◎殷 濤 (南京市金陵中學(xué),江蘇 南京 210005)

引 言

等比數(shù)列這一章節(jié)的內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn).等比數(shù)列章節(jié)知識(shí)主要包括等比數(shù)列的概念、定義以及前n項(xiàng)和的求解公式等內(nèi)容.為了降低學(xué)習(xí)的難度，教師往往從學(xué)生較為熟悉的內(nèi)容入手，采用多媒體視頻或者數(shù)學(xué)趣味小故事來(lái)導(dǎo)入課程.學(xué)生在驗(yàn)證數(shù)學(xué)趣味小故事的時(shí)候，會(huì)不斷靠近等比數(shù)列的學(xué)習(xí)內(nèi)容，在猜想、歸納和總結(jié)中得出等比數(shù)列的公式.這種方法不僅可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，還可以將數(shù)學(xué)與生活整合在一起，踐行數(shù)學(xué)的應(yīng)用性特點(diǎn)，對(duì)于學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)有著促進(jìn)作用.

一、教學(xué)設(shè)計(jì)思想

(一)設(shè)計(jì)理念

隨著新課程改革的不斷深入，教師要秉持著因材施教的理念，在設(shè)計(jì)課堂教學(xué)過(guò)程中要面向全體同學(xué)，以達(dá)到“想學(xué)習(xí)的人均可以獲得數(shù)學(xué)知識(shí)”的目的.在設(shè)計(jì)前期，教師需要將三維教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)內(nèi)容進(jìn)行整合，邀請(qǐng)學(xué)生一起互動(dòng)，培養(yǎng)他們良好的情感、態(tài)度和價(jià)值觀，進(jìn)而幫助學(xué)生樹(shù)立正確的數(shù)學(xué)觀.在教學(xué)時(shí)，教師需要引導(dǎo)學(xué)生從簡(jiǎn)單內(nèi)容的學(xué)習(xí)過(guò)渡到核心知識(shí)上.在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生在頭腦之中會(huì)對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行重組，數(shù)學(xué)思維得到激發(fā).在引用例子的時(shí)候，教師往往會(huì)聯(lián)系生活實(shí)際，讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義，從而培養(yǎng)他們的社會(huì)意識(shí)，明確生活化數(shù)學(xué)的科學(xué)合理性.

(二)設(shè)計(jì)背景

傳統(tǒng)的課堂教學(xué)以學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)和解題能力提升為主，很少涉及核心素養(yǎng)內(nèi)容，導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)枯燥乏味，數(shù)學(xué)與日常生活相互獨(dú)立，不利于學(xué)生綜合能力的提升以及核心素養(yǎng)的培養(yǎng).新課程標(biāo)準(zhǔn)理念需要教師重新認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值，充分研讀高中數(shù)學(xué)課程大綱，深入理解核心素養(yǎng)的內(nèi)涵，突破傳統(tǒng)的教學(xué)方式，創(chuàng)新教學(xué)的方式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).這就需要教師既要幫助學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，還要幫助他們?cè)趯W(xué)習(xí)的過(guò)程中學(xué)會(huì)歸納總結(jié)和自主探究，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力.

二、教學(xué)目標(biāo)

(一)知識(shí)目標(biāo)

1.引導(dǎo)學(xué)生掌握等比數(shù)列的定義，會(huì)根據(jù)定義判斷某數(shù)列是否屬于等比數(shù)列；掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，并應(yīng)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式靈活解題.

2.引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)等比數(shù)列的表示方法，靈活運(yùn)用通項(xiàng)公式求等比數(shù)列的首項(xiàng)、公比以及指定項(xiàng)；引導(dǎo)學(xué)生掌握前n項(xiàng)和的推導(dǎo)過(guò)程.

3.通過(guò)通項(xiàng)公式認(rèn)識(shí)等比數(shù)列的性質(zhì)，運(yùn)用前n項(xiàng)和公式來(lái)解決生活中的某些實(shí)際問(wèn)題.

(二)能力目標(biāo)

通過(guò)對(duì)等比數(shù)列概念、通項(xiàng)公式的學(xué)習(xí)，逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比、歸納、猜想等思維品質(zhì)，并在前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程中體會(huì)分類討論的思想方法.

(三)情感態(tài)度價(jià)值觀

通過(guò)學(xué)習(xí)等比數(shù)列的概念，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的思維習(xí)慣以及實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度；通過(guò)對(duì)等比數(shù)列的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的應(yīng)用價(jià)值，幫助他們樹(shù)立正確的價(jià)值觀.

三、教材分析

(一)知識(shí)結(jié)構(gòu)

等比數(shù)列與等差數(shù)列是高中教材中的重點(diǎn)內(nèi)容.在教材結(jié)構(gòu)安排上，教師往往是帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行等差數(shù)列的學(xué)習(xí)，然后采用類比的方法，歸納出等比數(shù)列的定義，推導(dǎo)出相關(guān)的公式.同時(shí)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和又是另外一個(gè)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，其內(nèi)容要比通項(xiàng)公式復(fù)雜得多.在等比數(shù)列前n項(xiàng)和的學(xué)習(xí)中，往往采用分類討論的思想來(lái)思考不同條件下的前n項(xiàng)和公式，這有利于培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維.

(二)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

1.教學(xué)重點(diǎn)

等比數(shù)列的定義；通項(xiàng)公式；等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)、證明以及應(yīng)用.

2.教學(xué)難點(diǎn)

等比數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)以及靈活應(yīng)用.

四、教學(xué)過(guò)程

(一)創(chuàng)設(shè)情境，由生活問(wèn)題向?qū)W習(xí)內(nèi)容貼近

教師為學(xué)生創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境.

在很久以前，古希臘國(guó)王發(fā)現(xiàn)了64格棋盤(pán)的趣味性，決定要大大嘉獎(jiǎng)發(fā)明它的宰相，并允許其說(shuō)出想要的獎(jiǎng)品.宰相的賞賜要求很簡(jiǎn)單，即在棋盤(pán)的第一格子內(nèi)放一粒麥子，第二個(gè)格子內(nèi)放兩粒麥子，此后每個(gè)格子的麥粒數(shù)目都是上一個(gè)格子的二倍，他就要這64格棋盤(pán)上擺滿的麥粒.國(guó)王一聽(tīng)，認(rèn)為這個(gè)賞賜太簡(jiǎn)單，便隨口答應(yīng)了下來(lái).那么問(wèn)題來(lái)了，這64格棋盤(pán)究竟可以放多少麥粒呢，國(guó)王是否會(huì)真正的答應(yīng)他呢？

師：同學(xué)們你們?nèi)绾蝸?lái)計(jì)算這道趣味數(shù)學(xué)題目呢？

生：(思考之后)這相當(dāng)于求1+2+22+23+24+…+263，化簡(jiǎn)的結(jié)果為264-1，通過(guò)計(jì)算機(jī)可以發(fā)現(xiàn)其結(jié)果約為1.84×1019，那么這么多麥粒到底有多重呢？我們可以將抽象的數(shù)字細(xì)化為生活中常見(jiàn)的重量單位.一千粒麥子的重量約為40克，那么這堆麥粒的總重量大約為7000億噸，為此國(guó)王應(yīng)該不會(huì)同意宰相的要求.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問(wèn)題情境，可以將枯燥乏味的數(shù)學(xué)知識(shí)與生活實(shí)際內(nèi)容緊密地聯(lián)系起來(lái)，讓學(xué)生真正地意識(shí)到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又應(yīng)用于生活.從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生積極地投入到教學(xué)活動(dòng)之中.

(二)在小組合作探究中，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

師:剛才我們解決了麥粒問(wèn)題，如果將20、21、22、23…264排列在一起，可以發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)等比數(shù)列，而那個(gè)相加的公式便是等比數(shù)列的前64項(xiàng)求和公式.從這個(gè)特殊的案例，我們是否可以嘗試推導(dǎo)一下常規(guī)情況下的等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式呢？

生1：我知道這是運(yùn)用了類比的方法，根據(jù)特殊情況來(lái)類推常規(guī)情況.我們可以觀察麥粒求和的公式來(lái)發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.

師:這位同學(xué)說(shuō)得非常對(duì)，我們可以利用麥粒求和算式來(lái)類推等比數(shù)列的前n項(xiàng)求和公式，大家以小組為單位，嘗試一下能否推導(dǎo)出來(lái)這個(gè)公式呢？

小組以前后桌為單位開(kāi)展了小組合作學(xué)習(xí)，運(yùn)用集體的智慧來(lái)推導(dǎo)求和公式.教師在這個(gè)過(guò)程中巡視，并對(duì)學(xué)生們?cè)谟懻撨^(guò)程中遇到的問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥.當(dāng)所有的小組討論結(jié)束后，教師邀請(qǐng)一名同學(xué)上臺(tái)演示推導(dǎo)過(guò)程.

【設(shè)計(jì)意圖】新課程改革背景下，教師要引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展小組探究合作，來(lái)幫助學(xué)生相互學(xué)習(xí)、優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，不僅可以提升數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量，還可以培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)以及探究精神，達(dá)到培養(yǎng)核心素養(yǎng)的目的.

(三)學(xué)以致用，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力

教師利用多媒體課件為學(xué)生出示例題1.

教師邀請(qǐng)兩名學(xué)生上臺(tái)進(jìn)行演示，其他學(xué)生在下面利用草稿紙進(jìn)行計(jì)算.

【設(shè)計(jì)意圖】在上面的教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師剛剛帶領(lǐng)學(xué)生推導(dǎo)出公式，學(xué)生的印象比較深刻，正所謂趁熱打鐵，教師立刻為學(xué)生布置較為簡(jiǎn)單的例題，來(lái)幫助他們鞏固基礎(chǔ).同時(shí)，教師還可以幫助學(xué)生糾正錯(cuò)誤，并強(qiáng)調(diào)書(shū)寫(xiě)的規(guī)范性，以此來(lái)提高學(xué)生的計(jì)算能力，培養(yǎng)他們良好的計(jì)算習(xí)慣.

教師為學(xué)生出示例題2.

某大型商場(chǎng)為了增加營(yíng)業(yè)額，籌備了某方案，方案之中預(yù)計(jì)今年要銷(xiāo)售計(jì)算機(jī)5000臺(tái)，假設(shè)此后每年的銷(xiāo)售量均比上一年增加10個(gè)百分點(diǎn).問(wèn)：從今年開(kāi)始，大約幾年可以使總銷(xiāo)售量達(dá)到30000臺(tái).(結(jié)果精確到個(gè)位)

教師引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題，可以發(fā)現(xiàn)基數(shù)是5000，增長(zhǎng)的比例為10%，最終銷(xiāo)售的總量是30000.與本章節(jié)內(nèi)容相聯(lián)系，就可以發(fā)現(xiàn)利用這些數(shù)學(xué)元素可以構(gòu)建一個(gè)等比數(shù)列的關(guān)系式，所求解的n即為最終答案，通過(guò)帶入公式求得n的結(jié)果為10.為此，大約十年可以使銷(xiāo)售的總量達(dá)到預(yù)期的30000臺(tái).

師：通過(guò)分析這道應(yīng)用題，我們可以總結(jié)出相應(yīng)的答題步驟.首先，閱讀題目，尋找數(shù)學(xué)元素，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型.然后，分析數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)知識(shí)解答相應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題.最后，將數(shù)學(xué)答案與實(shí)際問(wèn)題所求的量進(jìn)行對(duì)接，并結(jié)合實(shí)際情況思考答案是否正確.

【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)源于生活，自然也要用來(lái)解決實(shí)際的問(wèn)題.在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，教師要善于尋找符合生活實(shí)際的例子，而不是直接以數(shù)字的形式呈現(xiàn)給學(xué)生，這樣可以幫助學(xué)生培養(yǎng)生活化的思維.同時(shí)，教師還要引導(dǎo)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并選取合適的數(shù)學(xué)模型來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而培養(yǎng)他們的解題能力，為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)奠定基礎(chǔ).

教師見(jiàn)到學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情比較高，于是給學(xué)生布置一道自主練習(xí)的題目：

窮人向地主借錢(qián)，吝嗇的地主竟然滿口答應(yīng)了下來(lái)，地主每天給窮人100塊錢(qián)，窮人從第一天開(kāi)始還給富人一分錢(qián)，第二天還2分錢(qián)，此后每天所還錢(qián)數(shù)均為前一天的兩倍，約定期限為30天.問(wèn)，最后窮人能否盈利.

學(xué)生自主思考問(wèn)題，可以適當(dāng)進(jìn)行小組討論.教師巡視，觀看學(xué)生自主解題的成果.當(dāng)大部分的學(xué)生解答完問(wèn)題之后，教師邀請(qǐng)一名同學(xué)上臺(tái)分享自己的解題思路和解題過(guò)程.

生：首先要計(jì)算地主總共給了窮人多少錢(qián)，即T=100×30=3000元.然后計(jì)算窮人還給富人多少錢(qián)，即a1=1,q=2，單位為分，將其帶入到等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式中，換算之后可以得出S=10737418.23元，最后通過(guò)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)窮人最后虧了上千萬(wàn)元.

師:這位學(xué)生做得非常好，這道題表面是一道比大小的問(wèn)題，但是如果將數(shù)學(xué)元素找出來(lái)，并進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，可以發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)是等比數(shù)列前n項(xiàng)和的應(yīng)用案例，同學(xué)們可以細(xì)細(xì)感悟一下這種思想轉(zhuǎn)化法的運(yùn)用.

【設(shè)計(jì)意圖】布置這種數(shù)學(xué)問(wèn)題的核心目的是鞏固等比數(shù)列前n項(xiàng)和的知識(shí)，輔助目的則是提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)積極性以及自信心，從而構(gòu)建高效的數(shù)學(xué)課堂，培養(yǎng)學(xué)生們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

四、教后反思

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)并非借助某一節(jié)課程就可以培養(yǎng)成功，但是教師需要將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)容細(xì)化到每一節(jié)課中，甚至細(xì)化到每一個(gè)環(huán)節(jié)之中.在教學(xué)前期，教師要制定與核心素養(yǎng)相關(guān)的教學(xué)目標(biāo).然后深挖教材，制定科學(xué)合理的教學(xué)計(jì)劃，在各個(gè)環(huán)節(jié)融入核心素養(yǎng).從本節(jié)課的教學(xué)情況來(lái)看，我主要講解等比數(shù)列中的一小節(jié),即等比數(shù)列前n項(xiàng)和的推導(dǎo)與求解.在教學(xué)方法上，我利用情境教學(xué)法、生活化教學(xué)法、多媒體教學(xué)法等多種方法來(lái)豐富數(shù)學(xué)課堂，不僅幫助學(xué)生理解并掌握了相關(guān)的知識(shí)，更重要的是提高了他們的數(shù)學(xué)綜合能力，培養(yǎng)了他們的核心素養(yǎng)，這既符合新課標(biāo)的要求，也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)改革發(fā)展的必然舉措.

五、結(jié)論

通過(guò)上面的分析，我們可以發(fā)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是一項(xiàng)長(zhǎng)期的任務(wù)，任重而道遠(yuǎn).在應(yīng)試化教育思想的影響下，高中數(shù)學(xué)教師想要改進(jìn)自己的教學(xué)方法存在一定的難度.但是教師應(yīng)該認(rèn)識(shí)到核心素養(yǎng)的價(jià)值，通過(guò)培訓(xùn)、網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)等手段提升自身的專業(yè)素質(zhì)以及教學(xué)能力，探索培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的更優(yōu)方法，從而提高高中數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量.正所謂“路漫漫其修遠(yuǎn)兮，吾將上下而求索”.盡管現(xiàn)階段高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)尚且存在著問(wèn)題，但是我們要始終堅(jiān)信，在教師、學(xué)校以及學(xué)生的共同努力下，高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)任務(wù)定然會(huì)取得較大的突破.