邢心魁， 丁家瑋， 于 偉*， 朱萬旭

(1.桂林理工大學(xué)土木與建筑工程學(xué)院， 桂林 541004； 2.廣西建筑新能源與節(jié)能重點實驗室， 桂林 541004)

板殼結(jié)構(gòu)作為一種常見的結(jié)構(gòu)形式，往往在構(gòu)筑物中承擔(dān)著舉足輕重的作用。具有輕質(zhì)高強優(yōu)點的板殼結(jié)構(gòu)，更是被廣泛應(yīng)用于航空航天、船舶艦艇、壓力容器等大型結(jié)構(gòu)當(dāng)中[1-2]。然而，板殼結(jié)構(gòu)也具有先天的缺點，其屈曲破壞往往會先于承載力破壞發(fā)生。因此，對于板殼結(jié)構(gòu)而言，研究其屈曲穩(wěn)定性，便是需要重點關(guān)注的問題[3-4]。研究板殼結(jié)構(gòu)的屈曲特性，只憑借理論分析和數(shù)值模擬，所得到的結(jié)論往往不夠充分，仍需要通過穩(wěn)定性試驗進行研究[5]。大型板殼結(jié)構(gòu)體積龐大，價格高昂，施工復(fù)雜，因而對其開展原型穩(wěn)定性試驗存在成本高、難度大和周期長等局限性因素，所以通常采用相似模型的穩(wěn)定試驗結(jié)果預(yù)測原型結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定特性，這便需要利用相似理論來建立合適的相似模型。

為了研究相似模型如何預(yù)測原型結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性，如何設(shè)計和建立可靠的模型結(jié)構(gòu)，中外許多學(xué)者都開展了很多卓有成效的工作。周美立[6]提出了相似系統(tǒng)理論，創(chuàng)立了相似學(xué)學(xué)科，介紹了相似理論在工程中的應(yīng)用。袁文忠[7]闡述和討論了相似理論在靜力學(xué)相似試驗中的應(yīng)用方法和可能遇到的問題。Harris等[8]詳細介紹了利用相似縮尺模型進行結(jié)構(gòu)實驗分析的工程方法。Ramu等[9]提供了通過相似理論建立彈性結(jié)構(gòu)相似模型的具體方法。

基于此，首先介紹相似理論的發(fā)展過程和主要內(nèi)容；然后根據(jù)方法的不同，分別介紹量綱分析法、控制方程法和能量法等相似設(shè)計方法的實現(xiàn)原理，并對其在板殼屈曲分析中的應(yīng)用進行綜述；最后結(jié)合文獻對該領(lǐng)域仍待研究的問題進行展望。

1 相似理論的主要內(nèi)容及其發(fā)展

1.1 相似理論的發(fā)展

相似理論萌芽甚早，早在17世紀(jì)，Galilie等[10]就在其著名論著《關(guān)于兩門新科學(xué)的對話》中指出：物體的幾何尺寸與其強度不一定按相同比例變化。這說明當(dāng)時的學(xué)者已經(jīng)開始意識到縮尺效應(yīng)的影響。19世紀(jì)時，有關(guān)相似原理的經(jīng)典理論已然建立。進入20世紀(jì)，Rayleigh[11]首度基于量綱分析法來研究結(jié)構(gòu)模型，之后，Goodier等[12]的報告中，建立了通過量綱分析法尋求相似條件的系統(tǒng)過程。Macagno[13]對當(dāng)時的量綱分析法進行了深刻嚴(yán)謹(jǐn)?shù)幕仡櫤涂偨Y(jié)，令后來的學(xué)者大受啟發(fā)。Kline[14]給出了通過量綱分析法和系統(tǒng)控制方程推導(dǎo)相似關(guān)系的觀點。Zohuri[15-16]在白金漢Π定理的基礎(chǔ)上，深化了經(jīng)典量綱分析的方法，取得了進一步的成果。Sterrett[17-21]的一系列著作對于相似理論的發(fā)展頗具意義。他對于相似模型、相似分析、白金漢Π定理等概念在幾何學(xué)和物理學(xué)中的實際應(yīng)用提出自己的見解，并對于如何將相似理論應(yīng)用于全新的領(lǐng)域和研究中有了全新的思考。隨著相似理論與相似設(shè)計方法的不斷豐富和發(fā)展，相似理論也越來越多地被應(yīng)用到工程學(xué)的各個領(lǐng)域，也為建立板殼屈曲相似模型提供了豐富的理論基礎(chǔ)。

1.2 相似理論的主要內(nèi)容

相似理論，或稱相似原理，是工程學(xué)科的一個分支。它可以用來確定兩個或多個結(jié)構(gòu)或者系統(tǒng)之間的條件關(guān)系。其中，原本的系統(tǒng)被稱作原型，基于原型進行相似變換得到的是模型。如果模型滿足相似條件，則理論上模型將和原型具有相同的物理響應(yīng)。利用這一性質(zhì)，可以克服難以直接建立原型結(jié)構(gòu)的困難，通過相似理論建立模型進行研究。因此，相似理論在工程領(lǐng)域，是探究大型復(fù)雜原型結(jié)構(gòu)物理性質(zhì)的一個有力工具。

Szucs[22]曾給出了兩系統(tǒng)之間相似條件的定義：兩個系統(tǒng)之間相似的充分必要條件是兩個相似系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型之間的唯一轉(zhuǎn)換方式。這一過程可以寫為

(1)

式(1)中：p和m分別為原型和模型；xi為系統(tǒng)中的物理變量；i=1,2,…,n；Cxi為相似因子，或稱作相似比，定義為Cxi=xi，p/xi，m。

根據(jù)物理變量的不同，可將相似的類型分為幾何相似、運動學(xué)相似、動力學(xué)相似、本構(gòu)相似等[23]。大型工程結(jié)構(gòu)由于尺寸巨大，更需要對其建立幾何相似模型，即進行幾何縮尺。但在設(shè)計結(jié)構(gòu)模型時，往往由于實際條件的局限性，原型結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，以及實際工程需要等因素，無法直接根據(jù)原型建構(gòu)建立幾何完全相似模型。例如，薄壁的板殼結(jié)構(gòu)，其厚度很難做到隨長度和半徑等比例縮尺。這就要求改變部分參數(shù)的相似比。此時的相似模型稱作不完全相似模型，或畸變模型[24-27]。

1.3 相似設(shè)計方法

依據(jù)相似原理進行相似模型設(shè)計有多種途徑，對于板殼屈曲相似分析來說，所采用的方法主要包括量綱分析法(dimensional analysis，DA)，控制方程法(similitude theory applied to governing equations，STAGE)，以及基于系統(tǒng)總能量守恒的能量法(energy method，EM)等[28]。下文將依據(jù)方法的不同，對各方法實現(xiàn)的原理進行介紹，并對其如何在板殼屈曲分析中進行應(yīng)用展開評述。

2 基于量綱分析法的相似變換方法

2.1 量綱分析法的原理

經(jīng)典相似理論的基礎(chǔ)來自三個基本定理：相似正定理、相似第二定理、相似逆定理。其中相似第二定理，即白金漢Π定理，在相似設(shè)計中最為常用，其內(nèi)容[29-30]如下。

在一物理系統(tǒng)中，若存在n個物理量可對該系統(tǒng)進行描述：

f1(x1,x2,…,xn)=0

(2)

那么系統(tǒng)則可同時被無量綱數(shù)的函數(shù)關(guān)系表示為

f2(π1,π2,…,πn-k)=0

(3)

式(3)中：π為系統(tǒng)中的無量綱數(shù)；k為系統(tǒng)中獨立量綱的數(shù)量。

量綱分析法主要所依據(jù)的便是白金漢Π定理。由式(3)，可知系統(tǒng)中的無量綱量可表示為

πi=fi(x1,x2,…,xi)

(4)

式(4)中：i=n-k。量綱分析法要求模型與原型具有幾何完全相似，從而得

πi,m=πi,p

(5)

即量綱分析法通過選擇合適的物理量，建立其量綱方程，從而推導(dǎo)相似關(guān)系。

2.2 基于量綱分析法的板殼屈曲相似分析

量綱分析法其優(yōu)點是原理簡單，不依賴結(jié)構(gòu)的控制方程。但量綱分析法相對而言更適合于結(jié)構(gòu)參數(shù)較少的情況。在物理量繁多的情況下，其計算會變得非常困難，在復(fù)雜的物理問題中不甚適用，且有可能無法確定所求得的無量綱數(shù)的物理含義。因此，量綱分析法多被用于解決線彈性屈曲問題，當(dāng)面對帶有大變形的非線性屈曲問題時，該方法可能會出現(xiàn)較大誤差。

Ezra[31]研究了沖擊荷載下殼體屈曲的縮尺模型及其相似條件。Morgan[32]將量綱分析法應(yīng)用于正交各向異性圓柱殼航空航天結(jié)構(gòu)模型的穩(wěn)定性分析。他分別對荷載、幾何尺寸、結(jié)構(gòu)響應(yīng)等不同縮尺項下的模型進行研究，從而說明其所使用的選擇性量綱分析法在滿足物理條件的情況下可進行一定推廣。Hilburger[33]設(shè)計了一種受內(nèi)部壓力和外部機械荷載組合作用的多單元組合結(jié)構(gòu)，同時利用量綱分析法推導(dǎo)出了該結(jié)構(gòu)的縮尺原理公式，并探討了對于復(fù)雜的組合結(jié)構(gòu)，相似條件的選取對于預(yù)測原型結(jié)果的影響。黃旎[34]依據(jù)量綱分析的原理，對含局部缺陷的球-環(huán)-錐旋轉(zhuǎn)組合殼設(shè)計并進行了縮尺試驗，其試驗結(jié)果較好驗證了理論計算的結(jié)果。宋召軍[35]、Song[36]在量綱分析法的基礎(chǔ)上，提出了考慮屈曲失效模式的船體加筋板極限強度相似方法，對船體加筋板進行屈曲完全相似相似模擬，并用實驗驗證了方法的正確性。

3 基于控制方程和方程解的相似變換方法

3.1 控制方程法的原理

在能明確系統(tǒng)的平衡方程的情況下，控制方程法在很多情況下是更優(yōu)的選擇，該方法通過建立原型與模型的平衡方程，在方程中引入縮尺因子，進而推導(dǎo)出物理量之間的相似關(guān)系。其實現(xiàn)過程[37]如下。

原型與模型的平衡方程分別為

(A1,p,A2,p,…,An,p)(x1,p,x2,p,…,xn,p)T=0

(6)

(A1,m,A2,m,…,An,m)(x1,m,x2,m,…,xn,m)T=0

(7)

式中：x為平衡方程的自變量；A為方程中自變量的參數(shù)。定義縮尺因子CI，則物理量I的相似因子為

(8)

將式(8)引入式(6)，得

(CA1A1,m,CA2A2,m,…,CAnAn,m)

(Cx1x1,m,Cx2x2,m,…,Cxnxn,m)T=0

(9)

對于式(7)與式(9)，容易得

CA1Cx1=CA2Cx2=…=CAnCxn

(10)

由式(10)即可得到物理量間的相似關(guān)系。

基于控制方程進行相似變換，這里的方程可以是帶量綱的方程，也可以是無量綱方程。此外，也可以基于方程的解進行相似變換，此時便需要考慮邊界條件來求得一組精確解或者近似解。諸如幾何尺寸和材料參數(shù)等能通過控制方程直接表示的相似因子，也稱作顯式相似因子。也存在無法由控制方程直接導(dǎo)出，但可能與結(jié)構(gòu)邊界條件密切相關(guān)的隱式相似因子[38]。但目前鮮有通過以邊界條件的相似性作為切入點的相似研究。

3.2 基于結(jié)構(gòu)控制方程和方程解的板殼屈曲相似分析

在已知結(jié)構(gòu)控制方程的情況下，通過對方程或者方程的解進行相似變換，可以得到具有明確物理意義的相似條件。一般來說，控制方程法適用于能列出穩(wěn)定控制方程的結(jié)構(gòu)屈曲相似分析，因此在板殼屈曲相似分析研究中，該方法得到了廣泛的應(yīng)用。

在層合板殼屈曲相似的相關(guān)問題研究上已取得一系列重要成果[39]。文獻[40-42]針對對稱正交鋪設(shè)和角鋪設(shè)層合板，基于控制方程解的相似變換方法，得到了層合板在軸力和剪力作用下的屈曲相似不變量，并在完全相似和不完全相似情況下對推導(dǎo)結(jié)果進行了驗證。結(jié)果表明：在不同的幾何尺寸、鋪設(shè)層數(shù)和材料參數(shù)下，推導(dǎo)結(jié)果都能對原型進行準(zhǔn)確預(yù)測。之后，文獻[43- 44]基于同樣方法，先后進行了橫鋪層合圓柱殼的軸壓與側(cè)壓屈曲相似分析。在討論了完全相似與不完全相似的情況后，獲得如下結(jié)論：層合殼的幾何尺寸、鋪層數(shù)和鋪層順序，是影響縮尺模型設(shè)計的重要參數(shù)，改變這些因素的完全相似和不完全相似層合圓柱殼縮尺模型，結(jié)合推導(dǎo)的屈曲荷載縮尺原理公式能很好地預(yù)測原型結(jié)構(gòu)的屈曲特性；但當(dāng)縮尺模型與原型具有不同材料特性時，屈曲荷載縮尺原理公式將不再適用，相似模型無法對原型進行準(zhǔn)確預(yù)測。李世榮[45]以復(fù)合材料功能梯度板為研究對象，通過對結(jié)構(gòu)屈曲控制方程的解實現(xiàn)了相似變換，給出了功能梯度板與均勻圓板之間的相似變換關(guān)系式。

基于控制方程解的相似分析方法能推導(dǎo)出具有嚴(yán)格物理意義的相似關(guān)系，但該方法除了需要板殼的控制方程，還需要獲得控制方程的精確解或者近似解。這使該方法具有一定局限性，并沒有發(fā)揮相似理論在相關(guān)問題上的優(yōu)勢。針對該局限性，Singhatanadgid等[46-47]和Ungbhakorn等[48]對控制方程法進行了改進，也陸續(xù)發(fā)表了系列成果。他們通過對控制方程而非控制方程的解進行相似變換，推導(dǎo)出了對稱層合板與反對稱層合板在雙軸載荷作用下的屈曲相似不變量，給出了建立完全相似模型和不完全相似模型的方法，并用數(shù)值方法進行了驗證，證明了推導(dǎo)具有足夠的正確性。結(jié)果表明，在完全相似分析時，所得結(jié)果與理論解吻合較好；而在剛度相似比較為接近的情況下，其不完全相似分析的結(jié)果也具有一定的可靠性。之后通過類似的方法，對受徑向壓力和扭矩作用下的圓柱殼體結(jié)構(gòu)的控制方程進行相似變換，得到了屈曲相似不變量。通過該結(jié)果所得到的預(yù)測值與理論解的比較，得出該方法對于各向同性材料極為適用，但在各向異性材料的不完全相似分析時，誤差會非常明顯。

此外，Rezaeepazhand等[49]基于控制方程法，研究了相似理論在正交脫層梁式板屈曲完全相似與不完全相似分析中的適用性。結(jié)果表明，不同尺寸、脫層深度和脫層數(shù)量的脫層板模型均能對原型進行精確預(yù)測。Haynie等[50-51]利用縮尺模型試驗和原型試驗驗證過的加筋圓柱殼有限元模型，得到了結(jié)構(gòu)更加準(zhǔn)確的屈曲極限荷載；該方法不需要對大型加筋圓柱殼進行大量試驗，但未給出設(shè)計縮尺模型的依據(jù)和屈曲縮尺原理公式。可以看出，控制方程法對于層合板殼結(jié)構(gòu)的屈曲相似分析具有優(yōu)勢，表1給出了該領(lǐng)域的研究進展。

表1 控制方程法解決的層合板殼屈曲相似問題Table 1 Similitude problems of laminated plates and shells buckling solved by STAGE

4 基于結(jié)構(gòu)體系總能量的相似變換方法

4.1 能量法的原理

Kasivtamnuay等[52]基于能量守恒原理，提出以能量法推導(dǎo)縮尺原理預(yù)測結(jié)構(gòu)行為的一般過程。對于原型與其相似模型，假設(shè)不存在熱損失與化學(xué)能的消耗，其應(yīng)變能都可表示為

U(Xi)=W(Yj)+T(Zk)

(11)

式(11)中：U為結(jié)構(gòu)應(yīng)變能；W為結(jié)構(gòu)的外力功；T為結(jié)構(gòu)的動能；Xi為與應(yīng)變能相關(guān)的物理量；Yi為與外力功相關(guān)的物理量；Zk為與動能相關(guān)的物理量。對于原型及其相似模型，這些物理變量存在如下關(guān)系：

(12)

將式(12)代入式(11)得

U(CiXi,m)-W(CjYj,m)-T(CkZk,m)=0

(13)

為了得到相似條件，將式(13)寫為

φ(Ci)U(Xi,m)-χ(Cj)W(Yj,m)-

φ(Ck)T(Zk,m)=0

(14)

式(14)中：φ(Ci)、χ(Cj)和φ(Ck)為相似因子的函數(shù)。當(dāng)式(14)滿足式(13)，即可得到相似條件：

φ(Ci)=χ(Cj)=φ(Ck)

(15)

4.2 基于能量法的板殼屈曲相似分析

基于能量法原理，Kasivtamnuay等[52]對不同工況下薄板模型的撓度進行完全相似計算，其結(jié)果與理論值相符，證明了該方法的可靠性。之后，Ungbhakorn等[53]、Kasivtamnuay等[54]將能量法應(yīng)用于層合殼動力響應(yīng)、彈性梁受彎問題中，使將能量法用于結(jié)構(gòu)相似問題成為可能。

于偉[55]、Yu等[56]基于以上研究成果[52-54]，將新型干式煤氣柜柜體簡化為加筋板殼模型，結(jié)合密加筋理論，推導(dǎo)出了密加筋板殼軸壓和側(cè)壓屈曲的廣義相似條件與縮尺原理公式。密加筋軸壓和側(cè)壓屈曲縮尺原理公式分別寫為

(16)

(17)

Wang等[57]通過能量法對加筋扁球殼進行了側(cè)壓完全相似與不完全相似研究，也實現(xiàn)了對原型的預(yù)測。在此基礎(chǔ)上，Ding等[58]繼而對含酒窩缺陷縱環(huán)加筋圓柱殼進行了軸壓屈曲相似分析。值得注意的是，以上研究結(jié)果均表明，在進行材料不同的屈曲不完全相似分析時，原型與模型材料性質(zhì)相近時，預(yù)測結(jié)果吻合程度較好，但隨材料泊松比差異增大，誤差會隨之增大。該問題的部分計算結(jié)果如表2所示。

表2 基于能量法進行加筋板殼不完全相似分析時在不同泊松比材料下的預(yù)測誤差比較Table 2 Comparison of prediction errors of stiffened plates and shells based on energy method under materials with different Poisson’s ratio

能量法作為一種相對新穎的方法，推導(dǎo)嚴(yán)謹(jǐn)，物理含義明確，可適用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)體系的相似分析[59]；能量法無須推導(dǎo)出板殼結(jié)構(gòu)的屈曲方程和屈曲方程的解，相比之下更為直接有效。

5 結(jié)論及未來研究

相似理論與相似模型設(shè)計對于試驗分析板殼結(jié)構(gòu)屈曲特性具有重要作用。目前通過相似理論推導(dǎo)板殼屈曲相似條件和縮尺公式的方法主要有量綱分析法、基于控制方程(或方程解)的相似變換法和基于結(jié)構(gòu)體系總能量的相似變換法。量綱分析理論經(jīng)典且成熟，可應(yīng)用于參數(shù)較少的物理問題，但無量綱量的物理意義在參數(shù)復(fù)雜的情況下不夠明確，不適用于具有很多參數(shù)的物理問題，因此對于板殼屈曲分析，該方法并不常用?？刂品匠谭ㄟ壿媷?yán)格，物理意義明確，是如今研究板殼縮尺最為常用的方法。尤其是對于各類型層合板殼的屈曲相似分析，通過推導(dǎo)的相似條件與縮尺原理公式進行完全相似與不完全相似分析，很多已經(jīng)可以實現(xiàn)正確的原型預(yù)測。能量法是相對新穎的分析方法，其基于結(jié)構(gòu)體系的總能量對縮尺關(guān)系進行推導(dǎo)，過程更為簡潔直接?；谀芰糠ㄔO(shè)計加筋板殼完全相似與不完全相似模型，并通過數(shù)值模擬進行屈曲特性預(yù)測，經(jīng)驗證在原型與模型材料性質(zhì)相近時推導(dǎo)具有非常好的準(zhǔn)確性。

隨著科技水平及制造能力的提高，大型壓力容器需要更大的儲量和更高的安全性，航天器、船舶艦艇和煤氣柜等以板殼為主體的結(jié)構(gòu)對制造精密、輕質(zhì)高強、載量提升也有著更高的需求。因此，板殼結(jié)構(gòu)屈曲相似分析也被提出了更精密更嚴(yán)格的要求。一方面，從應(yīng)用范圍上，拓展相似分析研究方法。量綱分析法與控制方程法目前仍被廣泛應(yīng)用，但明顯無法適應(yīng)較為復(fù)雜的情況，如離散加筋板殼的屈曲和加筋組合殼體的非線性靜力屈曲與動力屈曲等。在復(fù)雜結(jié)構(gòu)和復(fù)雜問題上，傳統(tǒng)相似方法難以較好實現(xiàn)，因此很多學(xué)者致力于開展新的相似方法研究，以求來解決這些問題。另一方面，從研究深度上，實現(xiàn)不同條件和限制下不完全相似結(jié)構(gòu)的精準(zhǔn)預(yù)報。如完善含初始缺陷板殼結(jié)構(gòu)的屈曲相似方法，將有助于相似分析更貼近和適應(yīng)實際工程。

6 展望

(1)不同邊界條件板殼屈曲相似模型的設(shè)計方法。不同邊界條件下，板殼的屈曲分析計算會十分復(fù)雜，因此在以往對板殼進行相似模型設(shè)計時，關(guān)于邊界條件，基于控制方程解的相似設(shè)計法往往對其進行了假設(shè)，而基于控制方程的相似設(shè)計法和能量法通常是做了忽略[60-61]。邊界條件的改變對于板殼屈曲具有重要影響，縮尺模型的邊界條件有時候很難完全符合原型的邊界條件?？稍谶^去，對板殼相似模型的研究中，還未有考慮邊界條件改變的情況，因此需要找到不同邊界條件的相似模型設(shè)計方法。

(2)含缺陷板殼屈曲相似模型設(shè)計方法。實際工程中的殼體結(jié)構(gòu)，基本上都存在一定的初始缺陷，有的缺陷會對板殼的屈曲臨界荷載存在一定折減，降低結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性[62]。如今對于板殼屈曲的研究，往往要考慮板殼的缺陷敏感性。如何處理板殼初始缺陷的相似問題，從而準(zhǔn)確預(yù)測含缺陷原型結(jié)構(gòu)的屈曲特性，對實際工程中的板殼優(yōu)化設(shè)計具有重要意義。目前，已有關(guān)于加筋板殼在一階特征值模態(tài)缺陷和理想攝動對稱位移缺陷下的非線性屈曲完全與不完全相似分析，對于其他形式的初始缺陷，如何影響相似模型對原型屈曲的預(yù)測，仍需要進一步的深入研究。

(3)基于結(jié)構(gòu)體系總能量的相似分析法的進一步完善以及基于能量法的誤差修正。能量法相比于傳統(tǒng)方法，具有直接、準(zhǔn)確、無須建立板殼結(jié)構(gòu)的屈曲控制方程和求解屈曲方程的解，但其在板殼屈曲相似分析中的應(yīng)用和研究還比較少。目前僅將能量法應(yīng)用在了單一加筋板殼的相似模型設(shè)計中。但針對受組合荷載作用的板殼結(jié)構(gòu)和組合加筋殼體結(jié)構(gòu)，基于能量法的屈曲相似模型設(shè)計與相似預(yù)報，仍需要進一步研究和完善。此外，隨加筋板殼縮尺模型與原型結(jié)構(gòu)的材料泊松比偏差增大，預(yù)測原型屈曲結(jié)果與原型結(jié)果的誤差會隨之增大。針對屈曲相似預(yù)報誤差相對較大這一現(xiàn)象，建議對誤差產(chǎn)生的機制進行研究，建立基于能量法的相似模型修正方法。