福建省福清市南嶺中心小學(xué) 陳存祥

一、數(shù)形結(jié)合思想的基本含義

“數(shù)形結(jié)合”是什么？“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)知識(shí)和概念的兩種表現(xiàn)形式?！皵?shù)形結(jié)合”實(shí)際上是一種教學(xué)概念的轉(zhuǎn)換方式。著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛?！痹谛W(xué)數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中，教師如果能適時(shí)巧妙地將“數(shù)”與“形”相結(jié)合，既可以將數(shù)學(xué)知識(shí)和概念通過(guò)形象的表現(xiàn)形式生動(dòng)地呈現(xiàn)在學(xué)生眼前，也可以幫助學(xué)生用簡(jiǎn)單的形象思維更好地理解抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，從而真正愛(ài)上數(shù)學(xué)。

小學(xué)生普遍認(rèn)為數(shù)的概念抽象，難以理解。所以，教學(xué)中需要教師合理地以“形”化“數(shù)”，通過(guò)形象直觀的“形”，來(lái)幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)概念，從而獲得“數(shù)”的認(rèn)識(shí)。當(dāng)學(xué)生對(duì)某個(gè)算式把握不準(zhǔn)時(shí)，可以用“形”來(lái)表述算式，進(jìn)一步幫助學(xué)生理解算式；當(dāng)學(xué)生不能有效地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，使用“數(shù)形結(jié)合”可以可視化抽象問(wèn)題，簡(jiǎn)化復(fù)雜問(wèn)題。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生積極分析課堂教學(xué)中的問(wèn)題，有意識(shí)地將“數(shù)形結(jié)合”思想在解決實(shí)際問(wèn)題中加以運(yùn)用。

二、數(shù)形結(jié)合思想在課堂中的運(yùn)用

（一）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，打好學(xué)習(xí)基礎(chǔ)

小學(xué)生接觸數(shù)學(xué)，是從他們熟悉的生活圖像中認(rèn)識(shí)數(shù)、認(rèn)識(shí)方位開(kāi)始的，他們往往能通過(guò)觀察圖像獲取有效的信息，所以從圖像中抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)知識(shí)，更容易讓學(xué)生接受。小學(xué)生的思維更傾向于形象思維，而數(shù)學(xué)的知識(shí)，更多的是邏輯抽象的表達(dá)，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，都是從具體形象慢慢向抽象邏輯思維過(guò)渡的過(guò)程。

例如：在學(xué)生認(rèn)數(shù)的教學(xué)中，教師除了讓他們通過(guò)數(shù)小棒、撥計(jì)數(shù)器等實(shí)物的操作以外，還應(yīng)該借助“圖形”來(lái)幫助學(xué)生建立數(shù)的概念，培養(yǎng)他們的數(shù)感。這方面的例子還有很多，如一二年級(jí)開(kāi)始學(xué)習(xí)識(shí)數(shù)、嘗試找規(guī)律，學(xué)會(huì)加減乘除，到三四年級(jí)初步認(rèn)識(shí)小數(shù)，五六年級(jí)認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)等，都是學(xué)生根據(jù)已有的生活經(jīng)驗(yàn)在具體的表象中抽象出來(lái)。在教學(xué)中，教師要心存數(shù)形結(jié)合的思想，發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的妙用。

要使學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)，必須具備較強(qiáng)的基礎(chǔ)知識(shí)和熟練的基本技能。如果教師只講解幾個(gè)典型練習(xí)，學(xué)生能夠解決問(wèn)題了，就認(rèn)為學(xué)生已經(jīng)理解數(shù)形結(jié)合思想了，這是片面的觀點(diǎn)。在進(jìn)行解決問(wèn)題的教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)根據(jù)問(wèn)題的具體情況，利用“數(shù)”的準(zhǔn)確澄清“形”的模糊，用“形”的直觀了解“數(shù)”的計(jì)算，引導(dǎo)學(xué)生多角度、多方面觀察和理解問(wèn)題，揭示問(wèn)題的本質(zhì)關(guān)系。為了解決問(wèn)題，我們要牢牢把握數(shù)形變換的策略，多渠道協(xié)調(diào)知識(shí)之間的關(guān)系，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，及時(shí)總結(jié)數(shù)與形在解決問(wèn)題中的規(guī)律性，為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打下良好的基礎(chǔ)。

（二）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合幫助學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系，提高學(xué)習(xí)效率

小學(xué)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的啟蒙時(shí)期，這一時(shí)期應(yīng)特別注重滲透學(xué)生的基本數(shù)學(xué)思想。在小學(xué)高年級(jí)的解決問(wèn)題教學(xué)中，數(shù)量關(guān)系的分析往往是教學(xué)的難點(diǎn)。教學(xué)中，我們可以利用直觀的線段圖來(lái)幫助學(xué)生理解題意，分析梳理。更重要的是能讓學(xué)生在動(dòng)手畫(huà)線段圖的過(guò)程中，經(jīng)歷、體驗(yàn)“數(shù)形結(jié)合”的過(guò)程，使題目中的數(shù)量關(guān)系清晰地展現(xiàn)在學(xué)生眼前，使抽象的問(wèn)題變得具體，復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，降低解題的難度。“數(shù)形結(jié)合”可以促進(jìn)學(xué)生形象思維和抽象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展，通過(guò)簡(jiǎn)單的圖形（如統(tǒng)計(jì)圖）、符號(hào)和文字等發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)系，從復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系中凸顯其最本質(zhì)的特征，它是提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)效率的有效方法。

例如：六年級(jí)“百分?jǐn)?shù)”中，有這樣一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，“求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)增加（或減少）了百分之幾”，大部分學(xué)生對(duì)“增加了百分之幾”或“減少百分之幾”的意思存在較大的理解困難。為了突破這個(gè)難點(diǎn)，教師可利用數(shù)形結(jié)合的方法，幫助學(xué)生分析和厘清數(shù)量關(guān)系。

我們可以這樣設(shè)計(jì)，○有10個(gè)，△有5個(gè)，△比○少了百分之幾？

○○○○○○○○○○

△△△△△

從圖形中我們不難看出，○比△多了5個(gè)，所以可得出算式：（10-5）÷10×100%＝50%

借助圖形，化數(shù)為形，使得學(xué)生對(duì)于題意的理解更顯簡(jiǎn)單，思維上也更加活躍。數(shù)與形的巧妙結(jié)合，不僅能開(kāi)闊學(xué)生解決問(wèn)題的視野，也能促進(jìn)學(xué)生形象思維和邏輯思維的協(xié)調(diào)發(fā)展，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，提高學(xué)習(xí)效率。

（三）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合幫助幾何形象表征，發(fā)展空間觀念

學(xué)生認(rèn)知的規(guī)律一般是從直接感知到表象再到科學(xué)概念的形成。只有抓住中間環(huán)節(jié)，才能在幾何初步知識(shí)的教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生的初步邏輯思維能力。

例如：我在“長(zhǎng)方形和正方形的認(rèn)識(shí)”教學(xué)中，設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)操作環(huán)節(jié)，“準(zhǔn)備幾組長(zhǎng)短不一的小棒，分組讓學(xué)生根據(jù)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬特征，自由選擇用小棒來(lái)圍長(zhǎng)方形，并且想象它與生活中的什么物體很相似”。有的學(xué)生圍了一個(gè)長(zhǎng)20cm，寬15cm的長(zhǎng)方形，觀察想象后說(shuō)出：“這個(gè)長(zhǎng)方形與我們數(shù)學(xué)書(shū)的形狀很相似”；有的學(xué)生圍了一個(gè)長(zhǎng)3cm，寬2cm的一個(gè)長(zhǎng)方形，在他們既有的生活經(jīng)驗(yàn)中，會(huì)想象出與一塊橡皮相似……

又如：在“三角形面積計(jì)算”的教學(xué)中，我提示學(xué)生能不能將未知的圖形轉(zhuǎn)換成已學(xué)過(guò)的圖形來(lái)進(jìn)行探究，并提供了完全相同的直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形各兩個(gè)，讓學(xué)生在小組中合作，拼一拼，擺一擺，看一看，議一議，使學(xué)生進(jìn)一步理解和深化轉(zhuǎn)化的思想，發(fā)展空間觀念。接著利用多媒體課件展示標(biāo)有數(shù)據(jù)的等底等高的平行四邊形和三角形，讓學(xué)生觀察后回答問(wèn)題：

1.平行四邊形不變，將三角形的高拉大到原來(lái)的3倍。

問(wèn)學(xué)生：“這時(shí)，兩個(gè)圖形的面積有怎樣的關(guān)系？”

2.還原三角形的高，再把平行四邊形的高拉大到原來(lái)的3倍。

再問(wèn)學(xué)生：“這時(shí)，它們的面積關(guān)系怎樣？”

3.保持平行四邊形的樣子，再把三角形的高拉大到原來(lái)的3倍。

“現(xiàn)在它們的面積又有怎樣的關(guān)系？”

此時(shí)，同學(xué)們都很活躍，想象力豐富，回答同樣的問(wèn)題，會(huì)有各種各樣的想法。有的學(xué)生將變高的平行四邊形看成三個(gè)平行四邊形，每個(gè)平行四邊形面積是三角形面積的2倍，三個(gè)平行四邊形面積共是三角形面積的6倍。學(xué)生從多個(gè)方向進(jìn)行思考，大膽猜想，逐步加深對(duì)知識(shí)的理解。讓學(xué)生在這種活動(dòng)中牢記平行四邊形和三角形的面積公式，并讓學(xué)生及時(shí)找出它們之間的規(guī)律，通過(guò)想象和推斷得出結(jié)論。這不僅培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維能力，還發(fā)展了他們的空間觀念。

（四）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合幫助學(xué)生理解函數(shù)思想，發(fā)揮功能作用

小學(xué)數(shù)學(xué)雖然還沒(méi)有開(kāi)始接觸函數(shù)，但是教材中有許多內(nèi)容都在慢慢地滲透函數(shù)思想。如小學(xué)五年級(jí)學(xué)習(xí)的“位置”，用數(shù)對(duì)表示平面圖形上的點(diǎn)，點(diǎn)的平移引起數(shù)對(duì)的變化，數(shù)對(duì)的變化對(duì)應(yīng)不同的點(diǎn)，此時(shí)的點(diǎn)和數(shù)對(duì)的關(guān)系類(lèi)似于中學(xué)函數(shù)中自變量和函數(shù)值的關(guān)系。此外，在六年級(jí)學(xué)習(xí)的“正比例和反比例”中，先讓學(xué)生根據(jù)數(shù)據(jù)，在坐標(biāo)圖中畫(huà)出對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的點(diǎn)，再將所有的點(diǎn)依次連接，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖像，發(fā)現(xiàn)所連接的點(diǎn)形成了一條直線。

接著提出質(zhì)疑：“是不是所有的正比例關(guān)系的圖像，都會(huì)是一條直線呢？”再讓學(xué)生自行研究所收集到的正比例關(guān)系的數(shù)據(jù)，并在坐標(biāo)圖中描點(diǎn)連線，最后交流反饋。上述的圖形在小學(xué)數(shù)學(xué)中的運(yùn)用，足以使小學(xué)數(shù)學(xué)教師更加注重“數(shù)形結(jié)合”和“輔助數(shù)字”的結(jié)合。充分引入圖形，充分發(fā)揮它們?cè)诮虒W(xué)中的作用。

在我看來(lái)，雖然小學(xué)是學(xué)習(xí)函數(shù)的初始階段，但打好基礎(chǔ)尤為重要。要讓學(xué)生了解什么是函數(shù)，不僅要知道函數(shù)的本質(zhì)特征，而且要讓學(xué)生潛移默化地滲透函數(shù)思想。它既有利于學(xué)生形象思維和邏輯思維的協(xié)調(diào)發(fā)展，又能相互促進(jìn)，提高學(xué)生的思維能力，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和創(chuàng)新能力。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中，教師要想掌握好數(shù)形結(jié)合的思想方法并能靈活運(yùn)用，必須深入鉆研教材，挖掘教材中可將數(shù)形結(jié)合思想融入的教學(xué)點(diǎn)，熟悉數(shù)字知識(shí)中隱藏的幾何意義，建立“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)換思考問(wèn)題的習(xí)慣，不斷探索和積累經(jīng)驗(yàn)，加深和加強(qiáng)對(duì)數(shù)形結(jié)合思想方法的理解和運(yùn)用，巧妙地將數(shù)形結(jié)合思想與課堂教學(xué)有機(jī)結(jié)合。這是提高數(shù)學(xué)教學(xué)能力的必由之路，也是促進(jìn)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)方法的掌握、數(shù)學(xué)思想的形成的有效途徑，只有這樣才能真正讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，使其終生受益。