孫 亮 羅 佳 喬印虎

①(池州職業(yè)技術(shù)學院機電與汽車系 池州 247000)

②(安徽科技學院機械工程學院 鳳陽 233100)

1 引言

憶阻器被認為是繼電阻、電容和電感之后的第4種基本電路元件，它表征了電荷與磁通之間的本構(gòu)關(guān)系，具有納米尺寸、非線性、低功耗和非易失性等特點。1971年，美國華裔科學家Chua教授[1]從數(shù)學對稱性出發(fā)提出憶阻器理論并預測了它的存在性，2008年美國惠普實驗室首次發(fā)現(xiàn)單個納米級TiO2憶阻器件[2]。此后，許多不同的器件被確定為憶阻器，并提出了不同的應用，特別是憶阻器用于模擬生物突觸[3-5]。

局部有源被認為是復雜性的起源，與生物神經(jīng)突觸具有密切聯(lián)系[6,7]。2014年Chua教授[8]首次提出局部有源憶阻概念并設計了第1個局部有源憶阻器模型。2017年局部有源憶阻器被實驗室證實[9]。局部有源憶阻器比無源憶阻器具有更加復雜的動力學特性，具有更加廣泛的應用。近年來，一些局部有源憶阻器模型已經(jīng)被提出和應用。例如，2018年Jin等人[10]提出一個局部有源憶阻器并與電容、電感電路組合實現(xiàn)了最簡單的混沌電路。同年，Chang等人[11]實現(xiàn)了一種雙穩(wěn)態(tài)雙局部有源憶阻器。2019年，Weiher等人[12]進一步從材料物理實驗的角度證明了局部有源憶阻器的存在性。2020年，文獻[13,14]首次把局部有源憶阻器引入人工神經(jīng)元模型中，并提出了局部有源憶阻神經(jīng)元模型。盡管一些局部有源憶阻器已經(jīng)被報道，但是局部有源憶阻器因為數(shù)學模型復雜、有源區(qū)間小等缺點很難在人工神經(jīng)網(wǎng)絡中應用。生物神經(jīng)系統(tǒng)具有豐富且復雜的放電活動，了解神經(jīng)元以及神經(jīng)元網(wǎng)絡的放電動力學機制有助于人工智能的發(fā)展，在過去的幾十年中已經(jīng)吸引了大量的研究人員[15,16]。Hindmarsh-Rose (HR) 神經(jīng)元具有簡單的數(shù)學模型[17]，能夠模擬周期尖峰和簇發(fā)等多種神經(jīng)元放電[18,19]。2019年Bao等人[20]使用一個無源憶阻器模擬兩個HR神經(jīng)元之間的連接突觸，提出了基于憶阻突觸耦合HR神經(jīng)元網(wǎng)絡，并分析了其同步動力學機制。

本文設計了一種簡單的局部有源憶阻器模型，不僅數(shù)學表達式簡單，物理電路實現(xiàn)容易，而且非常適合于模擬生物突觸。使用該局部有源憶阻器模擬兩個HR神經(jīng)元之間的連接突觸，構(gòu)建了一種局部有源憶阻突觸耦合的HR神經(jīng)網(wǎng)絡。這種局部有源憶阻突觸耦合HR神經(jīng)網(wǎng)絡能夠產(chǎn)生多種尖峰放電模式以及復雜的混沌行為。同時為了促進工程應用，設計了該局部有源憶阻器及其耦合神經(jīng)網(wǎng)絡的等效實現(xiàn)電路，并由電路仿真驗證了數(shù)值仿真的正確性。

2 局部有源憶阻器

2.1 數(shù)學模型

根據(jù)憶阻器理論，一個廣義的壓控憶阻器可以表示為[21]

其中，W(x)是一個以x為變量的連續(xù)函數(shù)，稱為憶導，v, i, x分別表示施加在憶阻器兩端的輸入電壓，通過憶阻器的輸出電流，和憶阻器的內(nèi)部狀態(tài)變量。基于式(1)和式(2)，一個新的局部有源憶阻器模型能夠被設計，它的表達式為

其中，x是憶阻器的內(nèi)部狀態(tài)變量，表示磁通，tanh(.)是雙曲正切函數(shù)。

2.2 伏安特性

根據(jù)憶阻器理論[21,22]，任意憶阻器應該具有以下3個特征：(1) 在雙極性周期信號的驅(qū)動下，假設存在周期響應，該器件在電壓-電流(v-i)平面中必須表現(xiàn)出過原點的收縮緊磁滯回線；(2) 從某個臨界頻率開始，緊磁滯回線波瓣面積應隨著激勵頻率的增加而單調(diào)減??；(3) 當頻率趨于無窮大時，收縮緊磁滯回線應收縮為單值函數(shù)。

當在局部有源憶阻器兩端施加雙極性周期激勵信號v=Asin(2πFt)時，不同的激勵信號幅度和頻率對憶阻器的作用被研究。例如，當設置激勵信號頻率F=2，初始狀態(tài)x(0)=0時，改變不同的信號幅度A所得到的伏安特性如圖1(a)所示。從圖1(a)可以看到，3個緊磁滯回線都通過v-i平面的0點，且幅度越大緊磁滯回線面積越大。當設置激勵信號幅度A=2，初始狀態(tài)x(0)=0時，調(diào)節(jié)不同的信號頻率F所得到的伏安特性曲線如圖1(b)所示。由圖1(b)可見，3個緊磁滯回線都通過v-i平面的0點，且隨著信號頻率的增加，憶阻器的緊磁滯回線面積越來越小，逐漸趨向于一條直線。顯然，所提憶阻器模型具有憶阻器的3個特征，是一種憶阻器件。

圖1 輸入信號幅度/頻率相關(guān)的伏安特性曲線圖

2.3 局部有源性

根據(jù)局部有源理論[8]，如果一個憶阻器的直流(Direct Current, DC) 電壓-電流V-I 曲線存在負的斜率部分，那么該憶阻器就是局部有源的。為了證明所提出的憶阻器是局部有源憶阻器，它的局部有源特性被分析如下：

首先令憶阻器狀態(tài)方程dx/dt=0，可以得到它的平衡點狀態(tài)方程

其中，V表示直流輸入電壓，X是滿足dx/dt=0時的x的解。然后再把式(5)替換到式(3)中得到輸出電流為

基于式(5)和式(6)可以得到憶阻器的DC V-I曲線，如圖2所示。由圖2可知，憶阻器的DC V-I曲線存在兩個對稱的負斜率區(qū)間，分別是0.89

圖2 局部有源憶阻器的DC V-I圖

2.4 電路模型

基于式(3)、式(4)局部有源憶阻器模型，可以實現(xiàn)它的等效電路，如圖3(a)所示。其中，U是模擬運算放大器，M是模擬乘法器。雙曲正切函數(shù)使用文獻[14]所提出的雙曲正切電路實現(xiàn)，如圖3(b)所示。在雙曲正切電路中，當直流供電為±15 V,R=10 kΩ, RF=520 Ω, RC=1 kΩ, Io=1.1 mA時，電路能夠?qū)崿F(xiàn)vo=-tanh(vi)。憶阻器內(nèi)部狀態(tài)通過積分器的輸出電壓表示。根據(jù)基爾霍夫定律，局部有源憶阻器的電路方程可表示為

根據(jù)基爾霍夫定律，憶阻器數(shù)學模型式(3) i=x2v在憶阻器仿真器中對應的關(guān)系為i=(g2vz2v)/RL。其中，v和i分別表示輸入電壓和輸出電流，g=1為模擬乘法器的增益，vz為積分器輸出電壓，表示憶阻器內(nèi)部狀態(tài)變量x，RL為可調(diào)匹配電阻。令R=10 kΩ, C=10 nF，根據(jù)積分時間常數(shù)RC=τ，可求得RL=g2R=1 0 k Ω, RA=R/0.5=2 0 k Ω,RB=R/1=10 kΩ。為了驗證數(shù)值仿真，在功率模擬(Power SIMulation, PSIM)電路仿真軟件中創(chuàng)建圖3所示電路，如圖4所示。為了方便測量憶阻器的輸出電流，在仿真時把RL接地。

圖3 電路圖

圖4 憶阻器PSIM仿真電路圖

對于數(shù)值仿真輸入電壓源v=Asin(2πFt)所對應的電路實驗輸入電壓源v=Asin(2πft)，其中f=F/RC。因此，當數(shù)值仿真中F=2時，電路仿真頻率f=20 kHz，不同的電壓幅度仿真結(jié)果如圖5(a)所示。當A=2時，不同的電壓頻率仿真結(jié)果如圖5(b)所示。顯然，圖5的電路仿真結(jié)果與圖1的數(shù)值仿真結(jié)果基本一致。

圖5 局部有源憶阻器電路PSIM仿真結(jié)果

3 局部有源憶阻突觸耦合HR神經(jīng)網(wǎng)絡

3.1 模型建立

人類大腦包含了數(shù)以億計的神經(jīng)元，它們通過突觸互相連接組成強大的神經(jīng)網(wǎng)絡。突觸在神經(jīng)網(wǎng)絡中不僅是物理連接，而且對于神經(jīng)元之間的電信號傳輸起著關(guān)鍵的作用。由于憶阻器具有類似突觸的納米級、可塑性、非線性和非易失性等特點，可以使用憶阻器模擬神經(jīng)突觸來開發(fā)等效的憶阻神經(jīng)電路[23,24]。憶阻神經(jīng)電路具有豐富的類腦放電動力學，利用憶阻器重構(gòu)神經(jīng)電路已經(jīng)成為重要的研究課題。2維的HR神經(jīng)元模型能產(chǎn)生豐富的尖峰和簇發(fā)放電行為，非常適合神經(jīng)動力學的研究，其數(shù)學模型為[17]

其中，x是神經(jīng)元的細胞膜電位，y是恢復變量，a,b, c, d是神經(jīng)元模型參數(shù)。當使用局部有源憶阻器模擬兩個HR神經(jīng)元之間的神經(jīng)突觸時，兩個神經(jīng)元之間的膜電位差的改變將引起磁通的變化，從而產(chǎn)生電磁感應電流。此時，膜電位與突觸的耦合可以使用憶阻器來描述[20]。因此，局部有源憶阻突觸耦合HR神經(jīng)元網(wǎng)絡模型能夠被建立，如圖6所示。當兩個HR神經(jīng)元通過局部有源憶阻器耦合時，由于兩個神經(jīng)元之間的膜電位差x1-x2不斷改變從而產(chǎn)生磁感應電流，感應電流可以通過憶阻器表征為ρ1(x1-x2)W。當這個磁感應電流分別作用在兩個神經(jīng)元上時，可以得到

圖6 局部有源憶阻突觸耦合神經(jīng)元網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)圖

其中，ρ1, ρ2表示憶阻突觸耦合強度，x1和x2分別表示神經(jīng)元1和神經(jīng)元2的膜電位，x1-x2表示兩個神經(jīng)元的膜電位差，y1和y2分別表示兩個神經(jīng)元的恢復電位，憶導W=z2表示突觸權(quán)重，參數(shù)σ表示磁通泄露系數(shù)。

3.2 突觸耦合強度相關(guān)動力學

根據(jù)參考文獻[13]的定義，神經(jīng)放電模式一般可以分為周期的尖峰和簇發(fā)放電，隨機的尖峰和簇發(fā)放電，混沌的尖峰和簇發(fā)放電以及混沌放電模式。當保持模型參數(shù)a=1, b=3, c=1, d=5, I1=-0.5, I2=-2.5, σ=0.2不變，兩個不對稱憶阻突觸耦合參數(shù)ρ1，ρ2作為可調(diào)參數(shù)時，局部有源憶阻突觸耦合HR神經(jīng)元網(wǎng)絡動力學行為被研究。設置ρ2為0.1，初值為(0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2)，當憶阻突觸耦合強度ρ1在區(qū)間[-1, 0]中逐漸增大時，系統(tǒng)的分岔圖和相應的李雅普諾夫(Lyapunov)指數(shù)譜可繪制如圖7所示。從分岔圖中可以看到，系統(tǒng)隨著耦合強度的增加，產(chǎn)生了多次正向周期倍分岔現(xiàn)象，在ρ1=-0.46時第1次由周期尖峰放電進入混沌放電后又多次以切分岔路徑退出混沌再次通過周期倍分岔進入混沌狀態(tài)。形成了多個不同周期放電的周期窗口。最后，在ρ1=-0.06時系統(tǒng)進入靜默狀態(tài)。圖7(b)中李雅普諾夫指數(shù)譜驗證了分岔圖的正確性。圖8給出了不同耦合強度ρ1時，系統(tǒng)的不同動力學行為時序圖。從圖8可見，局部有源憶阻突觸耦合HR神經(jīng)元網(wǎng)絡能夠產(chǎn)生周期-1尖峰放電、周期-2尖峰放電、隨機尖峰放電、混沌簇發(fā)、混沌放電等多種放電模式。

圖7 關(guān)于憶阻突觸耦合強度ρ1動力學狀態(tài)分布

圖8 不同憶阻突觸耦合強度ρ1所對應的多種放電模式

設置ρ1為-0.4，初值為(0.2, 0.2, 0.2, 0.2,0.2)，當憶阻突觸耦合強度ρ2在區(qū)間[0, 1]中逐漸增大時，系統(tǒng)的分岔圖和相應的李雅普諾夫指數(shù)譜可繪制如圖9所示。從圖9(a)可以發(fā)現(xiàn)，在初始條件(0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2)下，隨著耦合強度ρ2從0開始正向增大，系統(tǒng)一開始就進入混沌放電狀態(tài)，直到ρ2=-0.7，期間存在周期窗口ρ2=0.1 6,ρ2=-0.51，隨后通過反向倍周期分岔路徑轉(zhuǎn)為周期尖峰放電。李雅普諾夫指數(shù)譜表現(xiàn)的動力學狀態(tài)分布與分岔圖所展示的動力學基本一致。圖10給出了不同突觸耦合強度ρ2時，系統(tǒng)所產(chǎn)生的不同動力學現(xiàn)象，包括混沌、瞬態(tài)混沌、準周期以及周期行為。

圖9 關(guān)于憶阻突觸耦合強度ρ2動力學狀態(tài)分布

4 電路設計與PSIM仿真驗證

從人工智能應用的角度來看，神經(jīng)網(wǎng)絡模型的電路實現(xiàn)具有重要的現(xiàn)實意義和必要性。通常，非線性動力學系統(tǒng)可以通過采用基本模擬電子電路實現(xiàn)。本節(jié)利用模擬運算放大器、模擬乘法器、電阻、電容對提出的局部有源憶阻突觸耦合HR神經(jīng)元網(wǎng)絡進行電路設計與實現(xiàn)。基于圖3的憶阻器電路和耦合HR神經(jīng)元網(wǎng)絡(9)，局部有源憶阻突觸耦合HR神經(jīng)元網(wǎng)絡電路如圖11所示。其中，系統(tǒng)狀態(tài)變量x1, y1, x2, y2, z通過5個電容積分器的輸出電壓表示?；诨鶢柣舴螂娐范桑到y(tǒng)電路的等效電路方程為

圖10 不同憶阻突觸耦合強度ρ2所對應的多種動力學行為

圖11 局部有源憶阻突觸耦合HR神經(jīng)元網(wǎng)絡電路

假設C=10 nF， 根據(jù)系統(tǒng)參數(shù)與電路元件，部分電路元件阻抗值為：R=1 0 k Ω, R1=R6=R=10 kΩ, R2= R7=Rg/b=3.33 kΩ, R3= R8=Rg2/a =10 kΩ, R4= R9=Rg/c=2 kΩ, R5=R10=10 kΩ,RL1= Rg2/ρ1,RL2= Rg2/ρ2。為了驗證數(shù)值仿真，在PSIM電路仿真軟件中創(chuàng)建圖12所示電路。仿真過程中，5個電容初始電壓設置為(0.2V, 0.2V, 0.2V, 0.2V, 0.2V)。當I1=-0.05 mA,I2=0.25 mA, Ic=0.1 mA, ρ2=0.1, 相應的阻抗RL2= 100 kΩ, 調(diào)節(jié)不同的RL1，可以得到多種放電模式，如圖13所示。當ρ1=-0.4，相應的阻抗RL1=25 kΩ，調(diào)節(jié)不同的RL2，可以得到不同的動力學行為，如圖14所示。顯然，在圖13與圖14的電路仿真結(jié)果很好地驗證了圖8與圖10的數(shù)值仿真結(jié)果。

圖12 憶阻耦合神經(jīng)元網(wǎng)絡PSIM仿真電路

圖13 局部有源憶阻突觸耦合HR神經(jīng)元網(wǎng)絡電路仿真結(jié)果

圖14 局部有源憶阻突觸耦合HR神經(jīng)元網(wǎng)絡電路仿真結(jié)果

5 結(jié)束語

本文設計了一種簡單的局部有源憶阻器模型。通過理論分析、數(shù)值模擬以及電路實現(xiàn)，證明了該憶阻器的緊磁滯回線特征和局部有源屬性。此外，利用該局部有源憶阻模型模擬生物突觸特點，構(gòu)建了一種局部有源憶阻突觸耦合HR神經(jīng)元網(wǎng)絡。研究結(jié)果表明，該憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡在不同的突觸耦合強度下能表現(xiàn)出多種放電模式和混沌動力學行為，具有豐富的動力學特性。最后，通過采用模擬電子元件實現(xiàn)局部有源憶阻耦合HR神經(jīng)元網(wǎng)絡電路，并在PSIM電路仿真軟件中得到新系統(tǒng)的多種放電行為和不同吸引子，從而證實了系統(tǒng)的有效性。