姚惠 代勇 胡云學(xué)

DOI：10.16661/j.cnki.1672-3791.2108-5042-1377

摘? 要：隨著極值理論的深入研究，復(fù)合極值分布廣泛應(yīng)用于氣象、交通、水文、金融、保險(xiǎn)等領(lǐng)域。該文利用極值理論將Rayleigh分布和Geometric分布進(jìn)行復(fù)合，提出了一種新的復(fù)合極值分布：兩參數(shù)的Rayleigh-Geometric分布。討論了該分布的分布函數(shù)、概率密度函數(shù)、參數(shù)特定取值時(shí)密度函數(shù)的圖像特征，討論了分布的分位數(shù)、眾數(shù)等數(shù)字特征，討論了分布的生存函數(shù)和危險(xiǎn)率函數(shù)，最后用極大似然法研究了分布參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)。

關(guān)鍵詞：Rayleigh-Geometric分布? ?復(fù)合極值分布? ?性質(zhì)? ?極大似然估計(jì)

中圖分類號(hào)：O212.3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1672-3791（2021）08（a）-0011-05

Study on Rayleigh-Geometric Distribution and Its Properties

YAO Hui? DAI Yong? HU Yunxue

（School of Mathematics and Statistics， Qiannan Normal University for Nationalities， Duyun， Guizhou Province， 558000 China）

Abstract： With the in-depth study of extreme value theory， the compound extreme value distribution is widely used in meteorology， transportation， hydrology， finance， insurance and other fields. In this paper， Rayleigh distribution and Geometric distribution are combined by using extreme value theory， and a new composite extreme value distribution is proposed， namely two-parameter Rayleigh-Geometric distribution， which is obtained by compounding a Rayleigh and a geometric distribution based on extreme value theory. This paper discusses the distribution properties， probability density function，the graph features of the density function with specific values of parameters， the digital characteristics of distribution， such as quantile， mode and so on， survival function and risk rate function of distribution. Finally utilizes the maximum likelihood estimation to discuss the point estimation of the parameters.

Key Words： Rayleigh-Geometric distribution; Compound extreme value distribution; Properties; Maximum likelihood estimation

隨著壽命分布的深入研究和廣泛應(yīng)用，國外學(xué)者在經(jīng)典壽命分布的基礎(chǔ)上提出了一些新型的復(fù)合分布，Adamidis（1998年）首次提出Exponential-Geometric分布[1]，之后陸續(xù)提出了Exponential-Poisson分布、Weibull-Geometric分布、Weibull-Poisson分布、Poisson-Lomax分布、廣義的Exponential-Geometric分布、廣義的Exponential-Poisson分布、互補(bǔ)的Exponential-Geometric分布等，這些文獻(xiàn)定義了新的混合壽命分布，研究其各種性質(zhì)，得到其參數(shù)的極大似然估計(jì)，這些研究拓廣了壽命分布的類型。近年來，在極值理論逐步發(fā)展的基礎(chǔ)上，國內(nèi)學(xué)者研究了各種復(fù)合極值分布及其性質(zhì)：Poisson-Gumbel分布的參數(shù)估計(jì)[2]、二項(xiàng)-廣義Pareto分布模型[3]、Pareto- Geometric分布及其性質(zhì)[4]、二項(xiàng)-Gumbel分布的參數(shù)估計(jì)[5]、Poisson-Lomax分布的Bayes估計(jì)[6]、指數(shù)-威布爾分布的貝葉斯估計(jì)[7]、兩參數(shù)指數(shù)商分布的統(tǒng)計(jì)分析[8]、三參數(shù)Student-t分布的參數(shù)估計(jì)[9]、四參數(shù)Birnbaum-Saunders分布密度函數(shù)的圖像特征[10]、泊松-指數(shù)混合分布的性質(zhì)和參數(shù)估計(jì)[11]等。現(xiàn)在復(fù)合極值分布已經(jīng)廣泛應(yīng)用于氣象、交通、水文、地震、保險(xiǎn)、金融等領(lǐng)域。Rayleigh分布是一種重要的壽命分布，常用在電力和可再生能源這兩個(gè)學(xué)科。該文通過復(fù)合Rayleigh分布和Geometric分布，得到兩參數(shù)的新型復(fù)合極值分布：Rayleigh-Geometric分布，研究其分布函數(shù)、概率密度函數(shù)及圖象特征、數(shù)字特征等相關(guān)性質(zhì)，并研究分布參數(shù)的極大似然估計(jì)。

1? Rayleigh-Geometric分布（RG分布）XZ

1.1 分布的定義

帶有尺度參數(shù)β（β>0）的Rayleigh分布 Rayleigh（β）的概率密度函數(shù)為：

其分布函數(shù)為：

Weibull-Geometric分布（WG分布）當(dāng)形狀參數(shù)α=2時(shí)的特例就稱為兩參數(shù)的Rayleigh-Geometric分布（RG分布）：

定義1? 密度函數(shù)為：

或等價(jià)地，分布函數(shù)為：

此分布稱為Rayleigh-Geometric分布（簡(jiǎn)稱RG分布），記為RG（p，β），其中00為參數(shù)。

RG（p，β）有兩個(gè)參數(shù)p和β.對(duì)所有參數(shù)p和β，當(dāng)x→∞時(shí)，f（x;p，β）→0。當(dāng)p趨近于0時(shí)，RG（p，β）趨近于參數(shù)為β的Rayleigh分布Rayleigh（β）。

以下給出RG（p，β）的概率密度函數(shù)f（x;p，β）在參數(shù)的一些特定取值時(shí)的圖像，圖1是p=0.5，β=0.5，1，2，3時(shí)的概率密度曲線，圖2是β=1，p=0.01，0.2，0.5，0.9時(shí)的概率密度曲線。

1.2 分布的性質(zhì)

定理1 （1）RG（p，β）的眾數(shù)在p趨近于0時(shí)為β。

（2）對(duì)0

證明：由RG（p，β）的定義1.1及分位數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的定義可得，內(nèi)容略。

記為歐拉多對(duì)數(shù)方程[12]。

定理2 （1）RG（p，β）的k階矩：

特別地，RG（p，β）的數(shù)學(xué)期望：

（2）RG（p，β）的方差：

證明：（1）由于：

當(dāng)n=2時(shí)，有：

由上式及定義1中的密度函數(shù)公式（2），當(dāng)x>1時(shí)，

故當(dāng)k≥1時(shí)，有：

（2）RG（p，β）的方差：

證畢。

下面研究RG分布的生存函數(shù)和危險(xiǎn)率函數(shù)，先回顧相關(guān)定義。設(shè)非負(fù)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F（x），分布密度為f（x），則其生存函數(shù)為S（x）：=1-F（x;p，β），危險(xiǎn)率函數(shù)為：

定理3RG（p，β）具有如下特性。

（1）生存函數(shù)為：

（2）危險(xiǎn)率函數(shù)為：

并有：

證明：（1）由生存函數(shù)的定義及定義1中的分布函數(shù)（3），即得。

（2）由危險(xiǎn)率函數(shù)的定義，定義1中的密度函數(shù)，公式（2）及定理3中生存函數(shù)的表達(dá)式，得：

2? 參數(shù)的極大似然估計(jì)

從定理2中的RG（p，β）k階矩可以看出，RG（p，β）分布的數(shù)學(xué)期望的公式結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，因此參數(shù)的矩估計(jì)不易求出，以下用極大似然法來求參數(shù)的估計(jì)[13]。

從RG分布中抽取容量為n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記，其似然函數(shù)為：

對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：

似然方程為：

似然方程的解即是參數(shù)p，β的極大似然估計(jì)。

參考文獻(xiàn)

[1] ADAMIDIS K，LOUKAS S.A Lifetime Distribution with Decreasing Failure Rate[J]. Statistics and Probability Letters，1998，39（1）：35-42.

[2] 劉晶，吳新榮，李素紅.Poisson-Gumbel復(fù)合極值分布的參數(shù)估計(jì)[J].統(tǒng)計(jì)與策，2007（9）：17-19.

[3] 張香云，程維虎.二項(xiàng)-廣義Pareto復(fù)合極值分布模型的統(tǒng)計(jì)推斷[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2012（3）：560-572.

[4] 姚惠，戴勇，謝林.Pareto-Geometric分布[J].數(shù)學(xué)雜志，2012，32（2）：339-351.

[5] 何曉申，田茂再.二項(xiàng)-Gumbel復(fù)合極值分布的參數(shù)估計(jì)[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2017，479（11）：17-19.

[6] 張春雨，劉祿勤.定數(shù)截尾情形下Poisson-Lomax分布的Bayes估計(jì)[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2018，502（10）：70-73.

[7] 張?jiān)?指數(shù)Weibull分布的貝葉斯估計(jì)與模擬[D].武漢：華中科技大學(xué)，2012.