曾云輝，汪安寧，汪志紅，羅李平

1. 衡陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南衡陽 421002

2. 衡陽師范學(xué)院南岳學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，湖南衡陽 421008

考慮三階Emden-Fowler微分方程

總假設(shè)滿足下列條件

(A1)λ是兩個(gè)正奇數(shù)的商，I=[t0，+ ∞)，R+=(0，+ ∞)；

方程（1）的一個(gè)解是指函數(shù)y(t) ∈C1[Ty，+ ∞)，Ty≥t0，使得a(t)x″(t) ∈C1[Ty，+ ∞)且在[Ty，+ ∞)上滿足方程（1）。本文僅考慮方程（1）中滿足Sup{||y(t) ：t≥T}＞0 對(duì)一切T≥Ty成立的解。方程（1）的解稱為振動(dòng)，如果它在[Ty，+ ∞)上既無最終正解，也無最終負(fù)解，否則，稱它為非振動(dòng)。方程（1）的解稱為弱振動(dòng)，如果它的每一解y(t)振動(dòng)，或者當(dāng)t→+∞時(shí)，y(t) →0.

最近，三階微分方程的振動(dòng)與非振動(dòng)理論的研究受到中外學(xué)者們的廣泛關(guān)注，并取得了很好的結(jié)果［1-14］。但是，我們注意到這些結(jié)果大部分都與-1 ＜p0≤p(t) ≤0，0 ≤p(t) ≤p0＜1 或0 ≤p(t) ≤p0＜+∞的情況有關(guān)且要求時(shí)滯條件τ°δ=δ°τ或者τ°δ=δ°τ和τ°σ=σ°τ成立，這些條件限制性很強(qiáng)，不容易滿足，在p(t) ＞1包括當(dāng)t→+∞時(shí)，p(t) →+∞的情況下相關(guān)的振動(dòng)結(jié)果還不是很多。例如，參看文獻(xiàn)［15-18］。我們也注意到文獻(xiàn)［18］考慮了方程（1）的如下特例

在η°g≠g°η的條件下通過將三階非線性泛函微分方程轉(zhuǎn)化為一階微分方程組，然后用比較方法給出了方程（3）在正則條件下解的振動(dòng)準(zhǔn)則。但據(jù)我們所知，文獻(xiàn)［15-18］均未考慮非正則的情況，因此，研究方程（1）在η°g≠g°η和非正則條件下的振動(dòng)性問題是非常有意義的。

本文目的是在η°g≠g°η情況下，通過引入?yún)?shù)函數(shù)并利用新得到的Riccati 變換對(duì)方程（1）展開研究，分別在正則條件

成立下，建立方程（1）解振動(dòng)新的充分條件，所得結(jié)果是文獻(xiàn)［18］的一個(gè)補(bǔ)充，同時(shí)也改進(jìn)了文獻(xiàn)［18］相關(guān)結(jié)果。

下文中出現(xiàn)的不等式如果沒有特殊的說明，均假設(shè)對(duì)一切充分大的t成立。為了書寫方便，引入記號(hào)

其中η-1是η的反函數(shù)，α(t)，β(t)是本文后面所引入的參數(shù)函數(shù)。

1 主要引理

引理1 若條件(A1)～(A3)成立，y(t)是方程（1）的正解，則x(t)只可能有以下3種情形：當(dāng)t1充分大時(shí)，對(duì)t≥t1成立

(I)x(t) ＞0，x'(t) ＞0，x″(t) ＞0，x?(t) ≤0，(a(t)x″(t))'≤0；

(II)x(t) ＞0，x'(t) ＜0，x″(t) ＞0，x?(t) ≤0，(a(t)x″(t))'≤0；

(III)x(t) ＞0，x'(t) ＞0，x″(t) ＜0，(a(t)x″(t))'≤0.

特別，當(dāng)條件（4）成立時(shí)，則x(t)只可能出現(xiàn)情形(I)和情形(II)。

證明 引理1的證明類似文獻(xiàn)［19］引理1的證明。故略去。

引理2 若條件(A1)～(A3)及φ*(t) ＞0成立，y(t)是方程(1)的正解，且x(t)具有引理1中的情形(II)。若

證明 設(shè)方程（1）有非振動(dòng)解y(t)，不失一般性，我們設(shè)y(t) ＞0，y(η(t)) ＞0，y(g(t)) ＞0，（15）式和η-1(g(t)) ＞t1，t≥t1≥t0成立。當(dāng)y(t) ＜0 的情況類似的分析成立。由引理2 的證明可得（11）式。又因?yàn)閤(t)滿足引理1中的情形(I)，由引理5可得

聯(lián)合方程（1）和（18）式可得（16）式。引理6證畢。

引理7 設(shè)條件(A1)～(A3)和ψ(t) ＞0 滿足，y(t)是方程（1）的最終正解，且x(t)相應(yīng)滿足引理1 中的情形(III)，若存在函數(shù)β(t) ∈C1(I，R+)滿足

則x(t)滿足不等式

證明 本引理的證明類似于引理6的證明，略。

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)條件(A1)～(A3)和條件（4）滿足，若

成立，則方程（1）的每一解弱振動(dòng)。

證明 設(shè)y(t)是方程（1）的非振動(dòng)解。不失一般性，設(shè)y(t)最終為正，由引理1 和（4）式成立，則x(t)只可能有(I)和(II)兩種情形。

若x(t)滿足情形(I)，由引理6，有

下面進(jìn)一步考慮如果定理1 的條件（4）和（21）中有一個(gè)條件不滿足將如何彌補(bǔ)？為此，首先考慮條件（21）不滿足的情況，我們有如下定理。

定理2 設(shè)條件(A1)～(A3)和（10）式滿足，對(duì)于充分大的t有φ*(t) ＞0和φ*(t) ＞0，(4)式成立且存在函數(shù)α(t) ∈C1(I，R+)滿足(15)式。如果存在函數(shù)γ(t) ∈C1(I，R+)，常數(shù)δ∈(0，1)和L0＞0滿足

其中γ'+(t) = max{0，γ'(t)}，ξ= min{1，λ}，φ*(t)由（8）式定義，則方程(1)的每一解弱振動(dòng)。

證明 設(shè)方程（1）有最終正解y(t)， 即存在充分大的t1， 使得當(dāng)t≥t1≥t0時(shí)， 有y(t) ＞0，y(η(t)) ＞0，y(g(t)) ＞0和η-1(g(t)) ＞t1成立。當(dāng)y(t) ＜0的情況類似的分析成立。由引理2的證明可得（11）式。又由于z(t)滿足引理1中的情形(I)，于是由引理5得

則v(t) ＞0，t≥t1. 利用(16)式和(23)～(25)式可得

注意到x(t) ＞0和x'(t) ＞0，故存在常數(shù)L1＞0，使得當(dāng)λ≥1時(shí)有此與(22)式矛盾。

則方程（1）的每一解y(t)弱振動(dòng)。

證明 設(shè)方程（1）有非振動(dòng)解y(t)，由條件（4）成立，x(t)只可能有情形(I)和情形(II)。首先，設(shè)x(t)滿足情形(I)，引入Riccati變換v(t)同（25）式，則如同定理2的證明一樣，（29）式成立。令0

因此

因此，又由（42）式得

由（47）式得

在(51)式中利用了分部積分，(50)式和ρ'(t)= -a-1(t). 應(yīng)用引理5 的不等式，取B=η，C=Kρ(s)，則由（51）式得

顯然，（53）式和（37）式矛盾。證畢

注2 文獻(xiàn)［15－18］中的結(jié)果都是在正則條件下獲得的振動(dòng)準(zhǔn)則，而定理4 獲得了非正則條件下的振動(dòng)準(zhǔn)則，因此，定理4是已有文獻(xiàn)結(jié)果的推廣和改進(jìn)。

注3 本文是文獻(xiàn)［18］的一個(gè)補(bǔ)充，同時(shí)也改進(jìn)了文獻(xiàn)［18］的相關(guān)結(jié)果。

3 例子

例1 考慮具有無界中立系數(shù)的三階Emden-Fowler型微分方程

故條件（22）成立。因此，由定理2知方程(54)的每一解x(t)弱振動(dòng)。文獻(xiàn)［1-13，15-19］及其引文中的振動(dòng)結(jié)果均不能適用于方程(54)。

例2 考慮三階Emden-Fowler型微分方程

因此，條件(A1)～(A3)，(5)式滿足，(10)式也滿足。

取γ(t) = 1，即有條件(22)成立。下面驗(yàn)證條件(37)，因η=λ= 3，則有

故（37）式成立。由定理4知，方程(55)的每一解振動(dòng)或者收斂到零。