陳麗云

數(shù)學課程標準第二學段目標中明確指出：“要讓學生經(jīng)歷探索給定事物中隱含的規(guī)律，使學生的數(shù)學思考有條理，并具有一定的歸納能力。”目前小學數(shù)學教學中，學習資源碎片化，數(shù)學思考單一的情況較為普遍，現(xiàn)結(jié)合人教版數(shù)學四年級下冊“數(shù)圖形的學問”這一學習內(nèi)容，從設計有效活動、促進學習資源結(jié)構(gòu)化方面做一些探討。本課時通過讓學生畫示意圖、探究數(shù)圖方法的系列活動，經(jīng)歷在多次數(shù)簡單圖形的過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律并總結(jié)歸納方法，形成結(jié)構(gòu)化的探究過程，培養(yǎng)學生認真觀察、有序思考、總結(jié)歸納的思維品質(zhì)。

片段一：創(chuàng)設情境，提出問題

出示情境圖：

師：同學們，這是小鼴鼠的新家，請仔細觀察，你從圖中發(fā)現(xiàn)了哪些信息？

生1：一條隧道上有4個洞口。

生2：小鼴鼠說：“任選一個洞口進入，向前走，再任選一個洞口出來?！?/p>

師：讀了這句話，你讀明白了什么？請找一找關(guān)鍵詞。

生：任選、向前走。

師：同桌討論“任選、向前走”兩個關(guān)鍵詞的意思。

生1：“任選”就是可以從第1個口進入，從第2個口、第3個口或者第4個口出來。

生2：也可以從第2個口進入，第3個口或者第4個口出來。

生3：“向前走”就是只能向前走，不能往后走。

……

師：根據(jù)你了解的小鼴鼠地洞的信息，你能提出什么數(shù)學問題？

生1：小鼴鼠回家有多少條不同的路線？

生2：到小鼴鼠家做客可以走多少條不同的路線？

設計意圖：引導學生觀察情境圖，通過猜想和追問，找準關(guān)鍵詞，提出探索的問題。

片段二：獨立思考，探究方法

師：要研究這個有趣的問題，我們可以用什么辦法比較簡潔？

生1：可以用數(shù)圖的方法。

生2：可以畫線段圖來分析。

……

師：請同學們獨立思考，選用比較簡潔的方法嘗試畫示意圖。

教師巡視指導，展示有代表性的示意圖。

師：看示意圖，說一說1、2、3、4代表什么？哪里是洞口之間的距離？

生觀察發(fā)現(xiàn)：1、2、3、4代表洞口，洞口之間的距離不是很清楚。

師：說一說哪里是洞口？哪里是洞口之間的距離？

生觀察發(fā)現(xiàn)：洞口表示得很清楚，但表達不方便。

師：圖3和圖1、圖2有什么不一樣的地方？說一說。

生：我用字母A、B、C、D來表示洞口，用線段圖可以清楚地表示洞口之間的距離。如果用數(shù)字表示洞口，數(shù)的時候容易和數(shù)路線混淆。

師：三種示意圖哪一個更簡潔清晰？

生：示意圖3更簡潔清晰。

師：對呀，其實示意圖3就是把小鼴鼠家的路線圖轉(zhuǎn)化為線段圖了?？戳耸疽鈭D后你又發(fā)現(xiàn)了什么？

生：就是把數(shù)小鼴鼠回家的路線轉(zhuǎn)化為數(shù)線段圖的條數(shù)了。

師：這位同學真會思考。（板書：數(shù)圖形的學問）

設計意圖：數(shù)小鼴鼠回家的路線問題，其實質(zhì)是數(shù)點與點之間能組成多少種不同的線段問題。設計嘗試畫示意圖的動手操作活動，引導學生探究簡潔清晰的表示方法，通過展示三種有代表性的示意圖，讓學生在畫一畫后，再說一說、比一比，經(jīng)歷知識形成過程，在梳理表達中感知化繁為簡和轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，積累基本活動經(jīng)驗。

片段三：建構(gòu)模型，形成結(jié)構(gòu)化

1.建構(gòu)“數(shù)圖形”方法的模型。

師：請抓住關(guān)鍵詞“任選、向前走”研究第三個示意圖有多少條不同的路線？試著在圖上畫一畫、數(shù)一數(shù)，并跟同桌說一說。

學生自主畫圖，教師巡視指導，找出典型作業(yè)。

師引導學生逐一討論：

生：作業(yè)1和作業(yè)2有遺漏，沒有數(shù)完，作業(yè)3數(shù)的是對的。

師：請作業(yè)3的同學說一說你是怎么想的？

生：（邊說邊用彩色筆標注）我先數(shù)AB、AC、AD，再數(shù)BC、BD，最后數(shù)CD。

師：你能說說這樣數(shù)有什么好處嗎？

生：這樣有順序地數(shù)，可以做到不重復、不遺漏。

（板書：有序）

師：同學們琢磨琢磨，他是分幾類來數(shù)的？

生：三類。第一類是AB、AC、AD，第二類是BC、BD，第三類是CD。

師：（課件演示）這位同學是按點的位置分類從左到右的順序數(shù)。

從A點出發(fā)有3條路線AB、AC、AD，從B點出發(fā)有2條路線BC、BD，從C點出發(fā)有1條路線CD。所以列式為：3+2+1=6條。

師：按點的位置分類，在自己的圖上比畫比畫。

師：還有不同想法嗎？

學生作業(yè)4：

生：我數(shù)的也是6條，但方法不一樣。（邊說邊用彩色筆標注）我先數(shù)AB、BC、CD，再數(shù)AC、BD，最后數(shù)AD。

師：誰聽明白了？

生：他是先數(shù)1小段的，再數(shù)2段的，最后數(shù)3段的。

師：（課件演示）這位同學是按線段的長短分類，從短到長的順序數(shù)。最短的線段有3條AB、BC、CD，二合一的有2條AC、BD，最長的有1條AD。列式為：3+2+1=6條。

思考：這兩種數(shù)法都用算式“3+2+1”來表示，這里面“3”“2”“1”表示的意義相同嗎？

生：不相同，作業(yè)3的“3”表示從A點出發(fā)有3條路線，“2”表示從B點出發(fā)有2條路線，“1”表示從C點出發(fā)有1條路線;作業(yè)4的“3”表示最短的路線有3條，“2”表示二合一的路線有2條，“1”表示最長的路線有1條。

師：這位同學的表達很準確。剛才我們用數(shù)線段的方法解決了鼴鼠回家有多少條路線的問題，通過交流，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：都是按一定的順序來數(shù)，數(shù)法不同，結(jié)果相同。

師：有順序地數(shù)有什么好處？

生：有順序地數(shù)才能不重復不遺漏。

2.小結(jié)。

同學們說得很有道理，有順序地數(shù)可以幫助我們數(shù)的時候不重復不遺漏。（板書：不重復不遺漏）

設計意圖：站在學情視角和知識視角，由簡單問題入手，讓學生自主畫圖，在教師的引導下，交流不重復不遺漏數(shù)線段的方法。事實證明，學生能自己找到分類數(shù)的方法，并能準確表達。本環(huán)節(jié)讓學生經(jīng)歷了理解問題、獨立思考、分享交流、總結(jié)歸納的過程，從他們的所思、所做、所談中增長知識，積累經(jīng)驗。

片段四：探索規(guī)律，總結(jié)方法

師：看來在遇到問題的時候，同學們都能想到用畫示意圖的方法解決問題，而且能進行有序思考。剛剛小鼴鼠僅僅打了4個洞口，就有6種不同的路線。如果有5個洞口、6個洞口、7個洞口又會有多少種不同的路線呢？有興趣解決嗎？

出示學習要求：

（1）獨立填寫表格，可以畫一畫、數(shù)一數(shù)，也可以直接列出算式。

（2）觀察表格，思考從中發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

（3）在小組內(nèi)交流你的發(fā)現(xiàn)。

（4）教師巡視指導。

（5）全班反饋。

師：同學們怎么這么快就算出了結(jié)果？

生：有規(guī)律。

師：說說有什么規(guī)律？

生1：算式的加數(shù)從1加起，每個加數(shù)依次多1，最大的加數(shù)比端點數(shù)少1。

生2：最大的加數(shù)比端點數(shù)少1，依次減1往下加，一直加到1。

師：按照這樣的規(guī)律，9個端點怎么加？10個端點呢？

生：9個端點從8加起，依次減1一直加到1，10個端點從9加起，依次減1一直加到1。

師：如果100個端點，或者更多的端點呢？能否研究一個更簡潔的表示方法。

生：我們可以用n表示端點數(shù)。這樣就可以把算式總結(jié)為公式（n-1）+（n-2）+……+2+1。

設計意圖：“為學生學會思考而教”是數(shù)學教學的基本認識，本課從引讀情境圖—畫示意圖—探究問題串—形成結(jié)構(gòu)化這樣的思路進行探討，引導學生析讀圖意，理清數(shù)學信息結(jié)構(gòu)，提升學生思考的深度。通過結(jié)構(gòu)化教學，使生活問題數(shù)學化，復雜問題簡單化，數(shù)形結(jié)合模型化。

片段五：聯(lián)系生活，學以致用

師：同學們，今天我們主要采用畫圖法探究了數(shù)線段的方法，發(fā)現(xiàn)了有趣的數(shù)學規(guī)律，用這些數(shù)學規(guī)律可以解決很多生活中的問題。

課件出示臨滄到大理的鐵路交通圖。

師：2020年咱們臨滄鐵路開通了，拉近了我們與世界的距離，這是臨滄到大理的鐵路交通圖，觀察圖你看懂了什么信息？

生：我看到圖上有11個站。

師：臨滄到大理的站點中單程需要多少種不同的票？仔細閱讀題目你知道單程是什么意思嗎？

生1：從一個地方到另一個地方。比如：臨滄-丫口寨、臨滄-頭道水、臨滄-云縣、臨滄-茂蘭……

生2：只能往前走，去了不回來。

生3：就是有去無回。

師：同學們理解很到位，單程就是只去不回。能算算一共需要多少種不同的車票嗎？

生：這和我們數(shù)線段是一樣的，有11個站臺就相當于11個端點，可以用我們總結(jié)的公式（n-1）+（n-2）+……+2+1來計算，就是10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55，所以是55種不同的車票。

師：這位同學真會思考問題，結(jié)合我們研究的數(shù)線段問題解決了生活中的乘車問題。

設計意圖：借助研究的數(shù)學模型解決生活中的問題，使剛建立的數(shù)學模型得以應用，體現(xiàn)生活問題數(shù)學化，數(shù)學問題模型化，更好地讓學生體會到，數(shù)學不但來源于生活，更重要的是應用于生活。

片段六：歸納總結(jié)，拓展思路

師：這節(jié)課你學到了什么呢？

生1：我學到數(shù)線段的方法。

生2：我知道要想不重復不遺漏地數(shù)圖形，要按順序數(shù)，分類計數(shù)。

生3：要解決復雜的問題我們可以從簡單問題開始。

師：同學們通過這節(jié)課的研究獲得的知識還真不少。老師還有一個更好的妙招，給大家見識一下，下去試試能學懂嗎？有興趣的同學可以去查閱“高斯求和”的方法。

設計意圖：拓展是將原有知識進行思維延伸，提升解決新知識的能力，本課時對“數(shù)圖形的學問”進行系統(tǒng)化、層次化、結(jié)構(gòu)化的設計，抓住知識的延伸點適當拓展，滲透數(shù)學文化。同時讓學生帶著問題走進課堂，又帶著問題走出課堂，培養(yǎng)學生自主學習的意識和學習數(shù)學的興趣。