葉 偉 胡利煥 夏董新 周哲佳

(1.浙江理工大學(xué)機(jī)電產(chǎn)品可靠性分析與測(cè)試國(guó)家地方聯(lián)合工程研究中心, 杭州 310018;2.浙江理工大學(xué)機(jī)械與自動(dòng)控制學(xué)院, 杭州 310018)

0 引言

三平動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)可以作為分揀裝置應(yīng)用到自動(dòng)化打包生產(chǎn)線上，也可以串聯(lián)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)形成五軸加工裝備[1]，具有很好的應(yīng)用前景。這類機(jī)構(gòu)一般由3條分支連接動(dòng)平臺(tái)和基座構(gòu)成，最典型的是Delta并聯(lián)機(jī)器人[2]，適合應(yīng)用于高速分揀領(lǐng)域。在構(gòu)型設(shè)計(jì)方面，HUANG等[3]采用基于螺旋理論的約束綜合法設(shè)計(jì)了一類具有對(duì)稱分支的三平動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)。LI等[4]采用位移流形方法綜合了一類具有良好結(jié)構(gòu)剛度的三平動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)。楊廷力等[5]基于單開(kāi)鏈單元，對(duì)三平動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了構(gòu)型綜合。史巧碩等[6]采用GF集方法綜合了一系列三平動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)。孟慶梅等[7]對(duì)一種三平動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)Delta-CU進(jìn)行了誤差建模，提高了機(jī)器人精度。ZENG等[8-9]對(duì)一種三平動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)Tri-pyramid進(jìn)行了設(shè)計(jì)與分析。

作為少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)中的一類，大多三平動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)存在運(yùn)動(dòng)耦合問(wèn)題，導(dǎo)致機(jī)構(gòu)分析困難、控制不便[10]。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，學(xué)者們通過(guò)構(gòu)型的巧妙設(shè)計(jì)，構(gòu)造了具有運(yùn)動(dòng)解耦[11]或者部分解耦[12-15]的三平動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)。為了控制并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)，一般需要選取和自由度數(shù)目相等的驅(qū)動(dòng)數(shù)。然而，為了消除內(nèi)部奇異[16]、優(yōu)化驅(qū)動(dòng)力[17]、提高精度[18]等，設(shè)計(jì)者們經(jīng)常在機(jī)構(gòu)中安排比自由度數(shù)目更多的驅(qū)動(dòng)數(shù)，使得機(jī)構(gòu)具有冗余驅(qū)動(dòng)的特點(diǎn)，獲得更好的操作性能。在運(yùn)行過(guò)程中，所有驅(qū)動(dòng)協(xié)調(diào)地運(yùn)動(dòng)，共同控制機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)。QU等[19]提出了一種冗余驅(qū)動(dòng)的4-RUU并聯(lián)機(jī)構(gòu)，相比于非冗余3-RUU機(jī)構(gòu)有更好的操作性能。李仕華等[20]提出了一種冗余驅(qū)動(dòng)三平動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的綜合方法，可消除機(jī)構(gòu)的內(nèi)部奇異。目前，同時(shí)具有運(yùn)動(dòng)解耦和冗余驅(qū)動(dòng)兩種特征的三平動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)實(shí)用構(gòu)型鮮見(jiàn)報(bào)道。

本文提出一種運(yùn)動(dòng)部分解耦的冗余驅(qū)動(dòng)三平動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)新構(gòu)型，采用李群理論和修正的Grübler-Kutzbach(G-K)公式分析其自由度，并開(kāi)展運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)分析與性能優(yōu)化設(shè)計(jì)，以期為其工程應(yīng)用提供理論依據(jù)。

1 機(jī)構(gòu)描述與自由度分析

如圖1所示，本文提出的并聯(lián)機(jī)構(gòu)由動(dòng)平臺(tái)通過(guò)4條分支連接機(jī)架組成。其中，分支1、2都是PRRR鏈(P為移動(dòng)副，R為轉(zhuǎn)動(dòng)副)，分支3、4都是PRPR鏈。分支1和分支3共用與基座相連的P副，最后一個(gè)R副是以復(fù)合鉸鏈的形式連接到動(dòng)平臺(tái)，并且，基座相連的P副與分支中R副軸線平行，另一個(gè)P副軸線垂直于R副。分支2、4結(jié)構(gòu)類似。機(jī)構(gòu)中與基座相連的兩個(gè)P副軸線垂直且共面。

記分支1、3中各R副中心依次為A1、B1、C1、D1，分支2、4中各R副中心依次為A2、B2、C2、D2。連桿AiBi記為連桿1，其長(zhǎng)度為l1，連桿BiCi記為連桿2，其長(zhǎng)度為l2。動(dòng)平臺(tái)為邊長(zhǎng)2a的正方形。記過(guò)點(diǎn)A1、A2且方向平行于R副轉(zhuǎn)軸的兩直線交點(diǎn)為點(diǎn)o，在該點(diǎn)建立固定坐標(biāo)系oxyz，x軸沿oA1方向，y軸沿oA2方向，z軸由右手法則決定。在動(dòng)平臺(tái)中心建立動(dòng)坐標(biāo)系puvw，點(diǎn)p為動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)，u軸平行分支1中R副軸線方向，v軸平行于分支2中R副軸線方向，w軸由右手法則決定。點(diǎn)Di(i=1,2)與oxy平面的距離記為e1，D1與ozx平面的距離以及D2與oyz平面的距離記為e2。

采用李群理論[21]對(duì)機(jī)構(gòu)的輸出運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析?？紤]到分支1和分支3共用基座移動(dòng)副，將分支1、3整體考慮，其到動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)可表示為

L13={T(x)}({R(A1,x)}{R(B1,x)}{R(C1,x)}∩
{R(D1,x)}{T(rD1C1)}{R(C1,x)})={T(x)}{G(x)}

(1)

式中L13——分支1和分支3整體到動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)集

{T(x)}——沿x軸方向的移動(dòng)運(yùn)動(dòng)群

{R(A1,x)}——軸線過(guò)點(diǎn)A1且平行于向量x的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)群

rD1C1——D1C1方向的單位向量

{T(rD1C1)}——沿D1C1方向的移動(dòng)運(yùn)動(dòng)群

{G(x)}——垂直于向量x的平面運(yùn)動(dòng)群

其余符號(hào)類同。

同理，分支2和分支4到動(dòng)平臺(tái)的整體運(yùn)動(dòng)集L24可表示為

L24={T(y)}{G(y)}

(2)

動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)集{M}為各分支運(yùn)動(dòng)集的交集，可得

{M}=L13∩L24=
{T(x)}{G(x)}∩{T(y)}{G(y)}=
{T(x)}{T(y)}{T(z)}{G(x)}∩
{T(y)}{T(x)}{T(z)}{G(y)}=
{T}{G(x)}∩{T}{G(y)}={T}

(3)

式(3)表明，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)能輸出空間內(nèi)3個(gè)方向的移動(dòng)運(yùn)動(dòng)。

采用修正的G-K公式[22]對(duì)機(jī)構(gòu)的自由度進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算式為

(4)

式中F——機(jī)構(gòu)自由度d——機(jī)構(gòu)階數(shù)

n——包括機(jī)架的構(gòu)件數(shù)目

g——運(yùn)動(dòng)副數(shù)目

fi——第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度

v——冗余約束數(shù)

本機(jī)構(gòu)中，d=6，n=12，g=14，fi=1。分支1、3共用與基座相連的P副，除去該P(yáng)副后，分支1內(nèi)的RRR鏈與分支3內(nèi)的RPR鏈都是位于同一平面的運(yùn)動(dòng)鏈，產(chǎn)生了3個(gè)冗余約束。同理，分支2、4內(nèi)也產(chǎn)生3個(gè)冗余約束。對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行整體考慮，分支1、3的組合對(duì)動(dòng)平臺(tái)的約束是垂直于分支內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)副的2個(gè)約束力偶，同樣分支2、4的組合對(duì)動(dòng)平臺(tái)的約束也是2個(gè)力偶，這4個(gè)力偶并不完全獨(dú)立，僅限制了動(dòng)平臺(tái)的3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，因此有1個(gè)是冗余約束。綜上，機(jī)構(gòu)中總的冗余約束數(shù)v=3+3+1=7。

將上述結(jié)果代入式(4)，可得

F=6×(12-14-1)+14+7=3

(5)

采用另一種思路，考慮機(jī)構(gòu)構(gòu)型特點(diǎn)，可認(rèn)為桿A1B1、B1C1、A2B2、B2C2是產(chǎn)生虛約束的運(yùn)動(dòng)鏈，將其移除不影響機(jī)構(gòu)自由度。移除虛約束部分后機(jī)構(gòu)d=6，n=8，g=8，fi=1，冗余約束數(shù)v=1，代入式(4)，計(jì)算結(jié)果仍然是F=3。

根據(jù)李群理論和修正后G-K公式分析結(jié)果可知，本機(jī)構(gòu)具有3個(gè)自由度，動(dòng)平臺(tái)能輸出3個(gè)方向的移動(dòng)運(yùn)動(dòng)。

為了控制本機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)，至少需要選取3個(gè)運(yùn)動(dòng)副作為驅(qū)動(dòng)?？紤]到機(jī)構(gòu)中共有4個(gè)移動(dòng)副，且都靠近基座，可都選取作為驅(qū)動(dòng)，使機(jī)構(gòu)具有冗余驅(qū)動(dòng)的特點(diǎn)。在機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，可根據(jù)動(dòng)平臺(tái)的軌跡要求，通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)逆解求取4個(gè)驅(qū)動(dòng)的輸入?yún)?shù)，用于協(xié)調(diào)控制，使機(jī)構(gòu)執(zhí)行預(yù)期的運(yùn)動(dòng)。

該并聯(lián)機(jī)構(gòu)可應(yīng)用于五軸機(jī)床或分揀機(jī)器人的開(kāi)發(fā)。圖2為五軸打磨機(jī)床實(shí)例，通過(guò)在動(dòng)平臺(tái)上安裝一個(gè)AC擺頭，打磨頭與工件間形成五自由度相對(duì)運(yùn)動(dòng)，可實(shí)現(xiàn)任意曲面的五軸打磨。該機(jī)床是由4條分支共同支撐動(dòng)平臺(tái)，具有良好的結(jié)構(gòu)剛度。

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

2.1 位置分析

位置分析是為了建立動(dòng)平臺(tái)輸出參數(shù)和主動(dòng)關(guān)節(jié)輸入?yún)?shù)之間的關(guān)系。其中位置反解是已知?jiǎng)悠脚_(tái)位姿，求解驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)輸入量。本機(jī)構(gòu)中，動(dòng)平臺(tái)的位置可由動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)p在定坐標(biāo)系中的位置向量p=(x,y,z)T表示，4個(gè)移動(dòng)副為機(jī)構(gòu)的主動(dòng)關(guān)節(jié)，移動(dòng)副位移用di(i=1,2,3,4)表示。根據(jù)機(jī)構(gòu)的參數(shù)，可得定坐標(biāo)系中各點(diǎn)坐標(biāo)為

(6)

根據(jù)機(jī)構(gòu)的幾何關(guān)系，求得其位置逆解為

(7)

對(duì)式(7)作變換，可以得到機(jī)構(gòu)的位置正解為

(8)

式中“±”與機(jī)構(gòu)裝配方式有關(guān)，對(duì)應(yīng)圖2中裝配方式應(yīng)取“+”號(hào)。

根據(jù)式(7)、(8)可知，動(dòng)平臺(tái)在x方向的位移完全取決于d1，在y方向的位移完全取決于d2，在z方向的位移可由d2和d3(或d1和d4)決定，因此具有運(yùn)動(dòng)部分解耦的特點(diǎn)，在分析、軌跡規(guī)劃和控制方面具有優(yōu)勢(shì)。

2.2 奇異分析

當(dāng)機(jī)構(gòu)處于或接近奇異位形時(shí)，會(huì)導(dǎo)致剛度下降、運(yùn)動(dòng)失控等后果，應(yīng)對(duì)其展開(kāi)分析。對(duì)位置方程求導(dǎo)，得到機(jī)構(gòu)的速度方程，整理成矩陣形式為

(9)

其中

可以得到機(jī)構(gòu)雅可比矩陣為

(10)

根據(jù)雅可比矩陣情況，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異位形可分為3類：逆解奇異、正解奇異和混合奇異[23]。

當(dāng)只有det(JA)=0時(shí)，機(jī)構(gòu)發(fā)生逆解奇異，此時(shí)動(dòng)平臺(tái)自由度瞬時(shí)減少。根據(jù)式(9)，該奇異在d3或d4為0時(shí)發(fā)生。由于實(shí)際機(jī)構(gòu)中移動(dòng)副行程限制，該類奇異不會(huì)發(fā)生。

冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)在矩陣JB降秩時(shí)發(fā)生正解奇異。當(dāng)z=-e1，即點(diǎn)D1、D2和p共面時(shí)，矩陣JB的第3列全為0，此時(shí)動(dòng)平臺(tái)沿z軸方向的移動(dòng)運(yùn)動(dòng)不可控。圖3為對(duì)應(yīng)的正解奇異位形。

當(dāng)逆解奇異和正解奇異的條件同時(shí)滿足時(shí)，機(jī)構(gòu)處于混合奇異位形。由于逆解奇異不會(huì)發(fā)生，機(jī)構(gòu)也不存在混合奇異。

2.3 工作空間

由于各分支共同約束，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間通常較小。給定機(jī)構(gòu)參數(shù)a=50 mm，e1=23 mm，e2=40 mm，l1=50 mm，l2=200 mm。限定驅(qū)動(dòng)1、2的行程范圍為50～400 mm，驅(qū)動(dòng)3、4的行程范圍為175～350 mm。為避免桿件干涉，令BiCi和CiDi(i=1,2)的夾角大于45°。為避免奇異位形，令z>0，利用搜索法可繪制機(jī)構(gòu)的三維工作空間如圖4所示。可以發(fā)現(xiàn)，機(jī)構(gòu)在x、y方向的移動(dòng)范圍為50～356 mm，在z方向移動(dòng)范圍為0～310 mm，具有較大的工作空間(圖4)。

3 動(dòng)力學(xué)分析

3.1 速度分析

動(dòng)力學(xué)建模與分析是并聯(lián)機(jī)構(gòu)高速高精度控制的基礎(chǔ)，采用螺旋理論結(jié)合虛功原理的方法[24]進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模。

在定坐標(biāo)系中，令ria、rib、ric和rid(i=1,2)分別為點(diǎn)Ai、Bi、Ci和Di的位置矢量，分支1、2中PRRR鏈的運(yùn)動(dòng)螺旋可表示為

(11)

(12)

式中$ij——分支i中第j個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)螺旋，i=1,2,j=1,2,3,4

O——零向量

分支3和分支4中PRPR鏈的運(yùn)動(dòng)螺旋表示為

(13)

(14)

本文并聯(lián)機(jī)構(gòu)只有3個(gè)移動(dòng)自由度，因此動(dòng)平臺(tái)的速度與加速度可表示為

(15)

根據(jù)螺旋理論，動(dòng)平臺(tái)速度螺旋Vp在定坐標(biāo)系中可以由分支中各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)螺旋的線性組合表示為

Vp=ωi1$i1+ωi2$i2+ωi3$i3+ωi4$i4

(16)

式中ωij——分支i中第j個(gè)關(guān)節(jié)的速度，i、j=1,2,3,4

式(16)可表示成矩陣形式

(17)

其中

式中Ji——6×4雅可比矩陣

由式(17)可求得分支i中各個(gè)關(guān)節(jié)的速度為

(18)

鎖定分支中的驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)，可以得到一個(gè)約束螺旋$Ti與除驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)螺旋外的所有被動(dòng)關(guān)節(jié)螺旋都互易，即$Ti°$ij=0。該約束螺旋即驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)對(duì)應(yīng)的傳遞力螺旋，各分支傳遞力螺旋表示為

(19)

式中$Ti——分支i的傳遞力螺旋，i=1,2,3,4

(20)

其中

式中Js——4×6雅可比矩陣

Δ——6×6算子矩陣

將式(17)代入式(20)中作變換后，可以得到并聯(lián)機(jī)構(gòu)各被動(dòng)關(guān)節(jié)的速度與4個(gè)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)速度之間的關(guān)系為

(21)

其中

式中Gi——分支i的一階影響系數(shù)矩陣

分支i中第j個(gè)關(guān)節(jié)的速度螺旋Vij可以由驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)速度的線性組合表示為

(22)

注意到上述速度螺旋的參考點(diǎn)都為定坐標(biāo)系原點(diǎn)o，當(dāng)選擇的參考點(diǎn)由點(diǎn)o轉(zhuǎn)換到機(jī)構(gòu)各部件質(zhì)心處時(shí)，速度螺旋可進(jìn)行變換，即

(23)

rij,C——原點(diǎn)o到分支i中第j個(gè)部件質(zhì)心處的位置向量

S($)——螺旋原部

S0($)——螺旋對(duì)偶部

3.2 加速度與受力分析

類似于速度分析，動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于定坐標(biāo)系的加速度AP也可用分支各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)螺旋組合[25]表示為

(24)

其中

由式(24)可求得分支i中各關(guān)節(jié)螺旋加速度為

(25)

進(jìn)一步可以求得機(jī)構(gòu)各部件相對(duì)于定坐標(biāo)系原點(diǎn)o的加速度螺旋為

(26)

式中Aij——分支i中第j個(gè)部件相對(duì)于點(diǎn)o的加速度螺旋與速度螺旋類似，分支i中第j個(gè)部件相對(duì)于其質(zhì)心處的加速度螺旋Aij,C可表示為

(27)

在求得各部件速度及加速度后，分支i中第j個(gè)部件質(zhì)心處受到的慣性力/力矩螺旋FI,ij,C、重力螺旋FG,ij,C、外力/力矩螺旋FE,ij,C可分別表示為

(28)

式中Iij——分支i中第j個(gè)部件相對(duì)于定坐標(biāo)系的慣性矩陣

mij——分支i中第j個(gè)部件的質(zhì)量

g——重力加速度

fE.ij.C——分支i中第j個(gè)部件質(zhì)心處所受外力

τE.ij.C——分支i中第j個(gè)部件質(zhì)心處所受外力矩

機(jī)構(gòu)分支i中第j個(gè)部件質(zhì)心處所受的合力Fij,C可表示為

Fij,C=FI,ij,C+FG,ij,C+FE,ij,C

(29)

3.3 驅(qū)動(dòng)力優(yōu)化

根據(jù)式(9)、(10)，機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)速度與動(dòng)平臺(tái)速度螺旋間的映射關(guān)系可表示為

(30)

其中

式中Jd——驅(qū)動(dòng)速度與動(dòng)平臺(tái)速度間的雅可比矩陣

根據(jù)已求得并聯(lián)機(jī)構(gòu)各部件的受力與速度，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)時(shí)總體瞬時(shí)功率可表示為

(31)

其中

式中τ——驅(qū)動(dòng)力

引入虛速度δVp，將式(30)代入式(31)可得

δP=FvJdδVp+τTJdδVp

(32)

在虛功原理中，虛速度δVp為任意值，為使得并聯(lián)機(jī)構(gòu)的總虛功δP始終為零，須滿足

FvJd+τTJd=0

(33)

對(duì)于冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)數(shù)大于機(jī)構(gòu)自由度，因此其逆動(dòng)力學(xué)所求的驅(qū)動(dòng)力組合并不唯一，存在無(wú)窮多種組合。不合理的驅(qū)動(dòng)力組合可能導(dǎo)致機(jī)構(gòu)部件之間的內(nèi)力過(guò)大而對(duì)機(jī)構(gòu)造成損壞，式(33)中雅可比矩陣Jd不為方陣，對(duì)其轉(zhuǎn)置求偽逆后可得驅(qū)動(dòng)力的最小二范數(shù)組合[26]為

(34)

3.4 數(shù)值仿真驗(yàn)證

通過(guò)ADAMS動(dòng)力學(xué)仿真軟件來(lái)驗(yàn)證上述動(dòng)力學(xué)模型的正確性。機(jī)構(gòu)各部件參數(shù)如表1所示。設(shè)定動(dòng)平臺(tái)做螺旋上升運(yùn)動(dòng)，其具體軌跡(單位：mm)為

表1 并聯(lián)機(jī)器人參數(shù)Tab.1 Parameters of parallel robot

(35)

式中tm——運(yùn)動(dòng)的持續(xù)時(shí)間，取0～5 s

在冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的仿真過(guò)程中，為解決逆動(dòng)力學(xué)解不唯一的問(wèn)題，將分支1～3的驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)位移量以及通過(guò)驅(qū)動(dòng)力優(yōu)化計(jì)算出的分支4的驅(qū)動(dòng)力理論值輸至ADAMS軟件，這樣動(dòng)平臺(tái)不僅能輸出給定軌跡還能測(cè)量出唯一的驅(qū)動(dòng)力組合。

圖5為理論計(jì)算結(jié)果和仿真結(jié)果的對(duì)比情況，其中，驅(qū)動(dòng)力曲線表示的是沿移動(dòng)副移動(dòng)方向驅(qū)動(dòng)合力的幅值?？梢钥闯龌诼菪碚撘约白钚《稊?shù)優(yōu)化得到的驅(qū)動(dòng)力和ADAMS仿真中的驅(qū)動(dòng)力基本一致，最大偏差僅為0.6%。結(jié)果證明了并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型的正確性，可用于后續(xù)的動(dòng)力學(xué)性能評(píng)估和控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)。

4 性能評(píng)價(jià)

對(duì)于并聯(lián)機(jī)構(gòu)，可采用雅可比矩陣條件數(shù)的倒數(shù)對(duì)其運(yùn)動(dòng)學(xué)性能進(jìn)行評(píng)價(jià)，即機(jī)構(gòu)靈巧度指標(biāo)[27]。靈巧度越接近1，表示機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)性能越好，而越接近0表明機(jī)構(gòu)越接近奇異位形。雅可比矩陣J的奇異值為

(36)

式中λi——矩陣JTJ的特征值

靈巧度指標(biāo)可表示為

(37)

為了解機(jī)構(gòu)工作空間內(nèi)運(yùn)動(dòng)學(xué)性能情況，取中間位置z=175 mm處的平面，繪制靈巧度指標(biāo)分布如圖6所示。可以看到靈巧度具有對(duì)稱性，且與機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)相符。

靈巧度指標(biāo)反映了并聯(lián)機(jī)構(gòu)在不同位置下的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能，為了評(píng)估機(jī)構(gòu)在工作空間內(nèi)的全域運(yùn)動(dòng)學(xué)性能，將κ1≥0.6的區(qū)域定義為優(yōu)質(zhì)靈巧度空間，定義優(yōu)質(zhì)靈巧度空間與整體工作空間的比值為全域運(yùn)動(dòng)學(xué)指標(biāo)，即

(38)

式中W——機(jī)構(gòu)的整體工作空間

SGT——優(yōu)質(zhì)靈巧度空間面積

S——整體工作空間面積

σ——全域運(yùn)動(dòng)學(xué)指標(biāo)

σ的取值范圍為0～1，其值越大表明工作空間內(nèi)機(jī)構(gòu)的整體運(yùn)動(dòng)學(xué)性能越好。

在動(dòng)力學(xué)性能評(píng)估方面，動(dòng)態(tài)可操作度橢球(Dynamic manipulability ellipsoid, DME)[28]是常用指標(biāo)，該指標(biāo)衡量了動(dòng)平臺(tái)在特定驅(qū)動(dòng)力作用下改變位姿的能力。當(dāng)驅(qū)動(dòng)力被約束后動(dòng)平臺(tái)在不同方向上加速度范圍的橢球[29]可表示為

(39)

(40)

同樣，以z=175 mm處的二維平面為例，繪制工作空間內(nèi)的DME指標(biāo)分布如圖7所示，可以看到動(dòng)力學(xué)指標(biāo)也呈對(duì)稱分布，與機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)特征吻合。

5 尺度優(yōu)化

上述全域運(yùn)動(dòng)學(xué)指標(biāo)可用于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的尺度優(yōu)化設(shè)計(jì)。以l1、l2和a為設(shè)計(jì)參數(shù)，采用空間模型法[30]來(lái)開(kāi)展尺度優(yōu)化。令標(biāo)準(zhǔn)化因子

(41)

無(wú)量綱參數(shù)與約束條件分別為

(42)

(43)

根據(jù)式(43)的約束條件，可以得到如圖8所示的參數(shù)設(shè)計(jì)空間。無(wú)量綱參數(shù)與設(shè)計(jì)空間參數(shù)之間的關(guān)系為

(44)

通過(guò)計(jì)算可以得到全域運(yùn)動(dòng)學(xué)指標(biāo)在參數(shù)設(shè)計(jì)空間中的性能分布如圖9所示，定義圖譜中σ=1的區(qū)域?yàn)樾阅軆?yōu)良區(qū)域。為了獲得良好的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能，可以選取性能優(yōu)良區(qū)域中的參數(shù)作為機(jī)構(gòu)參數(shù)，如s=0.6，t=2.6，可得優(yōu)化后機(jī)構(gòu)尺度參數(shù)為a=88 mm，l1=146 mm，l2=204 mm。同樣取高度z=175 mm處的平面，繪制優(yōu)化后機(jī)構(gòu)性能指標(biāo)分布如圖10所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，整個(gè)平面內(nèi)靈巧度均大于0.6，運(yùn)動(dòng)學(xué)性能較優(yōu)化前有明顯提升。

圖11為尺寸優(yōu)化后機(jī)構(gòu)的DME指標(biāo)分布情況，對(duì)比圖7可以發(fā)現(xiàn)，機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能也得到了提升。

6 結(jié)論

(1)提出了一種冗余驅(qū)動(dòng)的三平動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，具有運(yùn)動(dòng)部分解耦的特點(diǎn)，可作為本體構(gòu)造五軸打磨裝置。

(2)采用螺旋理論和虛功原理建立了機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力進(jìn)行了優(yōu)化分配，驅(qū)動(dòng)力理論分析與仿真計(jì)算結(jié)果最大偏差為0.6%，驗(yàn)證了模型的正確性。

(3)建立了靈巧度指標(biāo)和動(dòng)態(tài)可操作度橢球指標(biāo)，并繪制了反映機(jī)構(gòu)性能與尺度參數(shù)映射關(guān)系的性能圖譜，得到了具有更優(yōu)性能的機(jī)構(gòu)尺度參數(shù)。