劉宇軒，吳國(guó)輝，陳亮亮

（南昌航空大學(xué) 信息工程學(xué)院，南昌 330063）

引 言

高速飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)具有使用壽命長(zhǎng)、儲(chǔ)能密度高、高效率、無污染等優(yōu)點(diǎn)，是一種具有廣泛發(fā)展前景的電能儲(chǔ)存方式[1-3]。主動(dòng)電磁軸承具有動(dòng)力特性可控、無機(jī)械接觸、壽命長(zhǎng)、損耗低、無需潤(rùn)滑等優(yōu)點(diǎn)，是高速飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)中最常用的轉(zhuǎn)子支承結(jié)構(gòu)[4-6]。主動(dòng)電磁軸承常采用差動(dòng)控制方式，即在同一個(gè)自由度上有兩個(gè)對(duì)置的磁鐵在同時(shí)工作，這兩個(gè)電磁鐵具有相同的恒定偏置電流，偏置電流與控制電流進(jìn)行差分運(yùn)算后再分別驅(qū)動(dòng)兩個(gè)電磁線圈。這種差動(dòng)布局使得正向力和負(fù)向力都能產(chǎn)生，有利于改善電磁軸承系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。由于恒定偏置電流的存在，即便是控制電流為零時(shí)電磁軸承也存在一定電能損耗。為減小偏置電流產(chǎn)生的電能損耗，國(guó)內(nèi)外學(xué)者做了一些研究工作。Brown等[7]和Ishida等[8]分別研究了電磁軸承零偏置控制方式，并通過試驗(yàn)驗(yàn)證了算法的有效性。Johnson[9]在博士論文中也研究了零偏置和低偏置控制方式。Hu等[10]提出了一種最優(yōu)電流分配的低偏置控制方法。Sahinkaya等[11]研究了節(jié)能最優(yōu)的變偏置電流控制方法。這些算法能夠通過較低的偏置電流實(shí)現(xiàn)電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定懸浮，節(jié)約了電能，但算法較為復(fù)雜，實(shí)現(xiàn)困難。

本文研究了一種自適應(yīng)偏置差分控制方法，首先介紹了算法的基本原理，然后利用控制理論分析了該方法的穩(wěn)定性，最后通過仿真驗(yàn)證了該算法的控制性能，詳細(xì)分析了電磁軸承飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在階躍信號(hào)及正弦信號(hào)擾動(dòng)下轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)軌跡和電磁軸承線圈的電流特性。

1 電磁軸承飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型

圖1為簡(jiǎn)化后的立式四自由度電磁軸承剛性飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，主要由飛輪轉(zhuǎn)子、一體化電動(dòng)機(jī)/發(fā)電機(jī)、電磁軸承、保護(hù)軸承以及位移傳感器等部分組成。整個(gè)系統(tǒng)軸向采用永磁支撐，2個(gè)電磁軸承用于徑向懸浮，4個(gè)電渦流傳感器測(cè)量分別測(cè)量飛輪轉(zhuǎn)子在四個(gè)自由度上的位置信號(hào)。

圖1 主動(dòng)電磁軸承飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)原理圖

圖1中，oxyz坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)位于飛輪轉(zhuǎn)子的質(zhì)心c點(diǎn)，z軸在兩徑向軸承中心連線上，x、y與z構(gòu)成右手坐標(biāo)系。lsA和lsB分別為傳感器A和B的中心到質(zhì)心c的垂直距離；lbA和lbB分別為徑向電磁軸承A和B的中心到飛輪轉(zhuǎn)子質(zhì)心c點(diǎn)的垂直距離[12]。

在工程實(shí)際中，對(duì)飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的四個(gè)自由度常采用單獨(dú)控制方式，其原理如圖2所示。圖2中，控制器實(shí)時(shí)讀取位置傳感器測(cè)量的位置信息，經(jīng)過控制算法處理后輸出控制信號(hào)，功率放大器對(duì)控制信號(hào)進(jìn)行放大，驅(qū)動(dòng)電磁軸承線圈，產(chǎn)生控制飛輪轉(zhuǎn)子位置的電磁力。

圖2 單自由度電磁軸承控制系統(tǒng)

功率放大器和位置傳感器的傳遞函數(shù)可近似為一個(gè)比例系數(shù)k。單自由度電磁軸承飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可表示為[13]：

式中，m為轉(zhuǎn)子質(zhì)量，y為轉(zhuǎn)子的位移，fy為電磁軸承產(chǎn)生的控制電磁力，電磁力的表達(dá)式為：

ks和ki分別為力?位移系數(shù)(位移負(fù)剛度系數(shù))及力?電流系數(shù)，根據(jù)式(1)和式(2)，可得到電磁軸承飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

式中，Y(s)和I(s)分別為轉(zhuǎn)子位移y和控制電流ic的拉普拉斯變換式。由式(3)可知，電磁軸承飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)傳遞函數(shù)包含一個(gè)位于右半平面的極點(diǎn)，系統(tǒng)不穩(wěn)定，因此需要施加外部的主動(dòng)控制力。

2 差動(dòng)控制方式電磁力模型

單自由度電磁軸承飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)差動(dòng)控制方式原理如圖3所示。對(duì)置的兩塊電磁鐵產(chǎn)生的電磁吸力共同作用于轉(zhuǎn)子，使轉(zhuǎn)子在某個(gè)方向上保持受力平衡。對(duì)置的兩電磁鐵線圈具有相同的偏置電流，在同一時(shí)刻，當(dāng)一個(gè)線圈的驅(qū)動(dòng)電流為偏置電流與控制電流之和時(shí)，另一個(gè)線圈的驅(qū)動(dòng)電流則為偏置電流與控制電流之差，即，

圖3 電磁軸承差動(dòng)工作方式

式中：i1和i2分別為對(duì)置電磁線圈的驅(qū)動(dòng)電流，I0為偏置電流，ic為控制電流。

在圖3所示的差動(dòng)工作方式下，電磁軸承產(chǎn)生的電磁力為：

式中，μ0為真空中磁導(dǎo)率，Aa為磁極面積，N為線圈匝數(shù)。

當(dāng)轉(zhuǎn)子在平衡位置(y= 0，ic= 0)作小位移擾動(dòng)時(shí)，若將式(2)在平衡點(diǎn)附近用泰勒級(jí)數(shù)展開并省略二階無窮小以上的量，即：

式中：fy(y=0,ic=0)=0，，。

故有：

式中,ks=分別稱為力?位移系數(shù)(位移負(fù)剛度系數(shù))及力?電流系數(shù)。

在傳統(tǒng)的差動(dòng)控制方式中，偏置電流I0是恒定值，且遠(yuǎn)大于控制電流ic，由于恒定偏置電流的存在，即便控制電流很小，軸承線圈也會(huì)產(chǎn)生一定的損耗。

3 自適應(yīng)偏置差動(dòng)控制

3.1 自適應(yīng)偏置差動(dòng)控制基本原理

自適應(yīng)偏置差動(dòng)控制方式的基本思想為：偏置電流隨控制電流的變化而變化，且偏置電流的大小為控制電流的絕對(duì)值，即：

在自適應(yīng)偏置差動(dòng)控制方式中，同一時(shí)刻對(duì)置的兩個(gè)電磁線圈中只有一個(gè)線圈有電流，其值為控制電流的兩倍，而控制電流往往遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)差分控制方式下的恒定偏置電流，因此自適應(yīng)偏置差分控制方式下線圈的驅(qū)動(dòng)電流較小，可以降低軸承的電能損耗。

3.2 穩(wěn)定性分析

電磁軸承飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)常采用分散PD控制器，對(duì)飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的各個(gè)自由度進(jìn)行單獨(dú)控制，則問題可簡(jiǎn)化為對(duì)4個(gè)單自由度磁懸浮系統(tǒng)進(jìn)行控制。單自由度電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如式(3)所示。

PD控制器的傳遞函數(shù)為：

式中，d為微分系數(shù)，p為比例系數(shù)。PD控制的系統(tǒng)框圖如圖4所示。

圖4 PD控制原理圖

電磁軸承PD控制的閉環(huán)傳遞函數(shù)為:

式中，pki+ks稱為電磁軸承系統(tǒng)凈剛度。由控制理論可知，控制系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是凈剛度大于零。

自適應(yīng)偏置差分控制方式中位移負(fù)剛度系數(shù)ks和力?電流系數(shù)ki分別為：

由式(10)、式(11)可知，當(dāng)p>|ic|/C0時(shí)凈剛度pki+ks大于零，系統(tǒng)就是穩(wěn)定的，因此可以通過調(diào)節(jié)比例系數(shù)p使主動(dòng)電磁軸承飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)保持穩(wěn)定。調(diào)節(jié)d使系統(tǒng)獲得足夠的阻尼，從而使閉環(huán)控制系統(tǒng)保持穩(wěn)定并達(dá)到期望的控制性能。

4 仿真分析

本節(jié)將對(duì)比傳統(tǒng)差動(dòng)控制方式和本文的自適應(yīng)偏置差動(dòng)控制方式的控制性能。分別將傳統(tǒng)的差分控制方式和自適應(yīng)偏置差分控制方式應(yīng)用于如圖1所示四自由度主動(dòng)電磁軸承飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，飛輪轉(zhuǎn)子的參數(shù)如表1所示。

表1中，m為飛輪轉(zhuǎn)子的質(zhì)量，Jx及Jy分別為轉(zhuǎn)子繞x及y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Jz為轉(zhuǎn)子繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。kiA和kiB分別為徑向電磁軸承A和徑向電磁軸承B的力?電流系數(shù)；ksA和ksB分別為徑向電磁軸承A和徑向電磁軸承B的力?位移系數(shù)。

表1 飛輪轉(zhuǎn)子參數(shù)

電磁軸承分別采用傳統(tǒng)的差分控制方式和自適應(yīng)偏置差分控制方式對(duì)主動(dòng)電磁軸承飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行仿真研究，控制方法為分散PD控制。在傳統(tǒng)差分控制方式中，偏置電流為1 A。系統(tǒng)仿真過程中，飛輪轉(zhuǎn)子靜態(tài)穩(wěn)定懸浮，在0.2 s時(shí)上端Y方向的參考位置由0變?yōu)?0 μm，圖5為傳統(tǒng)差動(dòng)控制方式和自適應(yīng)差動(dòng)控制方式響應(yīng)曲線圖。圖中紅色曲線為自適應(yīng)偏置差分方式的階躍響應(yīng)曲線，綠色曲線為傳統(tǒng)差分控制方式的階躍響應(yīng)曲線?？梢钥闯?，傳統(tǒng)差分控制方式的上升時(shí)間和調(diào)節(jié)時(shí)間要略短于自適應(yīng)偏置差分算法，但自適應(yīng)差分控制方式具有更小的超調(diào)量?？偟膩碚f，傳統(tǒng)差分控制方式的控制性能要略好于自適應(yīng)差分控制方式。

圖5 兩種控制方式下的階躍響應(yīng)曲線

圖6為系統(tǒng)階躍響應(yīng)過程中傳統(tǒng)差分控制方式Y(jié)方向2個(gè)線圈中的電流。圖7為自適應(yīng)偏置差分控制方式Y(jié)方向2個(gè)線圈中的電流。

圖6 傳統(tǒng)差分控制方式Y(jié)方向?qū)χ镁€圈中的電流

圖7 自適應(yīng)偏置差分控制方式Y(jié)方向?qū)χ镁€圈中的電流

可見，在整個(gè)階躍響應(yīng)過程中傳統(tǒng)差分控制方式的正反兩個(gè)線圈都有驅(qū)動(dòng)電流，兩線圈的電流值都以偏置電流為中心波動(dòng)；而自適應(yīng)偏置差分控制方式下的正反2個(gè)線圈在同一時(shí)刻只有一個(gè)線圈有驅(qū)動(dòng)電流，且驅(qū)動(dòng)電流為控制電流的兩倍。在傳統(tǒng)差分控制方式中，偏置電流為1 A，階躍響應(yīng)穩(wěn)定后的控制電流不到0.1 A，偏置電流要遠(yuǎn)大于控制電流。在自適應(yīng)偏置差分控制方式中，同一時(shí)刻只有一個(gè)線圈有驅(qū)動(dòng)電流，且驅(qū)動(dòng)電流的值很小，階躍響應(yīng)穩(wěn)定后的線圈驅(qū)動(dòng)電流還不到0.004 A。磁軸承線圈中損耗的功率為：

式中，P為每個(gè)軸承線圈損耗的有功功率，i為線圈電流，R為線圈電阻。式（10）表明，磁軸承線圈中的電能損耗與電流的平方成正比，由于自適應(yīng)偏置差分控制方式本的線圈電流遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)差分控制方式，因此自適應(yīng)偏置差分控制方式能夠有效節(jié)約電能。

為進(jìn)一步研究自適應(yīng)偏置控制方式的控制性能，當(dāng)飛輪轉(zhuǎn)子靜態(tài)懸浮時(shí)在上磁軸承X方向的控制電流中注入一個(gè)余弦擾動(dòng)，Y方向的控制電流中注入一個(gè)正弦擾動(dòng)，擾動(dòng)電流的頻率為10 Hz，幅值為0.05 A。圖8、圖9為存在正弦電流擾動(dòng)時(shí)傳統(tǒng)差分控制方式下飛輪轉(zhuǎn)子上端和下端的軌跡圖，圖10、圖11則為自適應(yīng)偏置差分控制方式下飛輪轉(zhuǎn)子上下端的軌跡圖。

圖8 正弦擾動(dòng)下傳統(tǒng)差分控制方式飛輪轉(zhuǎn)子上端軌跡圖

圖9 正弦擾動(dòng)下傳統(tǒng)差分控制方式飛輪轉(zhuǎn)子下端軌跡圖

圖10 正弦擾動(dòng)下自適應(yīng)差分控制方式飛輪轉(zhuǎn)子上端軌跡圖

由圖8~圖11可以看出：在外界正弦擾動(dòng)下，傳統(tǒng)差分控制方式和自適應(yīng)偏置控制方式都能使飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)保持穩(wěn)定，擾動(dòng)電流引起的振動(dòng)幅值小于2微米。在相同的正弦擾動(dòng)下，傳統(tǒng)差分控制方式的轉(zhuǎn)子振幅要略小于自適應(yīng)偏置控制方式，但相差不大。在正弦擾動(dòng)下，傳統(tǒng)控制方式和自適應(yīng)偏置控制方式Y(jié)方向兩對(duì)置軸承線圈的電流曲線分別如圖12、圖13所示。

圖11 正弦擾動(dòng)下自適應(yīng)差分控制方式飛輪轉(zhuǎn)子下端軌跡圖

由圖12、圖13可以看出，與階躍響應(yīng)時(shí)的電流曲線類似，傳統(tǒng)差分控制方式的軸承線圈電流依舊遠(yuǎn)大于自適應(yīng)差分控制方式的線圈電流。因此，自適應(yīng)差分控制方式的軸承線圈損耗較傳統(tǒng)差分控制方式要小得多。

圖12 傳統(tǒng)差分控制方式Y(jié)方向?qū)χ镁€圈中的電流

圖13 自適應(yīng)差分控制方式Y(jié)方向?qū)χ镁€圈中的電流

5 結(jié) 論

通過本文的理論分析及仿真研究，可以得出以下幾點(diǎn)結(jié)論：

1) 本文提出的自適應(yīng)偏置差分控制方式能使主動(dòng)電磁軸承飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)保持穩(wěn)定，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn)。

2）本文提出的自適應(yīng)偏置差分控制方式能夠有效減少電磁軸承線圈中的電流，節(jié)約電能，且具有與傳統(tǒng)差分控制方式相近的控制性能。

3）自適應(yīng)控制算法的部分動(dòng)態(tài)控制性能較傳統(tǒng)的差分控制方式略差，其階躍響應(yīng)的上升時(shí)間和調(diào)節(jié)時(shí)間要略長(zhǎng)于傳統(tǒng)差分控制方式，抗外界擾動(dòng)能力也略差。