文∣劉兆偉

圖形公式是“圖形與幾何”領(lǐng)域的重要內(nèi)容。小學(xué)數(shù)學(xué)中的圖形公式知識包括平面圖形的周長、面積公式，立體圖形的體積、表面積公式等。在這些內(nèi)容的教學(xué)中，不僅要讓學(xué)生通過探究得到公式，運用公式解決問題，而且要讓學(xué)生在探究的過程中發(fā)展空間觀念，感悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。根據(jù)這幾年的課堂觀察，筆者發(fā)現(xiàn)大部分教師在圖形公式教學(xué)中開始注重圖形公式的探究過程，但仍以得到圖形公式及熟練運用公式計算為主要教學(xué)目標，欠缺空間觀念的培養(yǎng)、數(shù)學(xué)思想的感悟以及數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累。

一、不可忽視空間觀念的培養(yǎng)

“圖形與幾何”領(lǐng)域教學(xué)的核心目標是培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，這也應(yīng)成為圖形公式教學(xué)的核心目標。想象力是空間觀念培養(yǎng)的關(guān)鍵，不管在圖形公式的推導(dǎo)過程中，還是在圖形公式的應(yīng)用過程中，我們都可以讓學(xué)生通過想象發(fā)展空間觀念。

(一)在公式推導(dǎo)過程中，讓學(xué)生通過想象發(fā)展空間觀念

圖形公式推導(dǎo)過程的本質(zhì)是推理過程。借助符號進行的形式化推理過程過于抽象，而小學(xué)生的思維以形象思維為主，所以，如果僅僅借助推理得到一般化的圖形公式，部分學(xué)生會難以理解。在推導(dǎo)圖形公式的過程中，我們可以先讓學(xué)生通過探究得到具體圖形周長、面積或體積的計算方法，再讓學(xué)生通過想象將計算方法由具體圖形推導(dǎo)至一般圖形，并借此得到一般化的圖形公式。這樣的過程不僅能夠讓學(xué)生理解圖形公式背后的數(shù)學(xué)道理，而且可以發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

在教學(xué)蘇教版小學(xué)《數(shù)學(xué)》六年級上冊“長方體和正方體的體積”一課時，筆者為學(xué)生提供了若干個1立方厘米的小正方體，先讓學(xué)生用這些小正方體搭一個長、寬、高分別是4厘米、3厘米、2厘米的長方體，再讓學(xué)生根據(jù)搭的過程說說這個長方體的體積為什么可以用4×3×2來計算。接著，讓學(xué)生將這個長方體的高變?yōu)?厘米，長和寬不變，并讓學(xué)生說說現(xiàn)在這個長方體的體積怎么計算，以及為什么可以這樣計算。隨后，讓學(xué)生想象：“如果這個長方體的長和寬不變，將高逐漸變?yōu)?厘米、5厘米……這個長方體的體積可以怎么計算，為什么可以這樣計算？”學(xué)生根據(jù)想象能夠歸納出：當長方體的長、寬、高分別是4厘米、3厘米、a厘米時，可以用4×3×a來計算它的體積。隨后，筆者讓學(xué)生用同樣的方法想象，僅當長或?qū)挵l(fā)生變化時，長方體的體積可以怎么計算，以及為什么可以這樣計算。最后，學(xué)生在三次想象的基礎(chǔ)上，歸納出長方體的體積公式V=abh。

讓學(xué)生依據(jù)一個具體的長方體的體積計算方法，通過控制變量的方法，依據(jù)想象逐步得出在長和寬不變、或?qū)捄透卟蛔?、或長和高不變的情況下，長方體的體積如何計算，以及為什么可以這樣計算，最后歸納出長方體的體積公式。在這樣的教學(xué)過程中，學(xué)生不僅通過探究得到了長方體的體積公式，而且深刻理解了體積公式背后的數(shù)學(xué)道理，空間觀念也在想象中得到了有效的培養(yǎng)。經(jīng)常這樣教學(xué)，會讓學(xué)生在獲得公式的過程中，在腦中形成圖、式轉(zhuǎn)化過程的表象，成為空間想象的支柱。

(二)在公式應(yīng)用過程中，讓學(xué)生通過想象發(fā)展空間觀念

在圖形公式的教學(xué)中，不少教師僅僅將應(yīng)用公式的教學(xué)目標定位為幫助學(xué)生進一步理解公式、形成技能，而忽視了空間觀念的培養(yǎng)。其實，在應(yīng)用公式時，尤其是在初始階段，不僅要讓學(xué)生進一步理解公式、形成技能，而且可以讓學(xué)生通過想象發(fā)展空間觀念。

在教學(xué)蘇教版小學(xué)《數(shù)學(xué)》三年級下冊“長方形和正方形的面積”一課時，一名教師在練習(xí)中出示這樣的問題：“一個長方形的面積是24平方厘米，你能想象出它是什么樣子嗎？請在方格紙中畫出來(每個小方格面積是1平方厘米)?！泵鎸@樣的問題，有些學(xué)生想到這個長方形是由24個1平方厘米的小正方形組成的，這24個小正方形可能排成1排，也可能排成2排、3排或4排，從而畫出4個不同的長方形。也有學(xué)生逆向運用長方形的面積公式想到這個長方形的長和寬可能是24厘米和1厘米、或12厘米和2厘米、或8厘米和3厘米、或6厘米和4厘米，也畫出了4個不同的長方形。

在上述練習(xí)中，問題由封閉變?yōu)殚_放，解決問題的思路由順向變?yōu)槟嫦?，學(xué)生在解決這個問題時，不是簡單地運用面積公式計算長方形的面積，而是借助小正方形、或逆向運用公式在頭腦中想象出多種不同形狀的長方形，再將想象出的長方形在方格紙中畫出來。這樣的練習(xí)不僅幫助學(xué)生進一步鞏固了對長方形面積公式的理解，而且發(fā)展了學(xué)生的空間觀念。

二、不可忽視數(shù)學(xué)思想的感悟

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中感悟數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標。數(shù)學(xué)思想蘊含在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象和概括。圖形公式教學(xué)中蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想，需要我們深入挖掘，并讓學(xué)生感悟。

(一)讓學(xué)生經(jīng)歷過程感悟數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想蘊含在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，想要讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，就需要讓學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程。在圖形公式教學(xué)中，我們要讓學(xué)生充分經(jīng)歷圖形公式的形成過程，從而讓學(xué)生感悟蘊含在其中的數(shù)學(xué)思想。

在教學(xué)蘇教版小學(xué)《數(shù)學(xué)》五年級上冊“三角形的面積”一課時，教師先出示圖1方格圖中的三個三角形，讓學(xué)生說說它們分別是什么三角形，再讓學(xué)生說說想先研究誰的面積，多數(shù)學(xué)生依據(jù)直覺想要先研究直角三角形的面積。在研究直角三角形的面積時，有學(xué)生用數(shù)格子的方法直接數(shù)出直角三角形的面積，還有的學(xué)生想到用兩個一樣的直角三角形拼成一個長方形或平行四邊形，或?qū)⒅苯侨切蔚确e轉(zhuǎn)化成長方形或平行四邊形，并依據(jù)轉(zhuǎn)化前后圖形之間的關(guān)系算出直角三角形的面積，從而得到直角三角形的面積計算方法。隨后，教師讓學(xué)生利用研究直角三角形的面積時獲得的經(jīng)驗，研究銳角三角形和鈍角三角形的面積計算方法。教師帶領(lǐng)學(xué)生在前面分類研究的基礎(chǔ)上，歸納出三角形的面積公式。最后，教師引領(lǐng)學(xué)生回顧獲得公式的過程，讓學(xué)生感悟蘊含在其中的分類、歸納思想。

圖1

上述教學(xué)過程中，學(xué)生充分經(jīng)歷了先分類探究、再歸納公式的數(shù)學(xué)活動過程，從中不僅獲得了三角形的面積公式，而且感悟到分類、歸納的數(shù)學(xué)思想。在教學(xué)過程中，教師要善于利用每個小環(huán)節(jié)，讓學(xué)生感悟其中所蘊含的某種數(shù)學(xué)思想，這也是一種不可或缺的過程感悟和經(jīng)驗積累。

(二)讓學(xué)生通過對比感悟數(shù)學(xué)思想

對比是感悟數(shù)學(xué)思想的最有效策略之一，通過對比能夠讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)思想的價值，從而加深對數(shù)學(xué)思想的感悟。在圖形公式教學(xué)中，我們可以讓學(xué)生通過對比，感悟蘊含在圖形公式中的數(shù)學(xué)思想。

在教學(xué)蘇教版小學(xué)《數(shù)學(xué)》五年級上冊“平行四邊形的面積”一課時，筆者先出示一個方格圖中的平行四邊形讓學(xué)生求其面積(每個小方格面積是1平方厘米)。有學(xué)生想到用數(shù)方格的方法數(shù)出面積，有的學(xué)生想到將平行四邊形沿一條高分成一個直角梯形和一個直角三角形或兩個直角梯形，再將它們拼成一個長方形，算出原來平行四邊形的面積。這兩類方法中，前一類方法是直接測量法，較為繁瑣；而后一類方法運用了轉(zhuǎn)化思想，是間接測量法，較為簡單，且能根據(jù)其推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式。在學(xué)生運用不同的方法求出平行四邊形的面積后，教師讓學(xué)生對比這兩類方法，學(xué)生從中感悟“轉(zhuǎn)化能夠化繁為簡，能夠在未知和已知之間建立聯(lián)系”。

上述教學(xué)過程中，學(xué)生不僅通過探究自主發(fā)現(xiàn)了平行四邊形的面積計算方法，而且在對比中體會到轉(zhuǎn)化思想的價值，從而對轉(zhuǎn)化思想形成較為深刻的感悟。

圖形公式教學(xué)中不僅蘊含著轉(zhuǎn)化思想、分類思想，還有其他的數(shù)學(xué)思想，如推理思想、模型思想、符號化思想等，這些數(shù)學(xué)思想都需要教師在教學(xué)中有意識地、循序漸進地運用合適的方法讓學(xué)生去感悟。

三、不可忽視活動經(jīng)驗的積累

數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累是數(shù)學(xué)素養(yǎng)提高的重要標志，是學(xué)生不斷經(jīng)歷、體驗各種數(shù)學(xué)活動過程的結(jié)果，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標。數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗需要在“做”和“思考”的過程中積淀，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐步積累的。在圖形公式教學(xué)中，我們可以讓學(xué)生充分經(jīng)歷“做”和“思考”的過程，從而幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

(一)讓學(xué)生在“做”的過程中積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗

數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是在“做”的過程中逐漸積累起來的，“剪一剪”“拼一拼”“做一做”等操作活動都能豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。在圖形公式教學(xué)中，我們可以設(shè)計多樣的、有層次的操作活動，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

在教學(xué)蘇教版小學(xué)《數(shù)學(xué)》三年級下冊“長方形的面積”一課時，教師為學(xué)生提供6個1平方厘米的小正方形，讓學(xué)生依次測量三個長方形的面積，三個長方形的長、寬分別為3厘米和2厘米、5厘米和2厘米、10厘米和8厘米(如圖2所示)。在測量第一個長方形面積時，多數(shù)學(xué)生用這6個小正方形將其鋪滿，從而得到它的面積。在測量第二個長方形時，由于提供的小正方形不夠用了，有學(xué)生想到了與同桌合作的方式，將兩個人的小正方形聚在一起，通過鋪滿的方式得到這個長方形的面積；有的學(xué)生通過鋪長和寬的方式，根據(jù)想象鋪滿得出這個長方形的面積。在測量第三個長方形的面積時，由于6個小正方形不能鋪滿它的長或?qū)挘院芏鄬W(xué)生束手無策。經(jīng)過一段時間的思考后，有學(xué)生想到了用小正方形的邊長測量大長方形的長和寬，最終根據(jù)長和寬想象出鋪滿這個長方形需要多少個小正方形，從而得出這個長方形的面積。

圖2

在上述教學(xué)過程中，通過學(xué)生先用鋪滿的方法得出長方形的面積；再鋪長方形的長和寬想象出長方形的面積；最后利用小正方形的邊長測量出長方形的長和寬，再根據(jù)測量的結(jié)果想象出鋪滿的結(jié)果，得出長方形的面積。學(xué)生從直接測量逐步過渡到間接測量，從直接動手操作逐步過渡到在頭腦中操作，其數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗得到了充分的積累。

(二)讓學(xué)生在“思考”的過程中積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗

學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗不能止于操作經(jīng)驗，而需要通過反思、抽象、概括等思維活動，內(nèi)化為學(xué)生的思維經(jīng)驗。在圖形公式教學(xué)中，我們可以設(shè)計符合學(xué)生實際的、有效的思維活動，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

在教學(xué)蘇教版小學(xué)《數(shù)學(xué)》六年級上冊“長方體和正方體的體積”一課時，教師在提出探究任務(wù)(測量一個長方體木塊的體積)后，出示三個測量工具讓學(xué)生選擇(如圖3所示)，多數(shù)學(xué)生選擇用小正方體測量，其理由是測量體積時要用單位體積。此時，教師并未讓學(xué)生直接去測量，而是讓學(xué)生思考前兩個工具可以測量什么、怎么測量，學(xué)生通過思考激活了長度、面積的測量經(jīng)驗，以及長方形的面積公式的推導(dǎo)過程。然后，學(xué)生借助長方形面積公式的探究經(jīng)驗，通過探究得出了長方體的體積公式。教師讓學(xué)生思考“前兩個工具能否測量出長方體的體積”，學(xué)生通過思考明確前兩種測量工具都可以測量出長方體的長、寬、高，也能通過計算得出長方體的體積。此刻學(xué)生也明白了，因為長方體木塊是實心的，不能通過往里面填充小正方體測量它的體積，所以并不能直接用小正方體測量長方體的體積，而只能利用小正方體棱長的長度去測量大正方體的長、寬、高而已，這與用其他兩個工具測量在本質(zhì)上是一樣的。最后，教師讓學(xué)生對上述探究過程進行反思，通過反思，學(xué)生不僅感悟到不同維度的測量原理及本質(zhì)之間的相似性，而且明白了直接測量和間接測量之間的聯(lián)系，以及從直接測量走向間接測量的必要性。

圖3

在上述教學(xué)過程中，通過讓學(xué)生選擇測量工具，幫助學(xué)生在一維、二維和三維之間建立聯(lián)系，啟迪學(xué)生將長方形的面積公式探究經(jīng)驗用于長方體的體積公式的探究過程中。學(xué)生從中獲得的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗不僅僅是操作經(jīng)驗，還有思維經(jīng)驗，并且這種數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗可以遷移到其他類別的測量中，是一種可生長的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。