尚 軍，婁文博，蘇青青

(1.河南師范大學(xué) a.物理學(xué)院；b.物理學(xué)國家級實驗教學(xué)示范中心，河南 新鄉(xiāng) 453007；2.新鄉(xiāng)市誠城卓人學(xué)校，河南 新鄉(xiāng) 453006)

燃燒振蕩會產(chǎn)生巨大的壓力擾動，如果這種燃燒振蕩發(fā)生在發(fā)動機(jī)上會破壞燃燒器. 燃燒振蕩器是非線性振蕩器的簡單系統(tǒng)，其中蠟燭燃燒振蕩現(xiàn)象已經(jīng)被人們所熟知. 已經(jīng)有文獻(xiàn)對蠟燭的振蕩原因進(jìn)行了探究，并提出了積雨云和渦流原理解釋蠟燭火焰振蕩的機(jī)制[1-2]，另外,研究還表明火焰的振蕩模式也有所不同，例如“旋轉(zhuǎn)模式”“終結(jié)模式”“同相振蕩模式”和“部分同相模式”等，并利用熱像儀觀察到熱空氣上升過程中出現(xiàn)的分叉和旋轉(zhuǎn)的現(xiàn)象，利用層流和湍流可以對該現(xiàn)象進(jìn)行解釋. 目前，人們對不同粗細(xì)蠟燭火焰的耦合情況研究較少，因此本文以直徑為1.40 cm和1.00 cm的蠟燭為研究對象，通過建立模型、實驗分析，探究了距離對蠟燭火焰振蕩耦合的影響，以及燃燒系統(tǒng)中的耦合行為.

1 構(gòu)建模型

火焰振蕩是指火焰在最大值和最小值之間隨時間做周期性重復(fù)變化的現(xiàn)象. 排除外界空氣的擾動，若點燃單支以上的蠟燭且彼此間距離較小時，將會出現(xiàn)火焰振蕩耦合的現(xiàn)象[3]. 這是由于蠟燭燃燒消耗了周圍的氧氣，使得周圍空氣流動不均勻形成了渦流[4]. 所謂耦合指2個或2個以上的體系通過彼此間的相互作用而相互影響的現(xiàn)象. 由于火焰周圍空氣流動速度的空間不均勻性，導(dǎo)致火焰外側(cè)形成環(huán)形渦流，渦流垂直拉伸火焰，形成分離的焰團(tuán). 當(dāng)2個振蕩器的火焰尖端周期性地產(chǎn)生分離的焰團(tuán)時，便出現(xiàn)了振蕩耦合的現(xiàn)象. 若點燃的蠟燭數(shù)量較少，周圍的氧氣足以維持蠟燭的燃燒，空氣流動較為恒定，則較難形成使蠟燭火焰出現(xiàn)振蕩的渦流.

基于以上分析，構(gòu)建了如圖1所示的由3支蠟燭緊湊排列的單個振蕩器模型，探究了2個振蕩器的火焰耦合情況(這2個振蕩器均基于該模型)，并認(rèn)為每個振蕩器中3支蠟燭火焰的振蕩是相同的，探究不同距離條件下，2組振蕩器火焰的振蕩情況.

圖1 3支蠟燭緊湊排列的單個振蕩器模型圖

2 理論分析

2.1 構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

2.1.1 單個振蕩器系統(tǒng)

蠟燭燃燒時，由于消耗氧氣引起了周圍空氣的不均勻流動而形成渦流，從而引起火焰振蕩現(xiàn)象，由此，氧氣的燃燒消耗和氣體流動的供給是引起耦合的重要因素. 先做3點假設(shè)[5-6]：

1)石蠟熔化后汽化與氧氣發(fā)生反應(yīng)；

2)石蠟供應(yīng)充足，并且氧氣以恒定速率持續(xù)供應(yīng)；

3)氧氣從無限遠(yuǎn)處輸送給蠟燭，并且熱量以對流方式流失.

根據(jù)能量守恒可得到非線性振蕩器的燃燒方程為

(1)

(2)

式(1)描述了能量守恒，C為系統(tǒng)的熱容，T為火焰溫度，t為蠟燭燃燒的時間，ω1為特征時間尺度，h為與熱傳導(dǎo)有關(guān)的比例系數(shù)，T0為外部環(huán)境溫度，β為比例因子，a為燃料供給率，n為振蕩器火焰中的氧氣濃度，E為化學(xué)活化勢壘，R為理想氣體常量，σ為熱輻射系數(shù).方程右邊分別對應(yīng)由于氣體流動而損失的熱量、燃燒產(chǎn)生的熱量和由于熱輻射損失的熱量.燃燒產(chǎn)熱率取決于由化學(xué)活化勢壘E控制的玻耳茲曼因子，其與氧濃度和燃料供給率成線性關(guān)系.式(2)描述了氧平衡，ω2表示特征頻率，k是比例系數(shù)，n0表示外部環(huán)境中的氧氣濃度.方程右邊分別對應(yīng)氣體流動帶來的氧氣和燃燒消耗的氧氣.

2.1.2 2個振蕩器組成的振蕩系統(tǒng)

熱輻射是2個振蕩器之間相互耦合的主要因素[7]，故熱輻射項是耦合項，而且振蕩器間的耦合還與距離有關(guān)，對于在距離x處的2個相同的振蕩器i≠j∈{1,2}，耦合寫成:

(3)

(4)

其中，Ti表示第i個振蕩器火焰的溫度，ni表示第i個振蕩器火焰中的氧氣濃度，μ是與距離有關(guān)的耦合項比例系數(shù).

為了更方便找到影響蠟燭耦合的變量和判斷這些變量對耦合強(qiáng)度的影響.對式(3)和式(4)進(jìn)行無量綱化：

得到無量綱化后的2個振蕩器的耦合方程為

(5)

(6)

2.2 構(gòu)建重疊峰模型

為進(jìn)一步探究隨距離增加振蕩器火焰耦合是同步還是異步，本文構(gòu)建了重疊峰模型[8].假設(shè)蠟燭燃燒時，火焰最低時為最小輻射，火焰最高時為最大輻射，則蠟燭燃燒時將有如圖2所示的輻射范圍.

圖2 單支蠟燭的輻射范圍

隨著2組振蕩器(每個振蕩器由3支蠟燭組成)間的距離增加，火焰所產(chǎn)生的輻射范圍的耦合情況也有所變化，如圖3所示.紅線L1表示火焰高度最高時的最大輻射，黑線L2表示火焰高度最低時的最小輻射.紅色區(qū)域S1表示2組振蕩器最大輻射之間的耦合區(qū)域，藍(lán)色區(qū)域S2表示1組振蕩器的最小輻射和另外1組振蕩器的最大輻射之間的耦合區(qū)域，黑色區(qū)域S3表示2組振蕩器最小輻射之間的耦合區(qū)域.對于2組振蕩器，隨著距離的變化火焰耦合時對應(yīng)以下3種情況：

1)當(dāng)距離較小時，2組蠟燭L1之間和L2之間均有重疊的區(qū)域S1和S3，此時2組振蕩器的蠟燭火焰表現(xiàn)為同高同低，即同相同步，如圖3(a)所示；

2)當(dāng)距離增大時，2組蠟燭L2之間沒有重疊的區(qū)域，但L1與L2之間有重疊區(qū)域S2，此時2組蠟燭的火焰表現(xiàn)為一高一低，即反相同步，如圖3(b)所示；

3)當(dāng)距離繼續(xù)增大時，2組蠟燭僅L1之間有重疊區(qū)域S1，其他均無重疊區(qū)域，此時2組蠟燭不能耦合，即不相干，如圖3(c)所示.

(a)同相同步

結(jié)合理論分析和重疊峰模型可得：隨著振蕩器之間的距離增加，火焰將依次出現(xiàn)同相同步(同步)耦合、反相同步(異步)耦合和不相干的現(xiàn)象.

3 實驗探究

實驗儀器：直徑分別為1.00 cm和1.40 cm的蠟燭(若干)、打火機(jī)、剪刀、量尺、馬克筆(用來定標(biāo))、手機(jī)(錄像)、坐標(biāo)墊.

3.1 實驗設(shè)計

實驗在密閉房間內(nèi)進(jìn)行，以降低外界空氣流動的影響. 采用控制變量法，測量不同距離下2組振蕩器火焰的振蕩情況，如圖4所示. 先測量直徑為1.40 cm的蠟燭所組成的振蕩器火焰的耦合情況. 2組振蕩器之間的距離變化范圍為1.5～10 cm,每次變化0.5 cm. 常溫常壓下點燃蠟燭，火焰振蕩相對穩(wěn)定時，錄制視頻，利用Tracker軟件對視頻進(jìn)行分析處理，通過追蹤火焰頂端的位置，得出2組振蕩器火焰高度隨時間的變化，如圖5所示. 再利用Origin軟件進(jìn)行圖像處理.

圖4 2組振蕩器火焰耦合

圖5 利用Tracker軟件對視頻進(jìn)行分析處理

為進(jìn)一步探究燃料供給率對耦合的影響. 選取直徑為1.00 cm的蠟燭若干(蠟燭直徑不同，燃料供給率不同)，測量由這些蠟燭所組成的振蕩器火焰的耦合情況.

3.2 實驗結(jié)果

3.2.1 直徑為1.40 cm的蠟燭組成的振蕩器

在常溫常壓下，對于由直徑為1.40 cm的蠟燭所組成的振蕩器，當(dāng)2組振蕩器距離x≤3.5 cm時，2組振蕩器耦合同步，如圖6(a)所示. 當(dāng)3.5 cm9.5 cm時，此時振蕩器之間的火焰振蕩沒有明顯的規(guī)律性，即2組振蕩器不相干，如圖6(d)所示.

(a) 同步耦合(x≤3.5 cm)

3.2.2 直徑為1.00 cm的蠟燭組成的振蕩器

在常溫常壓下，對于由直徑為1.00 cm的蠟燭所組成的振蕩器，當(dāng)距離x≤2.5 cm時， 2組振蕩器的火焰高度同時出現(xiàn)最高和最低，此時振蕩器之間為同步耦合，如圖7(a)所示. 當(dāng)2.5 cm8.5 cm時，2組振蕩器之間的火焰振蕩沒有相關(guān)性，因此在該范圍內(nèi)，2組振蕩器不相干，如圖7(d)所示.

(a)同步耦合(x≤2.5 cm)

綜上分析，距離是影響耦合的關(guān)鍵因素. 隨著距離的增加，2組振蕩器之間的火焰振蕩依次出現(xiàn)同步、異步和不相干的現(xiàn)象. 蠟燭直徑不同，對應(yīng)燃料供給率不同，從而導(dǎo)致振蕩器之間的耦合情況也不同，如表1所示. A表示由直徑為1.40 cm的蠟燭組成的振蕩器系統(tǒng)，B表示由直徑為1.00 cm的蠟燭組成的振蕩器系統(tǒng). 從表1可看出，B的火焰振蕩之間的同步耦合和過渡階段的范圍比A的范圍小，但異步范圍有所增加，這是因為蠟燭越細(xì)，最小輻射和最大輻射都將減小，由于最小輻射本身較小，因此減小的更為明顯. 根據(jù)重疊峰模型，對于較細(xì)的蠟燭會更早進(jìn)入異步耦合階段. 由于A和B的蠟燭燃料供給率不同，從而導(dǎo)致耦合范圍不同. 隨著距離的增加，A和B依次出現(xiàn)同步耦合、異步耦合和不相干的范圍也有所不同.

表1 振蕩器A和B的耦合情況與距離的關(guān)系

4 結(jié) 論

實驗探究了直徑為1.40 cm和1.00 cm的蠟燭在不同距離下火焰的耦合情況，發(fā)現(xiàn)距離是影響耦合方式的主要因素，且直徑為1.40 cm蠟燭的同步耦合范圍比直徑為1.00 cm蠟燭的同步耦合范圍更大. 對于2種不同直徑的蠟燭所組成的振蕩器，隨著距離的增大，耦合情況均依次出現(xiàn)同步、過渡階段、異步和不相干. 這是由于蠟燭直徑不同，燃料的供給率不同，直徑小的蠟燭，其燃料供給率小，耦合范圍也較小. 實驗結(jié)果與渦流原理、氧氣消耗原理及本文所建立的數(shù)學(xué)模型和重疊峰模型符合較好. 對比不同直徑蠟燭組成的非線性振蕩器系統(tǒng)發(fā)現(xiàn)，在一定距離范圍內(nèi)，蠟燭火焰均發(fā)生振蕩耦合. 因此在生產(chǎn)生活中，可通過調(diào)節(jié)振蕩器之間的距離控制燃燒所產(chǎn)生的振蕩.