陳 駿

(1.懷化學(xué)院機械與光電物理學(xué)院，湖南 懷化 418000；2.凱里學(xué)院理學(xué)院，貴州 凱里 556011)

在現(xiàn)代宇宙學(xué)中，有一個非常重要的關(guān)系，也就是發(fā)光距離與角直徑距離之間的距離對偶關(guān)系，它是Etherington在1933年建立的[1],即：

式中dL是發(fā)光距離，dA是角直徑距離，z是紅移.這個式子有2個前提條件：①光在滿足黎曼幾何的時空中沿零測地線運動；②光子數(shù)是恒定的.違背第1個條件可以用來研究新的物理[2-3]，而違背第2個條件則可以用來限制宇宙透明度[4-5].因為這一關(guān)系與物質(zhì)和愛因斯坦場方程無關(guān)，而發(fā)光距離與角直徑距離又是天文觀測中非常重要的尺度，很多宇宙學(xué)問題都是用這些觀測數(shù)據(jù)研究的[6-13]，所以距離對偶關(guān)系在天文觀測和現(xiàn)代宇宙學(xué)中有著特別重要的地位和作用.因此，用天文觀測檢驗這一關(guān)系是必要的，也是有意義的.

要限制距離對偶關(guān)系需要確定相同紅移處的發(fā)光距離和角直徑距離，而觀測在某一紅移處有角直徑距離數(shù)據(jù)，卻不一定有相應(yīng)的發(fā)光距離數(shù)據(jù)，因此早期限制距離對偶關(guān)系大多是基于標(biāo)準(zhǔn)宇宙學(xué)模型進(jìn)行的.比如Uzan等[14]就這樣限制了這一關(guān)系，發(fā)現(xiàn)距離對偶關(guān)系在1 σ置信區(qū)間與觀測數(shù)據(jù)是吻合的.隨著觀測數(shù)據(jù)越來越多，人們又開始采用模型無關(guān)的方法來限制距離對偶關(guān)系.例如李正祥等[15]用Union2的超新星數(shù)據(jù)和星系團(tuán)數(shù)據(jù)共同限制了這一關(guān)系，發(fā)現(xiàn)這一關(guān)系在 3σ置信區(qū)間與觀測數(shù)據(jù)是吻合的.付響云等[16]也限制了這一關(guān)系，發(fā)現(xiàn)這一關(guān)系對于橢球模型和球模型分別在1 σ和 2σ置信區(qū)間與觀測數(shù)據(jù)是吻合的.

近來，距離對偶關(guān)系被不同的研究者采取不同的方法和數(shù)據(jù)限制了[17-18].最近，吳普訓(xùn)等[19]用Union2.1超新星數(shù)據(jù)和重子聲學(xué)振蕩數(shù)據(jù)限制了這一關(guān)系，發(fā)現(xiàn)沒有邊緣化約化哈勃常數(shù)取值的影響之前這一關(guān)系在2 σ 置信區(qū)間與觀測數(shù)據(jù)是吻合的，而邊緣化約化哈勃常數(shù)取值的影響之后這一關(guān)系在1σ置信區(qū)間與觀測數(shù)據(jù)也是吻合的.只是當(dāng)時由于觀測條件的限制，吳普訓(xùn)等只挑選到5個重子聲學(xué)振蕩數(shù)據(jù)點，與利用χ2分析問題需要40個以上數(shù)據(jù)點的標(biāo)準(zhǔn)還有一定的差距.為此筆者查找了相關(guān)文獻(xiàn)，一共找到了如表1所列的56個哈勃參數(shù)數(shù)據(jù)點[20-38]，哈勃參數(shù)的單位是km·S-1·Mpc-1.其中45個數(shù)據(jù)點有對應(yīng)紅移處的超新星觀測數(shù)據(jù)，是文獻(xiàn)[19]中數(shù)據(jù)的9倍.同時，我們在2017年限制宇宙透明度時[5]，當(dāng)時只有29個數(shù)據(jù)點，且沒有用積分邊緣化約化哈勃常數(shù)取值的影響.因此，筆者擬用這些數(shù)據(jù)限制距離對偶關(guān)系，同時對邊緣化約化哈勃常數(shù)取值前后結(jié)果進(jìn)行對比，因所選用的數(shù)據(jù)更多且更精確，所以限制結(jié)果會更加準(zhǔn)確、可信度也會提高.

表1 哈勃參數(shù)數(shù)據(jù)Tab.1 Hubble parameter data

1 限制方法

為了模型無關(guān)地限制距離對偶關(guān)系，考慮以下幾種參數(shù)化形式：

這里η1、 η2和η3是常數(shù).如果距離對偶關(guān)系與觀測數(shù)據(jù)是吻合的，那么ηj(j=1，2，3)等于0.通過計算（5）式的最小值確定距離對偶關(guān)系與觀測數(shù)據(jù)是否吻合：

式中， ηi,o(z) 從觀測數(shù)據(jù)中選取， σi,o是相應(yīng)的誤差.參數(shù)ηj的概率分布是這樣計算的，P=Aexp(?χ2(ηj)/2)，其中A為歸一化因子.由χ2(ηj)的最小值確定相應(yīng)的最佳擬合值.

因哈勃參數(shù)數(shù)據(jù)的觀測值與光子數(shù)是否守恒和宇宙學(xué)模型無關(guān)，所以可以用來確定角直徑距離的觀測值.哈勃參數(shù)數(shù)據(jù)只給出了膨脹速率，由（6）式計算相應(yīng)的共動距離[39]：

式中H(zi)表示第i個哈勃參數(shù)數(shù)據(jù).第i項的誤差為

由誤差傳遞規(guī)律可以得到紅移0 ～zn區(qū)間的總誤差為所有誤差之和

Ia型超新星數(shù)據(jù)從Union2.1[40]的數(shù)據(jù)庫中選取.由于超新星的觀測數(shù)據(jù)給出的是距離模量，用下式確定其發(fā)光距離

因為在Union2.1數(shù)據(jù)庫中不一定有與哈勃參數(shù)數(shù)據(jù)點紅移完全相同的數(shù)據(jù)點，因此選紅移范圍小于等于0.005以內(nèi)的所有數(shù)據(jù)求并確定與之相對應(yīng)的發(fā)光距離. 求并的計算過程如（9）式：

式中，σsti是第i個數(shù)據(jù)點的統(tǒng)計誤差，σsyi是第i個數(shù)據(jù)點的系統(tǒng)誤差.這樣在紅移大于1時，除了紅移1.3外，仍然沒有與之對應(yīng)的數(shù)據(jù)點，合計只有45個數(shù)據(jù)點.把這些觀測數(shù)據(jù)代入(5)式就可以得到ηj的最佳擬合值.

由于在確定超新星數(shù)據(jù)的距離模量時引入了量綱為1的約化哈勃常數(shù)h=0.7 (h=H0/100)，很顯然這樣會給對距離對偶關(guān)系的限制帶來一定的影響，為了分析它對限制結(jié)果的影響，把它當(dāng)作自由參數(shù)處理，即dL=0.7×100.2μ?5/h，這樣可以畫出h?ηj的圈圖.之后，把h的影響邊緣化，具體方法是計算其似然概率，積分時hobs選WMAP9的觀測結(jié)果[41-42]，也就是H0=(70±2.2)km·S-1·Mpc-1.

2 限制結(jié)果

用觀測數(shù)據(jù)限制ηj的最佳擬合值和 1 σ的置信區(qū)間為：η1,st=?0.011±0.022，η2,st=?0.016±0.043 和η3,st=?0.029±0.071， 這里腳標(biāo)表示不包含超新星數(shù)據(jù)系統(tǒng)誤差；η1,sy=?0.005±0.028，η2,sy=?0.009±0.060和η3,sy=?0.016±0.094，這里腳標(biāo)表示包含超新星數(shù)據(jù)系統(tǒng)誤差.相應(yīng)的似然概率曲線如圖1所示.限制結(jié)果表明ηj雖稍微偏離了0點，但在 1 σ的置信區(qū)間內(nèi)與觀測數(shù)據(jù)吻合得很好.

圖1 不考慮和考慮超新星數(shù)據(jù)系統(tǒng)誤差時似然概率曲線Fig.1 The likelihood functions without and with systematic errors

把h當(dāng)作自由參數(shù)之后，限制的結(jié)果是：(η2,st=?0.006，h=0.696) ，(η3,st=?0.038，h=0.702) ，(η2,sy=?0.017，h=0.703) 和(η3,sy=?0.048，h=0.707) .相應(yīng)的h?ηj圈圖如圖2所示.

圖2 不考慮和考慮超新星數(shù)據(jù)系統(tǒng)誤差時圈圖Fig.2 The contour plots without and with systematic errors

限制結(jié)果表明η2和η3雖稍微偏離了0點，但無論考慮超新星的系統(tǒng)誤差與否，距離對偶關(guān)系在 1σ的置信區(qū)間內(nèi)也與觀測數(shù)據(jù)吻合得很好.

圖3 邊緣化h之后的似然概率曲線Fig.3 The likelihood functions with a marginalization over h

3 結(jié)論

最近，吳普訓(xùn)等用重子聲學(xué)振蕩數(shù)據(jù)和Ia型超新星數(shù)據(jù)共同限制了距離對偶關(guān)系，發(fā)現(xiàn)只考慮超新星數(shù)據(jù)的統(tǒng)計誤差時，距離對偶關(guān)系與觀測數(shù)據(jù)在1 σ置信區(qū)間是不吻合的，只是在 2σ 置信區(qū)間才是吻合的.在邊緣化約化哈勃常數(shù)之后，無論計算還是不計算超新星數(shù)據(jù)的系統(tǒng)誤差，距離對偶關(guān)系與觀測數(shù)據(jù)在1 σ置信區(qū)間就是吻合的.筆者在用最新的哈勃參數(shù)數(shù)據(jù)和Union2.1的超新星數(shù)據(jù)共計45個數(shù)據(jù)點，采用模型無關(guān)的方法限制距離對偶關(guān)系時發(fā)現(xiàn)，無論計算還是不計算超新星數(shù)據(jù)的系統(tǒng)誤差，3種參數(shù)化因子的最佳擬合值只是稍微有點偏離0點，距離對偶關(guān)系與觀測數(shù)據(jù)在1 σ 置信區(qū)間吻合得很好.隨后，把約化哈勃常數(shù)當(dāng)作自由參數(shù)來處理，從限制的h?η2和h?η3的圈圖中可以看出距離對偶關(guān)系與觀測數(shù)據(jù)只有很微小的偏離.最后，用積分的辦法把約化哈勃常數(shù)的影響邊緣化，限制結(jié)果表明距離對偶關(guān)系與觀測數(shù)據(jù)也沒有明顯的偏離.由此可見，距離對偶關(guān)系與所選的觀測數(shù)據(jù)是吻合的，并且與ηj的參數(shù)化形式無關(guān)，所以距離對偶關(guān)系是研究宇宙學(xué)很多問題的強有力的工具.