王 偉，蔡文生，鄧 科

（江蘇省水文水資源勘測(cè)局徐州分局,江蘇 徐州 221000）

1 引言

水位流量關(guān)系曲線是用來(lái)描述測(cè)站基本斷面的水位與通過(guò)該斷面的流量?jī)烧咧g關(guān)系的曲線。對(duì)于給定的水位和流量數(shù)據(jù),由于受變動(dòng)回水與洪水漲落等因素的影響,因此數(shù)據(jù)本身并不一定可靠,個(gè)別數(shù)據(jù)的誤差可能比較大,從一堆看上去雜亂無(wú)章的數(shù)據(jù)中找出一定的規(guī)律,即設(shè)法構(gòu)造一條曲線,能夠比較真實(shí)地反映水位與流量之間的關(guān)系,常用的方法是構(gòu)造兩者之間的關(guān)系式[1],通過(guò)相關(guān)關(guān)系擬合曲線,并求出相關(guān)方程式。

當(dāng)前,多數(shù)地區(qū)多采用人工定線,通過(guò)實(shí)測(cè)的流量資料,反復(fù)修正后編制水位流量關(guān)系結(jié)點(diǎn)進(jìn)行推求流量。傳統(tǒng)的人工定線工序繁多,需反復(fù)計(jì)算,同時(shí)受人的經(jīng)驗(yàn)影響較大,不同的人定出不同的關(guān)系線,有較大的主觀性,定線任意性大[2]。利用MATLAB擬合語(yǔ)句,不僅能實(shí)現(xiàn)對(duì)水位流量曲線的擬合,而且曲線完全按照設(shè)定的數(shù)學(xué)模型擬合,優(yōu)選好參數(shù)后,通過(guò)程序運(yùn)算得到最終的曲線及曲線方程,避免了人的主觀性。隨著當(dāng)前水文信息化水平的不斷提高和計(jì)算機(jī)技術(shù)的普及,利用最小二乘法對(duì)水位流量曲線擬合將是對(duì)水文信息進(jìn)行處理的重要途經(jīng),對(duì)開(kāi)展流量自動(dòng)測(cè)報(bào)和水文站無(wú)人值守工作具有重要的應(yīng)用價(jià)值。

2 最小二乘法擬合原理

最小二乘法是通過(guò)最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配,只要求擬合的曲線合理的反應(yīng)數(shù)據(jù)的基本趨勢(shì),而并不要求曲線一定經(jīng)過(guò)每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn),被視為從一組測(cè)量值中求出一組未知量的最可信賴(lài)的方法之一[3],利用最小二乘法可以簡(jiǎn)便的求得未知數(shù)據(jù),并使得這些求得的數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小。

從數(shù)學(xué)上講,最小二乘法就是尋找與給定點(diǎn)（xn,yn）（n=1,2,…,m）的距離平方和最小的曲線g（x）。g（x）稱(chēng)為擬合函數(shù)或者最小二乘解,求解擬合函數(shù)g（x）的方法就是曲線擬合的最小二乘法。本文將其應(yīng)用于水位流量的關(guān)系曲線擬合,具體原理如下：

設(shè)某函數(shù)的線性組合為：其中f1（x）,f2（x）,f3（x）…fn（x）為已知函數(shù),c1,c2,c3…cn為待定系數(shù)。

其中

且c=［c1, c2…cn］T

該方程的最小二乘解為c=A/y,將c值代入到方程（1）,即可得到相應(yīng)多項(xiàng)式擬合方程。

3 實(shí)例分析

現(xiàn)以某實(shí)用堰閘站2018 年、2019 年、2020 年25 組實(shí)測(cè)水位流量數(shù)據(jù)為例,應(yīng)用本文提出的最小二乘法原理進(jìn)行曲線擬合,并對(duì)其進(jìn)行“三項(xiàng)檢驗(yàn)”。根據(jù)《水文資料整編規(guī)范（SL 247-2012）》中堰閘站推流規(guī)定,堰閘站自由孔流流量計(jì)算公式為：

式中：Q為流量,m3/s；Mi為流量系數(shù)；B為閘門(mén)總寬或開(kāi)啟凈寬,m；e為閘門(mén)開(kāi)啟高度,m；hu為上游水頭,即上游水位減去閘底高程,m[4]。

堰閘站自由孔流流量相關(guān)關(guān)系為e/hu-Mi,通過(guò)實(shí)測(cè)流量,計(jì)算流量系數(shù)Mi,確定e/hu與Mi關(guān)系函數(shù)模型,并求出相關(guān)函數(shù)方程,率定出擬合曲線圖,據(jù)此推流。將整理好的25 組相關(guān)關(guān)系e/hu-Mi數(shù)據(jù)導(dǎo)入MATLAB,得到散點(diǎn)圖見(jiàn)圖1。

圖1 e/hu-Mi數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖

常見(jiàn)的幾種擬合曲線函數(shù)模型有冪函數(shù)y=axb+c、指數(shù)函數(shù)y=a﹡ebx+c、y=a﹡ebx+c﹡edx、雙曲線函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)y=alnx+c,其中a、b、c、d為常數(shù),x、y為變量。觀察圖1,根據(jù)e/hu-Mi點(diǎn)分布規(guī)律,與上述幾種數(shù)學(xué)模型的曲線圖比較,可以發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)模型與相應(yīng)關(guān)系點(diǎn)的走勢(shì)比較吻合。比較y=a×ebx+c與y=a×ebx+c×edx兩種指數(shù)函數(shù)模型,y=a×ebx+c使用擬合出的曲線,在閘門(mén)開(kāi)啟高度e不變的前提下,上游水位越低,e/hu值越大,擬合出的曲線與實(shí)際測(cè)量值的變化趨勢(shì)一致；反之當(dāng)上游水位較高時(shí),擬合出的曲線基本呈現(xiàn)平行狀態(tài),與實(shí)測(cè)值誤差較大；相比較y=a×ebx+c×edx在上游水位較高時(shí)能更好地反映e/hu-Mi點(diǎn)的趨勢(shì)。因此,選擇y=a×ebx+c×edx函數(shù)模型對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合,得到擬合曲線圖。

觀察擬合曲線圖,找出并剔除偏離較大的e/hu-Mi點(diǎn),進(jìn)一步優(yōu)化擬合曲線。運(yùn)行相關(guān)程序,求解函數(shù)模型的待定系數(shù),得a=2.385,b=-40.51,c=2.974,d=-0.1456,統(tǒng)計(jì)系數(shù)SSE=0.02699,RMSE= 0.03585,R-square= 0.9639。將a、b、c、d的值代入函數(shù)模型,得到關(guān)于e/hu-Mi的擬合方程（4）及其曲線圖,見(jiàn)圖2。

通過(guò)計(jì)算得到對(duì)象要素的缺省度為51%,環(huán)境要素的缺省度為73%,時(shí)間要素的缺省度為75%,由此可看出,環(huán)境要素和時(shí)間要素的缺省程度較大.但這里對(duì)對(duì)象要素的統(tǒng)計(jì)沒(méi)有區(qū)分主體與客體,不能準(zhǔn)確表示對(duì)象要素的缺省度,所以又對(duì)主體與客體的數(shù)量進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),如表6所示.

圖2 e/hu-Mi關(guān)系曲線（由孔）

SSE（和方差）越接近于0,說(shuō)明模型選擇和擬合更好,數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)也越成功；RMSE（均方根）也叫回歸系統(tǒng)的擬合標(biāo)準(zhǔn)差,表示預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)和原始數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)誤差的平方和的均值的平方差；R-square（確定系數(shù)）的正常取值范圍為[0,1],越接近1,表明方程的變量對(duì)y的解釋能力越強(qiáng),這個(gè)模型對(duì)數(shù)據(jù)擬合的也較好。

將方程（4）帶入方程（3）得到流量擬合方程

4 成果檢驗(yàn)

4.1 三項(xiàng)檢驗(yàn)

穩(wěn)定的水位流量關(guān)系曲線及經(jīng)單值化處理的單一線,均應(yīng)計(jì)算關(guān)系點(diǎn)對(duì)關(guān)系線的標(biāo)準(zhǔn)差和隨機(jī)不確定度,且測(cè)點(diǎn)在10個(gè)以上者,還需要對(duì)其進(jìn)行符號(hào)檢驗(yàn)、適線檢驗(yàn)和偏離檢驗(yàn),以判斷能否用于流量推算[4]。在此基礎(chǔ)上,將實(shí)測(cè)的e/hu值代入擬合方程,計(jì)算相應(yīng)地流量系數(shù)Mi,并對(duì)計(jì)算結(jié)果檢驗(yàn),是否符合相關(guān)規(guī)范要求。擬合曲線流量檢驗(yàn)計(jì)算表見(jiàn)表2,檢驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表3。

表2 某閘站水位流量擬合曲線檢驗(yàn)計(jì)算表

（1）符號(hào)檢驗(yàn)

偏離曲線正號(hào)個(gè)數(shù)K= 14（負(fù)號(hào)個(gè)數(shù) 11）,n=25。

統(tǒng)計(jì)量：

取顯著性水平α=0.25,查流量整編規(guī)范中表2.4.1-1得1-α/2= 1.15與 比較, ＜1-α/2 ,則接受假設(shè),定線合理。

（2）適線檢驗(yàn)：

統(tǒng)計(jì)符號(hào)變換次數(shù)K=14,因K＞0.5×（25-1）=12,此線免做此檢驗(yàn)。接受假設(shè),定線合理。

（3）偏離數(shù)值檢驗(yàn)：

取顯著性水平α= 0.20,查流量整編規(guī)范中表2.4.1-2得t1-a/2= 1.31與|t|比較|t|

表2 月潭水庫(kù)下泄流量控制方案二 單位：m3/s

（4）定線精度計(jì)算

4.2 定線比較

為了進(jìn)一步對(duì)曲線擬合成果進(jìn)行分析,將擬合成果與人工定線成果進(jìn)行對(duì)比分析,以人工定線成果為標(biāo)準(zhǔn)值,計(jì)算相對(duì)誤差,統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)表2。從表2 中可以看出,除在高水位區(qū)域相對(duì)誤差加大外,人工定線與利用MATLAB函數(shù)擬合成果誤差都較小。分析其在高水位區(qū)域誤差較大的原因是在高水位區(qū)域,實(shí)測(cè)流量數(shù)據(jù)較少,人工與函數(shù)都不能對(duì)曲線走勢(shì)進(jìn)行科學(xué)的控制,因此,人工定線與計(jì)算機(jī)定線都有較大任意性。從圖2 中也可以看出,在低水位實(shí)測(cè)點(diǎn)較多區(qū)域,人工定線與函數(shù)擬合曲線幾乎重合,且與實(shí)測(cè)點(diǎn)也大部分重合,隨著水位增高,加之實(shí)測(cè)點(diǎn)變少,人工定線部分近乎與水平軸平行,其相對(duì)誤差要比擬合曲線誤差偏大。

5 結(jié)論與建議

（1）通過(guò)對(duì)擬合出的曲線進(jìn)行“三項(xiàng)檢驗(yàn)”,結(jié)果表明,使用最小二乘法擬合出的水位流量關(guān)系曲線,符合三項(xiàng)檢驗(yàn)及標(biāo)準(zhǔn)差的定線標(biāo)準(zhǔn),且精度完全符合相關(guān)規(guī)范要求,可以用于流量預(yù)報(bào)以及水文資料整編。

（2）上述檢驗(yàn)與實(shí)例應(yīng)用結(jié)果顯示,確定好相關(guān)系數(shù)后,應(yīng)用最小二乘法可以很容易實(shí)現(xiàn)對(duì)水位流量關(guān)系曲線的擬合,而且操作人能根據(jù)擬合成的曲線與實(shí)測(cè)點(diǎn)位置的偏離程度,實(shí)時(shí)剔除偏差較大的點(diǎn),避免了人工定線時(shí)反復(fù)計(jì)算的麻煩。曲線完全按照給定的數(shù)學(xué)模型擬合,避免了人的主觀性,提高了定線精度與效率。

（3）水位流量關(guān)系線或系數(shù)線分析定線工作,是測(cè)報(bào)方式改革的最基礎(chǔ)的環(huán)節(jié),直接影響自動(dòng)測(cè)報(bào)工作資料精度。因此,選擇合理高效的率定水位流量曲線的方法,對(duì)開(kāi)展流量自動(dòng)測(cè)報(bào)和水文站無(wú)人值守工作具有重要的實(shí)用價(jià)值,同時(shí),也對(duì)水文事業(yè)走向現(xiàn)代化,提高社會(huì)對(duì)水文工作認(rèn)可度具有重要意義。

（4）此次擬合曲線使用的數(shù)據(jù)偏少,尤其是高水位流量數(shù)據(jù),不同水位測(cè)流次數(shù)、相同水位測(cè)流次數(shù)都比較少,可能會(huì)造成擬合出的曲線方程與高水位實(shí)際流量有較大偏差。因此,在以后的工作過(guò)程中,必須加強(qiáng)與水利部門(mén)的溝通與協(xié)作,抓住機(jī)遇,搶測(cè)高水位流量,完善水位流量基礎(chǔ)數(shù)據(jù),增加擬合方程的精準(zhǔn)度。