周 立,吳 瓊,姚仕明，胡德超

(1.華中科技大學(xué) 水電與數(shù)字化工程學(xué)院，武漢 430074；2.長(zhǎng)江科學(xué)院 河流研究所，武漢 430010)

1 研究背景

對(duì)大型江湖河網(wǎng)耦合系統(tǒng)進(jìn)行整體模擬，目前主要采用的數(shù)學(xué)模型方法(水動(dòng)力模型)包括一維模型[1-3]、低分辨率二維模型[4-5]和它們的嵌套模型[6-10]。大型江湖系統(tǒng)高維水動(dòng)力數(shù)值模擬的難點(diǎn)源于“計(jì)算區(qū)域大”和“整體模擬”。一方面，基于低分辨率計(jì)算網(wǎng)格的模型難以準(zhǔn)確描述河流、湖泊地形與河勢(shì)，導(dǎo)致計(jì)算精度不足；另一方面，高分辨模型計(jì)算量巨大。“計(jì)算精度與效率矛盾”使得一維模型統(tǒng)治江湖河網(wǎng)耦合系統(tǒng)水動(dòng)力研究領(lǐng)域已長(zhǎng)達(dá)近40 a[1-3]。2009年李琳琳[4]進(jìn)行了荊江-洞庭湖整體二維水動(dòng)力數(shù)值模擬的首次嘗試，她采用低分辨率計(jì)算網(wǎng)格(2.6萬(wàn)個(gè)尺度為0.6～3 km的三角形單元)剖分計(jì)算區(qū)域，并使用了商業(yè)軟件MIKE21顯式求解器。然而，她對(duì)自己所建立的江湖系統(tǒng)二維模型給出了如下評(píng)價(jià)：低分辨率計(jì)算網(wǎng)格二維模型(由于不能準(zhǔn)確描述江湖區(qū)域廣泛存在的灘槽形態(tài)與河勢(shì)(圖1))的精度反而低于一維或一二維嵌套模型。Xia等[11]針對(duì)平面二維水動(dòng)力模型，開(kāi)展了計(jì)算網(wǎng)格尺度對(duì)計(jì)算結(jié)果影響的敏感性分析，結(jié)果表明：低分辨率計(jì)算網(wǎng)格不能準(zhǔn)確描述河道形態(tài)、地物等，導(dǎo)致洪水預(yù)測(cè)結(jié)果失真。水動(dòng)力計(jì)算中，精度的優(yōu)先級(jí)高于計(jì)算效率。當(dāng)以高分辨率計(jì)算網(wǎng)格作為前提時(shí)，大型江湖系統(tǒng)高維水動(dòng)力模型“計(jì)算精度與效率”的矛盾即轉(zhuǎn)化為模型的計(jì)算效率瓶頸問(wèn)題。

圖1 低分辨率計(jì)算網(wǎng)格描述河勢(shì)的失真(以荊南河網(wǎng)某河段為例)Fig.1 Distortion of river regime described by low-resolution computational grid (example of the Jingnan River Network)

根據(jù)時(shí)間離散方式，水動(dòng)力模型可分為顯式、隱式兩大類(lèi)，它們?cè)诜€(wěn)定性、可并行性等方面差異很大。穩(wěn)定性直接決定模型可使用的最大時(shí)間步長(zhǎng)，可并行性直接影響程序?qū)ΜF(xiàn)代多核心計(jì)算機(jī)等技術(shù)的充分利用程度，它們共同決定了水動(dòng)力模型的計(jì)算效率。

顯式水動(dòng)力模型一般是條件穩(wěn)定的，其計(jì)算時(shí)間步長(zhǎng)受到Courant-Friedrichs-Lewy(CFL)穩(wěn)定條件的嚴(yán)格限制。傳統(tǒng)的歐拉類(lèi)方法顯式水動(dòng)力模型，在常規(guī)計(jì)算網(wǎng)格下通常只能使用幾秒甚至更小的計(jì)算時(shí)間步長(zhǎng)；優(yōu)點(diǎn)是具有良好的可并行性。Echeverribar等[12]采用一階顯式有限體積法二維模型和尺度為5～150 m的高分辨率網(wǎng)格(共86.77萬(wàn)個(gè)三角形單元)，模擬非恒定流耗時(shí)21 d(12核并行)。Xia等[11]基于Godunov型有限體積法二維模型和5～10 m高分辨率網(wǎng)格(約1億計(jì)算單元)，采用GPU并行，模型運(yùn)行速度約為實(shí)際水流運(yùn)動(dòng)時(shí)間的2.5倍。

隱式模型允許的時(shí)間步長(zhǎng)可以很大。但是，由于各個(gè)單元的計(jì)算是耦合在一起的，隱式模型一般是難以并行求解的。區(qū)域分解并行是并行化隱式模型的常規(guī)方法，例如Sawdey等[13]、Cai等[14]。Cai等[14]使用局部方法并行化求解各子區(qū)域所代表的子代數(shù)系統(tǒng)，在67.2萬(wàn)計(jì)算單元、20核心的算例測(cè)試中，并行化模型是串行模型速度的17.1倍。

從穩(wěn)定性、可并行性的角度講，顯式模型與隱式模型各有優(yōu)、缺點(diǎn)，顯式模型允許的時(shí)間步長(zhǎng)小但可并行性良好，隱式模型可使用很大的時(shí)間步長(zhǎng)但并行性較差。在進(jìn)行大型江湖系統(tǒng)整體平面二維水動(dòng)力模擬時(shí)，顯式、隱式模型究竟哪一種更快、更有優(yōu)勢(shì)？目前尚不清楚，需進(jìn)一步研究闡明。本文以荊江-洞庭湖系統(tǒng)為背景，選用MIKE21模型[15]和一種半隱式歐拉-拉格朗日模型[16-17]，開(kāi)展大型江湖系統(tǒng)整體高分辨顯式、隱式水動(dòng)力模型的計(jì)算效率比較研究，來(lái)回答這一問(wèn)題。

2 研究區(qū)域

研究區(qū)域?yàn)榍G江-洞庭湖(JDT)系統(tǒng)是一個(gè)大型的、強(qiáng)耦合的淺水系統(tǒng)(圖2)。整個(gè)系統(tǒng)水域面積達(dá)3 900 km2，包括荊江、洞庭湖和荊南河網(wǎng)三大子域。洞庭湖位于荊江南岸，同時(shí)承納由荊江松滋、太平、藕池三口分泄入湖的水量和洞庭湖水系湘、資、沅、澧四水的匯入。三口和四水的入流經(jīng)由洞庭湖調(diào)蓄后，在城陵磯處重新匯入長(zhǎng)江。JDT系統(tǒng)具有灘槽復(fù)式過(guò)流斷面，導(dǎo)致不同季節(jié)江湖區(qū)域出現(xiàn)不同流態(tài)。例如，洞庭湖在汛期被完全淹沒(méi)時(shí)形成一個(gè)湖泊，但在旱季只有類(lèi)似河流的水流通過(guò)狹窄的河道。

圖2 荊江-洞庭湖計(jì)算區(qū)域Fig.2 Computational domain of Jingjiang-Dongting river-lake system

收集到的JDT系統(tǒng)地形測(cè)圖分辨率以及測(cè)點(diǎn)之間縱向、橫向距離，如表1所示。

表1 JDT系統(tǒng)地形測(cè)圖分辨率與計(jì)算網(wǎng)格尺度Table 1 Resolution of the bathymetry graph and the com-putational grid scale of Jingjiang-Dongting(JDT)system

根據(jù)筆者多年的工程計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)計(jì)算網(wǎng)格尺度約等于地形測(cè)圖測(cè)點(diǎn)間距時(shí)，所建立的計(jì)算網(wǎng)格通常可以較好地描述河道的非規(guī)則邊界、灘槽形態(tài)及河勢(shì)，圖1(c)就是一個(gè)例子。此時(shí)，水動(dòng)力模型已可反映各種中尺度的水流結(jié)構(gòu)，獲取很高的計(jì)算精度。在工程附近，可輔以局部計(jì)算網(wǎng)格加密技術(shù)，以提高對(duì)工程建筑物的刻畫(huà)，并獲得較好地水動(dòng)力模型應(yīng)用效果。如果將計(jì)算網(wǎng)格尺度減小到地形測(cè)圖測(cè)點(diǎn)間距以下，水動(dòng)力模型計(jì)算精度的增加并不顯著。當(dāng)計(jì)算網(wǎng)格尺度大于地形測(cè)圖測(cè)點(diǎn)間距時(shí)，此時(shí)水動(dòng)力模型將不再能準(zhǔn)確描述河道的非規(guī)則邊界、灘槽形態(tài)及河勢(shì)，如圖1中的(a)、(b)。本研究采用非灘槽優(yōu)化的非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，在各個(gè)分區(qū)根據(jù)其測(cè)圖測(cè)點(diǎn)間距分區(qū)進(jìn)行剖分的方式布置計(jì)算網(wǎng)格，計(jì)算網(wǎng)格分辨率與地形分辨率一致(見(jiàn)表1)。使用較精細(xì)的結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格剖分河流、湖泊和河網(wǎng)中的河槽，以獲得較高的分辨率；灘地、江心洲由相對(duì)較大的非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格覆蓋，以節(jié)約計(jì)算單元。然后通過(guò)綜合網(wǎng)格索引，將2種類(lèi)型的網(wǎng)格統(tǒng)一起來(lái)，計(jì)算網(wǎng)格共計(jì)包含32.8萬(wàn)個(gè)四邊形單元。使用上述計(jì)算網(wǎng)格，可以用較少的單元準(zhǔn)確地刻畫(huà)灘槽地形與河勢(shì)形態(tài)。

3 模型基本原理

顯式模型采用目前應(yīng)用較為廣泛的MIKE21 FM水動(dòng)力模型[15]，隱式模型采用近期發(fā)表的半隱式歐拉-拉格朗日模型[16-18]。下面首先介紹這2種模型的基本架構(gòu)和數(shù)值離散方法。

MIKE21 FM采用守恒形式的平面二維淺水方程、非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格、Godunov類(lèi)型的有限體積法和黎曼近似解求解器，守恒性好，具有模擬急流、間斷問(wèn)題的能力[15]。根據(jù)界面左右變量的構(gòu)造方式不同，Godunov類(lèi)型的黎曼求解器可分為一階和二階精度兩種。源項(xiàng)數(shù)值離散，使用特征分解迎風(fēng)方法，以滿(mǎn)足靜水和諧條件。時(shí)間離散，MIKE21提供了低階的Euler方法和高階的Runge Kuta方法。MIKE21采用Open Multi-Processing(OpenMP)處理并行，適用于共享內(nèi)存計(jì)算機(jī)。顯式差分格式計(jì)算步長(zhǎng)受到Courant-Friedrichs-Lewy(CFL)數(shù)穩(wěn)定條件限制，要求CFL<1，導(dǎo)致模型允許時(shí)間步長(zhǎng)較小。根據(jù)MIKE21軟件手冊(cè)[15]，對(duì)于笛卡爾坐標(biāo)系下的淺水方程，CFL數(shù)定義為

式中：Δx、Δy分別為x方向和y方向的增量；Δt為時(shí)間步長(zhǎng)；u、v分別為x方向和y方向的速度；g為重力加速度；h為總水深。

半隱式歐拉-拉格朗日模型[16-18]采用非守恒形式的二維淺水方程，并使用算子分裂法將動(dòng)量方程拆成若干亞方程進(jìn)行求解。為消除快速重力波的穩(wěn)定性限制，采用θ半隱法將水位梯度項(xiàng)分為顯式和隱式兩部分進(jìn)行離散求解[16]；采用歐拉-拉格朗日法(ELM)求解對(duì)流項(xiàng)；顯式中心差分法離散水平擴(kuò)散項(xiàng)。為保證質(zhì)量守恒，使用有限體積法離散連續(xù)性方程。θ半隱法方法消除了快速表面重力波運(yùn)動(dòng)對(duì)時(shí)間步長(zhǎng)的限制，ELM消除了對(duì)流作用對(duì)時(shí)間步長(zhǎng)的限制。θ半隱法方法、ELM的聯(lián)合使用，使得上述隱式模型的計(jì)算時(shí)間步長(zhǎng)不受CFL條件限制，所以模型具有良好的數(shù)值穩(wěn)定性。對(duì)于隱式水動(dòng)力模型而言，源于u-p耦合產(chǎn)生的大型代數(shù)方程組的并行求解，一般是較困難的。本文采用文獻(xiàn)[16]報(bào)道的預(yù)測(cè)-校正分塊并行計(jì)算方法，進(jìn)行隱式水動(dòng)力模型u-p耦合的并行求解。與MIKE21相對(duì)應(yīng)，仍然采用OpenMP技術(shù)實(shí)現(xiàn)隱式模型在共享內(nèi)存的多核計(jì)算機(jī)上的并行計(jì)算。

4 水動(dòng)力模型參數(shù)率定

在使用荊江-洞庭湖平面二維水動(dòng)力模型之前，需要確定計(jì)算區(qū)域河床糙率nm。一般而言，平灘流量是最具有代表性的水流條件，根據(jù)余文疇的研究即荊江枝城水文站平灘流量為30 000 m3/s[19]。本文參照2005年8月1—3日發(fā)生在荊江-洞庭湖系統(tǒng)中的實(shí)際水流條件，進(jìn)行平均處理，作為系統(tǒng)的平灘水流條件，用于模型糙率參數(shù)率定。在平灘流量水流條件下，采用分塊率定的方法確定江湖河網(wǎng)系統(tǒng)曼寧糙率系數(shù)nm取值，具體方法見(jiàn)文獻(xiàn)[16]及文獻(xiàn)[17]。選取半隱式歐拉-拉格朗日模型，開(kāi)展河床阻力參數(shù)率定及模型計(jì)算精度的驗(yàn)證，作為后文效率測(cè)試的基礎(chǔ)。在平灘流量水流條件下，經(jīng)過(guò)水位、流量雙重率定計(jì)算，最終得到：荊江、荊南河網(wǎng)和洞庭湖的率定值從上游到下游分別為0.026～0.018、0.026～0.020和0.019～0.018。在使用上述糙率進(jìn)行水流模擬時(shí)，計(jì)算得到的水文站點(diǎn)的水位值、流量值與實(shí)測(cè)值符合良好。

以上述率定的nm分布為基礎(chǔ)，選取2012年作為典型年，開(kāi)展數(shù)學(xué)模型計(jì)算精度的驗(yàn)證。計(jì)算得到的水文站點(diǎn)流量過(guò)程、水位過(guò)程與實(shí)測(cè)資料的比較如圖3所示。然后，對(duì)2012年JDT系統(tǒng)中的非定常流過(guò)程進(jìn)行了數(shù)值模擬，驗(yàn)證了準(zhǔn)確性，流量的計(jì)算誤差一般在5%以?xún)?nèi)，水位的計(jì)算誤差一般在0.15 m以?xún)?nèi)。上述數(shù)學(xué)模型計(jì)算得到的流量、水位年變化過(guò)程均與實(shí)測(cè)資料符合較好，該率定驗(yàn)證結(jié)果表明：所使用的平面二維水動(dòng)力模型能較好模擬JDT系統(tǒng)水流運(yùn)動(dòng)，數(shù)學(xué)模型計(jì)算方法是可行的，參系數(shù)取值合理，滿(mǎn)足工程實(shí)踐應(yīng)用的精度要求。

圖3 計(jì)算的斷面流量、水位過(guò)程與實(shí)測(cè)資料的比較Fig.3 Comparison of discharge and water level process between calculation and measurement

5 模型穩(wěn)定性與計(jì)算效率測(cè)試

5.1 測(cè)試條件

硬件環(huán)境為具有16核處理器的共享內(nèi)存計(jì)算機(jī)(Intel Xeon E5-2697a v4,clock speed:2.6 GHz)，關(guān)閉超線程技術(shù)。采用Microsoft Windows 7作為軟件運(yùn)行環(huán)境。MIKE21軟件使用MIKE ZERO 2014版本。半隱式模型程序運(yùn)行環(huán)境為Microsoft Windows 7 and C++ 14.0。

加速比(Sp)定義為串行運(yùn)行時(shí)間與并行運(yùn)行時(shí)間之比，即

Sp=T1/Tnc。

(2)

式中：T1為使用1個(gè)核心運(yùn)行(串行)一個(gè)計(jì)算程序所消耗的時(shí)間；Tnc為使用nc個(gè)核心運(yùn)行(并行)一個(gè)計(jì)算程序所消耗的時(shí)間。

使用JDT系統(tǒng)對(duì)MIKE21與半隱式歐拉-拉格朗日模型進(jìn)行測(cè)試，以闡明顯式、隱式模型在模擬大型江湖系統(tǒng)水流運(yùn)動(dòng)時(shí)穩(wěn)定性和效率的差異。選取2種典型的水流條件進(jìn)行測(cè)試，分別為恒定流和非恒定流條件。恒定流流動(dòng)條件選擇最具有代表性的平灘流量，非恒定流條件采用JDT系統(tǒng)2012年非恒定流過(guò)程。

5.2 數(shù)值穩(wěn)定性測(cè)試

在測(cè)試中，當(dāng)時(shí)間步長(zhǎng)(Δt)達(dá)到90 s，仍可保證良好的數(shù)值穩(wěn)定性和取得精確的模擬結(jié)果。所選用的顯式模型(MIKE21水動(dòng)力模型)時(shí)間步長(zhǎng)需嚴(yán)格滿(mǎn)足CFL穩(wěn)定條件。以荊江干流為例，最大水深約50～60 m，最大流速可達(dá)4 m/s，最小計(jì)算網(wǎng)格尺度取50 m，代入式(2)計(jì)算，可知CFL<1穩(wěn)定條件理論上所允許的最大時(shí)間步長(zhǎng)為2 s。在模擬天然實(shí)際河道時(shí)，由于局部河道地形變化劇烈、干濕動(dòng)邊界頻繁轉(zhuǎn)換等原因，MIKE21水動(dòng)力模型允許的最大的Δt下降至0.8 s。

5.3 計(jì)算效率測(cè)試

其一，在平灘流量水流測(cè)試條件下，分別使用nc=1、2、4、8、16，測(cè)試隱式和顯式數(shù)學(xué)模型的計(jì)算效率。為了保證每種測(cè)試條件下，所運(yùn)行的計(jì)算程序占用CPU緩存基本接近，在nc≤8的測(cè)試條件下，相應(yīng)地增加同時(shí)運(yùn)行的程序的數(shù)量，以近似平分CPU的緩存。顯式模型(MIKE21模型)和隱式模型(半隱式歐拉-拉格朗日模型)完成1 d的水流模擬所需要的時(shí)間如表2所示。由表2可知，顯式模型在nc=16測(cè)試條件下的加速比Sp=15.8，與此同時(shí)，隱式模型的加速比Sp=11.1。隨著nc數(shù)量的增加，顯式模型由于各個(gè)單元或節(jié)點(diǎn)計(jì)算的獨(dú)立性，保持著良好的加速性能；隱式模型由于使用了預(yù)測(cè)-校正分塊并行計(jì)算方法，在nc=16時(shí)仍保持著很大的加速比。在平灘流量水流測(cè)試條件下，顯式模型的計(jì)算耗時(shí)是隱式模型的35.4～50.8倍。

表2 顯式、隱式1 d水流模擬所需要的時(shí)間Table 2 Time of explicit and implicit models for simulating one-day flow process

其二，在2012年實(shí)測(cè)水流邊界條件下，使用nc=16測(cè)試隱式和顯式數(shù)學(xué)模型的計(jì)算效率。根據(jù)模型運(yùn)行中的時(shí)間記錄，顯式模型模擬1 a的非恒定流過(guò)程需要411 h，半隱式模型需要10.76 h。在非恒定流測(cè)試條件下，隱式模型的計(jì)算效率是顯式模型的38.2倍。

6 討 論

本文以荊江-洞庭湖系統(tǒng)為背景，建立基于高分辨率計(jì)算網(wǎng)格的平面二維顯式與隱式水動(dòng)力模型，開(kāi)展模型性能的比較研究，探討將高分辨率高維水動(dòng)力模型用于模擬大規(guī)模淺水系統(tǒng)的可能性。以下將圍繞“分辨率與計(jì)算精度”“顯式與隱式模型特點(diǎn)”“高分辨模型實(shí)際意義”3個(gè)方面展開(kāi)討論。

6.1 高分辨率與低分辨率計(jì)算網(wǎng)格的顯式模型

低分辨率與高分辨率顯式模型，在計(jì)算精度、穩(wěn)定性、計(jì)算效率方面的差別如下。

(1)計(jì)算精度。一維數(shù)學(xué)模型由于控制方程簡(jiǎn)化無(wú)法完全反映水流運(yùn)動(dòng)物理特性，因而精度不高。李義天[19]曾對(duì)國(guó)家“九五”期間長(zhǎng)江科學(xué)院、中國(guó)水利水電科學(xué)研究院等多家單位的三峽水庫(kù)下游一維江湖模型計(jì)算成果進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)它們的水位計(jì)算誤差可達(dá)-1.412～1.932 m。低分辨率計(jì)算網(wǎng)格(圖1中的(a)[4]、(b)[5])不能準(zhǔn)確描述平原江湖系統(tǒng)中廣泛存在的灘槽分布與復(fù)雜河勢(shì)。根據(jù)文獻(xiàn)[4]，基于低分辨率計(jì)算網(wǎng)格的平面二維水流模型在中小流量條件下的計(jì)算精度甚至低于一維模型或一二維嵌套模型。本文采用包含32.78萬(wàn)個(gè)四邊形的高分辨率網(wǎng)格(圖1(c))改善模型計(jì)算精度，水位、流量計(jì)算誤差一般分別在0.15 m、5%以?xún)?nèi)，較以往的江湖河網(wǎng)數(shù)學(xué)模型(一維模型、低分辨率二維模型及它們的嵌套模型)[2-4]計(jì)算精度提高約1個(gè)數(shù)量級(jí)。

(2)數(shù)值穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[4]在進(jìn)行荊江-洞庭湖平面二維水動(dòng)力模型建模時(shí)，采用粗尺度計(jì)算網(wǎng)格(2.6萬(wàn)個(gè)尺度為0.6～3 km的三角形單元)剖分計(jì)算區(qū)域。根據(jù)CFL條件估算，她使用的MIKE21顯式水動(dòng)力模型的時(shí)間步長(zhǎng)在理論上不能>12 s，在真實(shí)江湖復(fù)雜地形、干濕動(dòng)邊界頻繁轉(zhuǎn)換等的擾動(dòng)下，實(shí)際能達(dá)到的時(shí)間步長(zhǎng)還需減小數(shù)倍。本文采用包含32.78萬(wàn)個(gè)四邊形的高分辨率網(wǎng)格，最小網(wǎng)格尺度縮小約為50 m。在同樣使用MIKE21顯式求解器時(shí)，測(cè)試表明能夠保證穩(wěn)定計(jì)算的最大時(shí)間步長(zhǎng)僅為0.8 s。

(3)計(jì)算效率。文獻(xiàn)[4]采用僅含有2.6萬(wàn)個(gè)三角形的低分辨率網(wǎng)格和MIKE21模型，模擬荊江-洞庭湖1 a水流過(guò)程需140 h。若改用高分辨率計(jì)算網(wǎng)格，考慮到計(jì)算網(wǎng)格數(shù)量增加、CFL穩(wěn)定條件對(duì)時(shí)間步長(zhǎng)的限制，模型耗時(shí)將呈數(shù)量級(jí)的增加。本文采用包含32.78萬(wàn)個(gè)四邊形的高分辨率網(wǎng)格MIKE21模型進(jìn)行測(cè)試，在16核心并行的計(jì)算機(jī)條件下，模擬1 a非恒定流過(guò)程耗時(shí)約411 h，換算為串行運(yùn)行計(jì)算時(shí)間約為6 526 h。由此可見(jiàn)，在使用高分辨計(jì)算網(wǎng)格代替低分辨計(jì)算網(wǎng)格后，計(jì)算耗時(shí)將增加約47倍。從大型江湖系統(tǒng)整體平面二維水動(dòng)力模擬的效率來(lái)看，顯式模型尚難以滿(mǎn)足實(shí)用速度的要求。

低分辨率模型難以準(zhǔn)確模擬河勢(shì)演變，高分辨模型存在計(jì)算效率嚴(yán)重不足、難以實(shí)用的瓶頸，正是由于這些不利情況，使得一維數(shù)學(xué)模型的使用率在江湖河網(wǎng)耦合系統(tǒng)水動(dòng)力研究領(lǐng)域領(lǐng)先多年[20-22]。

6.2 高分辨率計(jì)算網(wǎng)格的顯式模型與隱式模型

在相同的高分辨率計(jì)算網(wǎng)格與河床糙率取值條件下，荊江-洞庭湖平面二維顯式與隱式平面二維水動(dòng)力模型所取得的計(jì)算結(jié)果基本一致。下面重點(diǎn)比較兩類(lèi)模型的數(shù)值穩(wěn)定性和計(jì)算效率。

(1)計(jì)算的時(shí)間步長(zhǎng)。本文所使用的半隱式歐拉-拉格朗日平面二維水動(dòng)力模型的時(shí)間步長(zhǎng)不受快速表面重力波運(yùn)動(dòng)、對(duì)流作用等的限制，在時(shí)間步長(zhǎng)為45、60和90 s時(shí)，都可保證良好的數(shù)值穩(wěn)定性并取得精確的模擬結(jié)果，本文在測(cè)試時(shí)使用Δt=60 s。與此同時(shí)，MIKE21的計(jì)算時(shí)間步長(zhǎng)由于受Courant數(shù)穩(wěn)定條件限制，理論上要求CFL<1,經(jīng)過(guò)實(shí)際測(cè)試，在JDT高分辨計(jì)算網(wǎng)格條件下，其Δt最大只能取至0.8 s。相比之下，隱式水動(dòng)力模型的時(shí)間步長(zhǎng)可達(dá)到顯式模型的75倍以上。

(2)計(jì)算效率。顯式模型的加速比隨核心數(shù)量基本呈現(xiàn)線性變化，隱式模型在使用了預(yù)測(cè)—校正分塊并行計(jì)算方法時(shí)，亦可取得非常大的加速比，加速比隨核心數(shù)量呈現(xiàn)為亞線性變化。在串行計(jì)算條件下，模擬1 d恒定流過(guò)程的測(cè)試中，顯式模型耗時(shí)近18.1 h，隱式模型耗時(shí)約0.36 h，后者計(jì)算效率為前者的50.8倍。在16核并行計(jì)算條件下，模擬1 a非恒定流過(guò)程，顯式模型耗時(shí)411 h，隱式模型耗時(shí)10.76 h，后者計(jì)算效率是前者的38.2倍。

7 結(jié) 論

本文以荊江-洞庭湖系統(tǒng)為背景，選用MIKE21模型和一種半隱式歐拉-拉格朗日模型，開(kāi)展大型江湖系統(tǒng)整體高分辨(32.8萬(wàn)個(gè)四邊形單元,最小網(wǎng)格尺度約50 m)顯式、隱式水動(dòng)力模型性能的比較研究。結(jié)論如下：

(1)模型率定驗(yàn)證結(jié)果表明：高分辨率計(jì)算網(wǎng)格平面二維水動(dòng)力模型流量的計(jì)算誤差一般在5%以?xún)?nèi)，水位的計(jì)算誤差一般在0.15 m以?xún)?nèi)，較以往的江湖河網(wǎng)數(shù)學(xué)模型(一維模型、低分辨率平面二維模型及它們的嵌套模型)計(jì)算精度提高約1個(gè)數(shù)量級(jí)。

(2)在基于高分辨計(jì)算網(wǎng)格模擬JDT水流運(yùn)動(dòng)時(shí)，顯式模型穩(wěn)定性較差，時(shí)間步長(zhǎng)一般不能超過(guò)0.8 s；隱式模型穩(wěn)定性好，時(shí)間步長(zhǎng)可達(dá)60 s以上。隱式模型時(shí)間步長(zhǎng)可達(dá)到顯式模型的75倍以上。

(3)典型水流條件下的模型并行加速性能測(cè)試結(jié)果表明，顯式模型具有良好的可并行性，加速比隨核心數(shù)量基本呈現(xiàn)為線性變化；隱式模型在使用了預(yù)測(cè)-校正分塊并行計(jì)算方法時(shí)，亦可取得非常大的加速比，例如，隱式模型在nc=16測(cè)試條件下的加速比Sp可達(dá)11.1。

(4)在整年非恒定水動(dòng)力過(guò)程的模擬測(cè)試中(使用16核心并行計(jì)算)，顯式、隱式模型的耗時(shí)分別為411、10.76 h。從數(shù)學(xué)模型的絕對(duì)計(jì)算效率來(lái)看，隱式模型的計(jì)算效率是顯式模型的38.2倍。在基于高分辨率計(jì)算網(wǎng)格開(kāi)展大規(guī)模淺水系統(tǒng)整體水動(dòng)力模擬時(shí)，隱式模型計(jì)算效率是顯式模型的數(shù)十倍，可極大地提高大型江湖系統(tǒng)整體高維數(shù)學(xué)模型的實(shí)用價(jià)值。