孔令奇，李翠娟

(1.成都工業(yè)學(xué)院 材料與環(huán)境工程學(xué)院，四川 成都 610031；2.西南交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，四川 成都 610031)

巖土參數(shù)概率分布的研究一直是一項(xiàng)基礎(chǔ)性研究工作，具有極其重要的價(jià)值和意義[1?3]。國(guó)內(nèi)外研究人員已做了大量工作[4?7]，提出了多種巖土參數(shù)概率分布擬合方法，主要包括參數(shù)估計(jì)[8?9]和非參數(shù)估計(jì)2種[10?12]?；诜菂?shù)估計(jì)的主要有最大熵法、正交多項(xiàng)式等方法[1?3,10?12]。宮鳳強(qiáng)等[13]系統(tǒng)考察了經(jīng)典分布擬合、最大熵法、一般多項(xiàng)式法、正交多項(xiàng)式法和正態(tài)信息擴(kuò)散法在推斷巖土參數(shù)概率分布的優(yōu)劣，最終確定正態(tài)信息擴(kuò)散法為相對(duì)最優(yōu)的推斷方法。宮鳳強(qiáng)等[10]提出正態(tài)信息擴(kuò)散法推斷小樣本巖土力學(xué)參數(shù)概率密度函數(shù)的有效性。朱喚珍等[1]進(jìn)一步證明正態(tài)信息擴(kuò)散法在大樣本巖土參數(shù)概率分布推斷中的有效性，但該方法在應(yīng)用的過(guò)程中存在窗寬選擇困難和截尾誤差的問(wèn)題[14]。朱喚珍等[1]給出了最優(yōu)窗寬的計(jì)算方法，但忽略了窗寬選擇與頻率直方圖的匹配關(guān)系，且對(duì)于巖土參數(shù)測(cè)試樣本來(lái)說(shuō)，由于受經(jīng)濟(jì)技術(shù)條件限制，巖土體參數(shù)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)比較有限[15]，難于滿足最優(yōu)窗寬的取值條件。宮鳳強(qiáng)等[16]給出了正態(tài)信息擴(kuò)散法截尾分布的處理方法，正態(tài)信息擴(kuò)散法采用Gaussian作為核函數(shù)時(shí)，正態(tài)分布屬于無(wú)界分布，擬合曲線的首端和尾端向兩邊延展，給出的c3取值方法是針對(duì)樣本區(qū)間的截尾方法，但其擴(kuò)大了正態(tài)信息擴(kuò)散分布的擬合邊界。本文在既有研究基礎(chǔ)上提出正態(tài)信息擴(kuò)散法窗寬確定方法，在不同直方圖分組基礎(chǔ)上，獲得測(cè)試樣本“匹配窗寬”；基于正態(tài)信息擴(kuò)散分布首尾延展特性，結(jié)合巖土參數(shù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的分布特征，提出“收窄”正態(tài)信息擴(kuò)散分布取值區(qū)間的方法；通過(guò)工程實(shí)際測(cè)試樣本驗(yàn)證本文方法的有效性和合理性，完善正態(tài)信息擴(kuò)散法在巖土參數(shù)概率密度函數(shù)擬合上的應(yīng)用。

1 正態(tài)信息擴(kuò)散法窗寬確定

1.1 正態(tài)信息擴(kuò)散法的概率密度函數(shù)

為了避免區(qū)間劃分對(duì)概率密度函數(shù)曲線形狀的影響，正態(tài)信息擴(kuò)散法考慮以任意一點(diǎn)x為中心的鄰域，統(tǒng)計(jì)落入這個(gè)區(qū)間的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，區(qū)域的位置隨著x的變動(dòng)而變動(dòng)，任意一點(diǎn)x處的概率密度函數(shù)值由區(qū)域內(nèi)的樣本點(diǎn)數(shù)決定。

設(shè)X1,X2,…,Xn是取自總體X的樣本，則樣本的概率密度函數(shù)為[1,17-19]

其中，K()為核函數(shù)；h為窗寬，即每個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度；n為樣本個(gè)數(shù)。

1.2 既有窗寬確定方法

窗寬是正態(tài)信息擴(kuò)散法推斷概率密度函數(shù)中一個(gè)重要的指標(biāo)。文獻(xiàn)[1]和[17]提出通過(guò)求解積分均方誤差MISE(mean integrated squared error)函數(shù)的最小值獲得最優(yōu)窗寬，即

其中：f(x)為樣本總體的實(shí)際概率密度。

當(dāng)K(x)滿足如下條件時(shí)：

1)K(x)在區(qū)間[?1,1]取值，且要求對(duì)稱；

2)∫K(x)dx=1；

3)∫xK(x)dx=0；

4)∫x2K(x)dx=σ2k>0，σk為標(biāo)準(zhǔn)差。

則

但獲得式(4)還有一個(gè)最關(guān)鍵的前提條件，即滿足h→0，nh→+∞時(shí)[17]，式(4)才近似相等。對(duì)于巖土參數(shù)測(cè)試樣本來(lái)說(shuō)，由于受經(jīng)濟(jì)技術(shù)條件限制，巖土體參數(shù)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)比較有限[15]，難于滿足此條件。所以對(duì)巖土參數(shù)測(cè)試樣本來(lái)說(shuō)，采用正態(tài)信息擴(kuò)散法擬合其概率密度函數(shù)時(shí)，通過(guò)式(4)計(jì)算出的h值并非最佳窗寬。

在此僅以文獻(xiàn)[20]提供的內(nèi)摩擦角φ的測(cè)試樣本為例(樣本81組，具體樣本值見文獻(xiàn)[20])，詳細(xì)說(shuō)明窗寬取值對(duì)擬合精度的影響，更多測(cè)試樣本的分析結(jié)果見1.3.2節(jié)。當(dāng)直方圖分組數(shù)取為10時(shí)，采用不同窗寬擬合內(nèi)摩擦角φ測(cè)試樣本的概率密度函數(shù)，擬合曲線如圖1所示。

圖1 內(nèi)摩擦角樣本不同窗寬下的擬合曲線Fig.1 Fitting curves of cohesion samples under different window widths

K-S檢驗(yàn)法的檢驗(yàn)量是整個(gè)取值范圍內(nèi)的最大偏差值，在一定的顯著性水平下，可評(píng)估某一分布擬合的有效性，但不能提供某一分布擬合是良好的絕對(duì)信息[21]。均方差可從全局角度評(píng)估正態(tài)信息擴(kuò)散法對(duì)巖土參數(shù)概率密度函數(shù)的擬合質(zhì)量，故本文采用均方差(Mean Squared Error，MSE)指標(biāo)檢驗(yàn)擬合曲線的優(yōu)劣[22]

式中：fi為理論頻率；S*(xi)為頻率直方圖中每個(gè)子區(qū)間的相對(duì)頻率；m為區(qū)間個(gè)數(shù)。

內(nèi)摩擦角樣本在不同窗寬下采用正態(tài)信息擴(kuò)散法推斷其概率密度函數(shù)時(shí)的均方差指標(biāo)統(tǒng)計(jì)值如表1所示。

表1 內(nèi)摩擦角樣本的檢驗(yàn)結(jié)果Table 1 Test results of internal friction angle samples

由圖1和表1明顯可見，當(dāng)采用式(4)計(jì)算的窗寬擬合內(nèi)摩擦角樣本的概率密度函數(shù)時(shí)，擬合誤差最大，均方差指標(biāo)為0.084 3，隨著窗寬取值的減小，擬合誤差在h/3時(shí)達(dá)到最小，均方差指標(biāo)為0.035 7，繼續(xù)減小窗寬，擬合誤差增大。所以，對(duì)于內(nèi)摩擦角測(cè)試樣本，其最佳的匹配窗寬是h/3，h并非最佳窗寬。

1.3 匹配窗寬確定

1.3.1 直方圖分組

理論和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)均已顯示選擇窗寬h做為正態(tài)信息擴(kuò)散法的最優(yōu)窗寬是不恰當(dāng)?shù)模瑢?duì)既有研究工作總結(jié)發(fā)現(xiàn)，目前對(duì)巖土參數(shù)概率密度函數(shù)曲線的擬合不論是基于參數(shù)估計(jì)還是非參數(shù)估計(jì)法，均是根據(jù)測(cè)試樣本獲得直方圖，而直方圖繪制依賴于區(qū)間的劃分，區(qū)間劃分的不同直接影響曲線的形狀和擬合誤差的大小。在文獻(xiàn)[1]中，作者給出了最佳窗寬的計(jì)算公式，但忽略了窗寬選擇與直方圖的匹配關(guān)系，最優(yōu)窗寬是相對(duì)的，所以本文稱其為“匹配窗寬”。

仍以內(nèi)摩擦角的測(cè)試樣本為例，當(dāng)直方圖分組數(shù)取為5和20時(shí)，其正態(tài)信息擴(kuò)散分布的擬合曲線如圖2～3所示。直方圖分組為5時(shí)檢驗(yàn)結(jié)果統(tǒng)計(jì)值如表2所示。直方圖分組為20時(shí)檢驗(yàn)結(jié)果統(tǒng)計(jì)值如表3所示。

表2 分組為5時(shí)檢驗(yàn)結(jié)果Table 2 Test result when grouping is 5

表3 分組為20時(shí)檢驗(yàn)結(jié)果Table 3 Test result when grouping is 20

圖2 分組為5時(shí)擬合曲線對(duì)比Fig.2 Comparison of fitting curves when grouping is 5

圖3 分組為20時(shí)擬合曲線對(duì)比Fig.3 Comparison of fitting curves when grouping is 20

由圖1～3明顯可見，當(dāng)直方圖分組數(shù)取為5時(shí)，最佳匹配窗寬為h/2；當(dāng)直方圖分組數(shù)取為10時(shí)，最佳匹配窗寬為h/3；當(dāng)直方圖分組數(shù)取為20時(shí)，最佳匹配窗寬為h/5。測(cè)試樣本直方圖分組數(shù)越大，應(yīng)采用較小的匹配窗寬；直方圖分組數(shù)越小，應(yīng)采用較大的匹配窗寬。所以，采用正態(tài)信息擴(kuò)散法推斷巖土參數(shù)概率分布的前提是確定測(cè)試樣本直方圖的分組數(shù)。

文獻(xiàn)[23]指出，確定直方圖分組數(shù)的原則是分組的結(jié)果能正確反映數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，組數(shù)應(yīng)根據(jù)數(shù)據(jù)多少來(lái)確定。組數(shù)過(guò)少，會(huì)掩蓋數(shù)據(jù)的分布規(guī)律；組數(shù)過(guò)多，使數(shù)據(jù)過(guò)于零星分散，也無(wú)法顯示樣本分布狀況。

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，對(duì)于正態(tài)分布總體的隨機(jī)變量，其直方圖子區(qū)間的劃分與樣本數(shù)量有最佳關(guān)系，取分組數(shù)m=1.87(n-1)2/5[21]。但大量的研究工作已表明，巖土參數(shù)測(cè)試樣本離散性嚴(yán)重，呈偏態(tài)分布。所以，對(duì)于工程中非正態(tài)分布的隨機(jī)變量總體，文獻(xiàn)[24]指出，當(dāng)樣本個(gè)數(shù)大于50時(shí)，可將直方圖繪制時(shí)的分組數(shù)m取為

其中，n為樣本個(gè)數(shù)。

對(duì)于巖土參數(shù)測(cè)試樣本來(lái)說(shuō)，由于受經(jīng)濟(jì)技術(shù)條件限制，巖土體參數(shù)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)比較有限[15]，樣本個(gè)數(shù)通常不足50個(gè)。文獻(xiàn)[23]給出當(dāng)樣本總數(shù)在50～100時(shí)，直方圖分組數(shù)取6～10。文獻(xiàn)[25]給出當(dāng)樣本數(shù)在100以內(nèi)時(shí)，直方圖分組數(shù)一般分5～12組。

綜上所述，本文按如下分組：

當(dāng)樣本個(gè)數(shù)大于50時(shí)，按式(6)進(jìn)行直方圖分組；當(dāng)樣本個(gè)數(shù)小于50時(shí)，直方圖分組數(shù)取為5或6(依具體樣本選擇)。

1.3.2 匹配窗寬確定方法

由上文的分析可知，直方圖分組數(shù)的不同，反映了樣本不同程度的波動(dòng)性和離散性，與之匹配的窗寬值也應(yīng)是不同的。

根據(jù)式(4)計(jì)算的窗寬h對(duì)波動(dòng)性較小的巖土參數(shù)測(cè)試樣本適用，但對(duì)具有一定波動(dòng)性的巖土參數(shù)測(cè)試樣本，顯然較小的窗寬才合適。

為此，本文提出巖土參數(shù)測(cè)試樣本窗寬選擇方法為：取h為初始值，依次改變窗寬的大小為h/2，h/3，h/4…，誤差評(píng)價(jià)指標(biāo)均方差最小為目標(biāo)，確定最佳的匹配窗寬h′。

以文獻(xiàn)[20]粉質(zhì)黏土壓縮指數(shù)(55組樣本)、黏聚力c(81組樣本)2組大樣本和文獻(xiàn)[26?28]提供的5組小樣本為例，驗(yàn)證本文方法的有效性和準(zhǔn)確性。5組小樣本巖土參數(shù)分別為：內(nèi)摩擦角正切值(24組樣本)[26]、液限(26組樣本)[26]、黏聚力(21組樣本)[26]、350號(hào)混凝土斷裂韌度(35組樣本)[27]和標(biāo)準(zhǔn)風(fēng)壓(25組樣本)參數(shù)[28]。擬合曲線如圖4～10所示，MSE誤差指標(biāo)如表4所示。

表4 MSE誤差評(píng)價(jià)指標(biāo)Table 4 MSE error evaluation index

圖4 粉質(zhì)黏土壓縮指數(shù)樣本擬合曲線比較Fig.4 Comparison of fitting curves of silty clay compression index samples

圖5 黏聚力c樣本擬合曲線比較Fig.5 Comparison of fitting curves of cohesion c samples

圖6 內(nèi)摩擦角正切值樣本擬合曲線比較Fig.6 Comparison of sample fitting curves of tangent value of internal friction angle

圖7 液限樣本擬合曲線比較Fig.7 Comparison of fitting curves of liquid limit samples

圖8 黏聚力樣本擬合曲線比較Fig.8 Comparison of fitting curves of cohesive force samples

圖9 350號(hào)混凝土斷裂韌度樣本擬合曲線比較Fig.9 Comparison of fitting curves of No350 concrete fracture toughness samples

圖10 標(biāo)準(zhǔn)風(fēng)壓樣本擬合曲線比較Fig.10 Comparison of fitting curves of standard wind pressure samples

由圖4～10和表4明顯可見：無(wú)論是通過(guò)擬合曲線的直觀對(duì)比，還是通過(guò)均方差指標(biāo)的定量檢驗(yàn)，都說(shuō)明本文提出的匹配窗寬下的信息擴(kuò)散分布所得到的概率密度函數(shù)優(yōu)于h窗寬下的概率密度函數(shù)。說(shuō)明了本文方法在正態(tài)信息擴(kuò)散法窗寬選擇中的正確性和適用性。正態(tài)信息擴(kuò)散法推斷巖土參數(shù)測(cè)試樣本概率分布的匹配窗寬與測(cè)試樣本的個(gè)數(shù)和樣本的離散程度相關(guān)，每組測(cè)試樣本的匹配窗寬不同，應(yīng)單獨(dú)計(jì)算。

正如文獻(xiàn)[1]所述，正態(tài)信息擴(kuò)散法能較為理想的推斷巖土參數(shù)測(cè)試樣本的概率分布，但存在一個(gè)不容忽視的問(wèn)題，由圖1～10也可見，那就是擬合曲線存在上、下截尾誤差。

2 擬合邊界確定

不論對(duì)哪一種巖土參數(shù)概率密度函數(shù)推斷方法，通常尾部樣本點(diǎn)分散，取值概率很小，擬合過(guò)程中，如果上界選擇過(guò)大，概率密度擬合曲線的尾部就會(huì)出現(xiàn)波動(dòng)；如果上界選擇過(guò)小，擬合曲線的尾部會(huì)上翹，因?yàn)樵谶@種界限附近，樣本點(diǎn)尚未明顯減少，使得這個(gè)點(diǎn)以外的點(diǎn)上的取值概率得以累加。如果樣本下界選得過(guò)大，擬合曲線在首端的取值概率較大，會(huì)使曲線變得平坦。

2.1 既有擬合邊界確定方法

文獻(xiàn)[16]提出了幾種正態(tài)信息擴(kuò)散法區(qū)間取值情況：

1)最大、最小值作為區(qū)間邊界。如圖1～10可見，如果選擇最大、最小值作為正態(tài)信息擴(kuò)散分布法的擬合邊界，顯然出現(xiàn)截尾誤差，累積概率分布小于1。

2)文中對(duì)比分析了3σ，4σ，c33和c3型區(qū)間取值方法的優(yōu)劣，最終確定c3型為最合理的截尾區(qū)間。

c3型區(qū)間取值方法為：以[μ-3σ,μ+3σ]為基礎(chǔ)，參考偏度系數(shù)c進(jìn)行調(diào)整，當(dāng)c<0，左端邊界取μ-(3-c)σ，減小下限值；當(dāng)c>0，右端邊界取μ+(3+c)σ，增大上限值。

正態(tài)信息擴(kuò)散分布法推斷巖土參數(shù)概率分布時(shí)首尾延展，超出樣本邊界，出現(xiàn)截尾誤差，繼續(xù)擴(kuò)大樣本取值邊界，會(huì)使截尾誤差增大。以文獻(xiàn)[20]的黏聚力c測(cè)試樣本(81組)為例，樣本最大、最小值為[7,43]，測(cè)試樣本的偏度系數(shù)為0.367大于0，分布右偏，采用c3型截尾區(qū)間為[?3.98,49.3]，顯然正態(tài)信息擴(kuò)散分布的擬合區(qū)間范圍超出樣本的最大、最小值區(qū)間，且下限為負(fù)，這與巖土參數(shù)的實(shí)際分布不符。

2.2 正態(tài)信息擴(kuò)散法擬合邊界取值

在一般概率密度擬合方法中，通常取樣本隨機(jī)變量z∈[zmin,zmax]，下界值取稍小于zmin，上界值取稍大于。但該方法不能直接應(yīng)用于正態(tài)信息擴(kuò)散估計(jì)法。比如在確定最大熵法及最佳平方逼近法積分邊界時(shí)，上、下界限均是在樣本最大、最小值基礎(chǔ)上增大上界或減小下界，這樣取值是將擬合曲線向首尾兩端擴(kuò)展，包絡(luò)樣本邊界。但正態(tài)信息擴(kuò)散估計(jì)法不同，采用Gaussian作為核函數(shù)時(shí)，正態(tài)分布屬于無(wú)界分布，擬合曲線的首端和尾端向兩邊無(wú)限延展，遠(yuǎn)超出樣本邊界。所以，正態(tài)信息擴(kuò)散估計(jì)法中首尾邊界的確定方法應(yīng)與最大熵法等相反，收窄首尾邊界，在樣本最大、最小值基礎(chǔ)上，減小上界、增大下界。

為了確定正態(tài)信息擴(kuò)散法的擬合邊界，關(guān)鍵是如何減小上界、增大下界。目前沒有經(jīng)驗(yàn)值、沒有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，更無(wú)文獻(xiàn)做過(guò)系統(tǒng)的研究。

正如文獻(xiàn)[16]所述，首尾區(qū)間的選擇應(yīng)以實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的分布范圍為依據(jù)，擬合曲線包含樣本區(qū)間范圍，不能取得太寬；確定分布區(qū)間取值范圍的標(biāo)準(zhǔn)是使該區(qū)間內(nèi)累積概率值接近1。最簡(jiǎn)單、直接的方法是：確定樣本正態(tài)信息擴(kuò)散分布匹配窗寬的基礎(chǔ)上，試探減小上界值、增大下界值，直到正態(tài)信息擴(kuò)散分布擬合區(qū)間下界值稍大于zmin，上界值稍小于zmax。

為了節(jié)約試探取值時(shí)間，本文提出借助樣本隊(duì)列曲線法。以文獻(xiàn)[20]給出的黏聚力c樣本(81組)為例，繪制樣本的隊(duì)列曲線如圖11所示。

圖11 黏聚力c樣本隊(duì)列曲線Fig.11 Cohesion c sample queue curve

由圖11可見，黏聚力c首、尾部樣本點(diǎn)分散，取值概率很小，正因如此，才造成圖12所示的概率密度擬合曲線尾部出現(xiàn)波動(dòng)，擬合曲線首尾與樣本實(shí)際概率分布不吻合。為了實(shí)現(xiàn)擬合曲線在樣本最大、最小值處的概率值為0(或趨于0)，應(yīng)減小上界，增大下界。根據(jù)圖11，對(duì)于黏聚力c測(cè)試樣本，樣本原取值邊界為[7,43]，將該測(cè)試樣本從小到大排列，排列之后可見樣本主要取值在第5～79個(gè)樣本之間，舍去樣本最大值，上界取第80個(gè)的樣本值38，下界舍去前4個(gè)離散的小樣本，取第5個(gè)樣本值9為下界。改進(jìn)樣本邊界(即減小樣本上界，增大樣本下界)后的擬合曲線與原樣本邊界(即取樣本最大、最小值作為區(qū)間邊界)擬合曲線對(duì)比如圖12所示。

圖12 黏聚力c樣本擬合曲線對(duì)比Fig.12 Comparison of cohesion c sample fitting boundary

原樣本邊界下的正態(tài)信息擴(kuò)散分布的擬合曲線邊界為[1.47,48.53]，遠(yuǎn)超出樣本邊界；改進(jìn)樣本邊界后正態(tài)信息擴(kuò)散分布的擬合曲線邊界為[3.47,43.53]，與樣本值邊界更接近。原樣本邊界下正態(tài)信息擴(kuò)散分布的累積概率值為0.997 1，K-S檢驗(yàn)值為0.048 3；改進(jìn)樣本邊界后累積概率值為0.999 9，接近1，K-S檢驗(yàn)值為0.050 9，小于臨界值0.1511。

上文已說(shuō)明，文獻(xiàn)[16]提出的c3型區(qū)間確定方法下，擬合區(qū)間與實(shí)際樣本區(qū)間不匹配，本文不再與之對(duì)比。為了進(jìn)一步證明本文方法的有效性和普適性，對(duì)上文的內(nèi)摩擦角和5組小樣本為例，繪制樣本擬合曲線對(duì)比圖，如圖13～18所示。區(qū)間取值和誤差檢驗(yàn)值如表5所示。

由圖13～18及表5可見：收窄樣本區(qū)間后，正態(tài)信息擴(kuò)散分布不僅包絡(luò)樣本區(qū)間，且與樣本的實(shí)際分布區(qū)間更接近；收窄樣本區(qū)間后在滿足擬合誤差的前提下，截尾誤差變小，樣本累積概率值更逼近1。增大的誤差來(lái)自擬合曲線的首、尾，實(shí)測(cè)樣本在首、尾樣本點(diǎn)分散，在繪制頻率直方圖時(shí)應(yīng)在首尾處不等份分組，使樣本首尾處的概率值逐漸減小趨于0。

表5 樣本邊界、累積概率及誤差檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值Table 5 Sample boundary,cumulative probability and error test statistics

圖13 內(nèi)摩擦角樣本擬合曲線對(duì)比Fig.13 Comparison of boundary fitting of internal friction angle samples

圖14 內(nèi)摩擦角正切值樣本擬合曲線對(duì)比Fig.14 Comparison of fitting boundary of tangent value samples of internal friction angle

圖15 液限樣本擬合曲線對(duì)比Fig.15 Comparison of fitting boundary of liquid limit sample

圖16 黏聚力樣本擬合曲線對(duì)比Fig.16 Comparison of cohesive sample fitting boundary

圖17 350號(hào)混凝土斷裂韌度樣本擬合曲線對(duì)比Fig.17 Comparison of fitting boundary of No.350 concrete fracture toughness sample

圖18 標(biāo)準(zhǔn)風(fēng)壓樣本擬合曲線對(duì)比Fig.18 Comparison of fitting boundary of standard wind pressure samples

3 結(jié)論

1)合適的樣本直方圖分組是正態(tài)信息擴(kuò)散法推斷巖土參數(shù)概率密度函數(shù)的前提，測(cè)試樣本直方圖分組數(shù)越大，應(yīng)采用較小的匹配窗寬；直方圖分組數(shù)越小，應(yīng)采用較大的匹配窗寬。在直方圖分組數(shù)確定的情況下，以均方差最小為目標(biāo)，逐步減小窗寬h的“匹配窗寬”確定方法簡(jiǎn)單有效。

2)提出的減小上界、增大下界的正態(tài)信息擴(kuò)散分布樣本邊界確定方法，可有效減小正態(tài)信息擴(kuò)散法推斷巖土參數(shù)概率分布時(shí)出現(xiàn)的截尾誤差問(wèn)題。依據(jù)樣本隊(duì)列曲線，觀測(cè)首尾樣本點(diǎn)分布，可直觀判定樣本上界減小量和下界增大量。改進(jìn)樣本邊界后的正態(tài)信息擴(kuò)散分布區(qū)間內(nèi)的累積概率更接近1。

正態(tài)信息擴(kuò)散法的窗寬選擇和截尾誤差是研究人員無(wú)法回避的問(wèn)題，本文的研究工作使窗寬選擇和減小截尾誤差問(wèn)題又向前推進(jìn)了一步，下一步將研究通過(guò)對(duì)大量巖土參數(shù)測(cè)試樣本統(tǒng)計(jì)分析，探尋正態(tài)信息擴(kuò)散法推斷巖土參數(shù)概率分布中截尾誤差取值的理論公式。