廣東省湛江一中培才學(xué)校(524037) 魏 欣

立體幾何解答題歷年來(lái)是考生搶分的“必爭(zhēng)之題”. 2021年全國(guó)新高考Ⅰ卷立體幾何解答題,延續(xù)了近幾年的命題風(fēng)格,充分體現(xiàn)了對(duì)立體幾何基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的考查. 試題注重基礎(chǔ),立足教材,難度適中,該題以三棱錐為載體,考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系,綜合考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力,注重考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng),體現(xiàn)在直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計(jì)算等方法上,著重考查點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判斷與證明,以及空間角、體積的計(jì)算問題.

一、試題展示與評(píng)析

題目(2021年全國(guó)新高考Ⅰ卷第20 題) 如圖1, 在三棱錐A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O為BD的中點(diǎn).

圖1

(1)證明:OA⊥CD;

(2)若ΔOCD是邊長(zhǎng)為1 的等邊三角形,點(diǎn)E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E-BC -D的大小為45°,求三棱錐A-BCD的體積.

試題分析此題以三棱錐為載體考查直線與直線垂直、直線與平面垂直、平面與平面垂直的位置關(guān)系, 二面角, 體積等基礎(chǔ)知識(shí). 其中,第(2)問表面上看,似乎是考查三棱錐的體積問題,實(shí)際上其考查重點(diǎn)為二面角問題. 只有通過條件“二面角E -BC -D的大小為45°”才能求得“三角形ABD的高OA的長(zhǎng)度”,從而求解“三棱錐A-BCD的體積”. 此題可采用“空間向量”這一有力的工具進(jìn)行求解: 先建立空間直角坐標(biāo)系,假設(shè)“OA的長(zhǎng)度為h”,從而得到所需要的點(diǎn)、向量的坐標(biāo),再求解兩個(gè)半平面的法向量,并求兩個(gè)法向量夾角的余弦值, 由于該余弦值的絕對(duì)值等于通過方程可以求得h的值. 當(dāng)OA的長(zhǎng)度求出后,求解三棱錐A-BCD的體積就顯而易見了. 此題也可以采用“幾何法”進(jìn)行求解,“幾何法”一般按照“一作、二證、三指、四求、五答”的步驟進(jìn)行.

二、解法探究

(1)證明在ΔABD中,因?yàn)锳B=AD,O為BD中點(diǎn), 所以AO⊥BD. 因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD, 且平面ABD∩平面BCD=BD,AO ?平面ABD,因此AO⊥平面BCD. 因?yàn)镃D ?平面BCD,所以AO⊥CD.

(2)解答

解法1(法向量法)由題設(shè)得ΔBCD為直角三角形,且BC⊥CD,CD=OB=OD=OC=1,則BC=以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OD為y軸,OA為z軸,垂直O(jiān)D且過O的直線為x軸,建立如圖2 所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

圖2

設(shè)A(0,0,h)(h ＞0), 則B(0,-1,0),D(0,1,0),所 以=設(shè)平面BCE法向量為n=(x,y,z), 則故令y=-h, 則x=z= 2, 所以取平面BCD法向量為m=(0,0,1),又因?yàn)槎娼荅-BC-D的大小為45°,

解得h= 1, 所以O(shè)A= 1, 所以故三棱錐A-BCD的體積為

小結(jié)用向量法求平面與平面所成的二面角的步驟:

①建系設(shè)點(diǎn): 建立合理的坐標(biāo)系,寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo);

②求相關(guān)向量: 求出兩個(gè)平面的法向量;

③求向量的夾角: 求出兩個(gè)法向量的夾角;

④轉(zhuǎn)化: 將向量夾角的余弦值轉(zhuǎn)化為二面角的余弦值;

⑤答: 點(diǎn)明平面和平面所成二面角的平面角的值.

解法2(利用二面角的定義) 如圖3 所示, 過點(diǎn)E作EF//OA, 交BD于點(diǎn)F. 過點(diǎn)F作FG//CD交BC于點(diǎn)G, 連結(jié)EG.并建立空間直角坐標(biāo)系O - xyz. 設(shè)A(0,0,h), 則B(0,-1,0),設(shè)G(xG,yG,0),(xG,yG+1,0),

圖3

解得h=1,以下同解法1.

小結(jié)利用二面角的定義求解二面角方法: 如圖4,A,C分別是二面角α-l-β的棱l上兩點(diǎn), 點(diǎn)B,D分別在半平面α,β內(nèi),且AB⊥l,CD⊥l,則與所成的角就是二面角的平面角. 即在棱上取兩點(diǎn)(也可重合),以這兩點(diǎn)為起點(diǎn)分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作與棱垂直的向量,或分別過兩個(gè)半平面內(nèi)的點(diǎn)(作為所作向量的起點(diǎn))作與棱垂直的向量,則這兩個(gè)向量所成的角就是二面角的平面角.

圖4

解法3(構(gòu)造長(zhǎng)方體法)如圖5所示,構(gòu)造長(zhǎng)、寬、高分別為的長(zhǎng)方體, 并建立空間直角坐標(biāo)系O′ -xyz. 則B(1,0,0),所以=設(shè)平面BCE法向量為n=(x,y,z),則

圖5

令z= 1,所以x=h,y= 0,所以平面BCE法向量為n=(h,0,1),以下同解法1.

歸類向量法采用空間向量解立體幾何問題的關(guān)鍵是合理建立坐標(biāo)系,選擇坐標(biāo)系的原則就是將底面頂點(diǎn)盡可能多的置于坐標(biāo)軸上,這樣能確保正確讀取空間點(diǎn)的坐標(biāo). 下面給出法向量法的各種坐標(biāo)系下相關(guān)向量的坐標(biāo).

坐標(biāo)系坐標(biāo)向量--→BE --→CE 平面BCE的法向量n images/BZ_7_1319_2011_1621_2226.png(0, 4 3, 2 3h)(-3 2 ,-1 6, 2 3h)(3h,-h,2)images/BZ_7_1319_2284_1621_2529.pngimages/BZ_7_1319_2581_1621_2808.pngimages/BZ_7_1319_2861_1622_3105.png(2 3, 23 3 , 2 3h)(-5 6,3 6 , 2 3h)(h,-3h,2)

images/BZ_8_277_325_542_564.pngimages/BZ_8_277_612_542_832.png(-2 3, 23 3 , 2 3h)(-2 3,-3 3 , 2 3h)(h,0,1)images/BZ_8_277_889_542_1105.pngimages/BZ_8_277_1163_542_1382.pngimages/BZ_8_277_1459_542_1639.png(2 3,-23 3 , 2 3h)(2 3,3 3 , 2 3h)(-h,0,1)images/BZ_8_277_1720_542_1930.png(23 3 , 2 3, 2 3h)(-3 3 , 2 3, 2 3h)(0,-h,1)images/BZ_8_277_2002_543_2202.png(-2 3, 23 3 , 2 3h)(-2 3,-3 3 , 2 3h)(h,0,1)images/BZ_8_277_2298_542_2458.png(0, 4 3, 2 3h)(-3 2 ,-1 6, 2 3h)(3h,-h,2)images/BZ_8_277_2559_544_2750.png(-4 3,0, 2 3h)(1 6,-3 2 , 2 3h)(h,3h,2)

解法4(幾何法)

如圖6 所示, 過點(diǎn)E作EF//OA, 交BD于點(diǎn)F. 過點(diǎn)F作FG//CD交BC于點(diǎn)G, 連結(jié)EG. 由(1) 知OA⊥平 面BCD, 又EF//OA, 則EF⊥平面BCD. 依題知在ΔBCD中,CD=OB=OD=OC= 1, 則∠BCD=90°, 即CD⊥BC. 從而FG⊥BC, 所以∠EGF是二面角E - BC - D的平面角, 即∠EGF= 45°, 則ΔEGF是等腰直角三角形. 又因?yàn)镈E= 2EA, 所以FD= 2OF,則從而EF=FG=則有OA== 1, 又故三棱錐A-BCD的體積為VA-BCD=

圖6

小結(jié)基于二面角的平面角概念,可利用三垂線定理及逆定理作出二面角的平面角,如圖7,在二面角α-l-β中,在平面β內(nèi)取一點(diǎn)B, 過點(diǎn)B作平面α的垂線, 垂足為點(diǎn)A,過點(diǎn)A作AO⊥l于點(diǎn)O,連接BO,因?yàn)锳B ∩AO=A,AB,AO ?平面AOB,所以l⊥平面AOB,所以l⊥OB,所以∠AOB為二面角α-l-β的平面角;若二面角α-l-β的平面角為鈍二面角,如圖8,則取∠AOB的補(bǔ)角.

圖7

圖8

用幾何法求直線與平面所成的角的步驟:

①一作——從交線上一點(diǎn)出發(fā)在兩平面內(nèi)作出(或找出)交線的垂線;

②二證——論證作出(或找出)的線與交線同時(shí)垂直;

③三指——指出所求的二面角的平面角是哪個(gè)角;

④四求——在三角形中求角;

⑤五答——點(diǎn)明平面和平面所成二面角的平面角的值.

下面總結(jié)各種幾何法的主要計(jì)算量,如下表:

空間圖平面圖底面的三角形后側(cè)面的三角形二面角的截面三角形二面角images/BZ_9_460_412_816_691.pngimages/BZ_9_853_452_1166_651.pngimages/BZ_9_1201_460_1514_643.pngimages/BZ_9_1550_416_1828_685.png∠EGF =45°images/BZ_9_460_721_814_998.pngimages/BZ_9_853_761_1166_959.pngimages/BZ_9_1201_767_1515_953.pngimages/BZ_9_1550_728_1825_991.png∠MNO =45°images/BZ_9_460_1029_816_1306.pngimages/BZ_9_853_1063_1166_1274.pngimages/BZ_9_1202_1066_1512_1270.pngimages/BZ_9_1550_1033_1827_1302.png∠FCD =45°

綜觀近幾年高考中立體幾何的解答題,對(duì)垂直的考查較多, 對(duì)垂直的直接考查或者對(duì)與垂直相關(guān)知識(shí)的間接考查,高考命題中為了兼顧兩方面,常常出于建立空間坐標(biāo)系的考慮,試題中都有意設(shè)計(jì)垂直的條件或垂直的結(jié)論,垂直為各種元素(角、距離、面積、體積)的量化提供了可能. 平面幾何性質(zhì)的滲透,解三角形工具的應(yīng)用,為度量各種元素的計(jì)算公式提供強(qiáng)大的支撐. 可以說,垂直的知識(shí)容量大,關(guān)聯(lián)元素多,發(fā)散空間廣,在客觀上是處于核心地位的,在立體幾何中,可謂處處有垂直,下面的圖9 反映了垂直與方方面面的聯(lián)系.

圖9

對(duì)線面垂直的復(fù)習(xí),要做到不惜時(shí),不怕重復(fù);能夠引導(dǎo)學(xué)生熟練地論證線線垂直?線面垂直?面面垂直的雙向轉(zhuǎn)化. 加強(qiáng)“垂直的等價(jià)轉(zhuǎn)換”的訓(xùn)練. 高考?？嫉牧Ⅲw幾何中特殊圖形的垂直問題如下面表格.

文字描述特殊圖形已知條件垂直結(jié)論對(duì)應(yīng)高考模型例勾股定理的逆定理images/BZ_9_855_2301_1150_2506.pnga2+b2 =c2 AC⊥BC images/BZ_9_1830_2225_2142_2539.png2021年浙江卷等腰三角形(等邊三角形):底邊上的中線與底邊垂直images/BZ_9_846_2688_1159_2872.pngAB =AC,D 是BC 的中點(diǎn)AD⊥BC images/BZ_9_1834_2638_2138_2875.png2021年全國(guó)新高考Ⅰ卷

圓: 直徑所對(duì)的圓周角為90°images/BZ_10_716_385_1029_656.pngAB 是圓O 的直徑AC⊥BC images/BZ_10_1808_359_2094_640.png2020年全國(guó)Ⅰ卷正方形、長(zhǎng)方形(矩形)images/BZ_10_738_780_1005_1018.png四邊形ABCD 是正方形AB⊥BC BC⊥CD CD⊥AD AB⊥AD AC⊥BD images/BZ_10_1799_738_2101_1015.png2021年北京卷images/BZ_10_752_1141_995_1409.png四邊形ABCD 是長(zhǎng)方形(矩形)AB⊥BC BC⊥CD CD⊥AD AB⊥AD images/BZ_10_1830_1111_2071_1394.png2021年上海卷images/BZ_10_739_1533_1008_1826.png正方形ABCD 中,M,N 分別為DC,BC 的中點(diǎn)AN⊥BM images/BZ_10_1812_1491_2088_1821.png2017年北京卷菱形images/BZ_10_694_1966_1049_2153.png四邊形ABCD 是菱形AC⊥BD images/BZ_10_1772_1923_2127_2155.png2013年陜西理科卷images/BZ_10_694_2275_1052_2512.png四邊形ABCD 是菱形,且∠DAB =60°,E,F分別是AB,BC 的中點(diǎn).AC⊥BD DE⊥AB DE⊥DC DF⊥BC DF⊥AD images/BZ_10_1750_2254_2151_2489.png2018年北京卷梯形images/BZ_10_694_2603_1052_2797.png四邊形ABCD 是等腰梯形,AB//DC且AD =DC =BC =a,AB =2a.AC⊥BC AD⊥BD images/BZ_10_1799_2589_2103_2768.png2011年江西理科卷images/BZ_10_694_2916_1052_3129.png四邊形ABCD 是直角梯形,AB//DC,∠ADC =90°,AD =DC =a,AB =2a,E 是AB 中點(diǎn).AC⊥BC CE⊥AB images/BZ_10_1799_2869_2100_3136.png2012年廣東文科卷

判定定理A PD⊥DA,PD⊥DC,DA ∩DC =D DA,DC ?平面ABCD PD⊥平面ABCD images/BZ_11_1752_357_2019_689.png2021年全國(guó)甲卷理判定定理B images/BZ_11_646_804_1004_1099.png平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD =AD,AB⊥AD,AB ?平面ABCD AB⊥面ADP images/BZ_11_1735_787_2037_1072.png2021年新高考II 卷判定定理C PD⊥平面ABCD,PD ?平面PAD 平面PAD⊥平面ABCD images/BZ_11_1735_1169_2036_1492.png2021年全國(guó)乙卷理

注以上表格中,判定定理A:一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直. 性質(zhì)定理B:兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直. 判定定理C:一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直.

三、教材尋根

高考題的命題有些是來(lái)源于教材, 但往往又高于教材,因而我們的課堂教學(xué)需要回歸教材,扎根教材,根深才能葉茂,源遠(yuǎn)方能流長(zhǎng). 新人教A 版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)(必修)》第二冊(cè)第143 頁(yè)習(xí)題的第7 題,也出現(xiàn)在舊人教A 版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)(必修2)》選修2-1的第三章第3 節(jié)第109 頁(yè)例4,在其他版本的教材中也同樣是經(jīng)典例、習(xí)題,題目如下:

典例1如圖10 所示, 在四棱錐P-ABCD中, 底面ABCD是正方形, 側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn),過點(diǎn)E作EF⊥PB于點(diǎn)F. 求證:

圖10

(1)PA//平面EDB; (2)PB⊥平面EFD; (3)求二面角C-PB-D的大小.

證明以D為坐標(biāo)原點(diǎn), 射線DA,DC,DP分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.

(1) 如圖11 所示. 依題意得A(1,0,0),P(0,0,1),連接AC與BD相交于點(diǎn)G, 從而且=所以即PA//EG. 而EG ?平面EDB,且PA /?平面EDB,因此PA//平面EDB.

圖11

(2)依題意得B(1,1,0),即PB⊥DE. 由已知EF⊥PB,且EF ∩DE=E,所以PB⊥平面EFD.

(3)證法一(向量法): 已知EF⊥PB, 由(2) 可知DF⊥PB, 故∠EFD是二面角C - PB - D的平面角.設(shè)F(x,y,z), 則= (x,y,z -1). 因?yàn)榈脁=k,y=k,z= 1- k. 因?yàn)? 0, 得所以所以由cos ∠EFD=所以∠EFD= 60°, 即二面角C-PB-D的大小為

(3)證法二(幾何法): 由已知條件知PB⊥EF,又由第二問知PB⊥DF,所以∠EFD是二面角C-PB-D的平面角.設(shè)DC=PD=1,所以PC=又由E為PC的中點(diǎn),所以EC=所以DE=又因?yàn)镻C=所以由等面積法得PD·DB=PB·DF,所以DF=

又 因 在RtΔPBC中, tan ∠BPC=所以sin ∠BPC=所 以EF=PE ·sin ∠BPC=所以

所以∠EFD=所以二面角C-PB-D的大小為

四、真題回顧

由剖析不難發(fā)現(xiàn), 以上教材題目、2021年全國(guó)新高考Ⅰ卷第20 題、2014年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷理科第18 題、2019年北京理科第16 題,相似度很高,可以看成是同類問題,注意回歸教材,將教材內(nèi)容吃透,將教材的典型例題和習(xí)題進(jìn)行深入研究, 注重在教材例題與習(xí)題的基礎(chǔ)之上合理拓展變式,賦予教材內(nèi)容以靈魂和活力;研究教材不是為了押題,更不是為了尋求所謂的“秒殺技”,只是為了能夠更好的領(lǐng)悟教材編寫者的意圖,弄清問題本質(zhì),尋求解決問題的一般方法,以期能夠以不變應(yīng)萬(wàn)變,真正意義上提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

例1(2014年高考新課標(biāo)Ⅱ卷理科第18 題)如圖12,四棱錐P - ABCD中, 底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點(diǎn).

圖12

(1)證明:PB//平面AEC;

(2)設(shè)二面角D-AE-C為60°,AP=1,AD=3,求三棱錐E-ACD的體積.

例2(2019年高考北京卷理科第16 題)如圖13,在四棱錐P -ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD//BC,PA=AD=CD= 2,BC= 3.E為PD的中點(diǎn),點(diǎn)F在PC上,且

圖13

(1)求證:CD⊥平面PAD;

(2)求二面角F -AE-P的余弦值;

(3)設(shè)點(diǎn)G在PB上,且判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi),說明理由.

五、備考建議

根據(jù)解法探究和圖形歸類,總結(jié)出求解立體幾何解答題的模型和套路,如下圖14,在教學(xué)實(shí)踐中要引導(dǎo)學(xué)生著眼于圖形探究,從而形成解決此類問題的模式和套路.

圖14

歷年高考立體幾何的解答題常以棱錐或棱柱為載體,考查內(nèi)容均較為穩(wěn)定,均考查立體幾何的基本知識(shí)和基本思想方法,考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系, 線、面角問題, 面積、體積等問題. 一般采用分步設(shè)問的方式,常見的兩個(gè)考查熱點(diǎn): 一是定性分析,主要是以平行、垂直的證明為主;二是定量分析,主要考查表面積、體積的計(jì)算,線面角、二面角和距離的計(jì)算等.

解題時(shí),平行、垂直這兩種位置關(guān)系的證明一般以考綱要求的判定定理、性質(zhì)定理為基本依據(jù)進(jìn)行演繹推理;表面積、體積的計(jì)算常需進(jìn)行合理的等積變換、割補(bǔ)轉(zhuǎn)化,并結(jié)合表面積、體積公式進(jìn)行運(yùn)算;線面角、二面角的求解常運(yùn)用空間向量的方法和幾何法進(jìn)行求解. 解答題的解題方法往往不唯一,常有多種解法,倡導(dǎo)學(xué)生多角度地思考與分析問題,根據(jù)圖14 給出的模式和套路,從中探尋合理、簡(jiǎn)捷的途徑.