王嘉誠， 劉 龍

(上海海事大學上海離岸工程研究院， 上海 201306)

岸邊集裝箱起重機是在碼頭進行貨物裝卸的重要機械。在起重機的工作過程中小車的運行與吊重的偏擺會導致結構發(fā)生彎曲變形與振動，結構的振動又會反過來影響小車與吊重，對起重機的運行安全與工作效率產(chǎn)生影響。因此對工作狀況下的岸橋進行動力學分析是有必要的。

移動物體作用下的耦合系統(tǒng)通常簡化為移動質量-大梁系統(tǒng)進行分析。秦仙蓉等[1]進行了不同運動參數(shù)的移動質量作用下的簡支梁動力學響應分析。段民封等[2]提出了針對不確定性移動載荷激勵下的簡支梁分析方法。龔云軒等[3]基于Timoshenko階梯梁模型，分析了移動質量作用下梁的振動響應。Zhang等[4]對移動載荷作用下的Euler-Bernoulli梁與Timoshenko梁的響應進行了對比。Qiao等[5]研究了黏彈性邊界條件下梁的振動響應。經(jīng)薇等[6]研究了多個車輛作用下的車橋耦合振動特性。

與車橋耦合系統(tǒng)不同的是岸橋結構復雜并且需要考慮吊重的作用。蘇晴等[7]建立了岸橋上部結構簡化模型，將拉桿模擬為彈簧支撐，門架連接處假設為簡支邊界條件。劉華森等[8]建立了簡支梁、移動小車與吊重的耦合系統(tǒng)并進行數(shù)值求解。Wu等[9]將吊重假設為考慮吊具的雙擺與單擺兩種形式，把結果進行對比。辛運勝等[10]考慮了軌道缺陷，建立司機-起重機-軌道系統(tǒng)進行分析。

向量式有限元(vector form intrinsic finite element，VFIFE)是一種新型數(shù)值計算方法。Long等[11]進行了空間框架結構在地震作用下的倒塌模擬。唐敬哲等[12]基于有限質點法對界面之間的接觸、斷裂等行為進行了分析。Duan等[13]進行了考慮車鉤效應的車橋耦合問題分析。

前人研究中進行起重機小車運行工況下的分析時，將橋式和門式起重機簡化為簡支梁，針對結構復雜的岸橋則需要對模型進行簡化處理?，F(xiàn)基于向量式有限元理論，建立包含單元耦合、鉸接點和質量點的岸橋模型，對移動吊重與小車作用下的岸橋動力學行為進行分析，解決在岸橋的動力學分析中如何表示單元間耦合與鉸接點的問題，擺脫目前依賴有限元軟件進行分析的現(xiàn)狀。

1 向量式有限元理論概述

向量式有限元與經(jīng)典力學的區(qū)別在于對結構概念的描述和簡化的方式不同。向量式有限元理論由3個基本概念組成，分別為點值描述、途徑單元和虛擬的逆向運動。

1.1 梁單元理論

(1)

令t2時刻的桿單元a2b2做虛擬的逆向運動，首先進行逆向的平移-u，使得節(jié)點a2與a1的位置重合，此時桿單元到達虛擬位置的兩端節(jié)點為a′2和b′2。之后再進行逆向的轉動-Δθ，使得單元a′2b′2與單元a1b1平行，到達虛擬位置的兩端節(jié)點為a″2和b″2，轉角的大小為Δθ=sin-1|e1e2|，其中u′b、u″b、u?b和u?a分別為節(jié)點b1～b′2、節(jié)點b′2～b″2、節(jié)點b1～b″2和節(jié)點a1～a″2的位移。逆向運動后節(jié)點的位移與轉角變化為

(2)

圖1 梁單元的虛擬逆向運動Fig.1 Virtual reverse motion of beam element

(3)

根據(jù)虛功原理，因節(jié)點變形導致的節(jié)點內(nèi)力做功與單元的變形虛功相等。對單元進行分析后可得t1與t2時刻的節(jié)點內(nèi)力的差值為[14]

(4)

式(4)中：I為慣性矩；A為截面面積；E為彈性模量；Δfbx為節(jié)點b所受內(nèi)力的插值；Δma和Δmb分別為節(jié)點a和b所受彎矩的差值；Δ為單元的純變形，θa和θb分別為節(jié)點a和b的轉角。

(5)

(6)

則單元內(nèi)力的表達式為

(7)

圖2 梁單元節(jié)點內(nèi)力Fig.2 Internal forces of beam element points

式(7)中：fjx、fjy和mj分別為全局坐標下的單元在x方向上的內(nèi)力、y方向上的內(nèi)力和彎矩，單元作用在兩端節(jié)點上的內(nèi)力為單元內(nèi)力的反作用力，因此節(jié)點a和b所受內(nèi)力分別為fa=fa，fb=-fb。取Pa和Pb為兩個節(jié)點所受外力，節(jié)點所受合力Fa=Pa+fa，則梁單元節(jié)點運動表達式為

(8)

式(8)中：Ma為質量矩陣；xa為位移矩陣;Fa為合力矩陣；ma和Ia分別為節(jié)點的質量和慣性矩；xa、ya和θa分別為節(jié)點a水平與豎直方向位移與轉角；Fax、Fay和Faz為3個方向上的力。

使用中心差分法，將式(8)代入中心差分公式中，可得第-1步、第1步和第n+1步的節(jié)點a的位移迭代公式分別為

(9)

(10)

(11)

根據(jù)牛頓運動定律可知在沒有消能機制的情況下，振動的物體將保持持續(xù)振動的狀態(tài)。所以在運動公式中加入阻尼力，起到減小振動的振幅的作用，以此得到近似的收斂結果。

1.2 桿單元理論

對于桁架機構、連桿機構等軸力桿件結構可使用向量式有限元桿單元理論進行模擬。向量式有限元桿單元與梁單元的不同之處在于不考慮節(jié)點的轉動，與之對應的內(nèi)力與外力中減少彎矩的作用。

桿單元求解節(jié)點內(nèi)力的思路與梁單元理論類似，通過虛擬的逆向運動得到單元的純變形。結構如圖1所示，由材料力學知識可得，t2時刻的桿單元a2b2兩端節(jié)點內(nèi)力為

(12)

1～19為節(jié)點圖3 岸橋點值描述Fig.3 Point value description of quayside container crane

2 岸橋結構分析方法

選取某型號的岸橋作為分析對象，其中大梁長度為144.132 m，基距為30.48 m。如圖3所示，對整機結構進行點值描述，其中拉桿用桿單元構建，其他結構用梁單元構建，節(jié)點15為前大梁與后大梁連接的鉸接位置。岸橋作為一種結構復雜的大型機械，結構中存在鉸點、不同單元耦合作用下的節(jié)點、質量點和高度變化的偏擺吊重等特點，所以需了解如何使用向量式有限元對這些特點進行分析。

2.1 鉸接節(jié)點

為了使岸橋的前大梁在非工作狀態(tài)下能夠抬起，前大梁與后大梁的連接方式為鉸接。假設前大梁與后大梁通過一個鉸接點連接，為了模擬出鉸接的兩單元的相對轉動，需要對單元的內(nèi)力計算公式進行修改。

以1-2梁單元為例，對于常見的剛接節(jié)點，單元兩端的節(jié)點內(nèi)力計算公式為[15]

(13)

以14-15單元為例，前大梁與后大梁通過鉸接點15進行連接，由鉸接結構的性質可得

(14)

式(14)中：m15-14和φ15-14分別為單元14-15中節(jié)點15的彎矩和轉角。

將式(14)代入式(13)可得與鉸接點連接的單元兩端節(jié)點的內(nèi)力計算公式為

(15)

在使用ANSYS軟件設置鉸接節(jié)點時需要設置多個相同位置的節(jié)點后根據(jù)鉸接關系設置約束，過程較為復雜。使用向量式有限元分析只需判斷節(jié)點的連接方式，選擇對應的內(nèi)力計算公式進行計算。

2.2 耦合單元節(jié)點

對于岸邊集裝箱起重機來說，起重機主體使用梁單元來構建，但結構中的拉桿不承受彎矩的作用，因此需要使用桿單元來描述。對于同時連接桿單元與梁單元的節(jié)點來說，如何正確描述不同單元間的耦合作用是需要解決的問題。

(16)

由梁單元的內(nèi)力計算公式可得，梁單元16-17和17-18傳遞給節(jié)點17的內(nèi)力為

(17)

至此得到了各個單元作用在節(jié)點17上的內(nèi)力，由于內(nèi)力都按照了坐標軸進行了分解，所以可得節(jié)點17受到的總內(nèi)力為

(18)

在程序求解過程中對單元類型進行判斷，將處于耦合單元位置的節(jié)點的內(nèi)力計算公式進行替換。

2.3 結構自重與質量單元

在岸橋的ANSYS有限元模型中將部分結構用質量單元表示，在進行力學分析前要分析自重對結構的變形。在向量式有限元模型中可通過在每個節(jié)點上施加對應的重力來模擬結構自重的影響。假設節(jié)點i的質量為m′i，在此節(jié)點上施加的質量單元的質量為massi，則加入質量單元后此節(jié)點的質量mi=m′i+massi，取g為重力加速度，自重導致的垂直方向上的外力為

Pi=-mig

(19)

2.4 高度變化的偏擺吊重

(20)

(21)

圖4 起升作用下吊重的位置變化Fig.4 Variation of lifting position under lifting action

3 動力學分析結果

使用ANSYS軟件建立對應的有限元模型，如圖5所示，使用單元為Beam188、Link180和Mass21，模型由159個節(jié)點表示。取小車質量10 t，吊重質量30 t，小車運行速度240 m/min，起升速度90 m/min，小車加速度為2 m/s2，連接吊重的鋼絲繩繩長變化范圍為30～4 m，吊重初始擺角為0.05 rad。

不考慮吊重的作用，將小車視為移動載荷進行分析，使用有限元軟件與向量式有限元分析得到的大梁上各節(jié)點垂直方向上的位移如圖6所示，節(jié)點編號所對應的位置如圖3所示?？梢钥闯觯琕FIFE與ANSYS軟件求解得到的結果相比誤差很小，并且在向量式有限元中整機結構只用了19個節(jié)點描述，用較少的節(jié)點便可得到精確結果。

圖5 岸橋的有限元模型Fig.5 Finite element model of quayside container crane

圖6 移動載荷作用下的大梁位移Fig.6 Displacements of girder under moving load

前大梁與后大梁之間通過鉸接點連接，在小車運行通過鉸接點時，隨著結構約束方式的變化，內(nèi)力會發(fā)生突變。內(nèi)力的突變也會導致位移的變化。由圖6可知，將小車模擬為移動載荷時鉸接點的作用不明顯，因此將小車模擬為移動質量進行分析。

選取鉸接點與前大梁最遠端兩個位置進行分析，其他相關參數(shù)保持一致，得到移動載荷與移動質量作用下的節(jié)點位移變化對比如圖7所示?？梢钥闯?，在阻尼相同的情況下小車開始運動時移動質量作用下的結構振動更劇烈。與移動載荷相比，移動質量作用下的大梁在中間一段的曲線與其不同，曲線發(fā)生突變的時刻正是小車運行到鉸接點位置的時刻。在考慮了小車慣性力作用的情況下，結構的位移變化在鉸接點處發(fā)生了突變。

考慮小車的變速運動和吊重起升與偏擺，在小車運行時為了提高工作效率，吊重會經(jīng)過起升-固定高度-下降的過程。得到大梁上各節(jié)點的撓度變化如圖8所示，可知在小車的啟動與制動階段，結構會發(fā)生明顯的振動。

圖7 移動載荷與移動質量作用下的大梁位移對比Fig.7 Displacement comparison of girder under moving load and moving mass

圖8 移動吊重與小車作用下的大梁位移Fig.8 Displacement of girder under the action of moving lifting load and trolley

小車運行過程中吊重的相圖如圖9所示，可得隨著高度升高，吊重的擺角減小。小車的啟動與制動時的加速度會導致擺角發(fā)生較大幅度的變化，因此當重物的質量較大時，應適當減小小車的運行速度以起到防止擺角過大的作用。

圖9 吊重的相圖Fig.9 Phase diagram of lifting load

4 結論

基于向量式有限元桿單元與梁單元理論，進行了岸橋的動力學分析，得出如下結論。

(1)對岸邊集裝箱起重機的結構進行點值描述，并對結構中存在的鉸接點、質量點、耦合單元和高度變化的偏擺吊重的處理方法進行說明。

(2)根據(jù)向量式有限元理論進行編程，使用ANSYS軟件建立有限元模型，進行移動載荷作用下起重機動力學分析，說明向量式有限元只需選取結構的關鍵位置設置節(jié)點便可有較高的準確性。

(3)將小車模擬為移動質量進行分析，并與移動載荷作用下的結果進行對比，根據(jù)結果可得移動質量可以表現(xiàn)出小車運行至鉸接點位置時的結構運動的突變。

(4)考慮小車運行中吊重的起升與偏擺，得到大梁上各點的撓度變化與吊重的相圖，以此反映出小車運行對結構的影響。

將吊重簡化為了約束點移動的變擺長單擺進行分析，從得到的結果可知在這種模擬方式下吊重會發(fā)生較大的偏擺。以后可以嘗試模擬出更符合實際的小車與吊具結構，也可以添加防搖擺的措施以模擬更真實的情況。