與圖2 (a)中的實線, 在吸收曲線中，將在ω=-2.5×1012s-1和ω=2.6×1012s-1附近出現(xiàn)兩個新的吸收峰. 此外，在中心角頻率(ω=0)附近會有一個吸收峰. 因此，在光學(xué)吸收在會形成兩個深谷[形成雙隧穿誘導(dǎo)透明的透明窗口]. 它是來源于點間隧穿和控制場與量子點分子的相互作用，能級|3〉和|4〉形成了動態(tài)的Stark劈裂，該劈裂導(dǎo)致相應(yīng)能級劈裂進(jìn)入暗綴飾態(tài). 這導(dǎo)致隧穿誘導(dǎo)透明結(jié)構(gòu)，因而在系統(tǒng)中出現(xiàn)雙隧穿誘導(dǎo)透明窗口. 同時，色散曲線在中心頻率附近再次呈現(xiàn)負(fù)的斜率. 隨著雙點間隧穿通道打開，Te1=2.0 meV，Te2=1.5 meV，Ωc=1.5 meV [如圖2(d)實線所示]，原來在ω=-2.5×1012s-1和ω=2.6×1012s-1附近出現(xiàn)的兩個吸收峰向兩側(cè)移動，透明窗口寬度更寬. 同時在中心頻率附近光學(xué)吸收曲線再次出現(xiàn)了一個深谷，這意味著光學(xué)吸收曲線出現(xiàn)了三透明窗口. 從以上討論中我們可以發(fā)現(xiàn)，半導(dǎo)體三量子點分子體系中隧穿誘導(dǎo)透明窗口的數(shù)量以及寬度可以由點間隧穿強度及外部控制光場協(xié)同調(diào)控. 有趣的是，圖2(d)中色散曲線在中心頻率附近再次呈現(xiàn)正的斜率，與圖2(b)中所示的虛線相比，曲線更為陡峭，表明體系中的弱探測光可能實現(xiàn)超慢群速度傳播. 從上述討論可以看出，在三量子點體系中，色散曲線斜率的正負(fù)變換可由在點間雙隧穿及外部控制光場的協(xié)同調(diào)控，進(jìn)而實現(xiàn)正常色散和反常色散的變換.

4 非線性包絡(luò)方程及超慢光孤子

(5a)

(5b)

(5c)

(5d)

(5e)

對于一階情況(l=1),可得

(6a)

(6b)

(6c)

(6d)

(6e)

其中F是待定的包絡(luò)函數(shù)，它的自變量是慢變量zl(l=1,2)和t1.

對于三階情況(l=3)，消除久期項可以得到：

(7)

W|U|2U=0.

(8)

方程(8)是一個復(fù)系數(shù)的非線性薛定諤方程，方程左邊最后兩項分別表示體系的群速度色散效應(yīng)和克爾非線性效應(yīng). 該類方程在非線性光纖和相關(guān)介質(zhì)中均有相關(guān)的研究[39,40]. 通常情況下，這類復(fù)系數(shù)方程是不可積的，難以得到其精確解析解. 但如果其系數(shù)的虛部遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于實部，其將可能得到孤子解. 之前的研究表明，體系在點間雙隧穿和外部光場的協(xié)同調(diào)控下，將出現(xiàn)三透明窗口. 點間雙隧穿和外部光場誘導(dǎo)的量子干涉相消，體系對探測光共振吸收將可能被極大的抑制. 這意味著選擇合適的參數(shù)，體系的群速度色散系數(shù)和克爾非線性系數(shù)的實部將可能遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于虛部. 接下來，我們參照圖2中的參數(shù)提供一個實際的數(shù)值例子對方程系數(shù)進(jìn)行進(jìn)一步的比較，如圖3所

圖 3 群速度色散效應(yīng)參數(shù)K2 (a)及克爾非線性效應(yīng)參數(shù)W (b)的虛部(如圖中虛線)與相應(yīng)的實部(如圖中實線)隨隧穿耦合強度Te2的變化關(guān)系. Fig.3 The imaginary parts (dashed curve) and the corresponding real parts (solid curve) of the group-velocity dispersion coefficient K2 and Kerr onlinearity coefficient W versus the tunneling coupling strength Te2.

(9)

通常d0<<1,ddiff<<1，因此上述方程可簡化為標(biāo)準(zhǔn)的非線性薛定諤方程：

(10)

其單孤子解為：u=sechσeis代回初始參量得到：

(11)

圖4 時間光孤子的穩(wěn)定性分析Fig. 4 Stability analysis of temporal optical soliton

為了研究點間隧穿耦合強度對光孤子的影響，首先我們檢驗時間光孤子傳播的穩(wěn)定性，仍選點間隧穿強度為Te1=3.5 meV，Te2=5.0 meV，其他參數(shù)和圖2一致. 以(11)式為初始條件代入原始方程，給出不同時刻探測光強度隨距離的傳播情況如圖4所示. 可以看出，在初始時刻，探測光在z=0位置形成一完美對稱的包絡(luò)波，該包絡(luò)波顯然為一亮光孤子. 隨著時間的推移如t=τ0和t=3τ0，可以看到該亮孤子能保持波形的幅度和寬度不變，且穩(wěn)定地向右傳播，當(dāng) 時 間 進(jìn) 一 步 推 移 至t=6τ0時，孤子的幅度和寬度仍能保持不變地向右傳播. 這說明非對稱半導(dǎo)體三量子點中能產(chǎn)生時間光孤子，并可穩(wěn)定地傳播.

圖5給出了在不同的外部控制光的條件下，光孤子的相對振幅隨著點間隧穿耦合強度系數(shù)Te1的變化情況. 當(dāng)Ωc=1.0 meV 時，如圖5中實線所示，隨著點間隧穿耦合強度系數(shù)的增加，孤子的振幅呈先增大再減小隨即再次增大并減小的波動變化趨勢且在位置Te1=4.97 meV存在最大孤子振幅. 當(dāng)外部控制光Ωc增大時，光孤子振幅隨點間隧穿耦合強度的變化呈現(xiàn)出類似的趨勢，但孤子振幅峰值降低，峰的位置發(fā)生左移，

圖 5 不同外部控制光Ωc條件下，光孤子振幅隨隧穿耦合強度Te2的變化. Fig.5 The amplitudes of optical solitons versus the tunneling coupling strength Te2 with different control fields Ωc.

如圖5中虛線所示. 這意味著隨著外部控制光Ωc增大，孤子最大振幅對應(yīng)的點間隧穿耦合強度系數(shù)Te1減小. 此外，對于弱點間耦合情況(Te1<3.0 meV)，光孤子振幅隨著外部控制光Ωc增大呈現(xiàn)出下降的趨勢. 進(jìn)一步，我們在圖6給出了光孤子相對群速度[44](the relative group velocity,Vg/c)隨外部控制光及點間隧穿耦合強度系數(shù)Te1的變化. 結(jié)果表明，在我們的體系中，光孤子群速度會比真空中的光速下降2個數(shù)量級以上，而且隨著外部控制光及點間隧穿耦合強度的增強，還會進(jìn)一步減慢，這表明在我們的體系中可以形成超慢光孤子. 同樣，相對于弱點間隧穿耦合情況(Te1<3.0 meV)，在強點間隧穿耦合時，光孤子群速度隨著外部控制光的增強迅速減慢. 上述結(jié)果表明，半導(dǎo)體非對稱三量子點體系中，外部控制光場及點間隧穿耦合強度均能有效調(diào)控光孤子的振幅及群速度，但點間隧穿耦合強度的調(diào)控更為有效，這可能是由于點間隧穿耦合強度能直接影響量子點分子中激發(fā)態(tài)能級的干涉效應(yīng).

圖 6 光孤子的相對群速度隨外部控制光場Ωc及隧穿耦合強度Te1的變化. Fig.6 The group velocities of the optical solitons as a function of the tunneling coupling strength Te1 with different control fields Ωc.

5 結(jié) 論

本文中，我們研究了非對稱半導(dǎo)體三量子點分子系統(tǒng)的線性光學(xué)特性及光孤子的形成，它是通過調(diào)控點間隧穿耦合及外部控制光場而得以實現(xiàn). 線性情況中，當(dāng)無光學(xué)控制場Ωc時，在適當(dāng)條件下，由于點間隧穿耦合驅(qū)動量子相消干涉效應(yīng)，系統(tǒng)會出現(xiàn)一個單隧穿誘導(dǎo)透明窗口. 透明窗口的寬度可通過改變點間隧穿耦合強度來調(diào)控. 特別地，在光學(xué)控制場存在情況下，由于控制場Ωc和點間隧穿耦合強度Te1，Te2的協(xié)同誘導(dǎo)而產(chǎn)生量子相消干涉效應(yīng)，使得探測場的吸收曲線中出現(xiàn)三隧穿誘導(dǎo)透明窗口. 此外，從反常色散區(qū)域到正常色散區(qū)域的雙開關(guān)可通過改變隧穿強度Te1，Te2及光學(xué)控制場Ωc而實現(xiàn). 對于非線性情況，詳細(xì)的多尺度分析給出了探測光場相應(yīng)的演化方程. 我們發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的克爾非線性效應(yīng)系數(shù)和色散效應(yīng)系數(shù)的虛部遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于實部，上述演化方程可以簡化為具有孤子解的標(biāo)準(zhǔn)非線性薛定諤方程. 進(jìn)一步地，發(fā)現(xiàn)光孤子的振幅隨著點間隧穿耦合強度Te1增加呈現(xiàn)波動變化趨勢且出現(xiàn)最大振幅. 這一振幅峰值隨著外部控制光的增大而減小，且出現(xiàn)最大振幅的位置向弱點間隧穿耦合強度方向偏移. 點間隧穿耦合強度相較于外部控制光場，能更有效的減慢探測光場的群速度. 本文的結(jié)論將可能為涉及量子相干及干涉的光學(xué)效應(yīng)的研究工作提供新穎和有效的思路. 此外，傳統(tǒng)光電調(diào)制器件在有電壓偏置的情況下，信號光場易被吸收而造成損耗. 在我們的系統(tǒng)中點間隧穿誘導(dǎo)透明效應(yīng)將大大抑制信號光場的吸收損耗這將對于新型光電調(diào)制器件的實驗實現(xiàn)也可能提供一定的理論指導(dǎo).