朱圣舉，朱 潔，王思儀，馬維云

（1.中國石油長慶油田分公司勘探開發(fā)研究院，陜西西安 710018；2.低滲透油氣田勘探開發(fā)國家工程實(shí)驗(yàn)室，陜西西安 710018；3.中國石油長慶油田分公司第六采氣廠，陜西西安 710018；4.中國石油長慶油田分公司第八采油廠，陜西西安 710021）

在底水油藏中，當(dāng)具有一定射孔程度的油井開始生產(chǎn)后，原始油水界面開始呈錐形上升，即形成底水錐進(jìn)。隨著油井產(chǎn)油量的增加，水錐高度逐漸上升，直到產(chǎn)油量達(dá)到某一值后，水錐突破，油井見水，則此時(shí)的最大無水產(chǎn)油量就定義為臨界產(chǎn)量。

Muskat 等［1-5］用各種方法研究了底水油藏直井的臨界產(chǎn)量，但均未考慮射孔程度對產(chǎn)量的影響。Abass等［6］考慮了射孔程度后，在二維平面徑向滲流條件下，得出最佳射孔程度（從油層頂部開始射孔）為0.5 的結(jié)論，但并未考慮底水的半球面向心滲流問題。Guo 等［7］既考慮了射孔程度，又考慮了底水錐進(jìn)問題，在射孔段部位為平面徑向滲流而射孔段下部油層為半球面向心滲流的條件下（見圖1），得出均質(zhì)且各向同性底水油藏直井最佳射孔程度（從油層頂部開始射孔）不大于1/3的結(jié)論。

但是，Guo 等的底水油藏直井臨界產(chǎn)量計(jì)算公式在推導(dǎo)過程中存在如下錯(cuò)誤［7］：

式中，H為油層厚度，m；h為射孔厚度，m；Re為采油井的泄油半徑，m；φ0為線段與線段的夾角（見圖1），（°）。

因?yàn)榘凑占僭O(shè)條件，射孔段以下部分（H-h）為球面向心滲流，即Re，那么，正確的公式應(yīng)為:

所以原來的底水油藏直井臨界產(chǎn)量及最佳射孔程度計(jì)算公式需重新修正。然而遺憾的是，這一錯(cuò)誤一直未被修正。

蔣平等［8-11］在Guo 等人研究的基礎(chǔ)上研究底水油藏直井臨界產(chǎn)量時(shí)并未考慮cos（φ0）。李春蘭等［12-15］在Guo 等人研究的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究臨界產(chǎn)量及射孔程度，但并未修正cos（φ0）。

鑒于此，將正確的cos（φ0）代入文獻(xiàn)［7］的相關(guān)公式進(jìn)行重新推導(dǎo)、整理，最后得到修正后的底水油藏直井臨界產(chǎn)量公式及最佳射孔程度公式，并且首次運(yùn)用數(shù)學(xué)解析運(yùn)算方法，求解了底水油藏直井最佳射孔程度的最大極限值。

1 臨界產(chǎn)量公式修正

根據(jù)文獻(xiàn)［7］，假設(shè)油藏均質(zhì)且各向同性，忽略毛管力及表皮因子，則以穩(wěn)定滲流為主的底水油藏直井的臨界產(chǎn)量為：

式中，Qcr為臨界產(chǎn)量，m3/d；π 為圓周率，無量綱；k為儲層滲透率，10-3μm2；μ為地下原油黏度，mPa?s；rw為井筒半徑，m；C為系數(shù)（0.000 086 4），無量綱；x為射孔程度，無量綱；Δγ 為水油重度差，（g/cm3）?（m/s2）。

其中

式中，γw、γo分別為水、油重度，（g/cm3）?（m/s2）；ρw、ρo分別為水、油密度，g/cm3；g為重力加速度（9.80），m/s2。

用正確的式（2）代替錯(cuò)誤的式（1）后，沿用文獻(xiàn)［7］的公式推導(dǎo)方法，則臨界產(chǎn)量修正式為：

2 最佳射孔程度公式修正

根據(jù)文獻(xiàn)［7］，底水油藏直井的最佳射孔程度計(jì)算方程為：

式中，m1為系數(shù)，m；m2、m3分別為系數(shù)，無量綱；xopt為最佳射孔程度，無量綱。

其中

用正確的式（2）代替錯(cuò)誤的式（1）后，沿用文獻(xiàn)［7］的公式推導(dǎo)方法，則最佳射孔程度修正式為：

式中，C1，C2分別為系數(shù)，無量綱。

其中

3 最佳射孔程度的最大值求解方法

由式（13）可知，在實(shí)際油藏條件下，C2＞＞1，因而有

將式（14）代入式（11），得到最佳射孔程度的最大值xoptm：

式中，xoptm為最佳射孔程度最大值，無量綱。

由式（12）可知，在實(shí)際油藏條件下，C1＞＞8/9，因而有

將式（17）代入式（16），得

式（19）表示開采底水油藏直井的最佳射孔程度最大值為1/3。而文獻(xiàn)［7］在經(jīng)過大量的數(shù)值計(jì)算后，得出開采底水油藏直井的最佳射孔程度最大不超過1/3 的結(jié)論。兩者結(jié)論相近，只不過本文是直接得出解析解，而文獻(xiàn)［7］得出的是數(shù)值解。

4 實(shí)例分析

鄂爾多斯盆地某砂巖底水油藏采用直井開采，具體油藏及油井參數(shù)如下：油層厚度H=15 m；儲層滲透率k=142×10-3μm2；地下原油黏度μ=2.0 mPa.s；水油重度差Δγ=1.47（g/cm3）?（m/s2）；井筒半徑rw=0.1 m。

用上述實(shí)際油藏參數(shù)分別代入式（3）及式（6），并在Re/H分別為1，5，10的情況下，計(jì)算臨界產(chǎn)量隨射孔程度的變化趨勢，結(jié)果見圖2。

圖2 臨界產(chǎn)量隨射孔程度變化曲線

用上述實(shí)際油藏參數(shù)代入式（11）中，計(jì)算最佳射孔程度隨Re/H的變化趨勢，結(jié)果見圖3。

圖3 最佳射孔程度隨Re/H的變化曲線

由圖2可見，修正后的臨界產(chǎn)量大于文獻(xiàn)［7］的臨界產(chǎn)量；兩者的差值隨Re/H的減小而增大，隨射孔程度的減小而增大，最大相對差值可達(dá)9.24%。

由圖3可見，隨著Re/H的增大，最佳射孔程度逐漸增大，但最佳射孔程度最大值不超過1/3。修正后的最佳射孔程度與文獻(xiàn)［7］公式計(jì)算結(jié)果的差值不大，兩者的差值隨Re/H的減小而增大，最大相對差值為0.96%。

該砂巖底水油藏油層與底水層直接接觸，實(shí)際開發(fā)過程中采用不注水開發(fā)，采油井射孔程度均不超過1/3，平均射孔程度0.25，已開發(fā)40 a，地質(zhì)儲量采出程度已達(dá)到27.9%，綜合含水73.4%，開發(fā)效果好，預(yù)計(jì)最終水驅(qū)采收率可達(dá)到36.2%。

5 結(jié)論

（1）修正了底水油藏直井臨界產(chǎn)量計(jì)算公式中的cos（φ0）。

（2）修正了底水油藏直井臨界產(chǎn)量計(jì)算公式。

（3）修正了底水油藏直井最佳射孔程度計(jì)算公式，且最佳射孔程度可求得解析解。

（4）首次運(yùn)用數(shù)學(xué)解析方法，求解了底水油藏直井最佳射孔程度的最大值為1/3，克服了以往運(yùn)用大量數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算的繁瑣。