黑馬三

亨利·杜登尼是英國19世紀(jì)末20世紀(jì)初有名的趣題設(shè)計家與娛樂數(shù)學(xué)家.他與美國的智力游戲設(shè)計家山姆·洛伊德以及數(shù)學(xué)科普作家馬丁·加德納并稱“趣味數(shù)學(xué)三杰”.杜登尼有著十分敏銳的觀察力，他所設(shè)計與發(fā)表的趣題涉獵代數(shù)、幾何等多個數(shù)學(xué)分支領(lǐng)域，尤其在幾何分割問題上取得了不同尋常的成就，最著名的就是發(fā)現(xiàn)了將一個正三角形分割成四塊并拼成一個正方形的方法.今天，我們將介紹他在代數(shù)領(lǐng)域發(fā)現(xiàn)的一個奇異問題——“杜登尼特例”.

據(jù)說，杜登尼在翻閱一本數(shù)學(xué)書籍時，偶然發(fā)現(xiàn)其中的一個數(shù)字算式出現(xiàn)了印刷錯誤，排字工人把 錯排成2592.這種底數(shù)、指數(shù)相混淆顯然是大錯特錯，比如 16=11664和3642根本就是兩碼事.不過，細(xì)心的杜登尼經(jīng)過計算，竟然發(fā)現(xiàn) 與 2592 具有錯對巧合、暗自回歸的奇妙特性，即 32×81=2592，兩者結(jié)果相同，而且不影響后面的一系列計算.

無意間的錯誤竟然得到了巧妙的糾正，獲得了正確的結(jié)果，這種罕見的現(xiàn)象引起了杜登尼與數(shù)學(xué)專業(yè)人士的關(guān)注，許多人饒有興致地投入到尋找類似轉(zhuǎn)換算式的行列中.盡管這如同大海撈針，但數(shù)學(xué)家的努力沒有白費，類似的“杜登尼特例”不斷被發(fā)現(xiàn)，讓人們在擊節(jié)稱奇之余嘆為觀止.

有人會說，這幾個例子都用到了分?jǐn)?shù)，變化形式似乎與“杜登尼特例”的原始模式稍有不同.那我們再來看看整數(shù)的精確運算：

有人甚至還發(fā)現(xiàn)73×9×42=7×3942，顯然

這個既沒有指數(shù)，也不含分?jǐn)?shù)的例子是對“杜

登尼特例”的延展.或許是受此啟發(fā)，有人提

出了更為大膽的結(jié)論：類似的答案可以無限

多.經(jīng)過人們的探索，果然如此：

不難發(fā)現(xiàn)，只要在第一個等式中不斷添上857142，就能一直保持“杜登尼”模式的平衡，這種利用循環(huán)小數(shù)的特性（ ）進(jìn)行的變化，實在令人贊嘆.