張梓濤，袁 曉

(四川大學(xué)電子信息學(xué)院，四川成都 610064)

1 引言

細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Celluar Neural Networks，CNN)[1]是20世紀(jì)80年代后期由Chua和Yang提出并建立.細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的出現(xiàn)促進了人工智能的發(fā)展，同時混沌非線性學(xué)領(lǐng)域也得到了很大的發(fā)展.混沌現(xiàn)象是自然界中普遍存在的一種宏觀無序、微觀有序的非線性現(xiàn)象，亦是確定性非線性系統(tǒng)的一種復(fù)雜非周期的時間演化現(xiàn)象.由于混沌信號的高隨機性、復(fù)雜性、初值敏感性，以及確定性系統(tǒng)方程的易實現(xiàn)性[2]，使得混沌在非線性科學(xué)、保密通信、圖像處理、信號檢測等方向具有廣泛的研究和應(yīng)用價值[3]。

分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)能表現(xiàn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的聯(lián)想、記憶、遺傳等復(fù)雜特性，相比整數(shù)階更能揭示復(fù)雜多變系統(tǒng)其固有特征和非線性規(guī)律[4，5]。

現(xiàn)實生活中任何系統(tǒng)在進行信號傳輸時都會存在一定的時滯，且有些系統(tǒng)加入時滯后會發(fā)生根本性的變化[6]，因此時間延遲這一因素在具體工程應(yīng)用中顯得十分重要.本文提出一種異時滯分?jǐn)?shù)階細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，研究不同時延下系統(tǒng)的混沌狀態(tài)，發(fā)現(xiàn)通過改變部分參數(shù)值可使系統(tǒng)具有相似的混沌吸引子.筆者研究了0.02ms、0.04ms和0.08ms不同時滯組合下分?jǐn)?shù)階CNN系統(tǒng)電路的混沌特性，發(fā)現(xiàn)通過改變某個電阻的值，可使其Multisim仿真結(jié)果與數(shù)值計算具有相似的混沌相圖，從而證實了設(shè)計理念的正確性和現(xiàn)實可行性．

2 分?jǐn)?shù)階CNN模型及數(shù)值仿真

CNN是每一個相同的細胞元在空間上與相鄰的細胞元連接形成的拓撲結(jié)構(gòu)，網(wǎng)絡(luò)中每個細胞元都有相應(yīng)的輸入輸出和非線性動力學(xué)特性[7]，是一種模擬非線性、實時并行處理的列陣結(jié)構(gòu).考慮一般分?jǐn)?shù)階細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的狀態(tài)方程[8]

(1)

(2)

其中，xj為第j個細胞的狀態(tài)變量;n為細胞單元的個數(shù);q為微分算子階數(shù);ajk、sjl分別表示反饋控制系數(shù)和狀態(tài)控制系數(shù);f(xj)為細胞xj的輸出;Ij為細胞的閥值．

如果令n=3，則系統(tǒng)(1)變?yōu)椋?/p>

(3)

令系數(shù)矩陣

根據(jù)混沌吸引子理論，若某一點附近的相體積隨時間的變化而縮小，則稱為吸引子.對于系統(tǒng)(3)，取q=1，α=1有

(4)

其中s11=-1.5，s22=0，s33=1，帶入得?V<0，因此系統(tǒng)(3)是一個耗散系統(tǒng)，耗散系統(tǒng)是混沌吸引子存在的前提條件。

當(dāng)q=1，α=1，Ij=0，令系統(tǒng)初值分別為x1(0)=0.1，x2(0)=0.1，x3(0)=0.2，步長為0.005，步數(shù)為10000.對系統(tǒng)(3)進行Matlab數(shù)值仿真，利用Jacobi方法計算得到Lyapunov指數(shù)

L1=1.5815，L2=-2.5466，L3=3.9509

Lyapunov維數(shù)：

其中最大Lyapunov指數(shù)L3大于零，因此理論上判定該系統(tǒng)具有混沌特性[9]．

進一步取q=0.9，α=0.05，用Matlab進行數(shù)值仿真得到的混沌相圖如圖1，可見該分?jǐn)?shù)階CNN系統(tǒng)產(chǎn)生了雙螺旋混沌奇異吸引子，從而證實該系統(tǒng)能產(chǎn)生混沌現(xiàn)象。

圖1 q=0.9，α=0.05時系統(tǒng)(3)的混沌相圖

3 異時滯分?jǐn)?shù)階CNN電路仿真

根據(jù)系統(tǒng)模型的狀態(tài)方程(1)，提出帶時延的分?jǐn)?shù)階CNN系統(tǒng)方程

(5)

其中bjk為時滯反饋控制系數(shù)，τj為第j個細胞單元的時延，其余參數(shù)含義與式(1)一致．

為了降低系統(tǒng)復(fù)雜度，考慮純時滯系統(tǒng)模型，其反饋控制系數(shù)全為零，時滯反饋控制系數(shù)與式(1)反饋控制系數(shù)相同，狀態(tài)控制系數(shù)不變，即

取n=3，q=0.9，Ij=0，帶入方程(5)

(6)

令方程(6)中τ1、τ2為時滯常數(shù)0.02ms、0.04ms和0.08ms的兩兩組合，根據(jù)排列組合公式，總共有6種組合情況，由于篇幅有限，僅考慮以下三種時滯情況，研究系統(tǒng)電路在不同情況下的混沌特性

異時滯分?jǐn)?shù)階CNN整體電路的設(shè)計采用有源運算放大器、線性電阻、線性電容、二極管等元器件，結(jié)合電路基本理論綜合實現(xiàn).電路主要由輸出函數(shù)電路、分?jǐn)?shù)階電路、時滯電路等單元模塊組成．

3.1 輸出函數(shù)電路

其中絕對值運算電路實現(xiàn)如圖2所示[10]，根據(jù)電路疊加原理，端口2的輸出電壓表達式為y=2(x1-x2)+x1.若x1<0，則二極管D1、D2截止，運放U1虛短，此時x2=2x1，即y=-x1；若x1>0，則二極管D1、D2導(dǎo)通，此時x2=x1，即y=x1，由此實現(xiàn)絕對值函數(shù)y=|x1|。

圖2 絕對值運算電路

根據(jù)圖2絕對值運算電路，再用運算放大器實現(xiàn)基本加減法，得輸出函數(shù)f(x)的電路原理圖及測試波形，如圖3(a)-(c)。

圖3 f(x)電路原理圖及測試波形

3.2 分?jǐn)?shù)階電路

截止目前具有分?jǐn)?shù)階運算功能的無源電路已有很多種，如鏈型、樹形、Oldham鏈型、Liu-Kplan分形鏈型、Carlson分形格型、Morrison分形梯型等[11-14]，本文使用簡單的鏈型電路[15，16]，電路結(jié)構(gòu)如圖4。根據(jù)結(jié)構(gòu)圖可直接寫出端口1和端口2之間等效電路的復(fù)頻域表達式

(7)

圖4 分?jǐn)?shù)階電路原理圖及封裝

再由整數(shù)階逼近分?jǐn)?shù)階算子的公式[17]，當(dāng)運算階次q=0.9時

(8)

對H(s)做基本的數(shù)學(xué)變形再與式(8)比較，通過對比即可求出各元件值

3.3 時滯電路

目前能產(chǎn)生時延的方法主要有LCL濾波器、貝塞爾濾波器、數(shù)字電路和組通式器件等[18].由于本文設(shè)計的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的工作頻率位于低頻帶(約100Hz)，因此選擇結(jié)構(gòu)更為簡單的LCL低通濾波器來產(chǎn)生時延，LCL電路如圖5。

圖5 LCL電路原理圖

根據(jù)群時延與相位的關(guān)系，群時延是系統(tǒng)在某頻率處的相位對頻率的變化率，即相頻特性在某頻率點的負斜率值。

(9)

本文所構(gòu)造的CNN系統(tǒng)電路的工作頻率經(jīng)測量在100Hz左右，因此需構(gòu)造在該頻率點附近的時滯。值得注意的是，為了獲得更穩(wěn)定的頻率特性曲線，可在圖5 LCL濾波電路兩端加上相應(yīng)匹配電阻，但匹配電阻的引入會對輸入信號造成一定程度的衰減，因此需用運算放大器進行增益調(diào)整。電路原理圖如圖6。時滯常數(shù)τ可以通過調(diào)節(jié)電感值L和電容值C來改變，運算放大器用來調(diào)節(jié)輸出增益。

圖6 時滯電路原理圖及封裝

具體考慮系統(tǒng)方程(6)中的三種時滯情況，即需分別構(gòu)造工作在100Hz頻率附近的0.02ms、0.04ms和0.08ms三種時滯電路.以τ=0.02ms為例，可取L1=L2=10mH，C=20nF。在Multisim中仿真得到0.02ms時滯電路的幅頻特性和相頻特性如圖7。

圖7 0.02ms時滯電路頻率響應(yīng)

由圖7(a)幅頻特性可以看出，當(dāng)輸入信號頻率為100Hz時，輸出增益為0dB，可見該時滯電路對系統(tǒng)信號不產(chǎn)生任何幅度的改變。又由群時延的概念，相位對頻率的導(dǎo)數(shù)即為該點的時延值，對應(yīng)到相頻特性曲線為該點切線的負斜率，可求[50Hz，150Hz]之間相頻特性的斜率作為系統(tǒng)的平均時延。在圖7(b)相頻特性中，頻率為50Hz時，相位角測得為-0.36度；頻率為150Hz時，相位角測得為-1.081度，因此頻率范圍在[50Hz，150Hz]之間直線的斜率(時滯)

(10)

測試輸入頻率100Hz的正弦信號，波形如圖8，紅線為輸入藍線為輸出。仿真結(jié)果證實該電路對頻率為100Hz的輸入信號產(chǎn)生0.02ms的時延，且信號幅度基本不變。

圖8 0.02ms時滯電路測試波形

同理可設(shè)計0.04ms和0.08ms的時滯電路，當(dāng)τ=0.04ms時，取L1=L2=25mH，C=30nF；當(dāng)τ=0.08ms時，取L1=L2=50mH，C=58nF.各時滯單元模塊的電路封裝如圖9。

圖9 各時滯電路模塊封裝圖

3.4 異時滯分?jǐn)?shù)階CNN電路及仿真

使用模擬電路中的反向加法電路、反向積分電路、反相電路等電路理論構(gòu)造三階細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的電路模型，再結(jié)合輸出函數(shù)模塊、分?jǐn)?shù)階模塊和時滯模塊，構(gòu)成帶時滯的分?jǐn)?shù)階CNN整體電路，整體電路如圖10(a)。其階數(shù)q=0.9，端口1、2和端口3、4分別接時滯τ1和τ2的單元電路，端口5、6、7分別對應(yīng)細胞元x1，x2，x3的狀態(tài)輸出，電阻Ra用來調(diào)節(jié)系統(tǒng)(6)中的系數(shù)α。圖10(b)為封裝電路，圖10(c)為異時滯測試電路。

圖10 異時滯分?jǐn)?shù)階CNN電路仿真

對圖10(c)進行仿真測試，當(dāng)時滯τ1，τ2為前文提及的三種情況時，取圖10(a)中電阻Ra分別為1720kΩ，1360kΩ，840kΩ。對應(yīng)方程(6)中的系數(shù)α分別約為0.06，0.07和0.12，用示波器觀測細胞[x1，x2]，[x1，x3]，[x2，x3]的狀態(tài)輸出，輸出相圖見表1。

3.5 仿真結(jié)果對比分析

比較表1的Multisim電路仿真結(jié)果(帶時滯)和圖1的Matlab數(shù)值仿真結(jié)果(不帶時滯)，不難發(fā)現(xiàn)其波形十分吻合，因此該電路仿真結(jié)果是有效的.時滯分?jǐn)?shù)階CNN系統(tǒng)相比無時滯系統(tǒng)具有更大的普適性，且時滯常數(shù)τ1，τ2發(fā)生變化時，電阻Ra可調(diào)又表明該系統(tǒng)具有更好的魯棒性，證實了該設(shè)計理念的正確性和物理可實現(xiàn)性。

表1 電阻Ra可調(diào)節(jié)的異時滯CNN電路仿真

4 結(jié)論

1)基于細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論，提出時滯分?jǐn)?shù)階CNN系統(tǒng)模型，證實了時滯分?jǐn)?shù)階CNN的電路可實現(xiàn)性．

2)對于異時滯分?jǐn)?shù)階CNN系統(tǒng)電路，通過改變部分元件參數(shù)值可使系統(tǒng)具有相似的混沌特性，證實了該系統(tǒng)具有較好的魯棒性和穩(wěn)定性.

3)本文研究在固定時延值下的分?jǐn)?shù)階CNN系統(tǒng)，但工程上使用時，往往時延值會隨時間變化而變化，因此對于時延為τ(t)的CNN系統(tǒng)有待進一步研究．