尚婉清，許建樓，郭雨瑩

(河南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 河南 洛陽 471023)

0 引 言

圖像分解是圖像處理和計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域一項(xiàng)基礎(chǔ)且重要的研究方向，它在目標(biāo)識(shí)別[1]、生物醫(yī)學(xué)[2]、深度學(xué)習(xí)[3,4]等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。在圖像的結(jié)構(gòu)-紋理分解模型中，通常用不同的函數(shù)空間刻畫結(jié)構(gòu)和紋理部分。常用來刻畫圖像結(jié)構(gòu)部分的TV正則項(xiàng)雖然能夠去除圖像均勻區(qū)域的震蕩成分，但也會(huì)磨光邊緣和拐角等細(xì)節(jié)特征。水平集曲率從圖像的局部幾何結(jié)構(gòu)出發(fā)，分析圖像中某一點(diǎn)的水平集曲線和梯度的聯(lián)系，在保證結(jié)構(gòu)圖像正則性的前提下，處理小尺度的邊緣細(xì)節(jié)。由于圖像強(qiáng)度乘以一個(gè)正的常數(shù)不影響圖像的水平集，因此圖像的水平集曲率作為一個(gè)常數(shù)矩陣加入到正則項(xiàng)中是對(duì)比不變的。此外，紋理震蕩成分常用H-1泛函度量，然而現(xiàn)有的使用H-1泛函的模型在求解過程中都忽略了Hodge分解得到的零散度向量函數(shù)。從數(shù)學(xué)上看，被忽略的向量函數(shù)包含一定的向量信息，而這些信息能夠擾動(dòng)紋理，進(jìn)而影響分解結(jié)果。于是提出了帶有零散度向量場約束的結(jié)構(gòu)紋理分解模型，然后利用交替方向法求解模型。在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中對(duì)比分解效果和紋理的向量信息發(fā)現(xiàn)，與其他幾個(gè)變分模型的實(shí)驗(yàn)相比，提出的改進(jìn)模型有較好的效果。

1 模型準(zhǔn)備

1.1 OSV模型

Vese, Osher和Sole[5]提出的分解模型是圖像分解中一個(gè)廣泛應(yīng)用的變分模型，簡稱OSV模型如式(1)：

(1)

圖1 零散度向量q對(duì)g的影響

1.2 水平集曲率

對(duì)一個(gè)給定的圖像f，沿著邊緣方向的像素點(diǎn)變化平緩，因此梯度較小，垂直邊緣方向的像素點(diǎn)變化劇烈，對(duì)應(yīng)的梯度也較大。然而在圖像的拐角處，梯度曲率差距非常大，這使得普通的TV正則項(xiàng)不能很好的處理圖像拐角，具體的推演證明可以在文獻(xiàn)[6]中找到。文獻(xiàn)[6]提出模型如式(2)：

(2)

k(f)=div(?f/|?f|)

(3)

應(yīng)用低通濾波器得到的。

2 本文模型及算法

2.1 新模型

(4)

2.2 模型算法

交替乘子方向法(ADMM)[7]是一種用于求解具有可分結(jié)構(gòu)的約束優(yōu)化問題的重要算法。該算法具有處理速度快，收斂性能好等優(yōu)點(diǎn)。通過引入三個(gè)輔助變量，將模型(4)化為約束最小化問題，然后利用交替方向法計(jì)算。

首先引入三個(gè)輔助變量ω,p,g，令ω=?u,p=Δ-1(f-u),g=?p+q，式(4)可以改寫為以下約束最小化問題如式(5)：

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

對(duì)最小化問題(6)，給定初始值ω0,u0,p0,q0,g0，應(yīng)用交替乘子方向法，迭代k步，然后通過以下公式更新ωk+1,uk+1,pk+1,qk+1,gk+1如式(11)-式(15)：

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

對(duì)ω-子問題，可以通過軟閾值函數(shù)得到其精確解：

(16)

對(duì)u-子問題, 它的Euler-Lagrange方程可用直接變分法求得:

(17)

其中，?T是?的伴隨算子，且滿足?T=-div，如果對(duì)散度算子利用周期邊界條件，則可以通過快速傅里葉變換(FFT)求解。

類似的，對(duì)q-子問題，可以得到下面對(duì)應(yīng)的Euler-Lagrange方程并用FFT求解：

(18)

對(duì)p-子問題，先變分得到如下Euler-Lagrange方程再用FFT求解：

(19)

對(duì)g-子問題，根據(jù)L1優(yōu)化的特征，可以用軟閾值函數(shù)求解:

(20)

3 實(shí)驗(yàn)分析

3.1 參數(shù)設(shè)置

模型的仿真在MATLAB中執(zhí)行，令δ=10-3，迭代停止條件設(shè)置為：

首先歸一化測試圖像f，然后將輔助變量ω,z,g初始化為ω0=f,z0=0,g0=0。設(shè)置Butterworth低通濾波器的階數(shù)為10，截?cái)囝l率b=40。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，對(duì)參數(shù)λ,γ，當(dāng)γ≤1時(shí)，λ越小結(jié)構(gòu)越光滑，而λ越大紋理臉部提取越干凈。當(dāng)固定λ=0.6,μ1=1.5,μ3=0.5,γ=0.8時(shí)，參數(shù)μ2≤3時(shí)都可以達(dá)到很好的分解效果。迭代次數(shù)設(shè)為150次。

測試圖像如圖2所示，從左到右分別是Barbara 256圖像、合成圖像、Barbara 512圖像。

(a)

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

對(duì)以上測試圖像仿真實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證新模型的可行性和有效性。參與實(shí)驗(yàn)的其他模型主要有OSV模型以及使用了H-1泛函的模型[8](以下簡稱NNTV-H-1模型)。每個(gè)模型均通過人工調(diào)整參數(shù)達(dá)到最好的分解效果。在實(shí)驗(yàn)中通過展示紋理圖像的向量場直觀的說明新模型的創(chuàng)新點(diǎn)。下面展示三個(gè)模型對(duì)測試圖像的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。圖3是Barbara 256圖像在三個(gè)模型上的分解結(jié)果，其紋理對(duì)應(yīng)的向量場在圖5展示，并給出了新模型中零散度向量函數(shù)q的向量場。

圖6列出了Barbara 512圖像的分解效果。

(a) OSV

(a) OSV

(a) OSV

(a) OSV

從圖3-6能夠很容易的觀察到以下幾點(diǎn)：

1) 新模型分解Barbara紋理圖像的臉部能夠很好的分離出來，其他兩個(gè)模型則稍顯遜色。觀察圖4發(fā)現(xiàn)，新模型分解的結(jié)構(gòu)保持邊緣的能力更優(yōu)，拐角處邊緣清晰。

2) 以上的紋理向量場圖像反映出忽略q對(duì)紋理信息造成明顯的干擾，具體表現(xiàn)在與本文模型相比，忽略q的模型所得紋理向量場背景部分有雜亂的向量信息。

3)q向量場是包含許多向量信息的，在q向量場的作用下，紋理信息的線條紋路更清晰，這是由于q的向量方向與?z的向量方向相互抵消或合并的效果。

4 結(jié) 語

提出了一個(gè)新的曲率引導(dǎo)的帶有零散度向量場約束的圖像結(jié)構(gòu)紋理分解模型。將水平集曲率加入模型正則項(xiàng)并用低通濾波器處理高頻信息；對(duì)大量使用的H-1泛函進(jìn)行改進(jìn)，保留了經(jīng)常忽略的向量函數(shù)q；最后結(jié)合增廣拉格朗日乘子法和交替方向法求解提出的模型。在實(shí)驗(yàn)中將紋理對(duì)應(yīng)的向量場及零散度向量函數(shù)的向量信息直觀的展示出來并分析了其對(duì)紋理的影響。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，改進(jìn)的模型保持結(jié)構(gòu)圖像的邊緣和拐角的能力明顯提高，紋理提取更徹底，且無論從理論上還是實(shí)際表現(xiàn)上，向量信息都更加完整。