朱 奇

ZHU Qi

(湖南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院,長(zhǎng)沙 410208)

0 引言

臂架是挖掘機(jī)、起重機(jī)、混凝土泵車(chē)等諸多工程機(jī)械裝備中常用的一種重要結(jié)構(gòu)形式[1]。臂架系統(tǒng)的臂架長(zhǎng)度、臂架結(jié)構(gòu)重量、臂架靜、動(dòng)態(tài)總彎矩等主要參數(shù)決定著產(chǎn)品的整機(jī)重量、整機(jī)穩(wěn)定性及其他主要部件的設(shè)計(jì)，在超長(zhǎng)臂架混凝土泵車(chē)、長(zhǎng)臂架舉高消防車(chē)、長(zhǎng)臂架高空作業(yè)平臺(tái)等高端裝備的設(shè)計(jì)開(kāi)發(fā)中，臂架系統(tǒng)的主要參數(shù)尤為重要。目前此類(lèi)工程機(jī)械產(chǎn)品常規(guī)的設(shè)計(jì)思路是從臂架系統(tǒng)的詳細(xì)設(shè)計(jì)開(kāi)始，然后根據(jù)臂架系統(tǒng)的主要參數(shù)確定整機(jī)參數(shù)與整機(jī)方案，最后進(jìn)行其他部件的設(shè)計(jì)。這種方法在產(chǎn)品設(shè)計(jì)初期，由于臂架系統(tǒng)主要參數(shù)的未知，會(huì)導(dǎo)致總體方案與其他部件方案設(shè)計(jì)時(shí)存在較大的不確定性，后期反復(fù)修改的可能性較大；而且在臂架系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)不能同時(shí)進(jìn)行其他部件以及液壓與電控方案的設(shè)計(jì)，使得產(chǎn)品設(shè)計(jì)開(kāi)發(fā)周期較長(zhǎng)，設(shè)計(jì)人員工作量較大。其實(shí)這些產(chǎn)品在很多企業(yè)都是系列化產(chǎn)品，如果在已有系列化臂架系統(tǒng)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，提前預(yù)測(cè)新臂架系統(tǒng)的參數(shù)，為整機(jī)方案及其他部件方案的設(shè)計(jì)提供依據(jù)和參考，將會(huì)大大縮短產(chǎn)品的設(shè)計(jì)開(kāi)發(fā)周期。

回歸分析是指一種利用所觀測(cè)的數(shù)據(jù)來(lái)擬合系統(tǒng)反映系統(tǒng)固有規(guī)律的數(shù)學(xué)模型的方法。它尋求存在于兩個(gè)（或多個(gè)）變量之間的關(guān)系，解決或者預(yù)測(cè)生產(chǎn)、生活等存在的問(wèn)題和規(guī)律。回歸分析方法廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，在工業(yè)設(shè)計(jì)中在產(chǎn)品的概念設(shè)計(jì)階段，特別是在已經(jīng)系列化產(chǎn)品設(shè)計(jì)中，設(shè)計(jì)人員如果能根據(jù)已有產(chǎn)品的各種性能參數(shù)擬合系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，找出系統(tǒng)滿(mǎn)足的固有規(guī)律，然后預(yù)測(cè)待設(shè)計(jì)產(chǎn)品的各種性能參數(shù)，對(duì)于設(shè)計(jì)工作有重要的指導(dǎo)意義。多項(xiàng)式回歸分析是研究一個(gè)因變量與一個(gè)或多個(gè)自變量間多項(xiàng)式關(guān)系的一種回歸分析方法（polynomial regression）[2]。本文根據(jù)臂架系統(tǒng)的特點(diǎn)使用多項(xiàng)式回歸分析方法建立機(jī)械臂架系統(tǒng)主要參數(shù)的數(shù)學(xué)模型，預(yù)測(cè)臂架系統(tǒng)中臂架長(zhǎng)度、臂架重量、臂架靜態(tài)彎矩等參數(shù)的內(nèi)在規(guī)律，并與常規(guī)精確設(shè)計(jì)方法得到的臂架系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證模型的可靠性，為工程設(shè)計(jì)人員進(jìn)行臂架系統(tǒng)設(shè)計(jì)、產(chǎn)品總體方案設(shè)計(jì)、整機(jī)性能評(píng)估及其他主要部件設(shè)計(jì)提供參考和依據(jù)。

1 多項(xiàng)式回歸模型的構(gòu)建

根據(jù)Taylor公式任何函數(shù)f(x)多可展開(kāi)為一個(gè)關(guān)于x的多項(xiàng)式，為了簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程在實(shí)際應(yīng)用中多利用多項(xiàng)式來(lái)擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[2，3]。從數(shù)據(jù)集中取N個(gè)數(shù)據(jù)樣本（xi，yi）（i=1，2，…，N）中擬合k階多項(xiàng)式的回歸觀測(cè)值可表示為：

則樣本點(diǎn)i殘差可表示為：

假設(shè)resi～N（0，бi）即樣本點(diǎn)i 殘差滿(mǎn)足均值為ц=0 方差б=бi正態(tài)分布且相互獨(dú)立，則（res1，res2，...，resn）的聯(lián)合概率密度為：

要使函數(shù)L取最大值，即要求式(2)最小化，由于

當(dāng)取бi=1進(jìn)行等權(quán)重?cái)M合，最后估計(jì)參數(shù)b的矩陣形式可表示為：

其中

殘差平方和可表示為

擬合的標(biāo)準(zhǔn)偏差為：

其中df=n-（k+1）

可根據(jù)式(8)中的sd判斷所得多項(xiàng)的優(yōu)劣。

臂架系統(tǒng)中有臂架長(zhǎng)度、臂架重量、臂架靜、動(dòng)態(tài)彎矩等主要參數(shù)。在工程實(shí)際應(yīng)用中，一般最關(guān)心臂架長(zhǎng)度與臂架重量、臂架長(zhǎng)度與臂架靜態(tài)彎矩的關(guān)系，如果要對(duì)這些參數(shù)進(jìn)行回歸分析，必須建立起多變量測(cè)量的數(shù)學(xué)模型。若已知臂架長(zhǎng)度與臂架重量，臂架長(zhǎng)度與臂架靜態(tài)總彎矩的若干組數(shù)據(jù)xi，yi（i=0，1，2，...，n）的值，則可以求出多項(xiàng)式的系數(shù)ai（i=0，1，2，...，n），從而可以分別得到近似的表示臂架長(zhǎng)度與臂架重量，臂架長(zhǎng)度與臂架靜態(tài)總彎矩的多項(xiàng)式表達(dá)式：y=f（x）=a0+a1x+a2x2+...+anxn，模型中可以通過(guò)增加x的高次項(xiàng)對(duì)實(shí)測(cè)點(diǎn)進(jìn)行逼近，直至滿(mǎn)意為止。

2 臂架系統(tǒng)多項(xiàng)式回歸分析

本文將根據(jù)某A、B兩公司提供的各種型號(hào)臂架數(shù)據(jù)，分別擬合兩公司的臂架長(zhǎng)度與臂架結(jié)構(gòu)重量、臂架長(zhǎng)度與靜態(tài)總彎矩的數(shù)學(xué)模型，并利用所得模型預(yù)測(cè)新型號(hào)混凝土泵車(chē)臂架結(jié)構(gòu)重量及靜態(tài)總彎矩，并使用擬合的標(biāo)準(zhǔn)偏差和判定系數(shù)評(píng)判數(shù)學(xué)模型的最優(yōu)化。

2.1 混凝土泵車(chē)臂架系統(tǒng)組成

混凝土泵車(chē)臂架系統(tǒng)主要由臂節(jié)、油缸、連桿、輸送管組成。臂節(jié)是臂架系統(tǒng)的主要部分，一般用高強(qiáng)鋼板焊接而成箱梁式結(jié)構(gòu)，臂架系統(tǒng)從底部向上各節(jié)臂分別命名為1節(jié)臂至第N節(jié)臂，第1節(jié)臂支撐在轉(zhuǎn)臺(tái)上。臂架工作工況是由各節(jié)臂在空間中所處位置確定的，如圖1所示，其俯仰運(yùn)動(dòng)由一套舉臂油缸來(lái)完成，泵車(chē)臂架在工作中所受的載荷主要是外部載荷和自身質(zhì)量[4]。

圖1 混凝土泵車(chē)臂架系統(tǒng)組成

2.2 混凝土泵車(chē)臂架系統(tǒng)主要參數(shù)

表1、表2分別為A、B公司不同型號(hào)混凝土泵車(chē)臂架長(zhǎng)度、臂架結(jié)構(gòu)重量、臂架靜態(tài)彎矩（結(jié)構(gòu)件重量+混凝土重量）的數(shù)據(jù)表。

表1 A公司各型號(hào)泵車(chē)臂架系統(tǒng)參數(shù)

表2 B公司各型號(hào)泵車(chē)臂架系統(tǒng)參數(shù)

圖2、圖3分別為兩公司混凝土泵車(chē)臂架系統(tǒng)三個(gè)主要參數(shù)的變化分布圖，從圖中可以看出，臂架系統(tǒng)的三個(gè)主要參數(shù)之間并不滿(mǎn)足典型的線(xiàn)性關(guān)系，如果要依據(jù)現(xiàn)有臂架系統(tǒng)主要參數(shù)為參考開(kāi)發(fā)新產(chǎn)品，需要對(duì)各參數(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模和擬合分析。

圖2 A公司各型號(hào)泵車(chē)臂架系統(tǒng)參數(shù)變化

圖3 B公司各型號(hào)泵車(chē)臂架系統(tǒng)參數(shù)變化

2.3 混凝土泵車(chē)臂架系統(tǒng)回歸分析

在origin中分別對(duì)兩公司的臂架長(zhǎng)度與臂架重量、臂架靜態(tài)總彎矩進(jìn)行多項(xiàng)式擬合分析和建模。表3為臂架公司臂架長(zhǎng)度與臂架重量、靜態(tài)總彎矩三階多項(xiàng)式擬合表，表中擬合出了前三階函數(shù)。從表中可看出，2階臂架重量函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)偏差為280.8546，為三階臂重函數(shù)中最小，而擬合判定系數(shù)為0.99605，為階臂重函數(shù)中最高，說(shuō)明2階臂架重量函數(shù)為臂架長(zhǎng)度與臂架重量最佳擬合模型。同樣，2階臂架靜態(tài)總彎矩函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)偏差為280.8546，為三階靜態(tài)彎矩函數(shù)中最小，而擬合判定系數(shù)為0.99605，為三階靜態(tài)彎矩函數(shù)中最高，說(shuō)明2階臂架靜態(tài)總彎矩函數(shù)為臂架長(zhǎng)度與臂架靜態(tài)總彎矩最佳擬合模型。圖4為A公司臂長(zhǎng)—臂重關(guān)系曲線(xiàn)與二階擬合曲線(xiàn)；圖5為A公司臂長(zhǎng)—臂架靜態(tài)總彎矩關(guān)系與二階擬合曲線(xiàn)。

圖4 臂長(zhǎng)—臂重關(guān)系曲線(xiàn)與二階擬合曲線(xiàn)

圖5 臂長(zhǎng)—臂架靜態(tài)總彎矩關(guān)系與二階擬合曲線(xiàn)

表3 A公司臂架長(zhǎng)度與臂架重量、靜態(tài)總彎矩多項(xiàng)式擬合表

表4為B公司臂架長(zhǎng)度與臂架重量、靜態(tài)總彎矩三階多項(xiàng)式擬合表，表中擬合出了前三階函數(shù)。從表中可看出，3階臂架重量函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)偏差為116.15187，為三階臂重函數(shù)中最小，而擬合判定系數(shù)為0.9989，為階臂重函數(shù)中最高，說(shuō)明3階臂架重量函數(shù)為臂架長(zhǎng)度與臂架重量最佳擬合模型。同樣，3階臂架靜態(tài)總彎矩函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)偏差為4168.9138，為三階靜態(tài)彎矩函數(shù)中最小，而擬合判定系數(shù)為0.99701，為三階靜態(tài)彎矩函數(shù)中最高，說(shuō)明3階臂架靜態(tài)總彎矩函數(shù)為臂架長(zhǎng)度與臂架靜態(tài)總彎矩最佳擬合模型。圖6為B公司臂長(zhǎng)—臂重關(guān)系曲線(xiàn)與三階擬合曲線(xiàn)；圖7為B公司臂長(zhǎng)—臂架靜態(tài)總彎矩關(guān)系與三階擬合曲線(xiàn)。

表4 B公司臂架長(zhǎng)度與臂架重量、靜態(tài)總彎矩多項(xiàng)式擬合表

圖6 臂長(zhǎng)—臂重關(guān)系曲線(xiàn)與三階擬合曲線(xiàn)

圖7 臂長(zhǎng)—臂架靜態(tài)總彎矩關(guān)系與三階擬合曲線(xiàn)

從以上擬合方程和擬合曲線(xiàn)可看出，由于A、B兩公司設(shè)計(jì)理念、臂架結(jié)構(gòu)形式、臂架風(fēng)格不同，導(dǎo)致兩公司臂架系統(tǒng)擬合方程不同，最佳擬合方程的階數(shù)也不同，但臂架系統(tǒng)擬合曲線(xiàn)趨勢(shì)相同非常接近，標(biāo)準(zhǔn)差、判定系數(shù)差別也非常小。

3 實(shí)例驗(yàn)證分析

根據(jù)市場(chǎng)需求，以開(kāi)發(fā)一款臂架長(zhǎng)度45100mm的混凝土泵車(chē)新產(chǎn)品為例，使用上述建立的數(shù)學(xué)模型根據(jù)給定的臂架長(zhǎng)度分別計(jì)算預(yù)測(cè)A、B兩公司臂架重量、臂架長(zhǎng)度與臂架靜態(tài)總彎矩等主要參數(shù)，然后與使用精確設(shè)計(jì)方法得到的臂架系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行對(duì)比分析。

3.1 回歸分析臂架系統(tǒng)參數(shù)

根據(jù)A公司二階臂架系統(tǒng)的臂架重量、臂架靜態(tài)總彎矩?cái)?shù)學(xué)模型，使用回歸分析可計(jì)算出，當(dāng)臂架長(zhǎng)度為45100mm時(shí)，臂架重量為12287kg，臂架靜態(tài)總彎矩為204695kgm。

根據(jù)B公司三階臂架系統(tǒng)的臂架重量、臂架靜態(tài)總彎矩?cái)?shù)學(xué)模型，使用回歸分析可計(jì)算出，當(dāng)臂架長(zhǎng)度為45100mm時(shí)，臂架重量為11020kg，臂架靜態(tài)總彎矩為240667kgm。

從回歸分析的計(jì)算數(shù)據(jù)可看出，在臂架長(zhǎng)度相同的情況下，B公司臂架結(jié)構(gòu)重量比A公司重量稍輕，但臂架靜態(tài)總彎矩卻比A公司大很多，說(shuō)明B公司臂架重量主要集中在后面臂節(jié)上。從兩公司產(chǎn)品的實(shí)際使用情況來(lái)看，A公司臂架系統(tǒng)的設(shè)計(jì)理念、臂架結(jié)構(gòu)形式更加適應(yīng)市場(chǎng)需求。

3.2 臂架系統(tǒng)精確設(shè)計(jì)參數(shù)

臂架系統(tǒng)的精確設(shè)計(jì)思路是首先在軟件中建立臂架的三維模型，使用動(dòng)力學(xué)分析軟件建立各相鄰臂節(jié)之間鉸點(diǎn)系統(tǒng)的仿真模型，分析臂架在不同工況下臂節(jié)加速度和受力的變化規(guī)律，找出臂架計(jì)算需要的邊界條件和決策依據(jù)；然后使用計(jì)算軟件從末節(jié)臂架開(kāi)始進(jìn)行有限元分析和結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)，直到計(jì)算完所有臂節(jié)，確定臂架結(jié)構(gòu)；最后從模型中提取相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行臂架系統(tǒng)主要參數(shù)的計(jì)算[6～8]。目前，隨著對(duì)混凝土泵車(chē)臂架系統(tǒng)設(shè)計(jì)計(jì)算及優(yōu)化水平的提高，臂架系統(tǒng)朝輕量化方向發(fā)展。本文使用A公司臂架結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行臂架長(zhǎng)度為45100mm的完整臂架系統(tǒng)設(shè)計(jì)，圖8～圖10所示為臂架系統(tǒng)中1節(jié)臂的計(jì)算結(jié)果，圖11是完整的臂架系統(tǒng)三維模型，表5是臂架系統(tǒng)參數(shù)表。

圖8 1節(jié)臂臂架應(yīng)力變化云圖

圖9 1節(jié)臂臂架變形云圖

圖10 1節(jié)臂臂架屈曲模態(tài)圖

表5 臂架系統(tǒng)精確設(shè)計(jì)參數(shù)表

圖11 混凝土泵車(chē)臂架系統(tǒng)三維模型

表5 可看出，按照精確設(shè)計(jì)流程，臂架長(zhǎng)度為45100mm時(shí)，臂架總重量為12634kg（每節(jié)臂架重量已包含其他相關(guān)部件重量），臂架靜態(tài)總彎矩為208520kg·m。數(shù)據(jù)與A公司回歸分析得出的參數(shù)非常接近，因此利用回歸分析得到的數(shù)學(xué)模型是可信的。

4 結(jié)語(yǔ)

本文利用臂架系統(tǒng)已有的各種數(shù)據(jù)對(duì)臂架長(zhǎng)度與臂架重量，臂架長(zhǎng)度與臂架靜態(tài)總彎矩進(jìn)行多項(xiàng)式回歸分析及研究，結(jié)果表明：

1）采用多項(xiàng)式回歸數(shù)學(xué)模型擬合混凝土泵車(chē)臂架系統(tǒng)中的臂架長(zhǎng)度與臂架結(jié)構(gòu)重量，臂架長(zhǎng)度與靜態(tài)總彎矩是可行的、有效的。從標(biāo)準(zhǔn)偏差分析可以看出，利用二項(xiàng)式回歸分析建立的數(shù)學(xué)模型是最優(yōu)的，也就是說(shuō)臂架長(zhǎng)度與臂架結(jié)構(gòu)重量、臂架長(zhǎng)度與靜態(tài)總彎矩滿(mǎn)足二次關(guān)系。

2）采用多項(xiàng)式回歸數(shù)學(xué)模型，預(yù)測(cè)臂架系統(tǒng)主要參數(shù)的變化趨勢(shì)，可以為混凝土泵車(chē)新產(chǎn)品的開(kāi)發(fā)提供重要依據(jù)，也可以為具有類(lèi)似臂架結(jié)構(gòu)的高端裝備的開(kāi)發(fā)研究提供科學(xué)準(zhǔn)確參考。